アーベル曲面とは？ わかりやすく解説

数学では、アーベル曲面 (abelian surface) とは、（複素）次元が 2 であるアーベル多様体を言う。

1次元の複素トーラスは、まさに楕円曲線であり、すべて代数的であるが、リーマンは、次元が 2 であるほとんどの複素トーラスは代数的でないことを発見した。代数的なトーラスのことをアーベル曲面と言い、それらはちょうど2次元のアーベル多様体である。その理論の大半は、高次元のトーラスやアーベル多様体の理論の特別な場合である。（同種を除いて）曲面が 2つの楕円曲線の積となる条件は、19世紀に盛んに研究された。

不変量： 多重種数(plurigenera)がみな 1 である。アーベル曲面は、S¹×S¹×S¹×S¹ に微分同相であるので、基本群は Z⁴ である。

ホッジダイアモンド：

　　　　1

　　2　　　2

1　　　4　　　1

　　2　　　2

　　　　1

例： 2つの楕円曲線の積。種数 2 の曲線のヤコビ多様体。

関連項目

• ホッジ理論

参考文献

• Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225 
• Beauville, Arnaud (1996), Complex algebraic surfaces, London Mathematical Society Student Texts, 34 (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-49510-3, MR 1406314 
• Birkenhake, Ch. (2001), “アーベル曲面”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/a/a110040.htm 

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