JP3402995B2

JP3402995B2 - 形状解析装置

Info

Publication number: JP3402995B2
Application number: JP04929597A
Authority: JP
Inventors: 聰一門脇; 幸蔵梅田
Original assignee: Mitutoyo Corp
Current assignee: Mitutoyo Corp
Priority date: 1997-03-04
Filing date: 1997-03-04
Publication date: 2003-05-06
Anticipated expiration: 2017-03-04
Also published as: JPH10246624A

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】この発明は、非球面レンズ等
の曲線形状を有する被測定対象を、三次元測定機、コン
トレーサ、非球面レンズ測定機などの精密測定機で測定
して得られた測定データから前記被測定対象の曲線形状
を同定する形状解析装置に関する。

【０００２】

【従来の技術】非球面レンズの設計においては、試作品
や完成品レンズのレンズ面の曲線形状の解析が重要であ
る。この曲線形状は、測定データから円錐曲線等によっ
て同定することがなされている。しかし、一般的には円
錐曲線の方程式だけでは、非球面レンズの曲線形状を正
確に表現できないことも多く、これを補正多項式により
補うことがなされている。即ち、三次元測定機やコント
レーサで水平方向の各位置ｈ1，ｈ2，…，ｈnにおける
レンズ面の高さｘ1，ｘ2，…，ｘnが測定データ（ｈj，
ｘj）として得られた場合、Ｃを曲率、Ｋを円錐曲線定
数、Ｐiを補正多項式係数、ｍを補正多項式の次数、Ｈ
＝ｈ1，ｈ2，…，ｈn、Ｘ＝ｘ1，ｘ2，…，ｘnとする
と、曲線形状は下記（１）式のように表現できる（但
し、回転、平行移動が無い基準座標系での式）。

【０００３】

【数１】

【０００４】上記（１）式の右辺第１項が円錐曲線を示
す式であり、同第２項が補正多項式である。Ｃ，Ｋ，Ｐ
iを精度良く求めることにより、曲線形状を同定するこ
とができる。

【０００５】

【発明が解決しようとする課題】しかしながら、従来、
以下に述べる理由により、Ｃ，Ｋ，Ｐiを精度良く求め
ることができなかった。即ち、（１）式の右辺第１項は
数２のように変形することができる。

【０００６】

【数２】

【０００７】ここで、（２）式の√の中を、

【０００８】

【数３】

【０００９】を用いて展開すると、下記（４）式のよう
になる。

【数４】

【００１０】（４）式を（１）式に代入すると、下記
（５）式のようになる。

【００１１】

【数５】

【００１２】（５）式のＨ²の係数（Ｃ／２＋Ｐ2）から
明らかなように、曲率Ｃと補正多項式係数Ｐ2には従属
関係が発生し、Ｃ及びＰ2を同時に求めることはできな
い。曲率Ｃを求めようとしても、中心部からＨ方向に離
れた位置のデータの影響が大きく現れる（１）式の右辺
第２項が右辺第１項に影響を及ぼし、曲率Ｃを精度良く
求めることができない。このため、曲線形状を高精度で
同定することができないという問題があった。

【００１３】本発明は、このような点に鑑みなされたも
ので、曲線形状を精度良く同定することができる形状解
析装置を提供することを目的とする。

【００１４】

【課題を解決するための手段】本発明に係る形状解析装
置は、曲線形状を有する被測定対象の前記曲線形状を測
定して得られた測定データを記憶する測定データ記憶手
段と、この測定データ記憶手段に記憶された測定データ
から曲線形状を同定するための演算処理を実行する曲線
形状同定演算手段と、この曲線形状同定演算手段で同定
された曲線形状を出力する演算結果出力手段とを有する
形状解析装置であって、前記測定データ記憶手段は、特
定の基準軸の各位置における前記基準軸からの距離とし
て得られた測定データを記憶するものであり、前記曲線
形状同定演算手段は、前記測定データ記憶手段に記憶さ
れた測定データのうち前記基準軸方向の始点から終点ま
での範囲の中央部分における測定データのみから２次多
項式表現での最適円錐曲線を求めて曲線形状を絞り込ん
だのち無理式表現での最適円錐曲線を求め、その後、前
記測定データ記憶手段に記憶された全ての測定データか
ら補正多項式を求めることにより前記被測定対象の曲線
形状を同定するものであることを特徴とする。

【００１５】本発明に係る形状解析装置によれば、基準
軸（Ｈ軸）方向の始点から終点までの全測定データのう
ち、（１）式の右辺第２項の影響が大きく現れない中央
部分における測定データのみを用いて円錐曲線、即ち
（１）式の右辺第１項を求め、その後、全ての測定デー
タを用いて補正多項式、即ち（１）式の右辺第２項を求
めるようにしているので、曲線形状を精度良く同定する
ことができる。

【００１６】より具体的には、前記中央部分の測定デー
タから２次多項式表現での最適円錐曲線を求め、前記２
次多項式表現を無理式表現に変換する。一旦、２次多項
式表現の曲線を求めることで、無理式表現の曲線算出の
処理時間を短縮することができる。そして、得られた無
理式表現を初期値として無理式表現での最適円錐曲線を
求め、得られた無理式表現での最適円錐曲線を標準形に
変形すると共に座標変換し、標準形となる座標系におい
て全ての測定データを用いて前記補正多項式を求めるこ
とにより、曲線形状を精度良く同定することができる。

【００１７】

【発明の実施の形態】以下、図面を参照してこの発明の
好ましい実施の形態について説明する。図１は、この発
明の一実施例に係る形状解析装置を含む形状測定システ
ムの構成を示す図である。このシステムは、形状測定機
１と、この形状測定機１で得られた測定データを解析し
て被測定対象である非球面レンズ２の曲線形状を同定す
る形状解析装置としてのコンピュータ３及びプリンタ４
とで構成されている。形状測定機１は、この例では、コ
ントレーサを用いているが、三次元測定機や他の非球面
レンズ測定機等を用いても良い。形状測定機１のテーブ
ル１１には、垂直方向に延びるコラム１２が固定されて
おり、このコラム１２にスライダ１３が上下動可能に装
着されている。スライダ１３には、スタイラスアーム１
４が装着されている。スタイラスアーム１４は、水平
（Ｈ）方向に駆動され、その先端に設けられたスタイラ
ス１５によって非球面レンズ２のレンズ面をＨ方向にト
レースすることにより、Ｈ軸方向の各位置におけるレン
ズ面の高さＸが測定データとして求められるようになっ
ている。

【００１８】この測定データは、コンピュータ３に取り
込まれ、形状解析に供せられる。コンピュータ３は、所
定の形状解析プログラムによって図２に示すような機能
を実現する。即ち、測定データ記憶手段２１には、形状
測定機１からの測定データが記憶される。曲線形状同定
演算手段２２は、後述する演算によって測定データから
非球面レンズ２のレンズ面の曲線形状を同定する。演算
結果出力手段２３は、同定された曲線形状に関する情報
を表示したり、プリントアウトする。

【００１９】図３は、曲線形状同定演算手段２２での処
理を示すフローチャートである。この処理は、大きく分
けて（１）式における円錐曲線部分の決定処理（Ｓ１〜
Ｓ４）と、（１）式における補正多項式部分の決定処理
（Ｓ５）とから構成される。円錐曲線部分の決定処理
は、更に２次多項式決定（Ｓ１）と無理式決定（Ｓ２〜
Ｓ４）とに分けられる。以下、各ステップを詳細に説明
する。

【００２０】まず、測定データから２次多項式表現での
最適円錐曲線を求める（Ｓ１）。このとき使用される測
定データは、図４に示すように、ｎ個の測定データのう
ち、そのＨ方向の中央部となるｎ0番目の測定データを
中心とし、そのデータから±Δｈの範囲のｎ1番目の測
定データからｎ2番目の測定データを使用する。使用す
る測定データは、例えば全測定データの２０〜３０％程
度とし、具体的には、データの中央近くからの距離、
データの中央近くからの割合、画面のウィンドウ上
での範囲等により指定する。いま、Ｈ＝ｈ_n1，ｈ_n1+1，
…，ｈ_n2、Ｘ＝ｘ_n1，ｘ_n1+1，…，ｘ_n2とし、ＨとＸの
２次多項式Ｆ（Ｈ，Ｘ）を次のように定義する。

【００２１】

【数６】

【００２２】但し、ａ²＋ｂ²＋ｃ²＋ｐ²＋ｑ²＋ｒ²＝１
とする。このとき、

【００２３】

【数７】

【００２４】が最小となるように、ａ，ｂ，ｃ，ｐ，
ｑ，ｒを決定する。そのために、（７）式を展開し、
ａ，ｂ，ｃ，ｐ，ｑ，ｒについて整理すると、下記
（８）式のようになる。

【００２５】

【数８】

【００２６】ここで、Ｍは６×６の非負値対称行列であ
る。Ｍの最小固有値をλ、そのときの固有ベクトルをｖ
（上に→付き）とすると、

【００２７】

【数９】

【００２８】により、ａ，ｂ，ｃ，ｐ，ｑ，ｒが求めら
れる。このとき、（９）式の±は、ｃが非負となるよう
に決定する。

【００２９】このようにして求められた２次多項式は、
円錐曲線部を表す式に近いが、２次多項式だけでは円錐
曲線部を正確に表現することはできない。そこで、求め
られた２次多項式を次に無理式表現に変換する（Ｓ
２）。即ち、上記のようにして求められた２次多項式Ｆ
（Ｈ，Ｘ）をＸについて整理すると、下記（１０）式の
ようになる。

【００３０】

【数１０】

【００３１】ｃ≠０として、（１０）式からＸについて
解くと（１１）式のようになる。

【００３２】

【数１１】

【００３３】ここで、改めて、

【００３４】

【数１２】

【００３５】とおくと、Ｘは、（１３）式のように表す
ことができる。

【００３６】

【数１３】

【００３７】（１３）式において、√の前には±の符号
が付加されているが、いずれの場合にもデータが適合す
る訳ではなく、＋か−の一方のみが適合する。そこで、
ｎ1〜ｎ2の範囲の測定データ（ｈα，ｘα）を（１３）
式に代入して±の符号を決める。その符号をsignとする
と、（１３）式は、（１４）式のようになる。

【００３８】

【数１４】

【００３９】次に、（１４）式の右辺をＱ（Ｈ）とし、
先に求めたａ，ｂ，ｐ，ｑ，ｒを初期値として下記（１
５）式のＳ（ａ，ｂ，ｐ，ｑ，ｒ）の最小値を非線形最
小自乗法により求め、無理式表現での最適円錐曲線を求
める（Ｓ３）。初期値ａ，ｂ，ｐ，ｑ，ｒは、算出する
解に近い値となっているので、少ない演算回数で解を求
めることができる。

【００４０】

【数１５】

【００４１】このようにして求められた非線形最小自乗
法の解ａ，ｂ，ｐ，ｑ，ｒによる下記（１６）式に示す
無理式表現での最適円錐曲線Ｘ＝Ｑ（Ｈ）を、次に標準
形に変形する。（Ｓ４）。

【００４２】

【数１６】

【００４３】図５は、標準形を求める手順を示すフロー
チャートである。まず、標準形への変形を簡単にするた
め、（１６）式を再度２次多項式の陰関数表現に変形す
る（Ｓ１１）。即ち、（１６）式の右辺ａＨ＋ｂを左辺
に移行して、両辺を二乗し、Ｈ、Ｘについて整理する
と、

【００４４】

【数１７】

【００４５】のようになる。ここで、（１７）式の係数
を改めて、

【００４６】

【数１８】

【００４７】のように置き換えると、（１７）式は、
（１９）式のように表現される。

【００４８】

【数１９】

【００４９】次に、（１９）式を標準形に変形する（Ｓ
１２）。即ち、曲線の座標系Ｈ，Ｘに対する傾きをθ、
Ｈ，Ｘ方向の平行移動量をｕ，ｖとすると、

【００５０】

【数２０】

【００５１】による座標変換によって、変換座標系上で
以下のいずれかの標準形に適合させることができる。

【００５２】

【数２１】

【００５３】従って、円、楕円、双曲線及び放物線の各
標準形のうち最も適合する標準形と、そのときのθ，
ｕ，ｖを演算処理によって決定する。ここで、一例とし
て円に適合した場合について考えると、図６（ａ）に示
すように、データが円の上側に存在するケース１と、同
図（ｂ）に示すように、データが下側に存在するケース
２とが考えられる。そこで、データの存在する曲線部分
が（Ｈ，Ｘ）（共に上に〜付き、以下同様）＝（０，
０）で、Ｈ軸に接するように、曲線を平行移動させる
（Ｓ１３）。即ち、ケース１の場合は図７（ａ）のよう
にＸ軸＋側にｒだけ平行移動させる必要があるので、曲
線の方程式を（２２）式のように変形する。

【００５４】

【数２２】

【００５５】これを以下のように変形することにより、
標準形が求められる。

【００５６】

【数２３】

【００５７】また、ケース２の場合は図７（ｂ）のよう
にＸ軸−側にｒだけ平行移動させる必要があるので、曲
線の方程式を（２４）式のように変形する。

【００５８】

【数２４】

【００５９】これを以下のように変形することにより、
標準形が求められる。

【００６０】

【数２５】

【００６１】これにより、ケース１の場合の円錐曲線定
数Ｋ＝１、曲率Ｃ＝−１／ｒ、ケース２の場合の円錐曲
線定数Ｋ＝１、曲率Ｃ＝１／ｒが求められる。

【００６２】次に、標準形の座標系において、補正多項
式を求める（Ｓ５）。即ち、測定データ（ｈα，ｘα）
（α＝１，２，…，ｎ）に（２０）式の座標変換及び上
述した平行移動を行った変換データを（ｈα，ｘα）
（共に上に〜付き）とすると、下記（２６）式が最小と
なるように、補正多項式係数Ｐiを決定する。

【００６３】

【数２６】

【００６４】上記（２６）式は、Ｐiに関する２次式で
あるので、最小値は連立一次方程式を解くことにより簡
単に求めることができる。このような処理を行うことに
より、前半の円錐曲線の算出処理では少ないデータ数を
処理し、しかも無理式表現を求める前に概略的な曲線を
２次多項式によって求めているため、最小自乗演算の処
理時間も短縮され、全体として効率良く、しかも高精度
に非球面レンズの曲線形状を同定することができる。

【００６５】

【発明の効果】以上述べたようにこの発明によれば、測
定データのうち、基準軸（Ｈ軸）方向の始点から終点ま
での範囲の中央部分における測定データのみを用いて円
錐曲線、を求め、その後、全ての測定データを用いて補
正多項式を求めるようにしているので、曲線形状を効率
良く、しかも精度良く同定することができるという効果
を奏する。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の一実施例に係る形状解析装置を適用
した計時用測定システムの構成を示す図である。

【図２】同システムにおける形状解析システムの機能
ブロック図である。

【図３】同形状解析システムの処理の流れを示すフロ
ーチャートである。

【図４】同形状解析処理で使用される測定データを説
明するための図である。

【図５】同形状解析処理における曲線の標準形への変
形処理の手順を示すフローチャートである。

【図６】同標準形による曲線の平行移動を説明するた
めの図である。

【図７】同じく曲線の平行移動を説明するための図で
ある。

【符号の説明】

１…形状測定機、２…非球面レンズ、３…コンピュー
タ、４…プリンタ、１１…テーブル、１２…コラム、１
３…スライダ、１４…スタイラスアーム、１５…スタイ
ラス、２１…測定データ記憶手段、２２…曲線形状同定
演算手段、２３…演算結果出力手段。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (56)参考文献特開平３−33635（ＪＰ，Ａ) 特開平７−83653（ＪＰ，Ａ) 特開平10−62142（ＪＰ，Ａ) (58)調査した分野(Int.Cl.⁷，ＤＢ名) G01B 21/20

Claims

(57)【特許請求の範囲】

【請求項１】曲線形状を有する被測定対象の前記曲線
形状を測定して得られた測定データを記憶する測定デー
タ記憶手段と、この測定データ記憶手段に記憶された測定データから曲
線形状を同定するための演算処理を実行する曲線形状同
定演算手段と、この曲線形状同定演算手段で同定された曲線形状を出力
する演算結果出力手段とを有する形状解析装置であっ
て、前記測定データ記憶手段は、特定の基準軸の各位置にお
ける前記基準軸からの距離として得られた測定データを
記憶するものであり、前記曲線形状同定演算手段は、前記測定データ記憶手段
に記憶された測定データのうち前記基準軸方向の始点か
ら終点までの範囲の中央部分における測定データのみか
ら２次多項式表現での最適円錐曲線を求めて曲線形状を
絞り込んだのち無理式表現での最適円錐曲線を求め、そ
の後、前記測定データ記憶手段に記憶された全ての測定
データから補正多項式を求めることにより前記被測定対
象の曲線形状を同定するものであることを特徴とする形
状解析装置。
【請求項２】前記曲線形状同定演算手段は、前記測定
データ記憶手段に記憶された前記中央部分における測定
データのみから２次多項式表現での最適円錐曲線を求
め、前記２次多項式表現を無理式表現に変換し、得られ
た無理式表現を初期値として無理式表現での最適円錐曲
線を求め、得られた無理式表現での最適円錐曲線を標準
形に変形すると共に座標変換し、標準形となる座標系に
おいて前記補正多項式を求めるものであることを特徴と
する請求項１記載の形状解析装置。