JP3799472B2

JP3799472B2 - Production system performance variation estimation method, random variable function variation estimation method, computer program, recording medium recording the same, and random variable function variation estimation computer

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Publication number: JP3799472B2
Application number: JP2001095011A
Authority: JP
Inventors: ローザー，クリストフ・ハーマン
Original assignee: Toyota Central R&D Labs Inc
Current assignee: Toyota Central R&D Labs Inc
Priority date: 2001-03-29
Filing date: 2001-03-29
Publication date: 2006-07-19
Anticipated expiration: 2021-03-29
Also published as: JP2002297567A

Description

【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、データの統計解析に関し、特に、確率変数の関数のばらつきを推定する技術に関する。
【０００２】
【従来の技術】
一般に、システムの性能を表す性能値が存在し、その性能値は少なくとも１つの確率変数に基づいている。例えば、機械が修理状態にある時間百分率は、平均修理時間を平均修理時間間隔で割り算した値の関数である。ここに、少なくとも１つの確率変数の関数の平均値（関数により導かれる複数の値の平均値）と、少なくとも１つの確率変数の平均値の関数（平均値に関して関数により導かれる値）とを区別することが重要である。機械を修理する場合には、各回の修理時間を各回の修理時間間隔で割り算し、それにより、それら修理時間と修理時間間隔との比の平均値を求めることが可能であろう。しかしながら、平均修理時間の関数の平均値は、平均値の関数とは異なるであろう。平均値の関数のみが、機械が修理状態にある時間百分率の正しい値を示している。
【０００３】
一般に、その少なくとも１つの確率変数の平均値は正確には判明しておらず、むしろ、収集されたデータの集合に基づいている。したがって、その平均値は、真の平均値とは異なる可能性がある。その結果、その平均値の関数は、真の平均値の関数とは異なる可能性がある。一般に、その平均値の関数の精度に関心がある。この精度は普通、平均値または中央値を囲む信頼区間として表現されるが、分散、標準偏差、または４分位数として表現することが可能である。そのような値を個々の確率変数について計算することは、統計解析においてよく知られていることであるが、それより困難なことは、そのような値を平均値の関数について計算することである。
【０００４】
少なくとも１つの平均値の関数の一般的な用途は発生度数であり、この場合、それの平均値である平均度数は平均発生時間間隔の逆数である。別の用途は時間百分率であり、この場合、それの平均値である平均時間百分率は、平均持続時間を平均持続時間間隔で割り算した値である。
【０００５】
平均値の関数の信頼区間を計算する一従来方法は、バッチング方法と言われており、ノン・オーバーラッピング・バッチ平均値方法としても知られている。この従来方法においては、十分に大きなデータ集合が多数の部分集合に分割される。各部分集合ごとに平均値が計算され、その結果、各部分集合ごとに平均値の関数が計算される。信頼区間は、平均値の関数の様々な値について構成され得る。
【０００６】
【発明が解決しようとする課題】
しかしながら、この従来方法は、中心極限定理が成立する程度に十分に大きなデータ集合にとってのみ適している。そのため、この従来方法は、小さなデータ集合については使用することができない。さらに、この従来方法では、各データ集合の信頼区間が、使用される部分集合の数に応じて大きく変化する可能性がある。適当でない部分集合を多数選択すると、不正確な結果を招来する可能性がある。さらに、この従来方法は、データ集合の大きさが増すにつれて大きな記憶容量と計算能力とを必要とする。最後に、この従来方法では、その計算の性質に起因し、利用可能なデータが追加されるたびにそのような集中的な計算を反復しなければならない。
【０００７】
バッチング方法のための部分集合の数を選ぶことを支援する方法が多数開発されてきた。しかしながら、それら開発方法は普通、非常に複雑であり、高度な専門的知識を必要とする。さらに、それら開発方法による結果は互いに異なる可能性がある。さらに、それら開発方法が部分集合と、複数の部分集合間の関係とを分析するために手間のかかる統計的な実行を必要とするにつれて、計算上の要求がさらに増加した。
【０００８】
このバッチング方法の一変形方法であってオーバーラッピング・バッチ平均値方法として知られているものは、互いにオーバラップする部分集合を生成する。この変形方法は、上述の基本的なバッチング方法に対して少し改良されている可能性があるが、この変形方法も、大きなデータ集合、部分集合の数の選定、大きな記憶容量と計算能力とを必要とする。さらに、この変形方法もかなり複雑であり、多くの統計的な知識を必要とする。
【０００９】
【課題を解決するための手段および発明の効果】
このような事情を背景として、本発明は、確率変数の代表値の関数のばらつきを、利用するデータ集合の大きさが比較的小さくても、従来におけるより短時間で推定可能とすることを課題としてなされたものであり、本発明によって下記各態様が得られる。各態様は、請求項と同様に、項に区分し、各項に番号を付し、必要に応じて他の項の番号を引用する形式で記載する。これは、本明細書に記載の技術的特徴のいくつかおよびそれらの組合せのいくつかの理解を容易にするためであり、本明細書に記載の技術的特徴やそれらの組合せが以下の態様に限定されると解釈されるべきではない。
【００１０】
（１）少なくとも１つの確率変数の代表値の関数のばらつきを推定する方法であって、
前記確率変数を取得する確率変数取得工程と、
その取得された確率変数の代表値を決定する代表値決定工程と、
前記取得された確率変数の統計量を決定する統計量決定工程と、
前記関数の、前記決定された代表値に関する勾配を決定する勾配決定工程と、
その決定された勾配を用いることにより、前記確率変数について取得された統計量を前記関数の統計量に変換する統計量変換工程と
を含む確率変数関数ばらつき推定方法。
本発明者は、その研究により、確率変数の関数の勾配が急である場合には、確率変数の統計量（ばらつきを含む）が拡大されてその関数の統計量（ばらつきを含む）に反映される傾向が強いのに対し、確率変数の関数の勾配が緩やかである場合には、確率変数の統計量（ばらつきを含む）が縮小されてその関数の統計量（ばらつきを含む）に反映される傾向が強いという統計上の特性が存在することに気が付いた。
さらに、本発明者は、その特性を利用すれば、前述の従来のバッチング方法を実施する場合とほぼ同等の精度を確保しつつ、その従来方法におけるより少ない数のデータを用いてその従来方法におけるより短時間で確率変数の代表値の関数のばらつきを推定可能であることにも気が付いた。
そのような知見に基づき、本項に係る方法においては、確率変数の代表値が決定されるとともに、その確率変数の統計量が決定される。さらに、この方法においては、その確率変数の関数の、その決定された代表値に関する勾配が決定され、その決定された勾配を用いることにより、確率変数について取得された統計量が関数の統計量に変換される。
したがって、この方法によれば、確率変数の代表値の関数のばらつきを従来のバッチング方法におけるより少ない数のデータを用いてその従来方法におけるより短時間で推定することが可能となる。
本項および他の各項において「代表値」は、例えば、確率変数または関数に属する複数の個別データの分布の中心に関する傾向を表す値として定義することが可能である。
また、本項および他の各項において「勾配決定工程」は、勾配を正確に決定したり、近似的に決定することが可能である。例えば、「勾配決定工程」は、関数の代表値における勾配を決定したり、その代表値の近傍における勾配を決定することが可能である。
また、本項および他の各項において「関数」は、確率変数を別の変数に関連付ける演算子であり、それの一例は、確率変数を性能値に関連付ける後述の性能関数とすることができる。
また、本項および他の各項において「代表値」は、例えば、確率変数の数が複数である場合に、各確率変数ごとに１つずつ存在するように定義される。
（２）前記統計量変換工程が、前記関数の統計量が前記確率変数の統計量に、前記勾配が急である場合において緩やかである場合におけるより敏感に応答するように、前記確率変数の統計量を前記関数の統計量に変換するものである（１）項に記載の確率変数関数ばらつき推定方法。
この方法によれば、本発明者により認識された前述の統計上の性質に鑑み、関数の統計量が確率変数の統計量に、その関数の勾配が急である場合において緩やかである場合におけるより敏感に応答するように、確率変数の統計量が関数の統計量に変換される。
（３）前記確率変数の代表値が、その確率変数のアベレージと、算術平均と、幾何平均と、中央値と、調和平均と、最頻値との少なくとも１つを含む（１）または（２）項に記載の確率変数関数ばらつき推定方法。
（４）前記代表値決定工程が、前記取得された確率変数に属する複数の個別データに対してトリミングを行い、そのトリミングが行われた確率変数に基づいて前記代表値を決定する工程を含む（１）ないし（３）項のいずれかに記載の確率変数関数ばらつき推定方法。
この方法によれば、トリミングにより、確率変数に属する複数の個別データから異常データが排除されてその確率変数の代表値が決定されるため、その決定の精度が向上し、ひいては、確率変数の関数のばらつきの推定精度も向上する。
（５）前記確率変数の統計量が、その確率変数の標準偏差と、信頼区間と、データ集合と、確率密度関数と、累積密度関数との少なくとも１つを含む（１）ないし（４）項のいずれかに記載の確率変数関数ばらつき推定方法。
（６）前記関数の統計量が、その関数の標準偏差と、信頼区間と、データ集合と、確率密度関数と、累積密度関数との少なくとも１つを含む（１）ないし（５）項のいずれかに記載の確率変数関数ばらつき推定方法。
（７）さらに、前記関数の統計量に基づき、前記代表値の前記関数のばらつきを推定するばらつき推定工程を含む（１）ないし（６）項のいずれかに記載の確率変数関数ばらつき推定方法。
（８）前記ばらつきが、前記代表値の前記関数の信頼区間の幅を含む（７）項に記載の確率変数関数ばらつき推定方法。
（９）当該確率変数関数ばらつき推定方法が、離散事象のシミュレーションに適用されるとともに、そのシミュレーションの結果が当該確率変数関数ばらつき推定方法の実施に使用されるものであり、
前記ばらつき推定工程が、そのシミュレーションの一回のみの実行により、前記ばらつきを推定する工程を含む（７）または（８）項に記載の確率変数関数ばらつき推定方法。
この方法によれば、確率変数の関数のばらつきを前述の従来のバッチング方法におけるより短時間で推定することが可能となる。
さらに、この方法によれば、あるシミュレーションについてのばらつき推定に必要な時間が短縮されるため、ある時間内において別のシミュレーションについてばらつき推定を行うことが容易となる。
その結果、この方法によれば、性能を解析すべきあるシステムについて複数のシミュレーションを行ってばらつき推定を行うことが必要である場合に、それら複数のシミュレーションについてのばらつき推定を、従来のバッチング方法におけるより短い時間内に行うことが容易となる。
よって、この方法によれば、短い時間内にそれら複数のシミュレーションについての複数のばらつき推定結果を互いに比較することも容易となり、その結果、上記システムの最適化をより短時間にかつより精度よく行うことも容易となる。
（１０）前記関数の統計量が満たすべき精度が予め定められており、
前記統計量決定工程が、
（ａ）前記確率変数に属する複数の個別データの和に基づき、その確率変数の統計量を決定し、
（ｂ）新たな個別データが取得されるとそれを前記和に加えるとともに、その和に基づいて前記確率変数の統計量を決定し、
（ｃ）ある回のシミュレーション中に少なくとも１つの個別データが利用可能になると前記確率変数の統計量を決定し、
（ｄ）前記確率変数について決定された統計量を前記関数の統計量に変換し、
（ｅ）その変換された統計量が前記精度を満たすと、その回のシミュレーションを終了させる工程を含む（９）項に記載の確率変数関数ばらつき推定方法。
この方法によれば、シミュレーションの進行につれて確率変数の関数の統計量の精度が上昇することをモニタすることが可能となる。
さらに、この方法によれば、確率変数の関数の統計量が要求精度を満たしたときに自動的にシミュレーションを終了させることが可能となる。
（１１）前記関数が、複数の確率変数の関数として構成されており、
前記統計量変換工程が、
（ａ）前記取得された各確率変数の代表値またはその近傍におけるその各確率変数のばらつきを、その各確率変数の統計量として決定し、
（ｂ）前記複数の確率変数間における依存度を決定し、
（ｃ）その決定された依存度と、前記決定された勾配とを用いることにより、前記各確率変数について決定されたばらつきを前記関数の統計量としてのばらつきに変換する工程を含む（１）ないし（１０）項のいずれかに記載の確率変数関数ばらつき推定方法。
この方法においては、確率変数の数が複数である場合に、それら複数の確率変数間における依存度が考慮されることにより、確率変数の関数のばらつきが推定される。
したがって、この方法によれば、確率変数の数が複数である場合に、確率変数の関数のばらつきを精度よく推定することが可能となる。
（１２）前記確率変数のばらつきが、その確率変数の分散の最尤推定量と、その分散の不偏推定量と、確率変数の標準偏差の最尤推定量と、その標準偏差の不偏推定量と、確率変数の代表値の分散と、その代表値の標準偏差と、確率変数の変動係数と、確率変数の一般的な中心積率と、確率変数の信頼区間と、確率変数のデータ集合と、確率変数の確率密度関数と、確率変数の累積密度関数との少なくとも１つを含む（１１）項に記載の確率変数関数ばらつき推定方法。
（１３）前記依存度が、前記複数の確率変数間における共分散の不偏推定量と、その共分散の最尤推定量と、それら複数の確率変数間における相関係数との少なくとも１つを含む（１１）または（１２）項に記載の確率変数関数ばらつき推定方法。
（１４）前記関数が、複数の確率変数の関数として構成されており、
前記統計量変換工程が、それら複数の確率変数間における依存度を計算することなく、それら複数の確率変数について取得された統計量を前記関数の統計量に変換する工程を含む（１）ないし（１３）項のいずれかに記載の確率変数関数ばらつき推定方法。
この方法においては、確率変数の数が複数である場合に、それら複数の確率変数間における依存度を計算することなく、それら複数の確率変数について取得された統計量が関数の統計量に変換される。
したがって、この方法によれば、確率変数の数が複数であり、かつ、それら複数の確率変数が互いに独立であるか、または互いに依存するがその程度が無視できるほどに低い状況において、その依存度の如何にかかわらず一律にそれら複数の確率変数間における依存度を計算して統計量の変換を行う場合に比較して短時間で確率変数の関数のばらつきを推定することが可能となる。
（１５）少なくとも１つの確率変数の代表値の関数の値を表すデータ集合であってその関数の統計量を評価することを可能にするものを決定する方法であって、
前記確率変数に属する複数の個別データの集合であって前記確率変数の分布を近似的に表すものを取得するデータ取得工程と、
前記確率変数の代表値を決定する代表値決定工程と、
前記関数の、前記決定された代表値に関する勾配を決定する勾配決定工程と、その決定された勾配を用いることにより、前記確率変数について取得されたデータ集合を前記関数の値を表すデータ集合に変換するデータ集合変換工程と
を含むデータ集合決定方法。
この方法においては、前記（１）項において説明されている、本発明者により認識された知見に基づき、確率変数に属する複数の個別データの集合であってその確率変数の分布を近似的に表すものが取得されるとともに、その確率変数の代表値が決定される。さらに、この方法においては、その確率変数の関数の、その決定された代表値に関する勾配が決定され、その決定された勾配を用いることにより、確率変数について取得されたデータ集合が関数の値を表すデータ集合に変換される。
したがって、この方法によれば、前記（１）項に係る方法と基本的に同じ原理に従い、確率変数の関数のばらつきがそれを反映したデータ集合として決定され得る。
（１６）前記データ集合変換工程が、前記関数のデータ集合が前記確率変数のデータ集合に、前記勾配が急である場合において緩やかである場合におけるより敏感に応答するように、前記確率変数のデータ集合を前記関数のデータ集合に変換するものである（１５）項に記載のデータ集合決定方法。
（１７）さらに、前記関数のデータ集合に基づき、前記代表値の前記関数のばらつきを推定するばらつき推定工程を含む（１５）または（１６）項に記載のデータ集合決定方法。
（１８）前記ばらつきが、前記代表値の前記関数の信頼区間の幅を含む（１７）項に記載のデータ集合決定方法。
（１９）当該データ集合決定方法が、離散事象のシミュレーションに適用されるとともに、そのシュミレーションの結果が当該データ集合決定方法の実施に使用されるものであり、
前記ばらつき推定工程が、そのシミュレーションの一回のみの実行により、前記ばらつきを推定する工程を含む（１７）または（１８）項に記載のデータ集合決定方法。
この方法によれば、前記（９）項に係る方法と同様な作用効果が実現され得る。
（２０）少なくとも１つの確率変数の代表値の関数のばらつきが予め定められたばらつき条件を満たすようにその少なくとも１つの確率変数のばらつきを推定する方法であって、
前記ばらつき条件が、前記関数の分布の中心位置と散布度とを規定するものであり、
前記関数の、前記規定された中心位置に関する勾配を決定する勾配決定工程と、
その決定された勾配と、前記規定された散布度とに基づき、前記確率変数のばらつきを決定するばらつき決定工程と
を含む確率変数ばらつき推定方法。
前記（１）項における説明から明らかなように、確率変数のばらつきと、確率変数の代表値の関数のばらつきとは、その関数の勾配によって互いに関連付けることが可能である。このことは、確率変数の関数の勾配を用いれば、確率変数のばらつきからその確率変数の代表値の関数のばらつきを推定するという、前向きの推定のみならず、確率変数の代表値の関数のばらつきからその確率変数のばらつきを推定するという、後向きの推定も可能であることを意味する。
このような知見に基づき、本項に係る方法においては、少なくとも１つの確率変数の代表値の関数のばらつきが満たすべき条件がばらつき条件として予め定められており、そのばらつき条件は、その関数の分布の中心位置と散布度とを規定する。さらに、この方法においては、関数の、その規定された中心位置に関する勾配が決定され、その決定された勾配と、規定された散布度とに基づき、確率変数のばらつきが決定される。
（２１）前記ばらつき決定工程が、前記確率変数のばらつきが前記規定された散布度に、前記勾配が急である場合において緩やかである場合におけるより敏感に応答するように、前記規定された散布度を前記確率変数のばらつきに変換するものである（２０）項に記載の確率変数ばらつき推定方法。
この方法によれば、関数の勾配を用いることにより、前記（２）項に係る方法に準じた原理に従い、関数の散布度が確率変数のばらつきに変換される。
（２２）前記分布が、前記関数の標準偏差と、信頼区間と、データ集合と、確率密度関数と、累積密度関数との少なくとも１つを含む（２０）または（２１）項に記載の確率変数ばらつき推定方法。
（２３）前記確率変数のばらつきが、その確率変数の標準偏差と、信頼区間と、データ集合と、確率密度関数と、累積密度関数との少なくとも１つを含む（２１）ないし（２２）項のいずれかに記載の確率変数ばらつき推定方法。
（２４）（１）ないし（２３）項のいずれかに記載の方法を実施するためにコンピュータにより実行されるプログラム。
このプログラムがコンピュータにより実行されれば、前記（１）ないし（２３）項のいずれかに記載の方法におけると基本的に同じ原理に従い、同様な効果が実現され得る。
このプログラムは、それの機能を果たすためにコンピュータにより実行される指令の組合せのみならず、各指令に従ってコンピュータにより処理されるファイルやデータをも含むように解釈することが可能である。
（２５）（２４）項に記載のプログラムをコンピュータ読取り可能に記録した記録媒体。
この記録媒体に記録されたプログラムがコンピュータにより実行されれば、前記（１）ないし（２３）項のいずれかに記載の方法におけると基本的に同じ原理に従い、同様な効果が実現され得る。
本項における「記録媒体」は種々の形式を採用可能であり、例えば、フロッピーディスク等の磁気記録媒体、ＣＤ、ＣＤ−ＲＯＭ等の光記録媒体、ＭＯ等の光磁気記録媒体、ＲＯＭ等のアンリムーバブル・ストレージ等の少なくとも１つを採用可能である。
【００１１】
【発明の実施の形態】
以下、本発明のさらに具体的な実施の形態のいくつかを図面に基づいて詳細に説明する。
【００１２】
［第１の実施形態］
【００１３】
図１には、本発明の第１実施形態に従う確率変数関数ばらつき推定方法（以下、単に「ばらつき推定方法」という）において採用されている原理がグラフで示されている。本実施形態においては、少なくとも１つの確率変数の代表値の関数のばらつきがその関数の勾配を用いて推定され、それにより、確率変数のばらつきがその確率変数の代表値の関数のばらつきに変換される。
【００１４】
具体的には、本実施形態においては、確率変数の代表値として平均値が使用されるとともに、その平均値の関数として、平均発生時間間隔の関数であって発生度数を導出する性能関数が使用される。図１には、横軸に確率変数ｘ、縦軸に、シミュレーションにより解析されるべきシステムの性能値ｚがそれぞれ取られた２次元座標系が示されている。その座標系に、上記性能関数ｚ＝ｆ（Ｘ）が破線のグラフで示される一方、その性能関数のグラフに接するタンジェント（接線または接平面）を表すタンジェント関数ｚ＝ｆ’（Ｘ）が実線のグラフで示されている。
【００１５】
図２には、上記ばらつき推定方法を実施するためにユーザにより使用されるコンピュータ・システム１０のハードウエア構成が概念的にブロック図で示されている。
【００１６】
このコンピュータ・システム１０は、よく知られているように、プロセシング・ユニット（同図において「ＰＵ」で表す）１２とストレージ１４とがバス１６により互いに接続されて構成されたコンピュータ２０を備えている。このコンピュータ２０は、ポインティング・デバイスとしてのマウスおよびキーボードを備えた入力装置３０と、画像を画面上に表示する出力装置４０とに接続されている。ストレージ１４は、ＲＯＭ，ＲＡＭ，磁気ディスク，光ディスク等の記録媒体を含むように構成される。ユーザは、必要なデータを入力装置３０を介してコンピュータ２０に入力する。その入力に応答し、コンピュータ２０によるデータ処理結果が出力装置４０を介してユーザに可視化して提示される。
【００１７】
ストレージ１４には、このばらつき推定方法を実施するためにＰＵ１２により実行される確率変数関数ばらつき推定プログラム（以下、単に「ばらつき推定プログラム」という）が予め記憶されている。このストレージ１４には、ＰＵ１２がそのばらつき推定プログラムを実行する際に使用されるデータが適宜記憶されるようになっている。
【００１８】
図３には、そのばらつき推定プログラムの内容が概念的にフローチャートで表されている。以下、このばらつき推定プログラムの内容をそのフローチャートに基づいて説明するが、まず、そのばらつき推定プログラムにおいて使用される各種記号の定義を説明する。
【００１９】
Ｘ：確率変数であって複数の個別データｘ_ｉの集合として構成されるもの
ｘ_ｉ：確率変数Ｘに属する各個別データ
Ｙ：確率変数であって複数の個別データｙ_ｉの集合として構成されるもの
ｙ_ｉ：確率変数Ｙに属する各個別データ
ｉ：個別データの番号
ｎ：各集合における個別データの数
Ｚ：シミュレーションにより解析すべきシステムの性能値
ａ：信頼度
ｚ_{ｎ−１，（１−ａ）／２}：個別データ集合の大きさがｎであり、かつ、（１−ａ）／２を分位点とする場合のカイ二乗分布
Ｅ［Ｘ］：確率変数Ｘの平均値（または期待値）
Ｅ［Ｙ］：確率変数Ｙの平均値（または期待値）
Ｅ［Ｚ］：性能関数の平均値（または期待値）
Ｓ［Ｘ］：確率変数Ｘの標準偏差
Ｓ［Ｙ］：確率変数Ｙの標準偏差
Ｓ［Ｚ］：性能値Ｚの標準偏差
ｆ（Ｅ［Ｘ］）：確率変数Ｘの平均値（または期待値）の一般的な関数
ｆ（Ｅ［Ｘ］，Ｅ［Ｙ］，．．．）：複数の確率変数Ｘ，Ｙ，．．．の平均値（または期待値）の一般的な関数
ＣＩ［Ｘ］：確率変数Ｘの信頼区間半幅
Ｃｏｖ［Ｘ，Ｙ］：確率変数ＸとＹとの共分散
Ｃｏｒｒ［Ｘ，Ｙ］：確率変数ＸとＹとの相関係数
Ｗ：度数
Ｐ：百分率
Ｅ［Ｗ］：確率変数Ｘの平均値の関数としての度数Ｗの平均値（または期待値）Ｅ［Ｐ］：確率変数Ｘ，Ｙの両平均値の関数としての百分率Ｐの平均値（または期待値）
【００２０】
このばらつき推定方法においては、複数の個別データがランダムに分布する少なくとも１つの確率変数が必要である。図４の式（１）には、そのような確率変数がＸである場合を例にとり、確率変数Ｘが個別データｘ_ｉの集合として構成されることが示されている。図５には、確率変数と度数との関係（度数分布）を説明するために、ランダムに対数正規分布を示す個別データの集合の一例がヒストグラムで示されている。
【００２１】
このばらつき推定方法においては、さらに、少なくとも１つの確率変数の平均値の性能関数も必要である。図４には式（２）として、そのような性能関数が一般的な関数ｆとして示されており、この式においては、性能値Ｚが確率変数Ｘ，Ｙ，Ｙ，．．．の関数とされている。しばしば用いられる、その性能値Ｚの具体例は発生度数Ｗであり、その発生度数Ｗは、同図に式（３）として示すように、ランダムに分布する発生時間間隔Ｘの平均値Ｅ［Ｘ］の関数ｇである。しばしば用いられる別の具体例は百分率Ｐであり、その百分率Ｐは、同図に式（４）として示すように、ランダムに分布する発生時間間隔Ｘの平均値Ｅ［Ｘ］と、ランダムに分布する発生持続時間Ｙの平均値Ｅ［Ｙ］との関数ｈである。
【００２２】
図６には、第１の確率変数としての発生時間間隔Ｘに属するいくつかの個別データｘ_ｉと、第２の確率変数としての発生持続時間Ｙに属するいくつかの個別データｙ_ｉとがそれぞれ概念的に例示されている。
【００２３】
ここで、このばらつき推定プログラムの内容を図３のフローチャートに基づいて説明する。
【００２４】
このばらつき推定プログラムにおいては、まず、ステップＳ１（以下、単に「Ｓ１」で表す。他のステップについても同じとする）において、確率変数に関する情報、すなわち、確率変数を構成する複数の個別データであるデータ集合が準備される。
【００２５】
なお付言すれば、このＳ１においては、確率変数のデータ集合は、必要ならば、そのデータ集合のうちの最小の個別データ群および／または最大の個別データ群のあるパーセンテージを取り除くことにより、切り取られ得る。このことは、図７に概念的に示されており、同図においては、図５に示す例における最小の個別データ群と最大の個別データ群とのうちの不一致部分が取り除かれる。
【００２６】
さらに付言すれば、このＳ１においては、例えば、確率変数のデータ集合のうちウォーミング・アップ期間（すなわち、過渡期間）における個別データを取り除くことができる。
【００２７】
次に、Ｓ２において、図４に式（５）として示すように、各確率変数に属するすべての個別データｘ_ｉ，ｙ_ｉの各合計値が計算され、さらに、その計算された各合計値が個別データｘ_ｉ，ｙ_ｉの数ｎで割り算されることにより、確率変数Ｘ，Ｙの算術平均が平均値Ｅ［Ｘ］，Ｅ［Ｙ］として決定される。
【００２８】
続いて、Ｓ３において、各確率変数Ｘ，Ｙに属するすべての個別データｘ_ｉ，ｙ_ｉの標準偏差Ｓ［Ｘ］，Ｓ［Ｙ］が決定される。標準偏差の推定量が様々存在し、例えば、標準偏差の不偏推定量または標準偏差の最尤推定量がある。それら推定量間の差は小さく、データ集合の数ｎが増加するにつれて０に近づく。標準偏差の不偏推定量が望ましいが、いずれの推定量でも使用可能である。分散についても同様であり、定義によれば、分散は標準偏差の二乗である。
【００２９】
このＳ３においては、独立同一分布の個別データについては、標準偏差の不偏推定量Ｓ［Ｘ］が、図４に式（６）として示すように計算され得る。また、標準偏差の最尤推定量Ｓ_ＭＬ［Ｘ］が、同図に式（７）として示すように計算され得る。
【００３０】
その後、Ｓ４において、変数分析が行われる。この変数分析とは、２以上の確率変数が使用される場合にそれら確率変数間の依存性を決定することである。それら確率変数が互いに独立である場合には、依存度は不要である。しかしながら、それら確率変数が互いに独立ではない場合には、依存度が必要である。共分散が依存度として使用される。２つの確率変数の共分散の不偏推定量Ｃｏｖ［Ｘ，Ｙ］は、図８に式（８）として示すように計算される。
【００３１】
なお付言すれば、このＳ４においては、共分散の不偏推定量Ｃｏｖ［Ｘ，Ｙ］の代わりに、図８に式（９）として示す共分散の最尤推定量Ｃｏｖ_ＭＬ［Ｘ，Ｙ］を使用することができる。それら共分散の不偏推定量と共分散の最尤推定量との差は小さく、このばらつき推定方法においては双方を使用し得る。
【００３２】
さらに付言すれば、このＳ４においては、共分散の代わりに、図８に式（１０）として示す相関係数Ｃｏｒｒ［Ｘ，Ｙ］を使用することが可能である。
【００３３】
その後、Ｓ５において、すべての確率変数Ｘ，Ｙにつき、各確率変数の平均値の性能関数の勾配が、Ｓ２において決定された平均値Ｅ［Ｘ］，Ｅ［Ｙ］において決定される。各勾配は、各平均値における各タンジェントとして可視化することが可能である。その一例が図１に示されており、同図においては、度数の性能関数（破線グラフ）が、平均発生時間間隔Ｅ［Ｘ］の位置における接線（実線グラフ）と共にプロットされている。同図には、さらに、確率変数Ｘの度数分布が上に凸の実線グラフで示されるとともに、性能値Ｚの度数分布が右に凸の実線グラフで示されている。
【００３４】
ある確率変数についての勾配は、その確率変数の性能関数をその確率変数に関して微分することにより、決定される。この決定は、すべての確率変数について行わなければならず、その結果、各確率変数ごとに１つの勾配が与えられる。
【００３５】
なお付言すれば、図４の式（３）には、一例として、度数Ｗについての性能関数ｇが示され、それの微分係数であって唯一の確率変数に関するものが図８に式（１１）として示されている。また、図４の式（４）には、別の例として百分率Ｐに関する性能関数ｈが示され、この例においては、百分率Ｐが２つの確率変数Ｘ，Ｙに基づいて計算される。それらの２つの微分係数が図８にそれぞれ式（１２）と（１３）として示されている。
【００３６】
しかしながら、性能関数の勾配を、平均値におけるその性能関数の勾配として正確に決定することは本発明を実施する上において不可欠なことではなく、複数の個別データのうちそれらの平均値に近い個別データにおける性能関数の勾配として近似的に決定するようにして本発明を実施することが可能である。勾配を決定する手法により本発明の範囲が限定されることはないのである。
【００３７】
その後、Ｓ６において、性能関数の平均値Ｅ［Ｚ］が決定される。この決定は、図４の式（３）においては度数Ｗの例について、同図の式（４）においては百分率Ｐの例についてそれぞれ示すように、確率変数の平均値Ｅ［Ｘ］，Ｅ［Ｙ］を性能関数ｇ，ｈにそれぞれ代入することにより、行うことができる。
【００３８】
続いて、Ｓ７において、Ｓ５において決定された勾配を利用することにより、Ｓ３において確率変数Ｘ，Ｙについてそれぞれ計算された標準偏差Ｓ［Ｘ］，Ｓ［Ｙ］が、性能関数の値である性能値Ｚの標準偏差Ｓ［Ｚ］に変換される。
【００３９】
１つの確率変数Ｘについては、その変換は、図９に式（１４）として示すように、容易に行うことができる。この方程式は、標準偏差Ｓ［Ｘ］に微分係数ｄｆ／ｄＥ［Ｘ］を乗ずる演算により、標準偏差Ｓ［Ｘ］が性能値Ｚの標準偏差Ｓ［Ｚ］に変換されることを示している。ここで、注記するに、二乗の平方根は標準偏差の符号が正であることを保証する。
【００４０】
２つの確率変数Ｘ，Ｙについては、同図に式（１５）として示す方程式を使用することができる。この方程式は、標準偏差Ｓ［Ｘ］に微分係数ｄｆ／ｄＥ［Ｘ］を乗ずる演算と、標準偏差Ｓ［Ｙ］に微分係数ｄｆ／ｄＥ［Ｙ］を乗ずる演算と、共分散Ｃｏｖ［Ｘ，Ｙ］に微分係数ｄｆ／ｄＥ［Ｘ］とｄｆ／ｄＥ［Ｙ］とを乗ずる演算とにより、２つの標準偏差Ｓ［Ｘ］，Ｓ［Ｙ］が１つの性能値Ｚの標準偏差Ｓ［Ｚ］に変換されることを示している。この方程式には、共分散Ｃｏｖ［Ｘ，Ｙ］の項が存在するが、この値にはＳ４において計算されたものが使用される。
【００４１】
ここで、注記すると、複数の確率変数が互いに独立している場合には、共分散Ｃｏｖ［Ｘ，Ｙ］が０であり、その項を上記方程式において省略することができる。ただし、複数の確率変数が互いに独立しているか否かにかかわらず、共分散Ｃｏｖ［Ｘ，Ｙ］の項を上記方程式において省略するようにして本発明を実施することが可能である。
【００４２】
３以上の確率変数が使用される場合には、より複雑な統計的手法を使用しなければならない。
【００４３】
要するに、本実施形態においては、性能関数の標準偏差が確率変数の標準偏差を反映するようにするためにその性能関数が使用されるのではなく、その性能関数の勾配が使用されるのである。
【００４４】
具体的には、本実施形態においては、性能関数の勾配が急である場合には、確率変数の標準偏差が拡大されて性能関数の標準偏差に変換される傾向が強いのに対し、性能関数の勾配が緩やかである場合には、確率変数の標準偏差が縮小されて性能関数の標準偏差に変換される傾向が強いという統計上の特性に着目することにより、性能関数の勾配に応じた比率で確率変数の標準偏差が性能関数の標準偏差に変換されるのである。
【００４５】
その後、Ｓ８において、確率変数に属する個別データの数ｎにつき、Ｓ７において性能関数の値（性能値）について変換された標準偏差Ｓ［Ｚ］が正規化される。現時点における標準偏差Ｓ［Ｚ］は、１つの個別データが理論的に取り得る値である。したがって、平均値の性能関数について標準偏差を取得するために、図９に式（１６）として示すように、その性能関数の標準偏差Ｓ［Ｚ］を個別データの数ｎの平方根で割り算することが必要である。そのような正規化により取得された標準偏差Ｓ_ｍｅａｎ［Ｚ］は、次のＳ９における信頼区間の計算に自動的に取り込まれる。
【００４６】
続いて、そのＳ９において、性能関数の信頼区間を決定するために、Ｓ６において性能関数について決定された平均値Ｅ［Ｚ］と、Ｓ８においてその性能関数について決定された標準偏差Ｓ_ｍｅａｎ［Ｚ］とが用いられる。信頼区間は、選択された信頼度ａ、個別データの数ｎ（標本数）、一般的な性能関数ｆの標準偏差Ｓ［Ｚ］、および一般的な性能関数ｆの平均値Ｅ［Ｚ］に依存する。信頼区間半幅ＣＩ［Ｚ］は、図１０に式（１７）として示すようにして計算される。この式においては、ｚ_{ｎ−１，（１−ａ）／２}が、個別データの数がｎであり、かつ、（１−ａ）／２を分位点とする場合におけるカイ二乗分布である。信頼区間半幅ＣＩ［Ｚ］は、同図に式（２０）として示すように、信頼区間の範囲を与える。
【００４７】
なお付言すれば、信頼区間を計算するための別の手法が存在し、それは例えば、スチューデントのｔ分布を使用する手法である。信頼区間を計算する手法により本発明の範囲が限定されることはない。
【００４８】
以上で、この確率変数関数ばらつき推定プログラムの一回の実行が終了する。
【００４９】
本実施形態の内容を、それの現実的な一応用例に着目し、前述の一従来例であるバッチング方法と比較しつつ、具体的に説明する。
【００５０】
この応用例は、生産システムのシミュレーションに関するものである。この応用例においては、特定の機械の故障が分析される。説明を簡単にするために、その機械は、故障に後続した修理状態と、使用可能状態とのいずれかにあるものとする。シミュレーションは、模擬的な生産システムの性能を決定するために行われる。
【００５１】
このシミュレーションにおいては、故障時間間隔の個別データｘが記録され、それにより、故障時間間隔のデータ集合Ｘが生成される。修理時間の個別データｙも記録され、それにより、修理時間のデータ集合Ｙが生成される。注記するに、図６に示すように、修理時間ｙは、故障時間間隔ｘの一部である。
【００５２】
故障は稀にしか起こらない事象であり、故障が２回続けて発生する時間間隔の平均値は長い。そのため、長時間のシミュレーションを実行しても、少ない回数の故障しか発生しなかった。選択された長いシミュレーション時間の間、機械のウォーミング・アップ期間において個別データを取り除いた後、確率変数Ｘ，Ｙについての独立同一分布の１６個の個別データｘ，ｙの集合を取得した。この処理は、図３におけるＳ１に関連している。
【００５３】
ところで、少ない数の個別データの集合については、前述のバッチング方法は使用することができない。それら１６個の個別データを４個の個別データずつ、４個のバッチに分割することは可能であるが、そのバッチング方法の結果得られる平均値（以下、「バッチ平均値」という）は、非常に不正確であろう。バッチ平均値の標準偏差は、４個のバッチ平均値のみに依存するであろうし、したがって、その標準偏差も非常に不正確であろう。その結果、そのバッチング方法を可能にするためには、シミュレーションを長時間行うことが必要であろう。１６個の個別データを取得するためのシミュレーションが既に非常に長かったので、より長時間のシミュレーションは望ましくない。
【００５４】
しかしながら、本実施形態によれば、信頼区間の計算を容易に行うことが可能となる。
【００５５】
このシミュレーションにおいては、初回の分析により、図４の式（５）および（６）と、図８の式（８）および（１０）とを用いることにより、算術平均Ｅと、不偏標準偏差Ｓと、不偏共分散Ｃｏｖと、不偏相関係数Ｃｏｒｒにつき、下記のような値が得られた。
【００５６】
Ｅ［Ｘ］＝１０９ｍｉｎ
Ｅ［Ｙ］＝１５ｍｉｎ
Ｓ［Ｘ］＝５３ｍｉｎ
Ｓ［Ｙ］＝１０ｍｉｎ
Ｃｏｖ［Ｘ，Ｙ］＝１０５ｍｉｎ
Ｃｏｒｒ［Ｘ，Ｙ］＝０．１９８１
【００５７】
その相関係数Ｃｏｒｒ［Ｘ，Ｙ］は、確率変数ＸとＹとの間に正の依存（相関）があること、すなわち、比較的長い故障時間間隔の後に比較的長い修理時間が存在する可能性があることを示している。そのような処理は、図３におけるＳ２ないしＳ４に関連する。
【００５８】
Ｓ５においては、性能関数の勾配が計算される。この計算においては、まず、平均故障時間間隔Ｘに基づき、かつ、図４の式（３）に従い、故障度数Ｗが計算される。さらに、修理時間百分率Ｐが、同図に式（４）として示す平均値の関数として計算される。次に、各性能関数の各微分係数の、平均値における値が計算される。性能関数の３つの微分係数が図８に式（１１）ないし（１３）としてそれぞれ示されている。平均値におけるそれら微分係数の値は下記のようであった。
【００５９】
ｄＷ／ｄＥ［Ｘ］＝０．００００８４１７
ｄＰ／ｄＥ［Ｘ］＝０．００１２６３
ｄＰ／ｄＥ［Ｙ］＝０．００９１７４
【００６０】
Ｓ６においては、性能関数の平均値が決定される。その結果、故障度数Ｗの値は、１分当たり０．００９１７４回であり、故障百分率Ｐの値は、１３．７６%であった。
【００６１】
Ｓ７においては、性能関数の標準偏差が、故障度数Ｗについては図９の式（１４）に従い、故障百分率Ｐについては同図の式（１５）に従ってそれぞれ計算される。その結果、故障度数Ｗの標準偏差は、１分当たり０．００４４６１回であり、故障百分率Ｐの標準偏差は、１０．２３％であった。
【００６２】
しかしながら、それら標準偏差は、その個別データの数ｎの特定値に関するものである。そこで、Ｓ８においては、正規化のため、平均値の標準偏差が図９の式（１６）に従って計算される。その結果、故障度数Ｗの平均値の標準偏差は、１分当たり０．００１１１５回となり、故障百分率Ｐの平均値の標準偏差は、２．５５７％となった。
【００６３】
最後に、Ｓ９において、信頼区間半幅ＣＩが図１０の式（１７）に従って計算される。この応用例においては、９５％の信頼度ａが選択され、この状況下、故障度数Ｗの平均値の信頼区間半幅ＣＩは、０．００２３７７であり、故障百分率Ｐの標準偏差は、５．４５０％であった。これは、１分当たりの故障度数Ｗの信頼区間に関連し、それは下記に示されている。この信頼区間はさらに、８時間交替制における１シフトごとの故障発生回数を単位として与えられる。
【００６４】
０．００４４６１プラス・マイナス０．００２３７７回／分
２．１４プラス・マイナス１．１４回／シフト
【００６５】
同様に、故障百分率Ｐの信頼区間が、下記のように与えられる。
【００６６】
１０．２％プラス・マイナス５．４５０％
【００６７】
したがって、個別データの数が少ないために標準的なバッチング方法は使用し得ない場合であっても、本実施形態によれば、個別データの集合について信頼区間を計算することが可能となる。そのようにして取得された信頼区間は、その情報が十分に正確であるか否か、または、より多くの個別データを収集して計算結果の精度を高めるためにシミュレーションを追加的に行うことが必要であるか否かを判断するために使用することが可能である。
【００６８】
以上の説明から明らかなように、本実施形態においては、Ｓ１が前記（１）項における「確率変数取得工程」の一例を構成し、Ｓ２が同項における「代表値決定工程」の一例を構成し、Ｓ３が同項における「統計量決定工程」の一例を構成し、Ｓ５が同項における「勾配決定工程」の一例を構成し、Ｓ４とＳ７とＳ９とが互いに共同して同項における「統計量変換工程」の一例を構成しているのである。
【００６９】
［第２実施形態］
【００７０】
次に、本発明の第２実施形態を説明する。ただし、本実施形態は、第１実施形態とハードウエア構成が共通し、異なるのは確率変数関数ばらつき推定プログラムのみであるため、そのプログラムについてのみ詳細に説明する。
【００７１】
第１実施形態においては、確率変数のばらつきを決定するためにその確率変数の標準偏差が使用されている。すなわち、第１実施形態においては、確率変数のばらつきを表す統計量としての標準偏差が決定され、それがその後、関数の値のばらつきを表す統計量としての標準偏差に変換され、そして、最終的に信頼区間が決定されるようになっているのである。
【００７２】
これに対して、本実施形態においては、確率変数のばらつきを決定するためにその確率変数の信頼区間半幅が使用されている。すなわち、本実施形態においては、確率変数のばらつきを表す統計量としての信頼区間半幅が決定され、それがその後、関数の値のばらつきを表す統計量としての信頼区間半幅に変換されるのである。
【００７３】
図１１には、本実施形態における確率変数関数ばらつき推定プログラムの内容が概念的にフローチャートで表されている。このプログラムは、図２におけるコンピュータ・システム１０と同様なものにより実行される。
【００７４】
この確率変数関数ばらつき推定プログラムにおいては、Ｓ３１ないしＳ３３が第１実施形態におけるＳ１ないしＳ３と同様にして実行される。
【００７５】
その後、Ｓ３４において、Ｓ３１において取得されたすべての確率変数Ｘ，Ｙについて信頼区間半幅ＣＩが計算される。その信頼区間半幅ＣＩを計算するために、図１０に式（１７）として示すような標準的な方程式を使用することができる。この際、性能値Ｚの標準偏差Ｓ［Ｚ］の代わりに確率変数Ｘ，Ｙの標準偏差Ｓ［Ｘ］，Ｓ［Ｙ］が使用される。信頼区間半幅ＣＩは、確率変数Ｘ，Ｙのばらつきでもある。信頼度ａは、信頼区間半幅ＣＩを計算するために選定することが必要である。
【００７６】
続いて、Ｓ３５において、第１実施形態におけるＳ４におけると同様にして、複数の確率変数Ｘ，Ｙ間における共分散Ｃｏｖ「Ｘ，Ｙ］が計算される。
【００７７】
その後、Ｓ３６において、性能関数において使用される確率変数の数が複数である場合には、相関係数Ｃｏｒｒが計算される。この説明においては、性能関数が２つの確率変数Ｘ，Ｙの関数であると仮定されている。相関係数Ｃｏｒｒ［Ｘ，Ｙ］の計算は、Ｓ３５において計算された共分散Ｃｏｖ［Ｘ，Ｙ］と、Ｓ３３においてそれら複数の確率変数Ｘ，Ｙについて決定された標準偏差Ｓ［Ｘ］，Ｓ［Ｙ］とに基づいて行われる。図８の式（１０）は、それら相関係数Ｃｏｒｒ［Ｘ，Ｙ］、共分散Ｃｏｖ［Ｘ，Ｙ］、標準偏差Ｓ［Ｘ］およびＳ［Ｙ］相互の関係を示している。
【００７８】
続いて、Ｓ３７において、第１実施形態におけるＳ５におけると同様にして、すべての確率変数Ｘ，Ｙにつき、各確率変数Ｘ，Ｙの平均値Ｅ［Ｘ］，Ｅ［Ｙ］の性能関数の勾配が、Ｓ３２において決定された平均値Ｅ［Ｘ］，Ｅ［Ｙ］において決定される。
【００７９】
その後、Ｓ３８において、第１実施形態におけるＳ６におけると同様にして、性能関数の平均値Ｅ［Ｚ］が決定される。
【００８０】
続いて、Ｓ３９において、Ｓ３７において決定された勾配を利用することにより、Ｓ３４において確率変数について決定された信頼区間半幅ＣＩが直接に（すなわち、標準偏差という統計量を経由しないで）、性能関数の信頼区間半幅ＣＩに変換される。
【００８１】
具体的には、確率変数の数が１つである場合には、信頼区間半幅ＣＩの計算が、図１０の式（１８）を用いて行われる。ここで、注記するに、二乗の平方根は信頼区間半幅ＣＩの符号が正であることを保証する。
【００８２】
これに対して、確率変数の数が２つである場合には、信頼区間半幅ＣＩの計算が図１０の式（１９）を用いて行われる。この方程式には、相関係数Ｃｏｒｒ［Ｘ，Ｙ］の項が存在する。ここで、注記するに、それら複数の確率変数Ｘ，Ｙが互いに独立している場合には、その相関係数Ｃｏｒｒ［Ｘ，Ｙ］の項が０であり、その項は省略することができる。
【００８３】
確率変数の数が１つである場合も２つである場合も、図１０に式（１８）および（１９）として示すように、勾配が信頼区間半幅ＣＩの計算に使用される。
【００８４】
確率変数の数が３以上である場合には、より複雑な統計的手法を使用しなければならない。
【００８５】
その後、Ｓ４０において、第１実施形態におけるＳ８におけると同様にして、平均値の性能関数について標準偏差Ｓ［Ｚ］が計算される。
【００８６】
続いて、Ｓ４１において、Ｓ３９において決定された信頼区間半幅ＣＩと、Ｓ３８において決定された平均値Ｅ［Ｚ］とに基づき、性能関数の信頼区間が計算される。その計算のための式が図１０の式（２０）として示されている。
【００８７】
以上で、この確率変数関数ばらつき推定プログラムの一回の実行が終了する。
【００８８】
以上の説明から明らかなように、本実施形態においては、Ｓ３１が前記（１）項における「確率変数取得工程」の一例を構成し、Ｓ３２が同項における「代表値決定工程」の一例を構成し、Ｓ３３とＳ３４とが互いに共同して同項における「統計量決定工程」の一例を構成し、Ｓ３７が同項における「勾配決定工程」の一例を構成し、Ｓ３５とＳ３６とＳ３９とＳ４１とが互いに共同して同項における「統計量変換工程」の一例を構成しているのである。
【００８９】
［第３実施形態］
【００９０】
次に、本発明の第３実施形態を説明する。ただし、本実施形態は、第１および第２実施形態とハードウエア構成が共通し、異なるのは確率変数関数ばらつき推定プログラムのみであるため、そのプログラムについてのみ詳細に説明する。
【００９１】
第１および第２実施形態においては、確率変数の関数のばらつきを推定するためにその確率変数の標準偏差が使用されている。
【００９２】
これに対して、本実施形態においては、確率変数の関数のばらつきを推定するためにその確率変数の標準偏差が一切使用されない。本実施形態においては、確率変数の平均値に関するタンジェント方程式が生成されるとともに、そのタンジェント方程式を用いることにより、確率変数に属する複数の個別データの集合が、性能関数の値を表す複数の個別データの集合に変換される。
【００９３】
すなわち、本実施形態においては、それら複数の個別データの集合が確率変数の関数のばらつきを表現する統計量として使用されているのである。
【００９４】
図１２には、本実施形態における確率変数関数ばらつき推定プログラムの内容が概念的にフローチャートで表されている。このプログラムは、図２におけるコンピュータ・システム１０と同様なものにより実行される。
【００９５】
この確率変数関数ばらつき推定プログラムにおいては、Ｓ５１ないしＳ５３が第１実施形態におけるＳ１、Ｓ２およびＳ５と同様にして実行される。
【００９６】
その後、Ｓ５４において、確率変数の平均値と、性能関数の勾配とに基づき、タンジェント方程式が決定される。そのタンジェント方程式の次元数は、確率変数の数と等しい。
【００９７】
確率変数の数が１つである場合には、そのタンジェント方程式は直線を表すものとなる。これに対して、確率変数の数が２つである場合には、そのタンジェント方程式は平面を表すものとなる。より高次元については、可視化することは困難であるが、類似のタンジェントが構成され得る。図１３には式（２１）として、確率変数の数が１つである場合に一般的なタンジェント方程式ｆ’が示され、式（２２）として、確率変数の数が２つである場合に一般的なタンジェント方程式ｆ’が示されている。
【００９８】
その後、Ｓ５５において、Ｓ５４において決定されたタンジェント方程式に、すべての確率変数に関する個別データの集合が代入される。この代入により、確率変数Ｘ，Ｙに属する各個別データｘ，ｙに基づき、平均値の性能関数について個別データの集合Ｚ’が生成される。そのタンジェント方程式が図１３に式（２３）として示されている。
【００９９】
続いて、Ｓ５６において、性能関数の個別データの集合Ｚ’について標準偏差が計算される。定義により、その個別データの集合Ｚ’の平均値は、確率変数の平均値に関する性能関数の値と等しい。その標準偏差は、それの不偏推定量または最尤推定量については、図４の式（６）または（７）を用いて計算される。
【０１００】
その後、Ｓ５７において、個別データの集合Ｚ’の標準偏差と、個別データの集合Ｚ’における個別データの数とに基づき、信頼区間が計算される。この計算は、信頼区間半幅を計算するためには、図１０に式（１７）として示す標準的な方程式が使用され、また、信頼区間を計算するためには、同図に式（２０）として示す方程式が使用される。
【０１０１】
本実施形態においては、信頼区間を計算するためのより複雑かつ高度な手法の使用を可能にしつつ、平均値の関数について個別データの集合の全体が利用可能であることが重要である。例えば、信頼区間のうち平均値の関数の値より下側の領域と上側の領域とについて互いに異なる信頼区間半幅を取得するためには、その個別データの分布形状を考慮することが可能である。
【０１０２】
以上の説明から明らかなように、本実施形態においては、Ｓ５１が前記（１）項における「確率変数取得工程」の一例と、同項における「統計量決定工程」の一例とを構成し、Ｓ５２が同項における「代表値決定工程」の一例を構成し、Ｓ５３が同項における「勾配決定工程」の一例を構成し、Ｓ５４ないしＳ５７が互いに共同して同項における「統計量変換工程」の一例を構成しているのである。
【０１０３】
さらに、本実施形態においては、Ｓ５１が前記（１５）項における「データ取得工程」の一例を構成し、Ｓ５２が同項における「代表値決定工程」の一例を構成し、Ｓ５３が同項における「勾配決定工程」の一例を構成し、Ｓ５４とＳ５５とが互いに共同して同項における「データ集合変換工程」の一例を構成しているのである。
【０１０４】
以上、本発明のいくつかの実施形態を説明したが、それら実施形態によれば、下記のいくつかの効果が選択的にまたは一緒に実現され得る。
【０１０５】
（ａ）個別データの集合の大きさが従来方法に比較して小さくても、確率変数の平均値の関数のばらつきを計算することができる。例えば、上記いくつかの実施形態において利用可能な個別データの集合の大きさは２以上であり、少なくとも５であることが好ましい。
【０１０６】
（ｂ）従来のバッチング方法より高い精度で平均値の関数のばらつきを計算することができる。
【０１０７】
（ｃ）従来のバッチング方法より少ない手間で平均値の関数のばらつきを計算することができる。
【０１０８】
（ｄ）新たな個別データが利用可能となった場合には、最小の手間で平均値の関数のばらつきを更新することができる。
【０１０９】
（ｅ）コンピュータの記憶容量および計算能力に対する要求を最小としつつ、平均値の関数のばらつきを計算することができる。
【０１１０】
（ｆ）例えばソフトウエア・シミュレーションにより得られた個別データの集合の結果の有効性を簡単にかつ精度よく計算するようにすることを考慮しつつ、上記いくつかの実施形態におけるばらつき推定方法を従来方法におけるより容易に、コンピュータにより自動的に実行されるソフトウエア・プログラムにおいて実現することができる。
【０１１１】
（ｇ）離散事象のシミュレーションに関し、従来のバッチング方法では多数回のシミュレーションか、または多数個のバッチに分割された長時間のシミュレーションが必要であるが、上記いくつかの実施形態では、信頼区間の計算に一回のシミュレーションで十分であろう。その結果、上記いくつかの実施形態によれば、シミュレーション時間を節減することができるし、ある時間内により多い回数のシミュレーションを行うことができる。
【０１１２】
（ｈ）離散事象のシミュレーションに関し、個別データの数が少ない場合であっても信頼区間を計算することができる。例えば、発生することが稀な事象である場合であっても、計算結果の有効性を短時間のシミュレーションの間に決定することができる。
【０１１３】
（ｉ）上記いくつかの実施形態によれば、コンピュータの計算能力を高める必要性も記憶容量を大きくする必要性も少ないため、離散事象のシミュレーションに関し、そのシミュレーションの進行につれて更新されるようにして信頼区間を計算することが可能である。すなわち、そのシミュレーションの進行につれて信頼区間幅が減少する様子をモニタすることが可能なのである。このような情報は、例えば、要求精度が達成されてそのシミュレーションを停止させ得る時期を判断するために使用することができる。
【０１１４】
上記いくつかの実施形態であって信頼区間を計算することが可能であるものは、それら実施形態の実施対象である事象のシミュレーションの進行中、信頼区間を自動的に更新する態様で実施することが可能である。取得した個別データの和に基づき、平均値、標準偏差および相関を計算することが可能である。したがって、別の個別データが利用可能となれば、新しい信頼区間を生成するためにそれらの和を単に更新することが必要となる。よって、手間をほとんどかけずに、シミュレーションの進行につれて信頼区間を計算することが可能である。
【０１１５】
この態様によれば、必要な信頼度に従ってシミュレーションを自動的に終了させることも可能となる。シミュレーションのモデルの作成中、少なくとも１つのシミュレーション・パラメータに関してそれぞれ信頼区間半幅の要求値が特定される。そのシミュレーションの実行中、それらシミュレーション・パラメータの各信頼区間半幅が連続的に更新される。すべてのシミュレーション・パラメータについて信頼区間半幅の実際値（計算結果）がそれの要求値以下になれば、そのシミュレーションが終了させられる。
【０１１６】
さらに、この態様によれば、現在のシミュレーション手法に関する大きな問題、すなわち、正確なシミュレーション時間を決定することが困難であるという問題が解決される。この態様によれば、精度について予め定められた基準が達成されたならば、シミュレーションが自動的に終了させられるようにすることが可能である。
【０１１７】
一般に、前述のバッチング方法に従ってシミュレーションにより信頼区間を計算する場合には、少なくとも５回、普通、１０回から３０回のシミュレーションを行うことが必要である。これに対して、上記いくつかの実施形態によれば、ただ１回のシミュレーションにより信頼区間を計算することが可能である。
【０１１８】
さらに、上記いくつかの実施形態によれば、少ない数の個別データ、例えば、１０個の個別データに基づいて信頼区間を計算することが可能である。これに対して、従来のバッチング方法では、そのように少ない数の個別データに基づいて有効な信頼区間を計算することはできない。
【０１１９】
さらにまた、上記いくつかの実施形態によれば、上述のように、１回のシミュレーションが少ない数の個別データに基づいて行われて信頼区間が計算されるにもかかわらず、その信頼区間が、多数回のシミュレーションが多い数の個別データに基づいて行われて信頼区間を計算する従来のバッチング方法により計算される信頼区間の範囲とほぼ等しい範囲を有するように計算される。
【０１２０】
なお付言すれば、確率変数の分布に関する情報が個別データの集合としてではなく、確率密度関数として利用できる場合がある。この場合、上記いくつかの実施形態は、その確率密度関数に基づいて前記平均値および標準偏差を決定するように変更され得る。
【０１２１】
［第４実施形態］
【０１２２】
次に、本発明の第４実施形態を説明する。ただし、本実施形態は、第１ないし第３実施形態とハードウエア構成が共通し、異なるのは確率変数ばらつき推定プログラムのみであるため、そのプログラムについてのみ詳細に説明する。
【０１２３】
前述のように、確率変数のばらつきと、確率変数の代表値の関数のばらつきとは、その関数の勾配によって互いに関連付けることが可能である。このことは、確率変数の関数の勾配を用いれば、確率変数のばらつきからその確率変数の代表値の関数のばらつきを推定するという、前向きの推定のみならず、確率変数の代表値の関数のばらつきからその確率変数のばらつきを推定するという、後向きの推定も可能であることを意味する。
【０１２４】
一方、有用であることが、確率変数に基づいて性能関数の平均値のばらつき（分散）を計算することではなく、該当する方程式を逆算して、確率変数について必要な統計量であって性能関数について特定のばらつき（分散）を取得するために使用することが必要なものを取得することである場合があり得る。この場合においても、本発明を適用することが可能である。
【０１２５】
前述の第１ないし第３実施形態においては、上述の前向き推定が行われるのに対し、本実施形態においては、上述の後向き推定が行われる。
【０１２６】
本実施形態においては、性能関数のばらつきに関して予め定められたばらつき条件が、性能関数の分布の中心位置と散布度とを規定するように設定されている。
【０１２７】
図１４には、本実施形態における確率変数ばらつき推定プログラムの内容が概念的にフローチャートで示されている。
【０１２８】
この確率変数ばらつきプログラムにおいては、まず、Ｓ７１において、ばらつき条件を表すデータがストレージ１４から読み出される。そのデータはストレージ１４に予め記憶されている。
【０１２９】
次に、Ｓ７２において、性能関数の、上記規定された中心位置に関する勾配が、図４に式（２）、（３）または（４）として示す方程式を用いることにより決定される。
【０１３０】
続いて、Ｓ７３において、その決定された勾配と、前記規定された散布度とに基づき、確率変数の信頼区間が確率変数のばらつきを表す統計量として決定される。具体的には、確率変数の信頼区間が前記規定された散布度に、勾配が急である場合において緩やかである場合におけるより敏感に応答するように、前記規定された散布度が確率変数の信頼区間に変換される。
【０１３１】
以上で、この確率変数ばらつき推定プログラムの一回の実行が終了する。
【０１３２】
以上の説明から明らかなように、本実施形態においては、Ｓ７２が前記（２０）項における「勾配決定工程」の一例を構成し、Ｓ７３が同項における「ばらつき決定工程」の一例を構成しているのである。
【０１３３】
以上、本発明のいくつかの実施形態を図面に基づいて詳細に説明したが、これらは例示であり、前記［課題を解決するための手段および発明の効果］の欄に記載の態様を始めとして、当業者の知識に基づいて種々の変形、改良を施した他の形態で本発明を実施することが可能である。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の第１実施形態に従う確率変数関数ばらつき推定方法における確率変数Ｘと性能値Ｚと性能関数ｆとタンジェント関数ｆ’との関係を説明するためのグラフである。
【図２】上記確率変数関数ばらつき推定方法を実施するためにユーザにより使用されるコンピュータ・システムのハードウエア構成を概念的に示すブロック図である。
【図３】図２における確率変数関数ばらつき推定プログラムの内容を概念的に表すフローチャートである。
【図４】図３の確率変数関数ばらつき推定プログラムの内容を説明するための複数の式を列記した図である。
【図５】上記確率変数関数ばらつき推定方法における確率変数の度数分布を示すヒストグラムである。
【図６】上記確率変数関数ばらつき推定方法が実施される事象の内容を概念的に示すグラフである。
【図７】上記確率変数関数ばらつき推定方法における確率変数であって異常値排除が行われたものの度数分布を示すヒストグラムである。
【図８】図３の確率変数関数ばらつき推定プログラムの内容を説明するための別の複数の式を列記した図である。
【図９】図３の確率変数関数ばらつき推定プログラムの内容を説明するための更に別の複数の式を列記した図である。
【図１０】図３の確率変数関数ばらつき推定プログラムの内容を説明するための更に別の複数の式を列記した図である。
【図１１】本発明の第２実施形態に従う確率変数関数ばらつき推定方法を実施するためにコンピュータにより実行される確率変数関数ばらつき推定プログラムの内容を概念的に表すフローチャートである。
【図１２】本発明の第３実施形態に従う確率変数関数ばらつき推定方法を実施するためにコンピュータにより実行される確率変数関数ばらつき推定プログラムの内容を概念的に表すフローチャートである。
【図１３】図１２の確率変数関数ばらつき推定プログラムの内容を説明するための複数の式を列記した図である。
【図１４】本発明の第４実施形態に従う確率変数ばらつき推定方法を実施するためにコンピュータにより実行される確率変数ばらつき推定プログラムの内容を概念的に表すフローチャートである。
【符号の説明】
１０コンピュータ・システム
１２プロセッシング・ユニット
１４ストレージ
２０コンピュータ
３０入力装置
４０出力装置[0001]
BACKGROUND OF THE INVENTION
The present invention relates to statistical analysis of data, and more particularly to a technique for estimating variation in a function of a random variable.
[0002]
[Prior art]
In general, there is a performance value that represents the performance of the system, and the performance value is based on at least one random variable. For example, the percentage of time that the machine is in repair is a function of the average repair time divided by the average repair time interval. Here, a distinction is made between an average value of a function of at least one random variable (average value of a plurality of values derived by the function) and a function of an average value of at least one random variable (a value derived by the function with respect to the average value). It is important to. When repairing a machine, it would be possible to divide each repair time by each repair time interval and thereby determine an average value of the ratio between the repair time and the repair time interval. However, the average value of the average repair function will be different from the average function. Only the average function shows the correct percentage of time that the machine is in repair.
[0003]
In general, the average value of the at least one random variable is not exactly known, but rather is based on a collection of collected data. Therefore, the average value may be different from the true average value. As a result, the average function may be different from the true average function. In general, we are interested in the accuracy of the average function. This accuracy is usually expressed as a confidence interval surrounding the mean or median, but can be expressed as variance, standard deviation, or quartile. It is well known in statistical analysis to calculate such values for individual random variables, but the more difficult is to calculate such values for a function of the mean value. .
[0004]
A common use of at least one mean value function is frequency of occurrence, in which case the average frequency, which is the average value, is the reciprocal of the mean time interval. Another application is time percentages, where the average value, the average time percentage, is the average duration divided by the average duration interval.
[0005]
One conventional method of calculating confidence intervals for a function of average value is called a batching method and is also known as a non-overlapping batch average value method. In this conventional method, a sufficiently large data set is divided into a number of subsets. An average value is calculated for each subset, and as a result, a function of the average value is calculated for each subset. Confidence intervals may be constructed for various values of the mean value function.
[0006]
[Problems to be solved by the invention]
However, this conventional method is only suitable for data sets that are large enough to hold the central limit theorem. Therefore, this conventional method cannot be used for small data sets. Furthermore, in this conventional method, the confidence interval of each data set may vary greatly depending on the number of subsets used. Selecting many inappropriate subsets can lead to inaccurate results. Furthermore, this conventional method requires a large storage capacity and computing power as the data set size increases. Finally, due to the nature of the calculations, this conventional method must repeat such intensive calculations each time available data is added.
[0007]
Many methods have been developed to assist in choosing the number of subsets for the batching method. However, these development methods are usually very complex and require a high degree of expertise. In addition, the results of these development methods may differ from each other. Furthermore, as these development methods required laborious statistical execution to analyze subsets and relationships between multiple subsets, computational demands further increased.
[0008]
One variation of this batching method, known as the overlapping batch average method, produces subsets that overlap each other. Although this modification method may be a little improved over the basic batching method described above, this modification method also has a large data set, selection of the number of subsets, a large storage capacity and calculation capacity. I need. Furthermore, this variant is also quite complicated and requires a lot of statistical knowledge.
[0009]
[Means for Solving the Problems and Effects of the Invention]
Against this backdrop, the present invention aims to enable estimation of variation in the function of representative values of random variables in a shorter time than in the past even when the size of the data set to be used is relatively small. The following embodiments are obtained according to the present invention. As with the claims, each aspect is divided into sections, each section is numbered, and is described in a form that cites the numbers of other sections as necessary. This is to facilitate understanding of some of the technical features described herein and some of the combinations thereof. The technical features and combinations of the technical features described herein are It should not be construed as limited.
[0010]
(1) A method for estimating a variation in a function of a representative value of at least one random variable,
A random variable acquisition step of acquiring the random variable;
A representative value determining step for determining a representative value of the obtained random variable;
A statistic determination step for determining a statistic of the acquired random variable;
Determining a gradient of the function with respect to the determined representative value;
A statistic conversion step of converting the statistics obtained for the random variable into statistics of the function by using the determined gradient;
A random variable function variation estimation method including:
When the gradient of the function of the random variable is steep by the research, the present inventor expands the statistical amount (including variation) of the random variable and reflects it in the statistical amount (including variation) of the function. When the gradient of the function of the random variable is gentle, the statistical amount of the random variable (including variation) is reduced and reflected in the statistical amount of the function (including variation) I noticed that there was a statistical characteristic of strong tendency.
Furthermore, the present inventor can use the characteristic to secure the same accuracy as that of the conventional batching method described above, while using a smaller number of data in the conventional method. I also noticed that it was possible to estimate the variation of the function of the representative value of the random variable in a shorter time.
Based on such knowledge, in the method according to this section, the representative value of the random variable is determined, and the statistical amount of the random variable is determined. Further, in this method, the gradient of the function of the random variable with respect to the determined representative value is determined, and by using the determined gradient, the statistic obtained for the random variable is converted into the statistic of the function. Converted.
Therefore, according to this method, it is possible to estimate the variation in the function of the representative value of the random variable in a shorter time than in the conventional method using a smaller number of data in the conventional batching method.
In this section and each of the other sections, the “representative value” can be defined as a value representing a tendency regarding the center of the distribution of a plurality of individual data belonging to a random variable or function, for example.
In addition, the “gradient determination step” in this section and each of the other sections can determine the gradient accurately or approximately. For example, in the “gradient determination step”, a gradient at a representative value of a function can be determined, or a gradient in the vicinity of the representative value can be determined.
In addition, in this section and each of the other sections, “function” is an operator that associates a random variable with another variable, and an example thereof can be a performance function described later that associates a random variable with a performance value.
Further, in this section and other sections, the “representative value” is defined such that, for example, when there are a plurality of random variables, there is one for each random variable.
(2) The statistics of the random variable so that the statistical conversion step responds more sensitively to the statistical quantity of the function than to the statistical quantity of the function when the slope is steep. The random variable function variation estimation method according to item (1), wherein the quantity is converted into a statistic of the function.
According to this method, in view of the above-mentioned statistical properties recognized by the present inventor, the statistic of the function is more than the statistic of the random variable, and the case where the slope of the function is steep is more gradual. Random variable statistics are converted to function statistics so that they respond sensitively.
(3) The representative value of the random variable includes at least one of an average, an arithmetic average, a geometric average, a median value, a harmonic average, and a mode value of the random variable (1) or (2 The random variable function variation estimation method according to item).
(4) The representative value determining step includes a step of trimming a plurality of individual data belonging to the acquired random variable and determining the representative value based on the trimmed random variable ( The random variable function variation estimation method according to any one of 1) to (3).
According to this method, by trimming, abnormal data is excluded from a plurality of individual data belonging to a random variable and the representative value of the random variable is determined, so that the accuracy of the determination is improved, and consequently the function of the random variable The estimation accuracy of the variation of the error is also improved.
(5) The statistics of the random variable include at least one of a standard deviation of the random variable, a confidence interval, a data set, a probability density function, and a cumulative density function (1) to (4) The random variable function variation estimation method according to any one of the above.
(6) The statistic of the function includes at least one of a standard deviation of the function, a confidence interval, a data set, a probability density function, and a cumulative density function. The random variable function variation estimation method according to claim 1.
(7) The random variable function variation estimation method according to any one of (1) to (6), further including a variation estimation step of estimating variation of the function of the representative value based on a statistic of the function.
(8) The random variable function variation estimation method according to (7), wherein the variation includes a width of a confidence interval of the function of the representative value.
(9) The random variable function variation estimation method is applied to the simulation of discrete events, and the simulation result is used to implement the random variable function variation estimation method.
The random variable function variation estimation method according to (7) or (8), wherein the variation estimation step includes a step of estimating the variation by executing the simulation only once.
According to this method, it is possible to estimate the variation in the function of the random variable in a shorter time than in the conventional batching method described above.
Furthermore, according to this method, since the time required for estimating the variation for a certain simulation is shortened, it becomes easy to estimate the variation for another simulation within a certain time.
As a result, according to this method, when it is necessary to perform variation estimation by performing a plurality of simulations on a system whose performance is to be analyzed, the variation estimation for the plurality of simulations is performed in the conventional batching method. It becomes easy to carry out within a shorter time.
Therefore, according to this method, it becomes easy to compare a plurality of variation estimation results for the plurality of simulations with each other within a short time, and as a result, the system can be optimized in a shorter time and with higher accuracy. It becomes easy.
(10) The accuracy that the statistics of the function should satisfy is predetermined,
The statistic determination step includes
(A) determining a statistic of the random variable based on the sum of a plurality of individual data belonging to the random variable;
(B) when new individual data is acquired, add it to the sum and determine a statistic of the random variable based on the sum;
(C) determining statistics of the random variable when at least one piece of individual data becomes available during a simulation;
(D) converting the statistic determined for the random variable into a statistic for the function;
(E) The random variable function variation estimation method according to (9), including a step of terminating the simulation when the converted statistic satisfies the accuracy.
According to this method, it is possible to monitor that the accuracy of the statistic of the function of the random variable increases as the simulation progresses.
Furthermore, according to this method, the simulation can be automatically terminated when the statistical amount of the function of the random variable satisfies the required accuracy.
(11) The function is configured as a function of a plurality of random variables,
The statistic conversion step includes
(A) determining a representative value of each acquired random variable or a variation of each random variable in the vicinity thereof as a statistic of each random variable;
(B) determining a dependency between the plurality of random variables;
(C) converting the variation determined for each random variable into a variation as a statistic of the function by using the determined dependency and the determined gradient (1) to The random variable function variation estimation method according to any one of (10).
In this method, when there are a plurality of random variables, the variation in the functions of the random variables is estimated by taking into account the degree of dependence between the plurality of random variables.
Therefore, according to this method, when there are a plurality of random variables, it is possible to accurately estimate the variation of the random variable function.
(12) The variation of the random variable includes a maximum likelihood estimator of the variance of the random variable, an unbiased estimator of the variance, a maximum likelihood estimator of the standard deviation of the random variable, and an unbiased estimator of the standard deviation. , The variance of the representative value of the random variable, the standard deviation of the representative value, the coefficient of variation of the random variable, the general center product ratio of the random variable, the confidence interval of the random variable, the data set of the random variable, The random variable function variation estimation method according to (11), including at least one of a probability density function of a random variable and a cumulative density function of the random variable.
(13) The dependency includes at least one of an unbiased estimator of covariance between the plurality of random variables, a maximum likelihood estimator of the covariance, and a correlation coefficient between the plurality of random variables. The random variable function variation estimation method according to (11) or (12).
(14) The function is configured as a function of a plurality of random variables,
The statistic conversion step includes a step of converting a statistic acquired for the plurality of random variables into a statistic of the function without calculating a dependence between the plurality of random variables (1) to ( The random variable function variation estimation method according to any one of items 13).
In this method, when there are a plurality of random variables, the statistics obtained for the plurality of random variables are converted into function statistics without calculating the dependence between the random variables. The
Therefore, according to this method, in a situation where there are a plurality of random variables and the plurality of random variables are independent from each other or depend on each other but the degree is so small that it can be ignored, Regardless of the case, it is possible to estimate the variation in the function of the random variable in a short time compared to the case where the degree of dependence is uniformly calculated and the statistics are converted.
(15) A method of determining a data set representing a value of a function of a representative value of at least one random variable, which enables evaluation of a statistic of the function,
A data acquisition step of acquiring a set of a plurality of individual data belonging to the random variable and approximately representing the distribution of the random variable;
A representative value determining step for determining a representative value of the random variable;
A gradient determining step for determining a gradient of the function with respect to the determined representative value, and using the determined gradient, the data set obtained for the random variable is converted into a data set representing the value of the function. Data set conversion process
Data set determination method including
In this method, based on the knowledge recognized by the present inventor described in the above section (1), a set of a plurality of individual data belonging to a random variable and approximately representing the distribution of the random variable A thing is acquired and a representative value of the random variable is determined. Further, in this method, a gradient of the function of the random variable with respect to the determined representative value is determined, and by using the determined gradient, the data set obtained for the random variable represents the value of the function. Converted to a data set.
Therefore, according to this method, the variation of the function of the random variable can be determined as a data set reflecting the same according to basically the same principle as the method according to the item (1).
(16) The data of the random variable so that the data set conversion step responds more sensitively to the data set of the random variable to the data set of the random variable when the slope is steep. The data set determination method according to item (15), wherein the set is converted into a data set of the function.
(17) The data set determination method according to (15) or (16), further including a variation estimation step of estimating variation of the function of the representative value based on the data set of the function.
(18) The data set determination method according to (17), wherein the variation includes a width of a confidence interval of the function of the representative value.
(19) The data set determination method is applied to the simulation of discrete events, and the result of the simulation is used to implement the data set determination method.
The data set determination method according to (17) or (18), wherein the variation estimation step includes a step of estimating the variation by executing the simulation only once.
According to this method, the same effect as the method according to the item (9) can be realized.
(20) A method for estimating the variation of at least one random variable so that the variation of the function of the representative value of at least one random variable satisfies a predetermined variation condition,
The variation condition defines a center position and a distribution degree of the function distribution,
Determining a gradient of the function with respect to the defined center position;
A variation determining step for determining variation of the random variable based on the determined gradient and the prescribed spread degree;
A random variable variation estimation method including:
As is clear from the description in the above item (1), the variation in the random variable and the variation in the function of the representative value of the random variable can be related to each other by the gradient of the function. This means that if the gradient of the function of the random variable is used, the variation of the representative value function of the random variable is estimated from the variation of the random variable. Therefore, it is possible to estimate backwards by estimating the variation of the random variable.
Based on such knowledge, in the method according to this section, a condition to be satisfied by the variation of the function of the representative value of at least one random variable is determined in advance as the variation condition, and the variation condition is the distribution of the function. Specifies the center position and spread degree. Furthermore, in this method, the gradient of the function with respect to the defined center position is determined, and the variation of the random variable is determined based on the determined gradient and the defined spread.
(21) The prescribed spread degree so that the variation determining step responds more sensitively to the prescribed spread degree when the variation of the random variable is gentle when the gradient is steep. Is converted into the variation of the random variable. The random variable variation estimation method according to the item (20).
According to this method, by using the gradient of the function, the distribution of the function is converted into the variation of the random variable in accordance with the principle according to the method according to the item (2).
(22) The random variable according to (20) or (21), wherein the distribution includes at least one of a standard deviation of the function, a confidence interval, a data set, a probability density function, and a cumulative density function. Variation estimation method.
(23) The variation of the random variable includes at least one of a standard deviation of the random variable, a confidence interval, a data set, a probability density function, and a cumulative density function. The random variable variation estimation method according to any one of the above.
(24) A program executed by a computer to implement the method according to any one of (1) to (23).
If this program is executed by a computer, the same effect can be realized in accordance with basically the same principle as in the method described in any one of the items (1) to (23).
This program can be interpreted to include not only a combination of instructions executed by a computer to fulfill its function, but also files and data processed by the computer according to each instruction.
(25) A recording medium on which the program according to item (24) is recorded so as to be readable by a computer.
If the program recorded on this recording medium is executed by a computer, basically the same effect can be realized according to the same principle as in the method described in any one of the above items (1) to (23).
The “recording medium” in this section can adopt various formats, for example, a magnetic recording medium such as a floppy disk, an optical recording medium such as a CD and a CD-ROM, a magneto-optical recording medium such as an MO, and an ROM. At least one of removable storage and the like can be employed.
[0011]
DETAILED DESCRIPTION OF THE INVENTION
Hereinafter, some of more specific embodiments of the present invention will be described in detail with reference to the drawings.
[0012]
[First Embodiment]
[0013]
FIG. 1 is a graph showing the principle employed in the random variable function variation estimation method (hereinafter simply referred to as “variation estimation method”) according to the first embodiment of the present invention. In this embodiment, the variation of the function of the representative value of at least one random variable is estimated using the gradient of the function, and thereby the variation of the random variable is converted into the variation of the function of the representative value of the random variable. The
[0014]
Specifically, in this embodiment, an average value is used as a representative value of a random variable, and a performance function that is a function of an average occurrence time interval and derives an occurrence frequency is used as a function of the average value. Is done. FIG. 1 shows a two-dimensional coordinate system in which the horizontal axis represents the random variable x and the vertical axis represents the performance value z of the system to be analyzed by simulation. In the coordinate system, the performance function z = f (X) is indicated by a broken line graph, while the tangent function z = f ′ (X) representing the tangent (tangent or tangent plane) in contact with the performance function graph is a solid line. Is shown in the graph.
[0015]
FIG. 2 conceptually shows a hardware configuration of the computer system 10 used by the user for carrying out the above-described variation estimation method.
[0016]
As is well known, the computer system 10 includes a computer 20 having a processing unit (denoted as “PU” in the figure) 12 and a storage 14 connected to each other via a bus 16. . The computer 20 is connected to an input device 30 having a mouse and a keyboard as a pointing device, and an output device 40 that displays an image on a screen. The storage 14 is configured to include a recording medium such as a ROM, a RAM, a magnetic disk, and an optical disk. The user inputs necessary data to the computer 20 via the input device 30. In response to the input, the data processing result by the computer 20 is visualized and presented to the user via the output device 40.
[0017]
The storage 14 stores in advance a random variable function variation estimation program (hereinafter simply referred to as “variation estimation program”) executed by the PU 12 in order to implement this variation estimation method. The storage 14 appropriately stores data used when the PU 12 executes the variation estimation program.
[0018]
FIG. 3 conceptually shows the contents of the variation estimation program in a flowchart. The contents of the variation estimation program will be described below based on the flowchart. First, definitions of various symbols used in the variation estimation program will be described.
[0019]
X: a random variable and a plurality of individual data x _i Constructed as a set of
x _i : Individual data belonging to random variable X
Y: random variable and a plurality of individual data y _i Constructed as a set of
y _i : Individual data belonging to random variable Y
i: Individual data number
n: Number of individual data in each set
Z: Performance value of the system to be analyzed by simulation
a: Reliability
z _{n-1, (1-a) / 2} : Chi-square distribution when the size of the individual data set is n and (1-a) / 2 is the quantile
E [X]: Average value (or expected value) of random variable X
E [Y]: Mean value (or expected value) of random variable Y
E [Z]: Average value (or expected value) of the performance function
S [X]: Standard deviation of random variable X
S [Y]: Standard deviation of random variable Y
S [Z]: Standard deviation of performance value Z
f (E [X]): general function of mean value (or expected value) of random variable X
f (E [X], E [Y],...): a plurality of random variables X, Y,. . . General function of the average (or expected) value of
CI [X]: Confidence interval half width of random variable X
Cov [X, Y]: Covariance between random variables X and Y
Corr [X, Y]: Correlation coefficient between random variables X and Y
W: Frequency
P: Percentage
E [W]: Average value (or expected value) of frequency W as a function of the average value of random variable X E [P]: Average value of percentage P as a function of both average values of random variables X and Y (or Expected value)
[0020]
This variation estimation method requires at least one random variable in which a plurality of individual data are randomly distributed. In Formula (1) of FIG. 4, the case where such a random variable is X is taken as an example. _i It is shown to be constructed as a set of In FIG. 5, in order to explain the relationship (frequency distribution) between the random variable and the frequency, an example of a set of individual data that randomly shows a lognormal distribution is shown as a histogram.
[0021]
This variation estimation method further requires a performance function of an average value of at least one random variable. In FIG. 4, such a performance function is shown as a general function f as Expression (2). In this expression, the performance value Z is a random variable X, Y, Y,. . . It is a function of. A specific example of the performance value Z that is often used is an occurrence frequency W, and the occurrence frequency W is an average value E [X of randomly generated occurrence time intervals X, as shown in Expression (3) in FIG. ] Is a function g. Another specific example that is often used is the percentage P, and the percentage P is randomly distributed, as shown by the equation (4) in FIG. It is a function h with the average value E [Y] of the generation duration Y.
[0022]
FIG. 6 shows some individual data x belonging to the occurrence time interval X as the first random variable. _i And some individual data y belonging to the occurrence duration Y as the second random variable _i Are conceptually illustrated.
[0023]
Here, the contents of the variation estimation program will be described based on the flowchart of FIG.
[0024]
In this variation estimation program, first, in step S1 (hereinafter, simply referred to as “S1”. The same applies to other steps), information on a random variable, that is, a plurality of individual data constituting the random variable. A data set is prepared.
[0025]
In addition, in this S1, the data set of random variables is clipped, if necessary, by removing some percentage of the smallest individual data group and / or the largest individual data group of the data set. obtain. This is conceptually shown in FIG. 7, in which inconsistent portions of the smallest individual data group and the largest individual data group in the example shown in FIG. 5 are removed.
[0026]
In addition, in S1, for example, individual data in the warm-up period (that is, the transition period) can be removed from the data set of random variables.
[0027]
Next, in S2, as shown as equation (5) in FIG. 4, all the individual data x belonging to each random variable _i , Y _i Is calculated, and each calculated total value is calculated as individual data x. _i , Y _i The arithmetic mean of the random variables X and Y is determined as the average values E [X] and E [Y].
[0028]
Subsequently, in S3, all the individual data x belonging to each random variable X, Y _i , Y _i Standard deviations S [X] and S [Y] are determined. There are various standard deviation estimators, for example, standard deviation unbiased estimators or standard deviation maximum likelihood estimators. The difference between these estimates is small and approaches zero as the number n of data sets increases. An unbiased estimator of standard deviation is desirable, but any estimator can be used. The same is true for the variance, and by definition the variance is the square of the standard deviation.
[0029]
In S3, for the individual data having the same independent distribution, the unbiased estimated amount S [X] of the standard deviation can be calculated as shown in Expression (6) in FIG. In addition, the maximum likelihood estimator S of the standard deviation _ML [X] can be calculated as shown in FIG.
[0030]
Thereafter, in S4, variable analysis is performed. This variable analysis is to determine the dependency between two or more random variables when two or more random variables are used. If these random variables are independent of each other, no dependency is required. However, if the random variables are not independent of each other, a dependency is necessary. Covariance is used as a dependency. The unbiased estimator Cov [X, Y] of the covariance of two random variables is calculated as shown in FIG. 8 as equation (8).
[0031]
In addition, in this S4, instead of the covariance unbiased estimator Cov [X, Y], the covariance maximum likelihood estimator Cov shown as equation (9) in FIG. _ML [X, Y] can be used. The difference between the unbiased estimator of covariance and the maximum likelihood estimator of covariance is small, and both can be used in this variation estimation method.
[0032]
In addition, in S4, it is possible to use the correlation coefficient Corr [X, Y] shown as the equation (10) in FIG. 8 instead of the covariance.
[0033]
Thereafter, in S5, the gradient of the performance function of the average value of each random variable is determined for all random variables X and Y in the average values E [X] and E [Y] determined in S2. Each slope can be visualized as each tangent at each mean value. An example is shown in FIG. 1, in which the frequency performance function (dashed line graph) is plotted along with a tangent (solid line graph) at the position of the average occurrence time interval E [X]. In the same figure, the frequency distribution of the random variable X is further shown as an upwardly convex solid line graph. When In both cases, the frequency distribution of the performance value Z is shown by a solid line graph convex to the right.
[0034]
The slope for a random variable is to differentiate the performance function of that random variable with respect to that random variable. In Is determined. This determination must be made for all random variables, resulting in one gradient for each random variable.
[0035]
In addition, in the expression (3) in FIG. 4, the performance function g with respect to the frequency W is shown as an example, and a differential coefficient of the performance function g relating to the only random variable is expressed in the expression (11) in FIG. Is shown as 4 shows a performance function h related to the percentage P as another example. In this example, the percentage P is calculated based on two random variables X and Y. These two differential coefficients are shown in FIG. 8 as equations (12) and (13), respectively.
[0036]
However, accurately determining the slope of the performance function as the slope of the performance function in the average value is not essential in practicing the present invention, and individual data close to the average value among a plurality of individual data. It is possible to implement the present invention so that it is approximately determined as the slope of the performance function at. The scope of the present invention is not limited by the method for determining the gradient.
[0037]
Thereafter, in S6, the average value E [Z] of the performance function is determined. This determination is based on the average value E [X], E [of the random variable as shown for the example of the frequency W in the equation (3) of FIG. 4 and for the example of the percentage P in the equation (4) of FIG. Y] can be substituted for the performance functions g and h, respectively.
[0038]
Subsequently, in S7, by using the gradient determined in S5, the standard deviations S [X] and S [Y] calculated for the random variables X and Y in S3 are performance function values, respectively. It is converted into a standard deviation S [Z] of the value Z.
[0039]
For one random variable X, the conversion can be easily performed as shown in FIG. 9 as Expression (14). This equation indicates that the standard deviation S [X] is converted into the standard deviation S [Z] of the performance value Z by multiplying the standard deviation S [X] by the differential coefficient df / dE [X]. . Here, note that the square root of the square ensures that the sign of the standard deviation is positive.
[0040]
For the two random variables X and Y, the equation shown as equation (15) in the figure can be used. This equation is calculated by multiplying the standard deviation S [X] by the differential coefficient df / dE [X], by multiplying the standard deviation S [Y] by the differential coefficient df / dE [Y], and the covariance Cov [X, Y] is multiplied by the differential coefficients df / dE [X] and df / dE [Y], so that two standard deviations S [X] and S [Y] are standard deviations S [Z of one performance value Z. ] To be converted. In this equation, there is a term of covariance Cov [X, Y], and the value calculated in S4 is used for this value.
[0041]
Here, it should be noted that when a plurality of random variables are independent of each other, the covariance Cov [X, Y] is 0, and the term can be omitted in the above equation. However, the present invention can be implemented by omitting the term of covariance Cov [X, Y] in the above equation regardless of whether or not a plurality of random variables are independent of each other.
[0042]
If more than two random variables are used, a more complex statistical approach must be used.
[0043]
In short, in this embodiment, the performance function is not used to make the standard deviation of the performance function reflect the standard deviation of the random variable, but the gradient of the performance function is used.
[0044]
Specifically, in the present embodiment, when the gradient of the performance function is steep, the standard deviation of the random variable tends to be expanded and converted to the standard deviation of the performance function, whereas the performance function If the gradient of the function is gradual, focusing on the statistical characteristic that the standard deviation of the random variable tends to be reduced and converted to the standard deviation of the performance function, the ratio according to the gradient of the performance function The standard deviation of the random variable is converted to the standard deviation of the performance function.
[0045]
Thereafter, in S8, the standard deviation S [Z] converted with respect to the value of the performance function (performance value) in S7 is normalized for the number n of individual data belonging to the random variable. The standard deviation S [Z] at the present time is a value that one individual data can theoretically take. Therefore, in order to obtain the standard deviation for the average value performance function, the standard deviation S [Z] of the performance function is divided by the square root of the number n of the individual data, as shown in equation (16) in FIG. is required. Standard deviation S obtained by such normalization _mean [Z] is automatically taken into the calculation of the confidence interval in the next S9.
[0046]
Subsequently, in S9, in order to determine the confidence interval of the performance function, the average value E [Z] determined for the performance function in S6 and the standard deviation S determined for the performance function in S8. _mean [Z] is used. The confidence interval includes the selected reliability a, the number of individual data n (number of samples), the standard deviation S [Z] of the general performance function f, and the average value E [Z] of the general performance function f. Dependent. The confidence interval half width CI [Z] is calculated as shown in FIG. 10 as Expression (17). In this equation, z _{n-1, (1-a) / 2} Is the chi-square distribution when the number of individual data is n and (1-a) / 2 is the quantile. The confidence interval half width CI [Z] gives a range of confidence intervals as shown in the figure as equation (20).
[0047]
In addition, there is another method for calculating the confidence interval, for example, a method using the Student's t distribution. The scope of the present invention is not limited by the method of calculating the confidence interval.
[0048]
Thus, one execution of the random variable function variation estimation program is completed.
[0049]
The contents of the present embodiment will be specifically described while focusing on a practical application example of the embodiment and comparing with the batching method which is the above-described conventional example.
[0050]
This application example relates to a simulation of a production system. In this application, a specific machine failure is analyzed. For simplicity of explanation, it is assumed that the machine is either in a repair state following a failure or in a ready state. The simulation is performed to determine the performance of the simulated production system.
[0051]
In this simulation, individual data x of failure time intervals is recorded, thereby generating a data set X of failure time intervals. Repair time individual data y is also recorded, thereby generating a repair time data set Y. Note that the repair time y is part of the failure time interval x, as shown in FIG.
[0052]
A failure is an event that occurs rarely, and the average value of the time interval in which the failure occurs twice in succession is long. For this reason, even if a long-time simulation was executed, only a small number of failures occurred. During the selected long simulation time, after removing the individual data during the machine warm-up period, a set of 16 individual data x, y with independent and identical distribution for the random variables X, Y was obtained. This process is related to S1 in FIG.
[0053]
By the way, the batching method described above cannot be used for a small number of sets of individual data. Although it is possible to divide these 16 individual data into 4 batches by 4 individual data, the average value (hereinafter referred to as “batch average value”) obtained as a result of the batching method is very Would be inaccurate. The standard deviation of the batch average value will depend only on the four batch average values, and so the standard deviation will also be very inaccurate. As a result, it will be necessary to run the simulation for a long time in order to enable the batching method. Since the simulation for obtaining 16 individual data has already been very long, a longer simulation is not desirable.
[0054]
However, according to the present embodiment, it is possible to easily calculate the confidence interval.
[0055]
In this simulation, the arithmetic mean E, the unbiased standard deviation S, and the equations (5) and (6) in FIG. 4 and the equations (8) and (10) in FIG. The following values were obtained for the unbiased covariance Cov and the unbiased correlation coefficient Corr.
[0056]
E [X] = 109 min
E [Y] = 15min
S [X] = 53min
S [Y] = 10min
Cov [X, Y] = 105 min
Corr [X, Y] = 0.9901
[0057]
The correlation coefficient Corr [X, Y] has a positive dependence (correlation) between the random variables X and Y, that is, a relatively long repair time may exist after a relatively long failure time interval. It shows that there is sex. Such processing is related to S2 to S4 in FIG.
[0058]
In S5, the gradient of the performance function is calculated. In this calculation, first, the failure frequency W is calculated based on the average failure time interval X and according to the equation (3) in FIG. Further, the repair time percentage P is calculated as a function of the average value shown as equation (4) in the figure. Next, a value at an average value of each differential coefficient of each performance function is calculated. Three differential coefficients of the performance function are shown as equations (11) to (13) in FIG. The values of these differential coefficients in the average value were as follows.
[0059]
dW / dE [X] = 0.00008417
dP / dE [X] = 0.001263
dP / dE [Y] = 0.000174
[0060]
In S6, the average value of the performance function is determined. As a result, the value of the failure frequency W was 0.009174 times per minute, and the value of the failure percentage P was 13.76%.
[0061]
In S7, the standard deviation of the performance function is calculated according to the equation (14) in FIG. 9 for the failure frequency W and according to the equation (15) for the failure percentage P, respectively. As a result, the standard deviation of the failure frequency W was 0.004461 times per minute, and the standard deviation of the failure percentage P was 10.23%.
[0062]
However, these standard deviations relate to specific values of the number n of the individual data. Therefore, in S8, the standard deviation of the average value is calculated according to the equation (16) in FIG. 9 for normalization. As a result, the standard deviation of the average value of the failure frequency W was 0.001115 times per minute, and the standard deviation of the average value of the failure percentage P was 2.557%.
[0063]
Finally, in S9, the confidence interval half width CI is calculated according to the equation (17) in FIG. In this application example, the reliability a of 95% is selected. Under this circumstance, the confidence interval half width CI of the average value of the failure frequency W is 0.002377, and the standard deviation of the failure percentage P is 5.450. %Met. This relates to a confidence interval of failure frequency W per minute, which is shown below. Further, this confidence interval is given in units of the number of occurrences of failures per shift in the 8-hour shift system.
[0064]
0.004461 plus or minus 0.002377 times / minute
2.14 plus or minus 1.14 times / shift
[0065]
Similarly, a confidence interval for the failure percentage P is given as follows:
[0066]
10.2% plus or minus 5.450%
[0067]
Therefore, even if the standard batching method cannot be used because the number of individual data is small, according to the present embodiment, it is possible to calculate a confidence interval for a set of individual data. The confidence intervals so obtained can be used to simulate whether the information is sufficiently accurate or to collect more individual data and improve the accuracy of the calculation results. It can be used to determine whether it is necessary.
[0068]
As is clear from the above description, in the present embodiment, S1 constitutes an example of the “probability variable acquisition step” in the item (1), and S2 constitutes an example of the “representative value determination step” in the same term. S3 constitutes an example of the “statistics determination step” in the same term, S5 constitutes an example of the “gradient decision step” in the same term, and S4, S7, and S9 cooperate with each other in “ It constitutes an example of a “statistic conversion process”.
[0069]
[Second Embodiment]
[0070]
Next, a second embodiment of the present invention will be described. However, since this embodiment has the same hardware configuration as that of the first embodiment and is different only in the random variable function variation estimation program, only the program will be described in detail.
[0071]
In the first embodiment, the standard deviation of the random variable is used to determine the variation of the random variable. That is, in the first embodiment, a standard deviation as a statistic representing variation in a random variable is determined, which is then converted into a standard deviation as a statistic representing variation in a function value, and finally Thus, the confidence interval is determined.
[0072]
On the other hand, in this embodiment, the confidence interval half width of the random variable is used to determine the variation of the random variable. That is, in the present embodiment, the confidence interval half width as a statistic representing the variation of the random variable is determined, and then converted into the confidence interval half width as the statistic representing the variation of the function value.
[0073]
FIG. 11 conceptually shows the contents of the random variable function variation estimation program in the present embodiment in a flowchart. This program is executed by the same computer system 10 in FIG.
[0074]
In this random variable function variation estimation program, S31 to S33 are executed in the same manner as S1 to S3 in the first embodiment.
[0075]
Thereafter, in S34, the confidence interval half width CI is calculated for all the random variables X and Y acquired in S31. In order to calculate the confidence interval half-width CI, a standard equation as shown in FIG. 10 as equation (17) can be used. At this time, instead of the standard deviation S [Z] of the performance value Z, standard deviations S [X] and S [Y] of the random variables X and Y are used. The confidence interval half-width CI is also a variation of the random variables X and Y. The reliability a needs to be selected in order to calculate the confidence interval half-width CI.
[0076]
Subsequently, in S35, the covariance Cov “X, Y] between the plurality of random variables X and Y is calculated in the same manner as in S4 in the first embodiment.
[0077]
Thereafter, in S36, if there are a plurality of random variables used in the performance function, the correlation coefficient Corr is calculated. In this description, it is assumed that the performance function is a function of two random variables X and Y. The correlation coefficient Corr [X, Y] is calculated using the covariance Cov [X, Y] calculated in S35 and the standard deviations S [X], S determined for the plurality of random variables X, Y in S33. Based on [Y]. Expression (10) in FIG. 8 shows the correlation among these correlation coefficients Corr [X, Y], covariance Cov [X, Y], standard deviations S [X], and S [Y].
[0078]
Subsequently, in S37, as in S5 in the first embodiment, the gradient of the performance function of the average values E [X], E [Y] of the random variables X, Y for all the random variables X, Y. Are determined in the average values E [X] and E [Y] determined in S32.
[0079]
Thereafter, in S38, the average value E [Z] of the performance function is determined in the same manner as in S6 in the first embodiment.
[0080]
Subsequently, in S39, by using the gradient determined in S37, the confidence interval half-width CI determined for the random variable in S34 is directly (that is, not via the standard deviation statistic). Converted to a confidence interval half-width CI.
[0081]
Specifically, when the number of random variables is one, the calculation of the confidence interval half width CI is performed using the equation (18) in FIG. Here, it should be noted that the square root of the square ensures that the sign of the confidence interval half-width CI is positive.
[0082]
On the other hand, when the number of random variables is two, the calculation of the confidence interval half width CI is performed using the equation (19) in FIG. In this equation, there is a term of a correlation coefficient Corr [X, Y]. Here, when the plurality of random variables X and Y are independent from each other, the term of the correlation coefficient Corr [X, Y] is 0, and the term can be omitted. .
[0083]
Whether the number of random variables is one or two, the slope is used to calculate the confidence interval half-width CI, as shown in FIG. 10 as equations (18) and (19).
[0084]
If the number of random variables is 3 or more, more complex statistical methods must be used.
[0085]
Thereafter, in S40, as in S8 in the first embodiment, the standard deviation S [Z] is calculated for the average performance function.
[0086]
Subsequently, in S41, the confidence interval of the performance function is calculated based on the confidence interval half width CI determined in S39 and the average value E [Z] determined in S38. The equation for the calculation is shown as equation (20) in FIG.
[0087]
Thus, one execution of the random variable function variation estimation program is completed.
[0088]
As is clear from the above description, in the present embodiment, S31 constitutes an example of the “probability variable acquisition step” in the item (1), and S32 constitutes an example of the “representative value determination step” in the same term. S33 and S34 cooperate with each other to configure an example of the “statistics determination step” in the same term, S37 configures an example of the “gradient determination step” in the same term, and S35, S36, S39, and S41. Together constitute an example of the “statistic conversion process” in the same section.
[0089]
[Third Embodiment]
[0090]
Next, a third embodiment of the present invention will be described. However, since this embodiment has the same hardware configuration as the first and second embodiments, and only the random variable function variation estimation program is different, only the program will be described in detail.
[0091]
In the first and second embodiments, the standard deviation of the random variable is used to estimate the variation in the function of the random variable.
[0092]
On the other hand, in this embodiment, the standard deviation of the random variable is not used at all in order to estimate the variation of the function of the random variable. In the present embodiment, a tangent equation relating to the average value of the random variable is generated, and by using the tangent equation, a plurality of individual data belonging to the random variable represents a plurality of individual data representing the value of the performance function. Is converted into a set of
[0093]
In other words, in the present embodiment, the set of the plurality of individual data is used as a statistic that represents the variation of the function of the random variable.
[0094]
FIG. 12 conceptually shows the contents of a random variable function variation estimation program in the present embodiment in a flowchart. This program is executed by the same computer system 10 in FIG.
[0095]
In this random variable function variation estimation program, S51 to S53 are executed in the same manner as S1, S2 and S5 in the first embodiment.
[0096]
Thereafter, in S54, the tangent equation is determined based on the average value of the random variable and the gradient of the performance function. The number of dimensions of the tangent equation is equal to the number of random variables.
[0097]
When the number of random variables is one, the tangent equation represents a straight line. On the other hand, when the number of random variables is two, the tangent equation represents a plane. For higher dimensions, it is difficult to visualize, but similar tangents can be constructed. FIG. 13 shows a general tangent equation f ′ when the number of random variables is one as equation (21), and general when the number of random variables is two as equation (22). A typical tangent equation f ′ is shown.
[0098]
Thereafter, in S55, a set of individual data regarding all random variables is substituted into the tangent equation determined in S54. By this substitution, a set Z ′ of individual data is generated for the average performance function based on the individual data x and y belonging to the random variables X and Y. The tangent equation is shown as equation (23) in FIG.
[0099]
Subsequently, in S56, a standard deviation is calculated for the set Z ′ of individual data of the performance function. By definition, the average value of the individual data set Z ′ is equal to the value of the performance function related to the average value of the random variable. The standard deviation is calculated using Equation (6) or (7) of FIG. 4 for the unbiased or maximum likelihood estimator.
[0100]
Thereafter, in S57, a confidence interval is calculated based on the standard deviation of the individual data set Z ′ and the number of individual data in the individual data set Z ′. This calculation uses the standard equation shown in FIG. 10 as equation (17) to calculate the confidence interval half-width, and to calculate the confidence interval, equation (20) in FIG. The equation shown is used.
[0101]
In this embodiment, it is important that the entire set of individual data is available for the average value function while allowing the use of more complex and sophisticated techniques for calculating confidence intervals. For example, in order to obtain mutually different confidence interval half widths for the lower region and the upper region of the mean value of the confidence interval, it is possible to consider the distribution shape of the individual data.
[0102]
As is apparent from the above description, in the present embodiment, S51 constitutes an example of the “stochastic variable acquisition step” in the above item (1) and an example of the “statistics determination step” in the same term, and S52 Constitutes an example of the “representative value determining step” in the same term, S53 constitutes an example of the “gradient deciding step” in the same term, and S54 to S57 cooperate with each other in the “statistic conversion step” in the same term. It constitutes an example.
[0103]
Further, in the present embodiment, S51 constitutes an example of the “data acquisition step” in the above item (15), S52 constitutes an example of the “representative value determination step” in the same term, and S53 constitutes an “ An example of “gradient determination step” is configured, and S54 and S55 cooperate with each other to configure an example of “data set conversion step” in the same term.
[0104]
As mentioned above, although several embodiment of this invention was described, according to these embodiment, the following several effects may be implement | achieved selectively or together.
[0105]
(A) Even if the size of the set of individual data is smaller than that of the conventional method, the variation of the function of the average value of the random variable can be calculated. For example, the size of the set of individual data that can be used in some of the above embodiments is 2 or more, and is preferably at least 5.
[0106]
(B) It is possible to calculate the variation of the average value function with higher accuracy than the conventional batching method.
[0107]
(C) It is possible to calculate the variation of the average value function with less effort than the conventional batching method.
[0108]
(D) When new individual data becomes available, the variation in the average value function can be updated with minimum effort.
[0109]
(E) It is possible to calculate the variation in the function of the average value while minimizing the requirement for the storage capacity and calculation capability of the computer.
[0110]
(F) For example, the variation estimation method in the above-described embodiments is conventionally performed in consideration of easily and accurately calculating the effectiveness of a set of individual data obtained by software simulation. More easily in the method can be realized in a software program that is automatically executed by a computer.
[0111]
(G) Regarding the simulation of discrete events, the conventional batching method requires a large number of simulations or a long-time simulation divided into a large number of batches. A single simulation may be sufficient for the calculation. As a result, according to some of the embodiments described above, the simulation time can be saved, and a greater number of simulations can be performed within a certain time.
[0112]
(H) Regarding the simulation of discrete events, the confidence interval can be calculated even when the number of individual data is small. For example, even if it is a rare event that occurs, the validity of the calculation results can be determined during a short simulation.
[0113]
(I) According to some of the embodiments described above, since there is little need to increase the computing capacity of the computer and to increase the storage capacity, the discrete event simulation is updated as the simulation progresses. It is possible to calculate confidence intervals. That is, it is possible to monitor how the confidence interval width decreases as the simulation progresses. Such information can be used, for example, to determine when the required accuracy is achieved and the simulation can be stopped.
[0114]
Some of the above embodiments that can calculate confidence intervals should be implemented in such a way that the confidence intervals are automatically updated during the simulation of the event that is the subject of implementation of those embodiments. Is possible. Based on the sum of the acquired individual data, it is possible to calculate an average value, a standard deviation, and a correlation. Therefore, if another piece of individual data becomes available, it is necessary to simply update their sum to generate a new confidence interval. Therefore, it is possible to calculate the confidence interval as the simulation proceeds with little effort.
[0115]
According to this aspect, the simulation can be automatically terminated according to the required reliability. During the creation of the simulation model, a required value of the confidence interval half-width is specified for each of the at least one simulation parameter. During the simulation run, each confidence interval half-width of the simulation parameters is continuously updated. When the actual value (calculation result) of the confidence interval half width is less than or equal to the required value for all simulation parameters, the simulation is terminated.
[0116]
Furthermore, according to this aspect, the big problem regarding the current simulation method, that is, the problem that it is difficult to determine an accurate simulation time is solved. According to this aspect, the simulation can be automatically terminated if a predetermined standard for accuracy is achieved.
[0117]
In general, when calculating the confidence interval by simulation according to the batching method described above, it is necessary to perform simulation at least five times, usually 10 to 30 times. On the other hand, according to some embodiments described above, the confidence interval can be calculated by a single simulation.
[0118]
Furthermore, according to some embodiments described above, it is possible to calculate a confidence interval based on a small number of individual data, for example, 10 individual data. On the other hand, in the conventional batching method, it is not possible to calculate an effective confidence interval based on such a small number of individual data.
[0119]
Furthermore, according to some of the embodiments described above, although the confidence interval is calculated by performing one simulation based on a small number of individual data as described above, A large number of simulations are performed based on a large number of individual data, and are calculated to have a range approximately equal to the range of the confidence interval calculated by the conventional batching method of calculating the confidence interval.
[0120]
In addition, in some cases, information on the distribution of random variables may be used as a probability density function rather than as a collection of individual data. In this case, some of the above embodiments may be modified to determine the mean value and standard deviation based on its probability density function.
[0121]
[Fourth Embodiment]
[0122]
Next, a fourth embodiment of the present invention will be described. However, this embodiment has the same hardware configuration as the first to third embodiments, and only the random variable variation estimation program is different. Therefore, only the program will be described in detail.
[0123]
As described above, the variation of the random variable and the variation of the function of the representative value of the random variable can be related to each other by the gradient of the function. This means that if the gradient of the function of the random variable is used, the variation of the representative value function of the random variable is estimated from the variation of the random variable. Therefore, it is possible to estimate backwards by estimating the variation of the random variable.
[0124]
On the other hand, it is useful not to calculate the variation (variance) of the average value of the performance function based on the random variable, but to calculate the necessary statistic for the random variable and calculate the performance function It may be to acquire what needs to be used to acquire a specific variation (dispersion) for. Even in this case, the present invention can be applied.
[0125]
In the first to third embodiments described above, the above-described forward estimation is performed, whereas in the present embodiment, the above-described backward estimation is performed.
[0126]
In the present embodiment, a predetermined variation condition regarding the variation of the performance function is set so as to define the center position and the distribution degree of the distribution of the performance function.
[0127]
FIG. 14 conceptually shows the contents of the random variable variation estimation program in the present embodiment in a flowchart.
[0128]
In this random variable variation program, first, data representing the variation condition is read from the storage 14 in S71. The data is stored in the storage 14 in advance.
[0129]
Next, in S72, the gradient of the performance function with respect to the defined center position is determined by using the equation shown in FIG. 4 as equation (2), (3) or (4).
[0130]
Subsequently, in S73, the confidence interval of the random variable is determined as a statistic representing the variation of the random variable based on the determined gradient and the prescribed spread degree. Specifically, the specified dispersion degree is a confidence variable of the random variable so that the confidence interval of the random variable responds more sensitively to the specified dispersion degree when the slope is steep. Converted to an interval.
[0131]
This completes one execution of this random variable variation estimation program.
[0132]
As is clear from the above description, in this embodiment, S72 constitutes an example of the “gradient determination step” in the above item (20), and S73 constitutes an example of the “variation determination step” in the same term. It is.
[0133]
As mentioned above, although some embodiment of this invention was described in detail based on drawing, these are illustrations, including the aspect as described in the column of the above-mentioned [means for solving a problem and invention effect] The present invention can be implemented in other forms with various modifications and improvements based on the knowledge of those skilled in the art.
[Brief description of the drawings]
FIG. 1 is a graph for explaining a relationship among a random variable X, a performance value Z, a performance function f, and a tangent function f ′ in the random variable function variation estimation method according to the first embodiment of the present invention.
FIG. 2 is a block diagram conceptually showing a hardware configuration of a computer system used by a user to implement the random variable function variation estimation method.
FIG. 3 is a flowchart conceptually showing the contents of a random variable function variation estimation program in FIG.
4 is a diagram listing a plurality of formulas for explaining the contents of the random variable function variation estimation program of FIG. 3. FIG.
FIG. 5 is a histogram showing a frequency distribution of random variables in the random variable function variation estimation method.
FIG. 6 is a graph conceptually showing the contents of an event for which the random variable function variation estimation method is implemented.
FIG. 7 is a histogram showing a frequency distribution of random variables in the random variable function variation estimation method in which abnormal value elimination has been performed.
FIG. 8 is a diagram listing a plurality of other equations for explaining the contents of the random variable function variation estimation program of FIG. 3;
FIG. 9 is a diagram listing a plurality of other equations for explaining the contents of the random variable function variation estimation program of FIG. 3;
FIG. 10 is a diagram listing a plurality of other equations for explaining the contents of the random variable function variation estimation program of FIG. 3;
FIG. 11 is a flowchart conceptually showing the contents of a random variable function variation estimation program executed by a computer to implement the random variable function variation estimation method according to the second embodiment of the present invention.
FIG. 12 is a flowchart conceptually showing the contents of a random variable function variation estimation program executed by a computer to implement the random variable function variation estimation method according to the third embodiment of the present invention.
13 is a diagram listing a plurality of formulas for explaining the contents of the random variable function variation estimation program of FIG. 12. FIG.
FIG. 14 is a flowchart conceptually showing the contents of a random variable variation estimation program executed by a computer in order to implement the random variable variation estimation method according to the fourth embodiment of the present invention.
[Explanation of symbols]
10 Computer system
12 processing units
14 Storage
20 computers
30 Input device
40 Output device

Claims

A standard deviation of a performance function is calculated by a computer from a plurality of individual data of a production system that is a discrete event system, and the reliability of the performance function is used to estimate a variation in performance of the production system from the calculated standard deviation. A production system performance variation estimation method for calculating a section width by the computer ,
The production system includes a machine in which a failure can occur at random, and the machine is either in a repair state following the failure, or in an available state,
The plurality of individual data respectively represent a plurality of failure time intervals for the same machine;
The performance function is an operator that associates a random variable in which the plurality of individual data are randomly distributed with a failure occurrence frequency as another variable,
In the production system performance variation estimation method , the performance is expressed as the failure occurrence frequency derived by the performance function .
An input step of inputting the plurality of individual data and storing the data in a storage;
An average value calculating step of calculating an average value of the plurality of individual data belonging to the random variable as the representative value of the random variable, the plurality of individual data stored in the storage;
A standard deviation calculating step of calculating a standard deviation of a plurality of individual data belonging to the random variable as a standard deviation of the random variable;
A gradient calculating step of differentiating the performance function with respect to the random variable and calculating a gradient with respect to the representative value of the performance function;
A conversion step of multiplying the gradient by the standard deviation of the random variable and converting the standard deviation of the random variable into a standard deviation of the performance function;
A production system performance variation estimation method characterized by comprising :

A standard deviation of a random variable is calculated by a computer from a plurality of individual data of a production system which is a discrete event system, a confidence interval width of the random variable is calculated by the computer from the calculated standard deviation, and the calculated reliability From the section width, a production system performance variation estimation method for calculating by the computer what is a confidence interval width of the performance function and is used to estimate the performance variation of the production system,
The production system includes a machine in which a failure can occur at random, and the machine is either in a repair state following the failure, or in an available state,
The plurality of individual data respectively represent a plurality of failure time intervals for the same machine;
The random variable represents that the plurality of individual data are randomly distributed;
The performance function is an operator that associates the random variable with a failure frequency as another variable,
In the production system performance variation estimation method, the performance is expressed as the failure occurrence frequency derived by the performance function.
An input step of inputting the plurality of individual data and storing the data in a storage;
An average value calculating step of calculating an average value of the plurality of individual data belonging to the random variable as the representative value of the random variable, the plurality of individual data stored in the storage;
A standard deviation calculating step of calculating a standard deviation of a plurality of individual data belonging to the random variable as a standard deviation of the random variable;
A gradient calculating step of differentiating the performance function with respect to the random variable and calculating a gradient with respect to the representative value of the performance function;
A conversion step of multiplying the slope and the confidence interval width of the random variable, and converting the confidence interval width of the random variable into a confidence interval width of the performance function;
A production system performance variation estimation method characterized by comprising :

It said performance function, production system performance variations estimation method according to claim 1 or 2 which is a function representing an inverse of the representative value.

In a discrete event system, the computer calculates the standard deviation of the performance function as an operator that associates a random variable with a random distribution of the multiple individual data with another variable, and calculates the standard deviation from the calculated standard deviation. , a random variable function variation estimation method for calculating those used to estimate the variance of the performance functions to a confidence interval width of said performance functions by the computer,
The discrete event system is a production system in which a specific event can occur randomly,
The plurality of individual data respectively represent a plurality of occurrence time intervals of the specific event in the production system,
The performance function is a random variable function variation estimation method representing the frequency of occurrence of the specific event at each occurrence time interval.
An input step of inputting the plurality of individual data and storing the data in a storage;
An average value calculating step of calculating an average value of a plurality of individual data belonging to the random variable, which is a plurality of individual data stored in the storage, as a representative value of the random variable;
A standard deviation calculating step of calculating a standard deviation of a plurality of individual data belonging to the random variable as a standard deviation of the random variable;
A gradient calculating step of differentiating the performance function with respect to the random variable and calculating a gradient with respect to the representative value of the performance function;
A conversion step of multiplying the gradient by the standard deviation of the random variable and converting the standard deviation of the random variable into a standard deviation of the performance function;
A random variable function variation estimation method characterized by comprising :

In a discrete event system, from a plurality of individual data, a standard deviation of a random variable in which the plurality of individual data is randomly distributed is calculated by a computer, and a confidence interval width of the random variable is calculated by the computer from the calculated standard deviation. Then, from the calculated confidence interval width, the computer calculates the confidence interval width of the performance function as an operator for associating the random variable with another variable, which is used to estimate the variation of the performance function. A random variable function variation estimation method,
The discrete event system is a production system in which a specific event can occur randomly,
The plurality of individual data respectively represent a plurality of occurrence time intervals of the specific event in the production system,
The performance function is a random variable function variation estimation method representing the frequency of occurrence of the specific event at each occurrence time interval.
An input step of inputting the plurality of individual data and storing the data in a storage;
An average value calculating step of calculating an average value of a plurality of individual data belonging to the random variable as a representative value of the random variable, which is a plurality of individual data stored in the storage;
A standard deviation calculating step of calculating a standard deviation of a plurality of individual data belonging to the random variable as a standard deviation of the random variable;
A gradient calculating step of differentiating the performance function with respect to the random variable and calculating a gradient with respect to the representative value of the performance function;
A conversion step of multiplying the slope and the confidence interval width of the random variable, and converting the confidence interval width of the random variable into a confidence interval width of the performance function;
A random variable function variation estimation method characterized by comprising :

The random variable function variation estimation method is applied to discrete event simulation, and the simulation result is used to implement the random variable function variation estimation method.
6. The method according to claim 4 , further comprising a confidence interval width calculation step of calculating a confidence interval width of the random variable by executing the simulation only once.

The accuracy to be satisfied by the statistic of the function is predetermined, and the standard deviation calculating step includes:
(A) based on the sum of a plurality of individual data belonging to the random variable, to calculate the standard deviation of the random variable,
(B) when new individual data is acquired, add it to the sum, and calculate a standard deviation of the random variable based on the sum;
(C) calculating at least one standard deviation of the random variable when at least one piece of individual data becomes available during a simulation;
(D) converting the standard deviation calculated for the random variable into a standard deviation of the performance function;
The method according to claim 6 , further comprising the step of: (e) terminating the simulation when the converted standard deviation satisfies the accuracy.

The method according to claim 1, further comprising a confidence interval width calculating step of dividing the standard deviation by a square root of the number of samples n of the individual data and calculating the confidence interval width.

Program executed by a computer to implement the method according to any one of claims 1 to 8.

The recording medium which recorded the program of Claim 9 so that computer reading was possible.

In a discrete event system, from a plurality of individual data, a standard deviation of a performance function as an operator for associating a random variable in which the plurality of individual data is randomly distributed with another variable is calculated, and from the calculated standard deviation, A random variable function variation estimation computer that calculates a confidence interval width of a performance function and is used to estimate the variation of the performance function ,
The discrete event system is a production system in which a specific event can occur randomly,
The plurality of individual data respectively represent a plurality of occurrence time intervals of the specific event in the production system,
The performance function is a random variable function variation estimation computer that represents the frequency of occurrence of the specific event at each occurrence time interval.
Input means for inputting the plurality of individual data and storing them in a storage;
Average value calculating means for calculating an average value of a plurality of individual data belonging to the random variable as a representative value of the random variable, which is a plurality of individual data stored in the storage;
A standard deviation calculating means for calculating a standard deviation of a plurality of individual data belonging to the random variable as a standard deviation of the random variable;
Gradient calculating means for differentiating the performance function with respect to the random variable and calculating a gradient with respect to the representative value of the performance function;
Conversion means for multiplying the gradient by the standard deviation of the random variable and converting the standard deviation of the random variable into a standard deviation of the performance function;
A random variable function variation estimation computer characterized by comprising:

In a discrete event system, a standard deviation of a random variable in which the plurality of individual data is randomly distributed is calculated from a plurality of individual data, and a confidence interval width of the random variable is calculated from the calculated standard deviation. A probability variable function variation estimation computer that calculates a confidence interval width of a performance function as an operator for associating the random variable with another variable and used to estimate the variation of the performance function from the confidence interval width. And
  The discrete event system is a production system in which a specific event can occur randomly,
  The plurality of individual data respectively represent a plurality of occurrence time intervals of the specific event in the production system,
  The performance function is a random variable function variation estimation method representing the frequency of occurrence of the specific event at each occurrence time interval.
  Input means for inputting the plurality of individual data and storing them in a storage;
  Average value calculating means for calculating an average value of a plurality of individual data belonging to the random variable as a representative value of the random variable, which is a plurality of individual data stored in the storage;
  A standard deviation calculating means for calculating a standard deviation of a plurality of individual data belonging to the random variable as a standard deviation of the random variable;
  Gradient calculating means for differentiating the performance function with respect to the random variable and calculating a gradient with respect to the representative value of the performance function;
  Conversion means for multiplying the slope and the confidence interval width of the random variable, and converting the confidence interval width of the random variable into the confidence interval width of the performance function;
  A random variable function variation estimation computer characterized by comprising: