位置エネルギーではなくて角運動量の方。
エレベータはどの高度でも同じ角速度で運動してますから、外周ほど線速度が大きくなります。
地表で380m/sec.ほど、静止軌道では3km/sec.ほど。

エレベータを使って上下する物体も同様の線速度に同期していかないと、そのうちエレベータの壁に押しつぶされることになります。
登りの時はこの運動エネルギーをどうやって得るか、下りの時はどうやって捨てるかが問題になります。

ちなみにわたし自身は上昇する質量と下降する質量の間でどうやって運動量を交換するのかわかりません。

持ち上げられる質量に与えられる角運動量は、エレベーター本体が少し逆方向に傾くことによってバランスされます。その後、エレベーター本体は時間とともに遠心力によって鉛直方向に戻ります。その際の角運動量は地球に吸収されることになります。

ですから、持ち上げる一方で全くなにも降ろさなくても、ゆっくりやる限りは問題ありません。定性的にいえるのはこの程度ですが、このようなことはすべて実際に定量的に計算されていて、問題ないことがわかっています。例えばLiftport社のWiki [liftport.com]などを参照してください。

運動量をエレベータから受け取ると、エレベータの軌道速度が下がってしまいますよ？
つまり地球の自転周期に付いてこられなくなる。これではエレベータの役には立たない。
運動エネルギーをエレベータに頼ると、エレベータの寿命はあっというまに尽きてしまいます。

＞運動量をエレベータから受け取ると、エレベータの軌道速度が下がってしまいますよ？

エレベーター本体（テザー）は、軌道に乗っているわけではありません。地球に固定されています。静止軌道高度以下の高さでは軌道速度より遅いわけです。ですからエレベーターの軌道速度と言う概念は意味を持ちません。

持ち上げる物体に角運動量を与えると、エレベーター本体は少し傾きます。しかしこれは遠心力ですぐに元にもどるのです。

＞運動エネルギーをエレベータに頼ると、エレベータの寿命はあっというまに尽きてしまいます。

エレベーター本体の回転は地球の回転にひきずられて元に戻ります。つまり、ほんのすこしだけ地球の自転が遅くなることになります。しかしもちろん、質量の比が巨大なので、問題になるほどになることはありません。

全般に、軌道エレベーターについて、このような高校レベルの物理が問題になることはありません。全て解決済みです。
もっと複雑なデブリの問題とか振動の問題についても、詳細に研究されています。
しかし最大の問題はエレベーターにかかる巨大な張力に耐えうる材料の開発であって、その問題に比べれば、他の問題を心配するのはほとんど無意味です。

下り質量が上り質量と同じなら, テザー経由で運動量を交換できるんですけどね. バランスが崩れると運動量をどうにかして(例えばロケット推進で)確保するとか捨てるとかしなければなりません.

アンカレッジ [wikipedia.org]が十分に大きく, 上り下りのアンバランスが短期的に解消できるのであれば, アンカレッジの位置を調整して運動量をやりくりするという手は使えます. つまりアンカレッジを運動量のバッファとするわけです. でも, 最初に小規模のエレベータを建造し, それを使って地上から資材を持ち上げてエレベータの規模を拡大するというようなシナリオでは, 質量の出超状態が継続するので, 運動量を確保するために何らかの推進が必要になります.

ただ, 推進が必要と言っても, ゴンドラなどを除いた正味の上り質量に対してのみですし, 推力はそれほど必要としないので比推力の大きいイオンエンジン等が使えます. さらに推進剤の駆動エネルギには太陽発電とかテザー沿いの電源供給とかの外部供給が可能なので, 一切合切を詰め込んで地上から飛び上がらないといけないロケットに比べればはるかに効率がいいんですけどね.

>エレベーター本体の回転は地球の回転にひきずられて元に戻ります。
ここがおかしい。
海抜０ｍの角速度を静止軌道の構造物にまで伝播させるなんて、そんな剛性を持たせることは不可能です。
それに、仮にUNSIGNEDLONG64_MAX歩譲って可能だとしたら、エレベータには張力でなく縮力がかかってなければおかしい。

でも、
>最大の問題はエレベーターにかかる巨大な張力
なんですよね？

エレベータは上から吊るんですよ？　支点は静止軌道よりはるか上に設置されるカウンターウェイト。
これを地球の角速度に同期させると巨大な遠心力が生まれる。飛んでいかないようにエレベータの質量とアンカーレッジでつなぎ止める。ここで巨大な張力が問題になる。

エレベータはアンカーレッジがなければ飛んで行ってしまう代物です。エレベータの構造物は地球自転の角速度ではなく、カウンターウェイトの角速度に同期しています。
上昇する質量はカウンターウェイトのもつ角運動量を減らすことになるし、回復するにはカウンターウェイトを加速してやるしかない。
勝手に地球の自転に同期するなんて言う道理はありません。

>その時点でカウンターウェイトの角速度は地球の角速度と同じになります。
ならんならん。
テザーを経由して地球のエネルギーをカウンターウェイトに渡すには、カウンターウエイトを振り回せるだけの剛性をテザーが持ってないと。
地球の中心を力点、アンカーレッジを支点、カウンターウェイトを作用点としたテコを想像してみるといい。
ただし、このテコはカウンターウェイトを力点、アンカーレッジを支点かつ作用点としたテコでもある。
んな剛性持たせたらアンカーレッドがポキンと折れるわ。

あなたは遠心力について理解していません。

>慣性系でないこの座標系では、地球の重力の他に遠心力という力がかかることになります。
慣性系でないのに遠心力がかかるわけがない。

テザーは篭に運動量を渡しているけど、そのデザーの運動量は誰が出しているのかなっと。
それと「前は上、上は後ろ、後ろは下、下は前」な。

あーそうそう、テザーは剛体じゃないからな？

んにゃ。質量中心が静止軌道より外にあるなら角速度は地球の自転より遅くなるのでそれはあり得ない。
それに、地上部のアンカーには誤差的な力しかかからないよ。テザーで一番張力を要するのは静止軌道上の部分。

さらに、ペイロードを持ち上げるとテザーは「後ろ」に押される、つまり減速するわけだけど、軌道上で減速された物体は、次に高度を下げる。次が大事なんだけど、高度が下がると今度は「前」に移動する。前に移動すると今度は高度が上がるわけです。これらを俯瞰してみると軌道が楕円になりますが、これは要するにホーマントランスファー軌道そのものです。

つまり、鉛直で止まったり [srad.jp]はしませんよ？

んじゃ、「前」に移動するタイミングでペイロードを上げたらどうなるかってーと、それはホーマントランスファーから円移動に移行する操作そのものなので、最初より低い円軌道に入ります。高度が低いので当然地球とは同期しなくなりますね。

大事な事なのでもう一度書くけど「質量中心が静止軌道より外にあるなら角速度は地球の自転より遅くなる」からね。