群作用とは？ わかりやすく解説

数学における群作用（ぐんさよう、英: group action）は、群を用いて対象の対称性を記述する方法である。

物体の本質的な要素を集合によって表し、物体の対称性をその集合上の対称性の群（その集合の全単射な変換からなる群）によって記述するとき、この群は（特に集合が有限集合であるとき）置換群 (permutation group) あるいは（特に集合がベクトル空間で、群作用が線型変換などであるとき）変換群 (transformation group) と呼ばれる。

群作用は、群の各元がある集合上の全単射な変換（対称変換）の如く「作用」するけれども、それがそのような変換と同一視される必要は無いという点において、対称性の群の柔軟な一般化となっている。これにより、物体の対称性のより包括的な記述が可能になる。これはたとえば多面体に対して、その頂点全体の成す集合、辺全体の成す集合、面の成す集合といったいくつかの異なる集合に同じ群を作用させることによって得られる。

G が群で X が集合であるとき、群作用は G から X の対称群への群準同型として定義することができる。この作用は群 G の各元に対して X の置換を以下のように割り当てる。

• 群 G の単位元に対応する X 上の置換は、X 上の恒等変換である。
• 群 G におけるふたつの元の積 gh に対応する X 上の置換は、g および h にそれぞれ対応する置換の合成である。

ここでは G の各元が置換として表現されているので、このような群作用は群の置換表現 (permutation representation) としても知られる。集合 X の要素数が n のとき、n を置換表現の次数といい、次数が n の置換表現を n 次の置換表現という^[1]。

群作用を考えることによって得られる抽象化は、幾何学的な考え方をより抽象的な対象にも応用できるという面で非常に強力である。多くの数学的対象はその上で定義される自然な群作用というものを持っており、特に群は別な群や自分自身への群作用を考えることができる。このような一般性を持つにもかかわらず、群作用の理論は（軌道-安定化群定理 (orbit stabilizer theorem) のような）適用範囲の広い定理を含み、さまざまな分野での深い結果を示すのに用いられる。

G を群、X を集合とするとき、G の X への左群作用 (left group action) とは、外部二項演算

${\displaystyle L\colon G\times X\to X;\quad (g,x)\mapsto L(g,x)=:g\bullet x=L_{g}(x)}$

群 G が集合 X に作用しているとき、X の点 x の軌道 (orbit) とは、G の各元を x に作用させた要素の集合である。x の軌道を Gx で表せば、

${\displaystyle Gx=\left\{gx\mid g\in G\right\}}$