JP3187807B2 - 物体の表面形状データ作成装置 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 以下の順序で本発明を説明する。 Ａ産業上の利用分野 Ｂ発明の概要 Ｃ従来の技術 Ｄ発明が解決しようとする問題点 Ｅ問題点を解決するための手段（第１図） Ｆ作用（第１図） Ｇ実施例（第１図〜第11図） Ｈ発明の効果 Ａ産業上の利用分野 本発明は物体の表面形状データ作成装置に関し、例え
ばCAD（computer aided design）、又はCAM（computer
aided manufacturing）などにおいて、自由曲面をもつ
た形状を生成する場合に適用して好適なものである。 Ｂ発明の概要 本発明は、CAD、又はCAMなどにおける物体の表面形状
データ作成装置において、細部表面形状を共有境界より
高い次数のベクトル関数を用いて生成すると共に、共有
境界及びその両端の節点において接平面連続の条件で接
線ベクトル及び内部の制御点を設定することにより、隣
合う複数のパツチを滑らかな自由曲面をもつように接続
することができる。 Ｃ従来の技術 例えばCADの手法を用いて、自由曲面をもつた物体の
形状をコンピュータによってデザインする場合、一般
に、デザイナは曲面が通るべき３次元空間における複数
の点を指定し、当該指定された複数の点を結ぶ境界曲線
網を、所定の関数を用いてコンピュータによつて演算さ
せることにより、いわゆるワイヤーフレームで表現され
た曲面を作成する。かくして境界曲線によつて囲まれた
多数の枠組み空間を形成することができる（このような
処理を以下枠組み処理と呼ぶ）。 かかる枠組み処理によつて形成された境界曲線網は、
それ自体デザイナがデザインしようとする物体の大まか
な形状を表しており、各枠組み空間を囲む境界曲線を利
用して所定のベクトル関数によつて表現できる曲面を物
体の細部の表面形状として補間演算することができれ
ば、全体としてデザイナが物体についてデザインした自
由曲面（２次関数で規定できないものを言う）を生成す
ることができる。ここで各枠組み空間に張られた曲面は
全体の曲面を構成する基本要素を形成し、これをパツチ
と呼ぶ。 従来この種のCADシステムにおいては、境界曲線網を
表現するベクトル関数として、計算が容易な例えばベジ
エ（Bezier）式、Ｂスプライン（B-spline）式でなる３
次のテンソル積が使われており、例えば形状的に特殊な
特徴がないような自由曲面を数式表現するには最適であ
ると考えられている。 Ｄ発明が解決しようとする問題点 しかしこの従来の数式表現は、形状的に特徴がある曲
面（例えば大きく歪んだ形状をもつ曲面）に適用する場
合には、パツチ相互間の接続方法に困難があり、高度な
数学的演算処理を実行する必要があるため、コンピユー
タによる演算処理が複雑かつ膨大になる問題がある。 本発明は以上の点を考慮してなされたもので、テンソ
ル積の数式表現が簡素である利点を活用し得るように、
簡素な数式表現のまま２次元的な拡がりをもつように隣
接するパツチ相互間を接平面連続の条件の下に簡易に接
続することによつて、複雑な曲面を簡易な数式表現をも
つ補間演算式によつて演算し得るようにした自由曲面作
成方法を提案しようとするものである。 Ｅ問題点を解決するための手段 かかる問題点を解説するため本発明においては、CAD
装置を用いて、枠組み処理によつて境界曲線で囲まれか
つ物体の大まかな形状を表す多数の枠組み空間を形成
し、各枠組み空間において、当該各枠組み空間内の位置
を所定間隔で順次指定されるパラメータｕ、ｖによつて
順次指定してベクトル関数を演算することにより各枠組
み空間内の各位置における位置ベクトルデータを求め、
これにより物体の細部表面形状を表す細部表面形状デー
タを作成する物体の表面形状データ作成装置において、
境界曲線を表す第１のベクトル関数の次数より高い次数
の第２のベクトル関数によつて表されるパツチでなる細
部表面形状 について、境界曲線でなる境界曲線網の節点PT17を構成
する制御点に集中する複数の境界曲線によつて囲まれる
細部表面形状 を指定する第１の手段と、細部表面形状 のうち隣り合う第１及び第２の細部表面形状 間の境界曲線でなる共有境界COMjについて、第１の細部
表面形状 を表す第２のベクトル関数の１階微係数でありかつ第１
の細部表面形状 の共有境界COMjを横断する方向の第１の接続ベクトル及
び第２の細部表面形状 を表す第２のベクトル関数の１階微係数として求められ
かつ第２の細部表面形状 の共有境界COMjを横断する方向の第２の接線ベクトル
と、共有境界COMjを表す第１のベクトル関数の１階微係
数でありかつ共有境界COMjに沿う方向の第３の接線ベク
トルとを算出し、第１及び第２の接線ベクトルと第３の
接続ベクトルとによつて形成される接平面が同一になる
ように第１及び第２の細部表面形状 の制御辺ベクトルを設定することにより、第１及び第２
の細部表面形状 を間にある共有境界位置において接平面連続の条件で接
続するCOMj処理をする第２の手段と、共有境界COMjの一
端又は両端にある節点において当該節点に集中している
全ての共有境界COMjについて接平面連続の条件で細部表
面形状 の接続処理をする第３の手段と、接続された第１及び第
２の細部表面形状 を表示手段に表示すると共に、共有境界COMj上の点にお
いて接続された第１及び第２の細部表面形状 の法線ベクトルを表示することにより接続状態を確認し
得ると共に、制御辺ベクトル を変更することにより第１及び第２の細部表面形状の 接続状態を調整し得る第４の手段とを設けるようにす
る。 Ｆ作用 第４図に示すように、境界曲線網の節点PT17を構成す
るような制御点 に集中する境界曲線は、それぞれ隣り合うパツチ 間の共有境界COM1、COM2、COM3、COM4を構成している。
制御点 周りの接線ベクトルが共有境界COM1〜COM4の接線ベクト
ルと共に接平面連続の条件を満足すると共に、この共有
境界COM1〜COM4について接平面連続の条件を満足するよ
うに制御辺ベクトル を求めれば、隣合うパツチ は共有境界COM1〜COM4において滑らかに接続される。 このようにすれば、共有境界COM1〜COM4の中央部と共に
両端にある節点に集中する境界曲線によつて囲まれる全
ての細部表面形状 を滑らかに接続することができる。 かかる接続を四方八方に２次元的に拡がる細部表面形
状 について次々と実行して行けば、境界曲面網全体に亘つ
て滑らかな物体の細部表面形状を形成することができ
る。 かくするにつき、細部表面形状 表すベクトル関数として、共有境界COM1〜COM4を表すベ
クトル関数の次数より高い次数のベクトル関数を選定す
ることにより、接線ベクトルを設定する際の自由度が大
きくなり、その結果形状的に特徴がある境界曲面網を容
易に接続することができる。 Ｇ実施例 以下図面について、本発明の一実施例を詳述する。 （G1）パツチ接続の原理 この実施例において、物体の大まかな形状を特定する
ために枠組みされた境界曲線及び枠組み空間に張られる
パツチを次式のベクトル関数 で表されるベジエ式を用いて物体の細部の表面形状を表
わす細部表面形状として表現する。ここで、 は、第１図に示すように、隣合う枠組み空間に張られた
曲面すなわち第１のパツチ 及び第２のパツチ が共に保有している境界（これを共有境界と呼ぶ）の一
端の位置を表す位置ベクトルでなり、（１）式は、位置
ベクトルで表された制御点 を基準にして、第１及び第２のパツチ 上の自由曲面を表現する。 また、（１）式においてＥ、Ｆはシフト演算子で、パ
ツチ 上の位置ベクトルで表される制御点 に対して次式、 の関係をもつ。 さらに（１）式において、ｕ、ｖは０〜１の間を変化
するパラメータで、第１図に示すように、第１及び第２
のパツチ に対してそれぞれ制御点 から横方向にｕ軸をとり、かつ縦方向にｖ軸をとつたパ
ラメータｕ、ｖを用いてパツチ 内の自由曲面上の座標を表すことができる。 さらに（１）式においてｍ及びｎは、ベジエ曲面を、
ｍ次及びｎ次の演算式を用いて表現することを表してい
る。第１図の場合ｍ＝３、ｎ＝３に選定して３次のベジ
エ式を用いて自由曲面を表現するようになされ、かくし
て は16個の制御点、すなわち で表現することができる。また第２のパツチも同様にして16個の制御点 によつて表現することができる。 このような２つのパツチ は、デザイナによる枠組み処理によつて作られた境界曲
線網上に張られており、この２つのパツチ間に共有境界
COMをもつている。ここで、各境界曲線に沿つて設定さ
れた制御点は、枠組み処理時に各境界曲線を３次のベジ
エ式で表すために設定され、各境界曲線の両端間におけ
る４つの制御点が指定されている。これに対して境界曲
線によつて囲まれた枠組み空間内部の制御点は、当該枠
組み空間に自由曲面を張るために３次のベジエ式を用い
て補間演算するために設定される。かくして各枠組み空
間の曲面は、16個の制御点によつて表される。 ところで、枠組み処理によつて形成された境界曲線網
の多数の枠組み空間に、それぞれ別個に自由曲面を張つ
てパツチを生成した場合、隣合うパツチの共有境界にお
ける曲面は一般に滑らかにはならない。そこでこの実施
例においては、共有境界COMを有する２つのパツチ を、共有境界COMにおいて滑らかに接続するように、各
パツチの制御点を設定し直して、これらの制御点を用い
てパツチに張るべき自由曲面を補間演算し直す。これに
より、境界曲線網で枠組みされた曲面全体に亘つて全て
のパツチを滑らかに接続して行くことができることによ
り、多くの物体の外形形状を自然に表現できる。 この共有境界COMにおける接続は、接平面連続の条件
を満足するような制御辺ベクトル を求めることにより実現される。制御辺ベクトル は制御点 から第１のパツチ の隣の制御点 に向かうベクトルでなる。また、制御辺ベクトル は、制御点 から第２のパツチ の隣の制御点 に向かうベクトルでなる。さらに制御辺ベクトル は、制御点 に向かうベクトル、制御点 に向かうベクトル、制御点 に向かうベクトルでなる。 かくして共有境界COM周りの曲面が、制御辺ベクトル によつて表され、これらの制御辺ベクトルを用いて接平
面連続の条件式を求める。接平面連続の条件は、第１に
共有境界COMの線上の各点について、第１のパツチ のｕ方向の接線ベクトルと、第２のパツチ のｕ方向の接線ベクトルと、第２のパツチ のｖ方向を指定する共有境界COMの接線ベクトルとが同
一平面上に存在することである。ここで接平面は、共有
境界の各点でのｕ方向及びｖ方向の接線ベクトルによつ
て形成される平面を呼び、従つて共有境界の各点におい
てパツチ の接平面が同一のとき、接平面連続の条件が成り立つ。 すなわち、共有境界COM上の任意点 についての接平面連続の条件は、第２図に示すように決
められる。すなわちパツチ について、共有境界COMを横断する方向（すなわちｕ方
向）の接線ベクトル 及び共有境界COMに沿う方向（すなわちｖ方向）の接線
ベクトル の法線ベクトル は、 で表され、またパツチ について、共有境界COMを横断する方向の接線ベクトル 及び共有境界COMに沿う方向の接線ベクトル の法線ベクトル は、 で表される。 このような条件の下に、接平面連続というためには、
接線ベクトル が同一平面上に存在しなければならず、その結果法線ベ
クトル は同一方向に向くことになる。 ここで、 かかる接平面連続の条件を満足するベクトル関数を次
式で表す。（６）式において 及び は、それぞれ共有境界COM上の点（u,v）におけるパツチ のｕ方向の接線ベクトル（すなわち横断方向の接線ベク
トル）を表す。 この実施例の場合、第１図に示すように、３次のベジ
エ式で表されている境界曲線網の隣合う枠組み空間を４
次のベジエ式を用いて接続する。すなわち隣合う２つの
パツチ を、４次のベジエ式、 で表し、（６）式の横断方向の接線ベクトル として、（７）式を１階偏微分して得られるベクトル関
数、 を用いる。ただし、（８）式及び（９）式において、である。 これに対して、共有境界COMは枠組み処理時に３次の
ベジエ式で表されるベクトル関数、すなわち を用いて生成されている。そこで（６）式において、共
有境界COMに沿う方向の接線ベクトル は、（12）式を１階偏微分して得られるベクトル関数す
なわち になる。ただし、 である。 また（６）式のスカラ関数λ（ｖ）、μ（ｖ）、ν
（ｖ）として λ（ｖ）＝（１−ｖ）＋ｖ ……（15） μ（ｖ）＝κ_１（１−ｖ）＋κ₂v ……（16） ν（ｖ）＝η_１（１−ｖ）^３＋η_２（１−ｖ）²v＋η_３
（１−ｖ）v²＋η₄v³ ……（17） を選定し、これを（６）式に代入する。 （15）式〜（17）式のスカラ関数λ（ｖ）、μ
（ｖ）、ν（ｖ）は、数式の形として、（１−ｖ）の項
及びｖの項と、その積の項とをもち、μ（ｖ）及びν
（ｖ）には、未知数κ_１、κ_２及びη_１、η_２、η_３、
η_４を含んでいる。かくして（15）式〜（17）式を
（６）式に代入して展開したとき、（６）式の左辺及び
右辺が共に、（１−ｖ）^５、ｖ（１−ｖ）^４、v²（１−
ｖ）^３、v³（１−ｖ）^２、v⁴（１−ｖ）、v⁵の項の和の
形に整理できるようにする。このようにして得られる展
開式について各項ごとに、係数部が互いに等しくなるよ
うに未知数κ_１、κ_２及びη_１、η_２、η_３、η_４を選
定すれば、結局共有境界COMにおいて接平面連続の条件
を満足させることができるような制御辺ベクトルを設定
することができる。 ところでこのような演算処理によつて３次のベジエ式
で表されている共有境界COMにおいて、４次のベジエ式
で表される自由曲面を接続しようとする場合、（８）式
及び（９）式で表される横断方向の接線ベクトル 及び が４次式であるのに対して、（13）式で表される共有境
界COMに沿う方向の接線ベクトルは２次式で表される。そこで接平面連続の条件を得るた
めに（６）式にλ（ｖ）、μ（ｖ）、ν（ｖ）を代入し
て展開したときの左辺及び右辺の各項の次数が一致する
ことになる。 ここで特に注意すべきは、（17）式のν（ｖ）には４
つの未知数η_１、η_２、η_３、η_４が含まれていること
で、このようにすることにより、接平面連続の条件を満
足するような制御辺ベクトルを設定し直すにつき、制御
可能な項が多数あることにより自由度が大きくなり、か
なり形状的な特徴が強い自由曲面でなる物体の表面形状
であつても、接平面連続の条件を満足させ得るように制
御点を設定することができるようになる。 ここであまり形状的な特徴がない一般的な自由曲面で
なる物体の表面形状について接平面連続の条件を求める
場合には、通常未知数は２つあれば十分である。従つて
その際にはη_２、η_３をη_１、η_４によつて次式 η_２＝２η_１＋η_４ ……（18） η_３＝η_１＋２η_４ ……（19） のように表すようにすれば、２つの未知数によつて制御
辺ベクトルを設定することができる。 （15）式、（16）式、（17）式を（６）式に代入して
展開整理し、各項の係数部を等しいと置くことによつ
て、 の関係を得、これを満足するように未知数κ_１、κ_２及
びη_１〜η_４を制御することによつて、接平面連続の条
件を満足する制御辺ベクトル を設定することができる。 （20）式〜（25）式において、制御辺ベクトル は、（８）式及び（９）式について上述したように２つ
のパツチ を４次の式によつて接続する際の制御片ベクトルを表し
ている。これに対して制御辺ベクトル は、（13）式について上述したように、３次式で表現さ
れる共有境界COMに沿う方向の制御片ベクトルである。 このような制御片ベクトルを用いることによつて、３
次のベジエ式で表されている境界曲線網によつて区切ら
れた枠組み空間に４次のベジエ式で表される自由曲面を
張ることによつて、かなり特徴のある形状を表している
境界曲線網の共有境界を、接平面連続の条件を満足させ
ながら滑らかに接続することができる。 （G2）２次元的な接続方法 ２次元的な接続は、第３図に示すように、境界曲線に
よつて区切られた枠組み空間を複数方向に接続するもの
で、かくして多数の枠組み空間を四方八方に拡がつて行
くように接続することにより自由曲面を生成することが
できる。 このような２次元的な接続をする場合、形成すべき自
由曲面の内部にある節点には、周囲の任意の方向から３
本以上の境界曲線が集中して来る。例えば第３図の節点
PT₁₈には、３本の境界曲線が集中し、また節点PT₉、PT
₁₀、PT₁₁、PT₁₆、PT₁₇、PT₁₉、PT₂₂、PT₂₃には４本の境
界曲線が集中し、さらに節点PT₈には５本の境界曲線が
集中する。 そこでこの実施例の場合には、これらの境界曲線網の
内部の節点に隣接している２つ、３つ、４つ、５つの枠
組み空間に対して、４次のベジエ式で表される自由曲面
を接平面連続の条件を満足させるように形成する。かく
して３次のベジエ式によつて表されている境界曲線網の
各枠組み空間に、互いに滑らかに連続する自由曲面（４
次のベジエ式で表される）を張ることができる。 例えば第３図において節点PT₁₇を中心とする４つのパ
ツチ を接続する場合には、第３図に対応させて第４図に示す
ように、節点PT₁₇に集中する共有境界COM1、COM2、COM
3、COM4（以下これをCOMj、ｊ＝１、２、３、４で表
す）について、それぞれ（20）式〜（25）式について上
述した接平面連続の条件を満足させるように未知数
κ_１、κ_２、η_１〜η_４を設定することによつて各共有
境界周りの制御辺ベクトルを求める。 各共有境界COM1〜COM4における接平面連続の条件は、
パツチ を張るべき枠組みの形態によつて以下に述べるように最
適な制御辺ベクトルを求めることを意味する。 （G3）枠組みの形態による条件 枠組みの形態は、共有境界COMjの両端の節点となる制
御点 （第１図）において、隣合うパツチの方向に向かう制御
辺ベクトル が互いに平行であるか否かによつて分類し得る。 （１）両方が平行の場合 第３図において、節点PT₁₇に集中する共有境界COMj
（ｊ＝１、２、３、４）の両端の制御点 について、ｕ方向に向かう２つの制御辺ベクトル がそれぞれ互いに平行である場合、接平面連続の条件を
満足するためには、（20）式及び（25）式においてη_１
及びη_４が η_１＝０、η_４＝０ ……（26） でなければならない。ここでη_２及びη_３を η_２＝２η_１＋η_４ ……（27） η_３＝η_１＋２η_４ ……（28） の関係に選定すれば、 η_２＝０、η_３＝０ ……（29） となる。 （26）式及び（29）式の関係を（20）式〜（25）式に
代入すればｊ番目（ｊ＝１、２、３、４）の共有境界に
おける接平面連続の条件式は のように表すことができる。 （30）式及び（31）式から一端側の制御辺ベクトル は となり、また（34）式及び（35）式から他端側の制御辺
ベクトル は となる。（36）式を（32）式に代入して制御辺ベクトル を求めると となり、また（37）式を（33）式に代入して制御辺ベク
トル を求めれば となる。 κ₁j及びκ₂jが等しくない場合は（36）式より を決めることができれば を決めることができ、（37）式より を決めることができれば を決めることができる。（38）式、（39）式を連立させ
ることにより を決めることができる。よつて接平面連続の条件を満足
するように接続できる。 これに対してκ₁j及びκ₂jが互いに等しい場合には、
κ₁j＝κ₂j＝κｊとおいてこれを（36）式、（37）式、
（38）式に代入することによつて制御辺ベクトル は と表すことができる。 （40）式、（41）式、（42）式は、制御辺ベクトル を決めることができれば、制御辺ベクトル を決めることができることを意味している。 （２）一方が平行でない場合 第３図において共有境界COM5は、一方の節点でなる制
御点 の制御辺ベクトル が互いに平行で、かつ他方の節点でなる制御点 の制御辺ベクトル が平行でない場合を示している。この場合には、η_１、
η_４の関係は（20）式、（25）式から η_１＝０、η_４≠０ ……（43） となり、かつη_２、η_３の関係は η_２＝η_４、η_３＝２η_４ ……（44） となる。この関係を（20）式〜（25）式に代入すると、
接平面連続の条件は、 となる。この結果から、（45）式に基づいて未知数κ₁j
が求まる。また（45）式及び（46）式から制御辺ベクト
ル はとなる。さらに（51）式及び（47）式から の関係が得られる。 このような関係に基づいて、（50）式から未知数κ₂j
及びη₄jを求めることができ、また（49）式及び（50）
式から制御辺ベクトル を として求めることができる。 さらに（53）式及び（48）式から の関係が得られることにより、（51）式において制御辺
ベクトル を決めれば制御辺ベクトル を決めることができ、また（53）式において制御辺ベク
トル を決めれば制御辺ベクトル を決めることができる。 さらに制御辺ベクトル は、（52）式及び（54）式を連立させて解くことによ
り、 のように求めることができる。 このようにして未知数κ₁j及びκ₂jが互いに等しくな
い場合には、接平面連続の条件を満足する制御辺ベクト
ルを演算することができる。これに対してκ₁j及びκ₂j
が互いに等しい場合には、（52）式及び（54）式からな
る連立方程式の行列式が０となるので、この連立方程式
を解くことができない。そこでη_２、η_３を未知数とし
て解くことにより接平面連続にてパツチを接続すること
ができる。 以上は制御点 の制御辺ベクトル が互いに平行で、かつ他方の節点でなる制御点 の制御辺ベクトル が互いに平行でない場合について述べたが、これとは逆
に、制御点 の制御辺ベクトル が互いに平行でない場合にも、同様にしてκ₁j及びκ₂j
が互いに等しくないことを条件として共有境界周りの制
御辺ベクトルを求めることができる。 （３）両方が平行でない場合 第３図において共有境界COM6は、両端の節点でなる制
御点 における制御辺ベクトル がそれぞれ互いに平行でない場合を示している。この場
合には、η_１及びη_４の関係は、（20）式及び（25）式
から η_１≠０、η_４≠０ ……（57） の関係になければならない。 ここでκ₁j及びκ₂jが互いに等しくないときには、
（20）式及び（21）式から制御辺ベクトル は次式 の関係をもち、（58）式を（22）式に代入することによ
りの関係があることが分かる。 また（24）式及び（25）式より、制御辺ベクトル が のように表され、（60）式を（23）式に代入することに
より の関係があることが分かる。 そこで（58）式において制御辺ベクトル を決めれば制御辺ベクトル を決めることができ、また（60）式において制御辺ベク
トル を決めれば制御辺ベクトル を決めることができる。 これに加えて（59）式及び（61）式でなる連立方程式
に前記と同様にη_２＝２η_１＋η_４、η_３＝η_１＋２η
_４の条件をいれて解くことによつて制御辺ベクトル のように求めることができる。 これに対してκ₁j及びκ₂jが互いに等しい場合には、
（61）式及び（63）式でなる連立方程式の行列式が０と
なり、この連立方程式を解くことができない。そこでη
_２、η_３を未知数として解くことにより接平面連続にて
パツチを接続することができる。 （G4）制御辺ベクトル の決定 共有境界COMj（ｊ＝１、２、３、４）の制御点 の制御辺ベクトルの一方が平行でない場合には（51）式
及び（53）式について上述したように、制御辺ベクトル を決めれば、制御辺ベクトル を決めることができ、かくして接平面連続の条件が成り
立つように制御辺ベクトルを設定し得る。 また同様にして制御点 の両方が平行でない場合には、（58）式及び（60）式に
ついて上述したように、制御辺ベクトル を決めれば、制御辺ベクトル を決めることができることにより、接平面連続の条件が
成り立つように制御辺ベクトルを設定することができ
る。 この制御辺ベクトル の決定は、例えば第４図において制御点 について４本の境界曲線が集中している場合として示す
ように、それぞれ制御点 に集中している境界曲線によつて囲まれている全てのパ
ツチについて、接平面連続の条件を求めることによつて
決めることができる。 （１）制御辺ベクトル の場合 制御辺ベクトル は、共有境界COMjの一方の節点を構成する制御点 周りに関連する上述の（20）式及び（21）式の条件か
ら、次の２つの式 が成り立つことが必要である。これに加えてｊ番目の共
有境界COMjと、（ｊ＋１）番目の共有境界COM（ｊ＋
１）とによつて囲まれているパツチ について、制御点 から出る制御辺ベクトル 及びその先端から出る制御辺ベクトル との和によつて指定される位置は、共有境界COMj及びCO
M（ｊ＋１）が同時に接平面連続の条件を満足する場合
には、制御辺ベクトル の和によつて指定される位置と同一になるはずであるか
ら、これらの制御辺ベクトルについて次式 が成り立つ。ここで（64）式〜（66）式においてｊは ｊ＝１、２、３、４ （ただしｊ＝４のときｊ＋１＝１） ……（67） である。 かくして制御点 の第ｊ番目の共有境界COMjについての式（64）式〜（6
6）式をまとめて数式表示をすれば のように表すことができる。 この（68）式には、２つの未知数 が含まれているが、同じようにしてその他の共有境界CO
M（ｊ＋１）、COM（ｊ＋２）、COM（ｊ＋３）について
接平面連続の条件式を求めれば次の４つの式 でなる連立方程式を得ることができる。かくして制御辺
ベクトル を決めることができる。 （２）制御辺ベクトル の場合 共有境界COMj（ｊ＝１、２、３、４）の他方の制御点 についても（64）式〜（68）式について上述したと同様
にして、制御点 周りのパツチについて接平面連続の条件を求めることが
でき、（64）式〜（68）式に対応させて次のように表し
得る。 ｊ＝１、２、３、４ （ただし（ｊ＝４のときｊ＋１＝１） ……（76） そこで（77）式を用いて制御点 に集中する４本の共有境界COMj（ｊ＝１、２、３、４）
について次の４つの連立方程式 を立てて制御辺ベクトル について解くことができる。 （３）特殊な条件の場合 このようにして各共有境界COMj（ｊ＝１、２、３、
４）の両端の節点を構成する制御点 について、４つのパツチを接平面連続の条件の下に接続
することができる。 なお第４図において、制御辺ベクトル は平行で、しかも が平行の場合は、未知数κ_１、κ_２の値に無関係に（6
9）式〜（72）式の連立方程式の行列式が０となる。こ
の場合には、η_２、η_３を未知数として使用し、行列式
が０となるのを回避して不定とすることにより、 （ｊ＝１、２、３、４）を求めることができる。 制御点 についても同様である。 （G5）パツチ接続処理手順 第４図について上述したように、パツチを２次元的に
接続する処理は、これをCAD装置を用いた物体の表面形
状作成装置によつて第５図に示す処理手順を実行するこ
とにより実現し得る。 第５図において、ステツプSP1において接続処理手順
が開始されると、コンピユータはステツプSP2において
パツチデータを読み込む。このパツチデータは例えば別
途デザイナが自由曲面でなる物体の表面形状をデザイン
する際に、３次元空間に境界曲面網を枠組みすることに
より得られる。この枠組み処理に異常がなければ、境界
曲線によつて囲まれている隣合うパツチで表される物体
の細部表面形状は共有境界COMjをもつており、従つて以
下に述べる接続処理によつてこの共有境界COMjにおいて
例えば４つのパツチ （ｊ＝１、２、３、４）を接平面連続の条件の下に滑ら
かに接続することができる。 コンピユータはステツプSP2において物体の大まかな
表面形状を表すパツチデータを読み込んだとき、３次の
ベジエ式で表される境界曲線上に４次のベジエ式で表さ
れる曲面を張る際に必要とされる25個の制御点を設定し
てパツチ内の補間演算を実行する。ここで、境界曲線周
りの制御辺ベクトルが補間演算の基準位置データに用い
られる。 かくして第４図について上述したように、各共有境界
COMjについて、その両端の節点でなる制御点 と、この制御点 間の３次のベジエ式に基づく２つの制御点 及び４次のベジエ式に基づく３つの制御点とが設定され
る。 このようにして隣合う４つのパツチ の境界曲線についての３次のベジエ式を表す４つの制御
点と、接続する際に用いられる４次のベジエ式を表す５
つの制御点とが指定されると共に、４つの境界曲線に囲
まれた各パツチの内部に９つの制御点が指定される。こ
こで３次のベジエ式に基づいて設定される制御点は、パ
ツチを接続する際に用いられる４次のベジエ式に基づく
制御点を演算する（すなわち未知数κ_１、κ_２及びη_１
〜η_４を求める）ために用いられる。 かくして隣合う４つのパツチ に対して４次のベジエ式で表された曲面をそれぞれ張る
ことができる。 コンピユータはこの４つの曲面について、その共有境
界COMj（ｊ＝１、２、３、４）を挟んで指定されている
制御点によつて構成される制御辺ベクトル を用いて、隣合う２つのパツチが接平面連続の条件を満
足する４次式で表される曲面で接続すると共に、共有境
界の両端の節点について４つのパツチが接平面連続の条
件を満足するように、節点周りの制御点を設定する。 すなわちコンピユータは次のステツプSP3において、
接続すべき４つのパツチ （ｊ＝１、２、３、４）を指定した後、ステツプSP4に
移る。このステツプSP4は、接続しようとする４つのパ
ツチの共有境界COMjの両端にある制御点 において、制御辺ベクトルが同一平面上にあるかどうか
を調べる。すなわち制御点 において（20）式〜（25）式、（69）式〜（72）式の条
件が成り立ち、同様に制御点 において（20）式〜（25）式、（78）式〜（81）式の条
件が成り立つためには、各制御点 に関する制御辺ベクトルが同一平面上にあることが必要
である。 コンピユータはステツプSP4において肯定結果が得ら
れたときには次のステツプSP5に進み、これに対して否
定結果が得られたときには、ステツプSP6において同一
平面にない制御辺ベクトルを回転させることによつて同
一平面上に修正した後次のステツプSP5に進む。 このステツプSP5は制御点 間にある３つの制御点について、各パツチ に向かう制御辺ベクトル として接平面連続の条件を満足する位置ベクトルを求め
て設定し直す。 この実施例の場合、コンピユータによるこのステツプ
SP5における演算のうち、隣合う２つのパツチの接続
は、各共有境界COMjの両端の制御点 周りのパツチについて、接平面連続の条件を満足する制
御辺ベクトル を求める（（64）式〜（81）式）。これに加えて、枠組
み処理の仕方によつて共有境界COMjの両端位置における
境界曲線の形態に応じて、ｕ方向の制御辺ベクトルが平
行か否かの条件に基づいてそれぞれ異なる演算式を用い
て制御辺ベクトルを求めることにより実現するようにな
されている（（26）式〜（63）式）。 かくしてコンピユータは隣合う２つのパツチ相互間を
接平面連続の条件で接続すると共に、共有境界の両端の
制御点周りの制御点を接平面連続の条件の下に接続する
処理を終わる。そして続いて次のステツプSP7におい
て、表示装置を用いて各パツチを囲む境界曲線の各点に
おける法線ベクトル及びパツチ内の等高線を表示するこ
とにより、接続が滑らかであるか否かをオペレータが目
視確認できるように表示する。 例えば第６図に示すように、共有境界COMjの両端の制
御点 における未知数κ_１及びκ_２が互いに異なる場合にも、
オペレータは第７図に示すように、ステツプSP2〜SP5の
接続処理によつて生成された曲面の共有境界COMjにおけ
る法線ベクトルが同一になることを、他の境界線上の法
線ベクトルと共に目視確認し得る。 なお共有境界COMjが接平面連続の条件によつて接続し
ていないときには、第８図に示すように、共有境界COMj
上の法線ベクトルが開くように表示される。 この表示を見てオペレータは次のステツプSP8におい
て、各パツチについて共有境界COMj上の法線ベクトルが
互いに一致したか否かを確認でき、一致していない場合
にはステツプSP9においてその原因を調べ、必要に応じ
て数値的な修正を行う。かくして一連のパツチ接続処理
手順をステツプSP10において終了する。 （G7）実施例の効果 上述のように構成すれば、オペレータが枠組み処理に
よつて形成した枠組み空間に張られた２次元的な拡がり
をもつように隣合うパツチを、その１階微係数が共有境
界において接平面連続となるように接続することがで
き、かくして特徴の大きな境界曲線網に全体として滑ら
かな自由曲面を張ることができる曲面作成装置を得るこ
とができる。 かくするにつき、３次式で表される境界曲線網の枠組
み空間を４次式で表される曲面を用いて張るようにした
ことにより、共有境界COMjにおいて接平面連続の条件を
満足する制御辺ベクトルを設定するための未知数ηの数
を増すことができる。因に、３次式で表される曲面を張
ろうとすれば、未知数ηの数は２個になるが、４次式に
すれば４個に増加させることができ、この分自由度が大
きくなる。 このように未知数の数が増加したことは、境界曲線網
が表す曲面にかなり明確な形状的な特徴がある場合（例
えば物体の表面に急な凹凸があるような場合）に、その
枠組み空間を接平面連続の条件の下に滑らかに接続する
ことができることを意味する。 例えば第９図に示すように、物体のコーナ部の境界曲
線網のように部分的に急な曲がり方をする曲面Ｓを張る
必要がある場合にも、各枠組み空間について、接平面連
続の条件下で全てのパツチを滑らかに張ることができ、
このことは第10図に示すように、各共有境界における法
線ベクトルの表示が隣合うパツチについて同一になるこ
とによつて容易に確認し得る。 （G8）他の実施例 （１）なお上述の実施例においては、節点を構成する制
御点 に、４本の境界曲線が集中する場合のパツチの接続方法
について述べたが、集中する境界曲線の数はこれに限ら
ず、広く３本以上のｊ本の境界曲線が集中する場合に
も、同様の接続方法によつて接続することができる。 例えば第11図の制御点 に示すように、５本の境界曲線が集中する裾ひろがりの
湾曲面について、これを接平面連続の条件の下に接続す
ることができる。 （２）また上述においては、４次のベジエ式を用いてパ
ツチの補間演算をする場合について述べたが、数式の次
数はこれに限らず５次以上にしても良い。 （３）さらに上述においては、パツチの補間演算をベジ
エ式を用いた場合について述べたが、これに限らず、ス
プライン式、クーンズ（Coons）式、フアーガソン（Fur
gason）式などの他のベクトル関数を用いるようにして
も良い。 Ｈ発明の効果 以上のように本発明によれば、細部表面形状を共有境
界より高次のベクトル関数を用いて生成するようにした
ことにより特殊な形状を含んで種々の形状の表面形状デ
ータを生成できると共に、共有境界及び両端の制御点の
物体の形状として必要な適正な滑らかさをもつた細部表
面形状を生成することができるようにしたことにより、
枠組み空間に張るべき細部表面形状相互間を大きい自由
度で接続し得る。従つて形状的な特徴の強い自由曲面を
滑らかに接続することができる。

【図面の簡単な説明】 第１図は３次式で表される境界曲線網に用いられる制御
辺ベクトルを示す略線図、第２図は第１図の共有境界に
おける接平面連続の条件の説明に供する略線図、第３図
はパツチの２次元的接続でなる枠組み形態を示す略線
図、第４図は本発明による物体の表面形状データ作成装
置において用いられる制御辺ベクトルを示す略線図、第
５図はパツチを接続する際に用いられる接続処理手順を
示すフローチヤート、第６図は枠組みの一例を示す略線
図、第７図は本発明の実施例によつて接続した場合の共
有境界を接平面連続の条件の下に接続したときの表示を
示す略線図、第８図は接平面連続の条件を満足しない接
続状態を示す略線図、第９図、第10図及び第11図は他の
接続例を示す略線図である。COM、COM1〜COM6……共有境界。

Claims (1)

1. (57)【特許請求の範囲】 １．CAD装置を用いて、枠組み処理によつて境界曲線で
   囲まれかつ物体の大まかな形状を表す多数の枠組み空間
   を形成し、上記各枠組み空間において、当該各枠組み空
   間内の位置を所定間隔で順次指定されるパラメータによ
   つて順次指定してベクトル関数を演算することにより上
   記各枠組み空間内の上記各位置における位置ベクトルデ
   ータを求め、これにより上記物体の細部表面形状を表す
   細部表面形状データを作成する物体の表面形状データ作
   成装置において、 上記境界曲線を表す第１のベクトル関数の次数より高い
   次数の第２のベクトル関数によつて表される上記細部表
   面形状について、上記境界曲線でなる境界曲線網の節点
   を構成する制御点に集中する複数の境界曲線によつて囲
   まれる上記細部表面形状を指定する第１の手段と、 上記細部表面形状のうち隣り合う第１及び第２の細部表
   面形状間の上記境界曲線でなる共有境界について、上記
   第１の細部表面形状を表す上記第２のベクトル関数の１
   階微係数でありかつ上記第１の細部表面形状の上記共有
   境界を横断する方向の第１の接線ベクトル及び上記第２
   の細部表面形状を表す上記第２のベクトル関数の１階微
   係数でありかつ上記第２の細部表面形状の上記共有境界
   を横断する方向の第２の接線ベクトルと、上記共有境界
   を表す上記第１のベクトル関数の１階微係数でありかつ
   上記共有境界に沿う方向の第３の接線ベクトルとを算出
   し、上記第１及び第２の接線ベクトルと上記第３の接続
   ベクトルによつて形成される接平面が同一になるよう
   に、上記第１及び第２の細部表面形状の制御辺ベクトル
   を設定することにより、上記第１及び第２の細部表面形
   状を間にある上記共有境界位置において接平面連続の条
   件で接続する処理をする第２の手段と、 上記共有境界の一端又は両端にある上記節点において当
   該節点に集中している全ての上記共有境界について上記
   接平面連続の条件で上記細部表面形状の接続処理をする
   第３の手段と、 接続された上記第１及び第２の細部表面形状を表示手段
   に表示すると共に、上記共有境界上の点において上記接
   続された第１及び第２の細部表面形状の法線ベクトルを
   表示することにより接続状態を確認し得ると共に、上記
   制御辺ベクトルを変更することにより上記第１及び第２
   の細部表面形状の接続状態を調整し得る第４の手段と を具えることを特徴とする物体の表面形状データ作成装
   置。 ２．上記境界曲線網を３次のベクトル関数で表し、上記
   枠組み空間に張られる物体の細部表面形状データを４次
   のベクトル関数を利用して計算することを特徴とする特
   許請求の範囲第１項に記載の物体の表面形状データ作成
   装置。 ３．上記多数の物体の細部表面形状データを２次元的方
   向に順次接続されるような枠組みしたことを特徴とする
   特許請求の範囲第１項に記載の物体の表面形状データ作
   成装置。