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1月15日16日は大学のセンター入試らしい。そんなわけで受験生への応援メッセージ代わりに三角関数についての思うことをだらだら書く。
高校までの数学の教科書は、実に効率的でない。基礎の土台を積み重ねていこうとする。既知の手順からはじめようとする。
そもそも三角関数の三角とは何だ？三角形か？sinとcosを三角形を用いて定義するのはいいかげんヤメナイか？鈍角になったときに、無理な説明をしないといけなくなる。もう最初から単位円上の座標を(cosθ,sinθ)と定義して、「円関数」という名前にしたほうがよっぽど筋が通っていると思う。*1 そうすれば、単位円上の点なんだから、(cosθ)^2 + (sinθ)^2 = 1は自明だ。
つぎに出てくるのは加法定理だ。
sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ
ちょうどこれを習うのが高校二年のときで「さー(sin)来い(cos) 高(cos)三(sin)」とか言って語呂合わせを教えてもらったことがある。これのcos版は、
cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ
なのだが、sinのほうだけ理解していれば、sinのほうからcosのほうを導くのはβを定数とみなしてαで両辺を微分するだけのことだ。でも、加法定理を学ぶときには微分を教わっていないから、決してこのことを高校の授業で教わることはないだろう。(逆にcosを微分したときにマイナスがつくかどうかを忘れたときにも、加法定理を思い出せばいい。)
もちろん、複素平面に持ち込めば、加法定理は単なる回転に過ぎない。2倍角の公式だってn倍角の公式だってオイラーの公式 e^(iθ) = cosθ + i sinθ を用いれば一発で求まる。そもそも加法定理は何のために習うのだ？高校の教科書を見ると、どうもsinとcosの導関数を求めるときに、導関数の定義から{ (sin(x-h) - sin(x))/h } , h→0 を求める必要があって、この分子の計算のために加法定理を使いたいがためのようだ。
もうイイヤン、そんなのあとまわしで。そんなん覚える必要ないやん。もっと先まで勉強して必要だったら戻ってきて覚えようよ。そう思わずにいられない。
# イチロー 『やねうさんに激励されるとは感激です！今年は受かりそうな気がしてきました。
三角関数を円関数というべきだ！っていうのは同意ですね。双曲線関数とかの整合性を考えても円関数にすべきだと思います。まあ、慣習ってやつですかね。
三角関数の加法定理の語呂合わせは、いろいろあるみたいですね。
僕は「したいコスプレコスプレしたい」「コスプレコスプレしたいしたい」とか、「さすってこすってこすってさする」とかって覚えさせられました。おかげさまで一発で覚えられました。
あと、オイラーの公式じゃなくて、それはド・モアブルの定理なんじゃないでしょうか。オイラーの公式は高校の範囲外だったような。指数は有理数乗しかやりませんし、今の高校。しかし、来年からはド・モアブルの定理も高校の範囲外になるんですよね。まあ、高校範囲ではベクトルだけあれば複素数平面はあんまいらない感じなんでそれもいいかなあ、と思いますけど。
感激のあまり長文になりました。駄文失敬。今年こそは志望大学に受かりたいもんです。』
# yaneurao 『ド・モアブルの定理は、(cosθ + i sinθ)^n = cos nθ + i sin nθジャ(`ω´)』
# Robert 『モノによっては三角形をイメージした方が分かりやすいんですけどね。
どっちか一方というのではなく、両方知っておくに越したことはないと思います。
ただ、円を主体にして、三角形の方を補助的なモノにした方がいいというのは言えると思いますが。
まぁどうあれ、名前なんて飾りです。え（ry
オイラーの公式はテイラー展開（というかマクローリン展開）をやらないとちゃんと理解できませんが、
とどのつまりオイラーの公式は定義だから、
「そう定義しました。三角関数の色んな公式とも consistent でしょ？」
と言って教えてもいいのかもしれませんね。
そうしてでも教える価値はある気がします。便利ですし。』
# yaneurao 『ですネ..。』
# hiyashinsu 『ここで、やねさまの倫理講座がはじまると。』
# yaneurao 『はじまらん！(`ω´)』
# Xien 『三角関数やめて円関数は同意です。教える場合も直角三角形描くより単位円描くほうが教えやすいですし。でも高校数学は「直角三角形の角度が決まったら辺の比が決まる」な「三角比」から入るんですよね。どうしたもんでしょう…』
# Ozy 『中学校で三平方の定理を習った流れで続くので、平均レベル（もしくはそれ以下）の学生相手ではやや厳しい。ゆとり教育の影響で高校の数学レベルは４・５年前と比べて恐ろしいほど差が出てます。高校1年生になって、さあ高校内容！という普通の学校もあれば、中2レベルくらいのことからやってる学校もあります。だから平均的な学生相手の教科書は、そこまで割り切って書けないんじゃないかなーと思います。そこそこのレベルの学生を抱えている私立校や、指導要領なんかぷっぷーと思っている教師は三角関数という名前だけ残しつつ、ここで説明されているような教え方をしてると思いますヨ。公立でも、熱心な学校で相当の能力がある教師がいればそれくらいのことはやっているはずです。
先“だけ”教える教師と、先まで行って迷子になる生徒
何にも教えない教師と、なーんにもしない生徒
コレが多いからナー。。。』
# yaneurao 『いいこと言うのぉ！(`ω´)』
# hydro 『私の通っていた某私立高校では、教科書は年に数回程度しか使いませんでした。殆どがプリントでしたね……
別の高校の授業を見た訳ではありませんが、教科書の内容そのままに授業をする、という所は多くは無い気がします。
そもそも三角関数に限らず、教科書に多くを期待するのは無理な気が（笑』
# replicorn 『円関数っていいですね。やねさん教科書書いたら面白そう！
ゆとり教育と言えば、π=3が有名ですが、やっぱりsinΘ=1、√2=1.5なんでしょか。』
# Robert 『概算では普通に π=3 とか π^2=10 とかやっちゃいますけどね。
あまりに問題視する人が多すぎるの、ちょいとどうかと思ってたり。』
# Ozy 『π=3.14で計算するとメンドクサ〜ということを知ったとき、大体3として計算する、いわゆる概数の“必要性”を理解することになります。教科書に載っている「概数」のページを勉強したところで、「概数って便利ね！」って思う子供はあまりいないと思う。最初から3でやってる（簡単すぎる計算問題ばっかりやる）と、小数の計算と分数の計算と概数の計算の単元が分裂して頭に入ってしまって、極度に計算力が落ちてる子供がでているのは事実なので、やっぱり問題アリアリですヨ。たしかに円周率だけ取り上げるのはバカみたいですが・・・。6:10→3:5はできるのに1.5:2.5になったとたん「???」となったり、0.5と1/2が全く別物に見えてしまったりと、末恐ろしいお子様達が着実に増えてます。あと、直感的にとらえる能力とただの暗算を混同している○○式もヤバイ。。。』
# Robert 『うーん。なるほど。確かにそうかも...。
円周率の話は、実のところこういう感じになってるようです。
http://homepage3.nifty.com/logical/column057.html
全ての元凶は、計算の桁数制限にあるようです（アホらしい話ですが）。
しかし、実際どれだけ指導要領って守られてるんでしょうかね？』
# hiyashinsu 『ネコでも分かるセンター試験数学希望といってみる。
…ってネコに失礼か。
もちろん著者はやねう氏で。』
# pol 『基礎を固めてからの学習ではなくTopDown方式だと勉強が少しは面白くなると思うのですが。
3Dグラフィックス→座標変換→円関数、行列
という感じで
高校のとき、授業は学問を身に付けるよりも忍耐力や精神力を鍛えるものだという感じがしました』
# 秘密 『そういや、何年か前に東大の入試で三角関数の定義と加法定理の証明が問題にあったね。』
# krackmania 『オイラーの公式を知ってから一番面白いと思ったのは、
i^i=ｅ^(−π/2) 1^1=1 1^i=1 i^1 =i
計算してみればたしかなんですが(ｗ
数学、算数って今流行だっけか?の百マス計算しようが、
どうやって円の面積は3.1415...ってなんでなったの？
とかそこら辺を教えないと面白くならないんじゃないですかね。
勉強=面白いって凄くと重要よ。
苦痛に感じてきたら辞めるべきだと思うんですが
俺の考え方は間違ってるだろうか。
あと、分数計算も、エジプト式とか
掛け算もロシア農民式とか
色々な数学という道具の使い方を教えるべきじゃないですかね。
いわゆる良く言われてる過程が重要。
ある先生が、数学は複数のルートで山頂(答え）を目指す物だ。
とか言ってたけど、かなり後からそうで無いことに気付く。(笑』
# replicorn 『私はπ=3を敵視して書いたわけじゃなくて興味本位だったんですけど、ダメですか、そうですか・・・orz
円周率を概算で3で計算するのは便利ですね。私はそのことについては先生から別途習いました。「少なくてもそれより小さくならないから」と。
教科書自体は桁数制限あるでしょうけど、私の先生は直径10cmの円柱を紙で作ってきて、紐で円を囲って長さを測り、円周率を計算する方法を教えてくれてたりしたのも憶えています。その後、3.14も後に続く長〜い少数を略した概算なんだ、という話も。
要は掛け算ができれば良いわけで、あとから3.14で計算しなおせる能力があれば問題ないのでは。』
# guldeen 『「分数で割る」ということの意味が分からん、という子はいつの時代でも多そう。学校では「とりあえず、分母と分子を逆にして掛けろ」とは教わるけど、これでは根本的な解決にはなってないもんなぁ。
>>polさん
そやね。まず『うまい料理』を最初に食わせてやってみて、あとから「それはどういう材料を使って、どういうステップで料理していったら出来るのか」を説明していく方法のほうが、「作る」ために学ぶモチベーションを保つにはいいはずでしょうし。』
# pol 『>>guldeenさん
そういうモチベーションを保つ方法もよいと思いますが、数学や物理自体の面白さを大切にしてモチベーション保つのも重要だと思います。
高校のときは自力で問題解いてたら授業から遅れていくし、大学では一部の授業は基礎の部分をかなりはしょって進めてる。もう独学で勉強するしかないですな』
# mustache 『センター試験は、筆記用具とか、時計とか一切貸し出し禁止だから、気をつけてくだはい。はよ準備してとっとと寝てちょーだい。』
# uryu 『それっぽい形でsin,cosを４つ並べて式を作り
(α=0,β=90),(α=30,β=60),(α=45,β=45),で試して正しい
のを使うってどうでっしゃろ？
変な形にしない限り式が成り立たなかった記憶がありまする』
# yaneurao 『> それっぽい形でsin,cosを４つ並べて式を作り
「それっぽい形」が、それしか無いと証明するのが大変。』
# Robert 『いやいや、公式思い出す分にはそれで十分だったりします。』
# yaneurao 『↑uryuさんのが、上のほうにある
> そういや、何年か前に東大の入試で三角関数の定義と加法定理の証明が問題にあったね。
このレスかと思ったんで。もちろん公式思い出すだけならそれで十分ですネ。』
# XLEN 『円周率3て円ていうか正6角形ですよね。同じく東大の問題で、円周率が3.05以上である事を示せって問題があったのを思い出しました。内接・外接している正多角形で近似計算とかしていましたが、やねさんならどうしますか？arctanのテイラー展開とかは高校数学の範囲に無いので除外(・∀・)つ』
# yaneurao 『んなもん、円を多角形近似して示すのが一番簡単でショ！(`ω´)』