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Geometry of incompressible surfaces in knot complements

Geometry of incompressible surfaces in knot complements

以下は１９９９年４月２４日に東京女子大で行われた市原一裕氏（東工大）の講演のノートである。

M : hyperbolic 3-mfd with finite volume
Mに対して、

∃Γ＜Isom^+(H^3) : 離散部分群 s.t. M=H^3/Γ

H^3→M : universal covering
S⊂M : incompressible surface, ≠S^2
S~⊂H^3 : Sのpreimageのあるcomponent
S~は単連結
特に、

S : embedded ⇒S~⊂H^3 : embedded plane

Λ(S~) : limit point setとするとき、

１．Λ(S~)=S^1
２．Λ(S~)≠S^1 nor S^2
３．Λ(S~)=S^2

Thm(Bonahon-Thurston)

以上の３通りに分類されて、
１．Quasi-Fuchsian
２．∃l⊂S : loop（accidental parabolic） s.t. lはcuspまでfreely homotopic
３．Geometrically infinite

Thm(Thurston)

３のケース⇔ MがS^1上の曲面束で、Sはそのfiber

M : knot complement

S : closed ⇒S~はGeom. infiniteでない。

SがQuasi-Fuchsianかどうか
⇔accidental parabolicがあるか
⇔Sとcuspをつなぐannulusがあるか

Ex(Adams-Reid)

Quasi-Fuchsian surfaceをcomplementが含むknots

Λ(S~)がH^3の無限遠球面上の円
⇔S : totally geodesic⊂{Quasi-Fuchsian}

Conjecture

knot complementsはtotally geodesicを含まないだろう。

Remark

immersedなら、figure-8で在る。

References

Accidental surfaces in knot complements, preprint.
By Kazuhiro Ichihara and Makoto Ozawa
DVI PS PDF
Hyperbolic knot complements without closed embedded totally geodesic surfaces, preprint.
By Kazuhiro Ichihara and Makoto Ozawa
DVI PS PDF

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from 1998/6/8