Edge number of knots

Definition

DがKのn-cycle presentation⇔
（１）Dの各edgeは自己交差なし
（２）∀e(i)、e(j)∈E(D）に対して、どの交差点においてもe(i)＞e(j)又はe(i)＜e(j)と上下が定まっているか、もしくはe(i)∩e(j)=φ。

Kのedge number e(K)を
e(K)=min{|E(D)|;DはKのcycle presentation｝
と定義する。

Dからdigraph G(D)を次のように定める。
（１）e(i)∈E(D)に対して、v(i)∈V(G(D))を対応させる
（２）交差している２つのedges e(i）、e(j)に対して、e(i)＞e(j)と上下が定まっているならば、v(i)からv(j)に向き付けたedgeをE(G(D))に加える。

Remark 0

n-cycle presentationの定義（２）を外すと、任意の結び目は2-cycle presentationを持つ。

Proposition 1

K：a nontrivial knot⇔e(K)≧３

Proposition 2

K：a knot with e(K)=3
D：a 3-cycle presentation of K
⇒G(D)=oriented 3-cycle

Proposition 3

K：a knot with e(K)=n
D：a n-cycle presentation of K
⇒（１）∀v(i)、v(i+1)∈V(G(D))に対して、v(i)、v(i+1)共にsource（or sink) in G(D)-{v(i),v(i+1)｝とはならない。
（２）∀v(i)、v(i+1)∈V(G(D))：non adjacent vertices、∃v(k)∈N(v(i))∩N(v(i+1))、s.t.v(i)→v(k)→v(i+1) or v(i)←v(k)←v(i+1)

Remark

Proposition 3（２）より、∀v(i)、v(i+1)∈V(G(D))、d(v(i)、v(i+1)）≦２

Cororally 4

（１）G(D)はconnected
（２）G(D)はpathでない。

Conjecture A

K：a knot with e(K)=n（≧３）
D：a n-cycle presentation of K
⇒G(D)は少なくとも一つの（oriented）cycleを含む。

Proposition 5

∀n≧３、n≡0 or 1（mod 3）
∃K：a knot
s.t.c(K)=n、b(K)=2、e(K)=3

Conjecture B

b(K)≦e(K)

Fact

e(K)≦2b(K)

Exercise

e(１０_１１６）=3
Hint：diagramの領域の内、3-gonに注目。

Problem C

Find a knot whose edge number is equal to 4.

Proposition 6

K：a knot with e(K)=3
D：a 3-cycle presentation of K
⇒D can be deformed into a trivial diagram by a finite sequence of Reidemeister move １'s＆２'s and Δ-moves.

Problem D(Solved by Kouki Taniyama)

For any knot K, is there a diagram of K such that it can be deformed into a trivial diagram by a finite sequence of Reidemeister move １'s＆２'s and Δ-moves?

Problem Dは東京女子大学の谷山公規先生が解決されました。
「任意の結び目は自明な結び目（の射影図）といくつかのボロミアン環のバンド和として表すことが出来る。（A. Yasuhara: Delta-unknotting operation and adaptability of certain graphs, Proc. Knots 96, World Sci. Publ. Co., 115-121, 1997)」を使います。
まず、ボロミアン環がきれいな射影になるように結び目の射影図を作ります。
次に、バンドのねじれは自明な結び目の射影図の十分近くに寄せておきます。
そして、まず始めにΔ-movesでボロミアン環を解き、次にReidemeister move ２でバンドを自明な結び目の射影の十分近くまで縮めます。
最後にReidemeister move １でバンドのねじれを解いて、自明な結び目の射影図を得ます。

証明はそのうちホームページ上で掲載します。

from 1998/6/8