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» Piles de sable

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1. Introduction

Les différents modèles utilisés pour simuler la formations des piles de sable présentent toutes les caractéristiques de la Self-Organized Criticality (SOC) [1]. Après une évolution de longueur variable, elles aboutissent toujours à un état critique (ou point fixe, ou état stable) qui n'évolue plus. Toute modification de cet état va le forcer à se réorganiser complètement, jusqu'à obtenir un nouvel état critique, et ainsi de suite. Les piles de sable illustrent bien ce phénomène, car les grains de sable tombent jusqu'à atteindre une position stable, mais tout ajout (ou retrait) de grains va ensuite provoquer une réorganisation totale de la pile.

Nous nous intéressons surtout au modèle SPM (Sand Pile Model [2]) et à sa généralisation, IPM (Ice Pile Model [3]). Leur étude mathématique est basée principalement sur des méthodes algébriques et combinatoires [2, 4], permettant notamment de décrire parfaitement leur dynamique [2, 3]. Ces résultat très complets ne traitent que de cas très particuliers, un de nos objectifs est de les généraliser.

Nous ferons pour cela quelques rapides rappels des définitions et des résultats de base, puis nous parlerons de ce qui nous intéresse : la généralisation à des conditions initiales plus globales, et à des modèles symétriques (multi-directionnels).

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Bibliographie

[1]	P. Bak, C. Tang, et K. Wiesenfeld. Self-organized criticality. Physical Review A, 38(1):364−374, 1988.
[2]	E. Goles et M. A. Kiwi. Games on line graphs and sand piles. Theoretical Computer Science, 115(2):321−349, 1993.
[3]	E. Goles, M. Morvan, et H. D. Phan. Sand piles and order structure of integer partitions. Discrete Applied Mathematics, 117:51−64, 2002.
[4]	T. Brylawski. The lattice of integer partitions. Discrete mathematics, 6:201−219, 1973.
[5]	E. Formenti et B. Masson. On Computing Fixed Points for Generalized Sandpiles. International Journal of Unconventional Computing, 2(1):13−25, Old City Publishing, 2006.
[6]	E. Formenti et B. Masson. A note on fixed points of generalized ice pile models. International Journal of Unconventional Computing, 2(2), Old City Publishing, 2006.
[7]	E. Formenti, B. Masson et T. Pisokas. On symmetric sandpiles. Dans Cellular Automata for Research and Industry (ACRI 2006), Lecture Notes in Computer Sciences, Springer-Verlag, 2006.