演算子の拡張

• 子供の頃、「＋」（足す）の複数個の組み合わせとしての「×」（掛ける）を知ったとき、
  或いは、その「×」（掛ける）の複数個の組み合わせとしての「＾」（べき乗）を知ったとき、
  その新しい記号がもたらす数字の大きさに驚きもしたし、また、ひじょうに興奮した。

  そして、その時思ったのは、

  この次は、どうなるのか？

  という期待である。
  だが、それ以上の表記方法に、お目にかかることはなかった。
  

  一応、この次の段階があり、「polypower」という呼ばれ方をするが、これが使われるのは数学のごく一部の分野に過ぎない。
  ただ、このような演算を次々に定義していくことは可能である。

  今回、この「＋」⇒「×」⇒「＾」（べき）の先の演算について考えてみる。

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• まず、「×」や「＾」（べき）がどのように導入されたかを考えてみる。

  例えば、５＠３（＠は二項演算）の形で表すなら、「×」と「＾」は以下のように定義できる。

  ５×３＝５＋５＋５（５を３つ足す）
  ５＾３＝５×５×５（５を３つ掛ける）
  

  よって、次の演算を仮にａという記号で表すなら、自然な拡張として、

  ５ａ３＝５＾５＾５
  

  と定義できる。
  ここで、「＾」という演算は非可換なので、どちらのべきを先に評価するかを決める必要があるが、
  通常、「＾」は右結合的（つまり右から先）に解釈されるので、

  ５ａ３＝５＾(５＾５)
  

  と定義する。この演算を「polypower」と呼ぶことがある。

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• あとは、同じように続ければよい。 次の演算をｂ、ｃ、ｄ、……とし、

  ５ｂ３＝５ａ(５ａ５)
  ５ｃ３＝５ｂ(５ｂ５)
  ５ｄ３＝５ｃ(５ｃ５)
  　……

  と定義すればよい。
  

  これらの表記によって表される数の具体的な１０進表記での値については、あまりにも大き過ぎて、 考える気がしない。ただ、途轍もなく大きいことだけはまちがいない。

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• この結果を見て、子供の頃の自分は感動するだろうか？……