Appendix 1. Birthday Paradox

1. ある程度の人数が集まっているとき、その中に同じ誕生日の人がいる確率はどのぐらいか。

   １年は365日なので、半分の183人以上いないとそのようなことは起こらないような気がするが、
   確率を計算すると、実は、23人いれば1/2以上の確率でそのような組が存在することがわかる。
   この23人という人数が183人に比べてひじょうに小さいため、この事実を Birthday Paradox と呼ぶ。

   （これは paradox という名称で呼ばれているが、ただ単に、直感との差が大きいため
   　paradox と呼ばれているだけであり、数学的な矛盾はどこにもない。つまり本当の paradox ではない。）

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2. 確率を計算してみよう。

   まず、２人の時を考える。
   １人の誕生日を１つ特定したとき、もう１人が異なる誕生日である確率は、

   364/365

   となる。よって、２人が同じ誕生日になる確率は、

   1−364/365

   となる。

   ---

   次に、３人の時。
   ３人とも誕生日が異なる確率は、

   (364/365)×(363/365)

   となる。よって、誰かが同じ誕生日になる確率は、

   1−(364/365)×(363/365)

   となる。

   この要領で進めていくと、ｎ人が集まっているとき、同じ誕生日の人がいる確率は、

   1−(364/365)×(363/365)×……×((365−(ｎ−1))/365)

   となる。

   このｎの値を順に増やしていって、1/2を越えるようなｎの値を探してみる。

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3. Excelで以下のように計算式を入力する。

   	A	B	C
   1	n	w	p
   2	1	1	=1-B2
   3	2	=B2*((365(A3-1))/365)	=1-B3
   4	3	=B3*((365(A4-1))/365)	=1-B4

   １行目、ｎは人数、ｗは誕生日が誰も一致しない確率、ｐは誰かが一致する確率（＝１−ｗ）を表す。
   Ａ列には、２行目から順に１、２、３、……を入れる。
   （「フィル」で入れてもいいし、A2を１として、以下、＝A2＋１とし、コピーしてもよい。）
   Ｂ列２行目は１、３行目は上の計算式 =B2*((365(A3-1))/365) を入れる。４行目以降は、式をコピー。
   Ｃ列２行目は、=1-B2 を入れて、３行目以降は、式をコピーする。

   できるだけ正確な値が知りたいので、書式の数値で、小数以下の桁数を16桁ぐらいとっておく。
   実行結果は以下のとおり。

   	A	B	C
   1	n	w	p
   2	1	1.0000000000000000	0.0000000000000000
   3	2	0.9972602739726030	0.0027397260273973
   4	3	0.9917958341152190	0.0082041658847813
   5	4	0.9836440875334500	0.0163559124665502
   6	5	0.9728644263002070	0.0271355736997935
   22	21	0.5563116648347940	0.4436883351652060
   23	22	0.5243046923374500	0.4756953076625500
   24	23	0.4927027656760140	0.5072972343239860
   25	24	0.4616557420854710	0.5383442579145290
   31	30	0.2936837572807310	0.7063162427192690
   41	40	0.1087681901820510	0.8912318098179490
   51	50	0.0296264204220116	0.9703735795779880
   61	60	0.0058773391346521	0.9941226608653480
   71	70	0.0008404240348429	0.9991595759651570
   81	80	0.0000856680506865	0.9999143319493130
   91	90	0.0000061516438764	0.9999938483561240
   101	100	0.0000003072489279	0.9999996927510720

   確かに23人のところで、確率が0.5以上になっていることがわかる。
   参考情報として、10人刻みで、100人までの値も計算してみた。

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4. ちなみに、このぐらいの大きさの数値であれば ubasic で分数の値として計算できる。
   上の表に出現する値を正確に分数表示すると、以下のようになる。
   ｎ＝30以降は、50桁刻みで表記している。

   n	p
   22	97865360313360836565793977098771303111159551118377 / 205731187037028356508017006644446979625396728515625
   23	38093904702297390785243708291056390518886454060947061 / 75091883268515350125426207425223147563269805908203125
   30	91552927692475156884636642045816013304174636711198 78183963440529188469 / 12962030625262519859085092767427552277425499342208 403503894805908203125
   40	19393328682731619082071437723120714139262612692853 031533269435559474912532712558219274716441893 / 21760139695522172283205169322668538168792903146260 712847284222971593416002579033374786376953125
   50	70895598655795343653393554633751734054364536853006 66030303258890566778889679390456389542412687952202 890922699306118801 / 73060108135495153103580932770596512463422141744975 08156711617142094873581852472030624097938198246993 124485015869140625
   60	12192953573036843590953684350638706669315413886890 88218414765897755795332888639967649602430476861161 4413760215131544641829497589435584982801281 / 12265039368907773421787252829503068681305912216018 30164237733130051579718802316314785567834989475716 7311671158955732607864774763584136962890625
   70	41145508422690779081535442919714171550632628398090 40706545752722261107291272159089041128505047735163 15603103582415592247905066158528020608717570350739 6360070511438717 / 41180117182928960030963910835533629826902370804431 24884648137219193022265504603293083741942396295959 77138025124548594797134258530535433351360552478581 6669464111328125
   80	94692623086283648735815846559440997641151746778303 96682135048225059921982808850440153205365729852507 34364717690235354303982610969329259765427024506529 35043194007348956007326009251480620613 / 94700735913727955336015167501627908205005401376236 59656092502628422841737462285559224218173786711853 46578559209014378034540639010765236750651138069104 21789808651737985201179981231689453125
   90	15897883793262197442444324495178134089581243211532 42247691768088631074339527305052945021242940356853 49038152576672034728664006553964885724133871968633 22357517185056717082475784117108440608021375401409 4036412332021 / 15897981591983304830056619721583645864252295890958 12321952540427483475932042056657945458987508258781 27529202138310471171270060928906575909854298405986 09326760679960346370632323642624328385863918811082 8399658203125
   100	53377777607432470619144107299608249266300106111554 99529718502307834283552418139335568398570099915648 22779540230670258173902931679154284814273172812940 05748904585164713564798362658715186607820070127933 188182051888741821390928088160431649 / 53377794007702450568072527844838785280003217995807 90339491552504920193803891813062940168569816082488 04842770847757874189129362899854432632318183706262 88184432032367025371089393636388624437717612992992 943787839976721443235874176025390625