JP4093362B2 - Filter bank and filtering method - Google Patents

Description

で定義される２×２の行列をＢ_ｋとしたとき、
【数２２】

なる演算を行い、長さＭの２つの信号Ｓ_０（ｋ），Ｓ_１（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ−１を出力する演算部を含んでもよい。
【００１１】
前記入力信号Ｕ（ｋ）は、離散フーリエ変換後、前記演算部へ入力される前に所定の処理がなされていてもよい。具体的には、前記演算部を縦列接続し、前記演算部の出力信号の一方を、次に接続された前記演算部の入力信号としてもよいし、Ｅ（ｋ）のみを乗じる演算を施した後に前記演算部へ入力してもよい。
【００１２】
さらに別の例として、少なくともＤＦＴが施された長さ２Ｍの実数入力信号Ｕ（ｋ），ｋ＝０，１，…，２Ｍ−１を、Ｕ（ｋ）＝ｕ_ｋ（０）＋ｕ_ｋ（１）ｚ^−１ （ｍ＝０，１）なる形で表したとき、ｋ＝０のときＵ［ｋ］＝［ｕ_０（０）ｕ_０（１） ｕ_Ｍ（０） ｕ_Ｍ（１）］^Ｔ、ｋ＝１，２，…，Ｍ−１のときＵ［ｋ］＝［ｕ_ｋ（０） ｕ_ｋ（１） ｕ_２Ｍ−ｋ（０） ｕ_２Ｍ−ｋ（１）］^Ｔで定義される行列Ｕ［ｋ］（ｋ＝０，１…，Ｍ−１）に対し、長さＭの合成フィルタのポリフェーズ行列における各要素を離散フーリエ変換した多項式を要素にもつ２×２の行列Ｅ（ｋ）の（ｍ，ｎ）の要素を、ｅ_{（ｍ，ｎ），ｋ}（０）＋ｅ_{（ｍ，ｎ），ｋ}（１）ｚ^−１（ｍ＝０，１）の形で表すと、ρ_ｋ＝２ｃｏｓ（πｋ／Ｍ）として、
【数２３】

で定義される行列Ｅ（ｋ）と、
【数２４】

で定義される行列Ｄ_ｋとを用いて、
【数２５】

なる演算を行い、Ｓ(ｋ)＝［ｓ_０，ｋ（０） ｓ_０，ｋ（１） ｓ_１，ｋ（０）ｓ_１，ｋ（１）］^Ｔとしたとき、Ｓ(ｋ)の各要素をＳ_ｍ（ｋ）＝ｓ_ｍ，ｋ（０）＋ｓ_ｍ，ｋ（１）ｚ^−１ （ｍ＝０，１）となる長さＭの２つの信号Ｓ_０（ｋ），Ｓ_１（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ−１を出力する演算部を含んでもよい。
【００１３】
ここで上付きのＴは転置行列を表している。
【００１４】
本発明の別の態様は、合成フィルタバンクに関する。この合成フィルタバンクは、少なくとも離散フーリエ変換が施された長さＭ／２の２つの入力信号を所定の規則で行列化し、所定の行列演算を行うことにより長さＭの信号を出力する行列演算部を含むことを特徴とする。
【００１５】
例えば、少なくとも離散フーリエ変換が施された長さＭ／２の２つの入力信号Ｓ_０（ｋ）およびＳ_１（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ／２−１に対し、長さＭ／２の合成フィルタのポリフェーズ行列における各要素を離散フーリエ変換した多項式を要素にもつ２×２の行列をＲ（ｋ）とし、
【数２６】

で定義される２×２の行列をＡ_ｋとしたとき、
【数２７】

なる演算を行い、長さＭの信号Ｑ（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ−１を出力する演算部を含んでもよい。
【００１６】
前記入力信号Ｓ_０（ｋ）およびＳ_１（ｋ）は、離散フーリエ変換がなされた後、前記演算部へ入力される前に所定の処理がなされていてもよい。具体的には、前記演算部を縦列接続し、前記演算部の出力信号を次に接続された前記演算部の入力信号の一方としてもよい。
【００１７】
また、別の例として、少なくとも離散フーリエ変換が施された長さＭ／２の２つの実数入力信号Ｓ_０（ｋ）およびＳ_１（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ／２−１を、Ｓ_ｍ（ｋ）＝ｓ_ｍ，ｋ（０）＋ｓ_ｍ，ｋ（１）ｚ^−１ （ｍ＝０，１）なる形で表したとき、Ｓ(ｋ)＝［ｓ_０，ｋ（０） ｓ_０，ｋ（１） ｓ_１，ｋ（０） ｓ_１，ｋ（１）］^Ｔで定義される行列Ｓ［ｋ］に対し、長さＭ／２の合成フィルタのポリフェーズ行列における各要素をＤＦＴが施された多項式を要素にもつ２×２の行列Ｒ（ｋ）の（ｍ，ｎ）の要素を、ｒ_{（ｍ，ｎ），ｋ}（０）＋ｒ_{（ｍ，ｎ），ｋ}（１）ｚ^−１（ｍ＝０，１）の形で表すと、ρ_ｋ＝２ｃｏｓ（πｋ／Ｍ）として、
【数２８】

で定義される行列Ｒ(ｋ)と、
【数２９】

で定義される行列Ｃ_ｋとを用いて、
【数３０】

なる演算を行い、Ｑ［ｋ］の各要素を、ｋ＝０のときＱ［ｋ］＝［ｑ_０（０） ｑ_０（１） ｑ_Ｍ／２（０） ｑ_Ｍ／２（１）］^Ｔ、ｋ＝１，２，…，Ｍ／２−１のときＱ［ｋ］＝［ｑ_ｋ（０） ｑ_ｋ（１） ｑ_Ｍ−ｋ（０） ｑ_Ｍ−ｋ（１）］^Ｔとしたとき、
Ｑ（ｋ）＝ｑ_ｋ（０）＋ｑ_ｋ（１）ｚ^−１となる長さＭの実数信号Ｑ（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｍ−１を出力する演算部を含んでもよい。
なお、本発明の表現をフィルタリング方法やフィルタバンク設計方法などに変換したり、それらを任意に組合せたものもまた、本発明の態様として有効である。
【００１８】
【発明の実施の形態】
概要
初めに本発明に係る原理を概説する。［１］では本発明を適用するツリー構造巡回畳み込みフィルタバンクの基礎的な構成を示す。［２］では複素数での並列モジュール計算をベースに、本実施の形態に係るフィルタバンクの実現方式について説明する。［３］では実数での並列モジュール計算をベースに、本実施の形態に係るフィルタバンクの実現方式について説明する。［４］では本実施の形態に係るフィルタバンクの完全再構成条件を解析する。［５］ではＱＭＦバンクを用いた場合の完全再構成条件を解析し、標準的なフィルタ設計サブルーチンを用い、本実施の形態を利用した、線形位相ＦＩＲ ＱＭＦバンクの設計について説明し、特性評価を行う。［６］では本実施の形態によるフィルタバンクの実現方式と、その他の実現方式について、計算上の複雑度を比較する。
【００１９】
［１］巡回畳み込みフィルタバンクを用いた基礎的ツリー構造
２チャネルフィルタバンクは２分割ツリー構造フィルタバンクの基礎となるビルディングブロックである。本実施の形態のツリー構造フィルタバンクは巡回畳み込みをフィルタとする。２チャネル分析巡回畳み込みフィルタバンク（以下、ＣＣＦＢとよぶ）を接続することによって、図１（ａ）に示す３段階ツリー構造の分析ＣＣＦＢが得られる。ここで入力信号の長さをＮとし、Ｎは２のべき乗と仮定する。図においてＮ／２^ｔ−１−ＣＣ Ｈ_ｍ ^（ｔ）（ｚ），ｔ＝１，２，３およびｍ＝Ｌ，Ｈのブロックは、入力信号とフィルタＨ_ｍ ^（ｔ）（ｚ）の、Ｎ／２^ｔ−１ポイントの巡回畳み込み演算を示している。分析フィルタＨ_Ｌ ^（ｔ）（ｚ）およびＨ_Ｈ ^（ｔ）（ｚ）はそれぞれ、第ｔステージにおけるローパスフィルタおよびハイパスフィルタである。これに対して、３段階ツリー構造の合成ＣＣＦＢは図１（ｂ）で示される。
【００２０】
ツリー構造ＣＣＦＢは対称拡張法による画像符号化へ応用できる。簡単のため信号は１次元とする。入力信号をＮサンプルからなる連続したブロックに分割し、それぞれの入力信号のブロックに対してツリー構造ＣＣＦＢを実現する。対称拡張法ではまず、長さＮの入力信号ｘ（ｎ）を、０≦ｎ≦Ｎ−１においてはｘ_ｅｘ（ｎ）＝ｘ（ｎ）、Ｎ≦ｎ≦２Ｎ−１においてはｘ_ｅｘ（ｎ）＝ｘ（２Ｎ−ｎ−１）となる、長さ２Ｎの対称な信号ｘ_ｅｘ（ｎ）に拡張する。次に拡張した信号を、巡回畳み込みを用いた２チャネル分析フィルタバンクへ送る。上記のように拡張した信号はｘ_ｅｘ（０）＝ｘ_ｅｘ（２Ｎ−１）を満たすため、符号化に際して境界の影響が生じない。拡張した信号は２Ｎ個のサンプルを有するが、対称であるためＮ個のサンプルで一意的に表すことができる。さらに線形位相フィルタを分析フィルタに用いれば、その出力信号は対称性が保たれる。対称拡張法のもうひとつの重要な利点として、直線畳み込みでなく巡回畳み込みを用いることにより、係数の増大が起きないことがある。入力信号とフィルタの直線畳み込みを行うと、フィルタの長さによって出力信号の長さが増加し、それにともない係数の増大が生じる。
【００２１】
［２］ ツリー構造ＣＣＦＢの複素数演算処理
本章ではまず、ツリー構造ＣＣＦＢを効率的に実現するための基礎として、複素数での並列モジュール処理の方法について説明する。Ａ（ｚ）を長さＭの信号のｚ変換とすると、信号の離散フーリエ変換（以下、これをＤＦＴとよぶ）は、Ａ（ｋ）＝Ａ（ｅ^{ｊ２πｋ／Ｍ}），ｋ＝０，１，…，Ｍ−１で与えられ、これはＡ（ｚ）においてｚにｅ^{ｊ２πｋ／Ｍ}を代入した値である。次に、多項式Ψを次式で定義する。
【数３１】

これらの多項式は次式を満足させる。
【数３２】

ここで、ｎがＭの倍数のときδ_Ｍ（ｎ）＝１、その他のときはδ_Ｍ（ｎ）＝０である。多項式Ψを用いて、離散逆フーリエ変換（以下、これをＩＤＦＴとよぶ）は
【数３３】

と表すことができる。今後、ＩＤＦＴをこの形のｚ変換で表すものとする。
【００２２】
まず合成部について述べる。第ｔステージの合成バンクにおいて、長さＮ／２^ｔ−１の合成フィルタＦ_Ｌ ^（ｔ）（ｚ）およびＦ_Ｈ ^（ｔ）（ｚ）は次のようなポリフェーズ分解で表される。
【数３４】

合成ポリフェーズ行列は
【数３５】

で与えられ、複素数モジュール合成ポリフェーズ行列は
【数３６】

で与えられる。ここでモジュール合成ポリフェーズ行列の各要素はそれぞれ、Ｒ^（ｔ）において対応する要素のＮ／２^ｔポイントのＤＦＴである。複素数での並列モジュール処理を、第（ｔ＋１）ステージと第ｔステージのＣＣＦＢの縦列における２チャネルＣＣＦＢのそれぞれに施すと、図２に示す構成となる。
【００２３】
まず、図２において両方向矢印（Ａ）で示された演算について述べる。図中の信号Ｑ（ｚ）は、Ｐ_０（ｋ）及びＰ_ｌ（ｋ）に対するＮ／２^ｔ＋１ポイントのＩＤＦＴおよび、それらのポリフェーズ構成をとり、次のように与えられる。
【数３７】

（２）式を用いて、Ｑ（ｚ）のＮ／２^ｔポイントのＤＦＴは次式で与えられる。
【数３８】

結果的には、行列の形で次のように表すことができる。
【数３９】

ここで
【数４０】

である。演算（Ａ）における２回のＮ／２^ｔ＋１ポイントのＩＤＦＴと１回のＮ／２^ｔポイントのＤＦＴは、Ｎ／２^ｔ＋１回の簡単な２×２行列の乗算となり、計算上の複雑度が軽減される。
【００２４】
行列Ａ_ｋ（ｔ）および行列Ｒ^{（ｔ＋１）}（ｋ）を予め乗じておくことにより、図２の縦列システムの複素数演算はさらに簡単になる。上記の手法を図１（ｂ）の３段階ツリー構造ＣＣＦＢの合成部にあてはめると、図３の処理となる。同図においてＡ_ｋ ^（ｔ）Ｒ^{（ｔ＋１）}（ｋ），ｔ＝１，２のブロックは、行列の乗算に加え、式（９）に基づいて信号を並べる処理を含んでいる。
【００２５】
次に分析部について述べる。並列モジュール処理を適用するため、分析フィルタＨ_Ｌ ^（ｔ）（ｚ）およびＨ_Ｈ ^（ｔ）（ｚ）をポリフェーズ分解で表す。
【数４１】

分析ポリフェーズ行列および複素数モジュール分析ポリフェーズ行列は次のように定義される。
【数４２】

【数４３】

Ｅ^（ｔ）（ｋ）の各要素は、Ｅ^（ｔ）において対応する要素のＮ／２^ｔポイントのＤＦＴである。複素数での並列モジュール処理を、分析部の第ｔステージと第ｔ＋１ステージのＣＣＦＢの縦列における、２チャネル分析ＣＣＦＢのそれぞれに施すと、図４の処理となる。
【００２６】
図２の演算（Ａ）と図４の演算（Ｂ）を比較すると、演算（Ｂ）は単に演算（Ａ）の逆に他ならない。即ち、演算（Ｂ）の入力信号と出力信号の関係は次のように表される。
【数４４】

ここで、行列Ｂ_ｋ ^（ｔ）はＡ_ｋ ^（ｔ）の逆行列である。
【数４５】

合成の場合と同様、行列Ｂ_ｋ ^（ｔ）の乗算とＥ^{（ｔ＋１）}（ｋ）の乗算は、行列Ｅ^{（ｔ＋１）}（ｋ）Ｂ_ｋ ^（ｔ）の１回の乗算にまとめることができる。上記の手法を図１（ａ）に示したシステムの２チャネル分析ＣＣＦＢのそれぞれにあてはめると、分析部は図５に示すシステムによって実現される。
【００２７】
［３］ ツリー構造ＣＣＦＢの実数演算処理
実際のアプリケーションでは信号が実数であることが多いため、実数演算のみを用いた実現方式の模索は重要である。実数のシステムにおいて計算上の複雑度を下げる手順は、複素数の場合のアプローチと同様である。
【００２８】
始めに、実数値での並列モジュール処理の方法について説明する。多項式φおよび多項式ψを次のように定義する。
【数４６】

【数４７】

多項式φと多項式ψは次の合同式を満足する。
【数４８】

長さＭの信号Ａ（ｚ）に対する、Ｍポイントの実数値化離散フーリエ変換（以下、ＲＤＦＴとよぶ）は次式で定義される。
【数４９】

角括弧は、ＤＦＴを実数値化したことを示している。信号Ａ（ｚ）が実数の場合、ＲＤＦＴはｚ^−１が１以下において実数の多項式となる。実数値化離散逆フーリエ変換（以下、ＩＲＤＦＴとよぶ）は次のように与えられる。
【数５０】

Ｍが２のべき乗のとき、ＲＤＦＴとＩＲＤＦＴは高速フーリエ変換（以下、ＦＦＴとよぶ）型のアルゴリズムを用いることにより効率的に計算することができる。また実数のみの計算であるため、上述のアルゴリズムはＦＦＴアルゴリズムよりさらに効率的である。
【００２９】
実数での並列モジュールの実行を、合成部の第ｔ＋１ステージと第ｔステージのＣＣＦＢの縦列において、２チャネルＣＣＢＦＢに適用すると、図６の実現方式を得る。Ｒ^（ｔ）［ｋ］の各要素は、合成ポリフェーズ行列Ｒ^（ｔ）において対応する要素の、Ｎ／２^ｔポイントのＲＤＦＴである。図６において、両方向矢印（Ｃ）で示された演算に対する入力信号は、Ｐ_ｍ［ｋ］＝ｐ_ｍ，ｋ（０）＋ｐ_ｍ，ｋ（１）ｚ^−１，ｍ＝０，１で表される。これらの入力信号に対し、Ｎ／２^ｔ＋１ポイントのＩＲＤＦＴを取得し、それらのポリフェーズ構成をとると、信号Ｑ（ｚ）は次式で与えられる。
【数５１】

ここでＰ［ｋ］＝［ｐ_０，ｋ（０） ｐ_０，ｋ（１） ｐ_１，ｋ（０） ｐ_{１， ｋ}（１）］^Ｔとすると、Ｐ［ｋ］＝［１ ｚ^−２ ｚ^−１ ｚ^−３］Ｐ［ｋ］である。上付きのＴは行列の転置を示す。
【００３０】
表記を簡便にするため、この章では今後、Ｎ／２^ｔ＋１をＭと表す。式（１８）を用いると、合同式Ｑ（ｚ）≡Ｐ［ｋ］ｍｏｄ（φ_ｋ／Ｍ（ｚ^２）），ｋ＝０，１，…，Ｍ／２−１を得る。演算（Ｃ）の出力信号は、Ｑ［ｋ］≡Ｑ（ｚ）ｍｏｄ（φ_ｋ／２Ｍ（ｚ）），ｋ＝０，１，…，Ｍ−１である。さらにφ_０（ｚ^２）＝φ_０（ｚ）φ_１／４（ｚ）であるから、出力信号はＱ［０］≡Ｐ［０］ｍｏｄ（φ_０（ｚ））、Ｑ［Ｍ／２］≡Ｐ［０］ｍｏｄ（φ_１／４（ｚ））である。また、φ_Ｋ／Ｍ（ｚ^２）＝φ_Ｋ／２Ｍ（ｚ）φ_{（Ｍ−ｋ）／２Ｍ}（ｚ）であるから、ｋ＝１，２，…，Ｍ／２−１においてはＱ［ｋ］≡Ｐ［ｋ］ｍｏｄ（φ_ｋ／２Ｍ（ｚ））、Ｑ［Ｍ−ｋ］≡Ｐ［ｋ］ｍｏｄ（φ_{（Ｍ−ｋ）／２Ｍ}（ｚ））である。これらの合同式を次のような４×４実数行列の乗算の形で表すことができる。
【数５２】

ここで、ｋ＝０のときＱ［ｋ］＝［ｑ_０（０） ｑ_０（１） ｑ_Ｍ／２（０） ｑ_Ｍ／２（１）］^Ｔ、ｋ＝１，２，…，Ｍ／２−１のときＱ［ｋ］＝［ｑ_ｋ（０） ｑ_ｋ（１） ｑ_Ｍ−ｋ（０） ｑ_Ｍ−ｋ（１）］^Ｔである。
【００３１】
４×４の実数行列Ｃ_ｋ ^（ｔ）は次のように定まる。まず合同式ｚ^−２≡１ｍｏｄ（φ_０（ｚ））、ｚ^−２≡−１ｍｏｄ（φ_１／４（ｚ））であり、ｋ＝１，２，…，Ｍ／２−１においてｚ^−２≡−１＋ρ_ｋ ^（ｔ）ｚ^−１ｍｏｄ（φ_ｋ／２Ｍ（ｚ））、ｚ^−３≡−ρ_ｋ ^（ｔ）＋（１＋ρ_２ｋ ^（ｔ））ｚ^−１ｍｏｄ（φ_ｋ／２Ｍ（ｚ））、ｚ^−２≡−１−ρ_ｋ ^（ｔ）ｚ^−１ｍｏｄ（φ_{（Ｍ−ｋ）／２Ｍ}（ｚ））、ｚ^−３≡ρ_ｋ ^（ｔ）＋（１＋ρ_２ｋ ^（ｔ））ｚ^−１ｍｏｄ（φ_{（Ｍ−ｋ）／２Ｍ}（ｚ））である。ここで、
【数５３】

である。
Ｐ［ｋ］＝ｐ_０，ｋ（０）＋ｐ_０，ｋ（１）ｚ^−２＋ｐ_１，ｋ（０）ｚ^−１＋ｐ_１，ｋ（１）ｚ^−３であるから、行列Ｃ_ｋ ^（ｔ）は次のように与えられる。
【数５４】

【００３２】
図６においてｍｏｄ（φ_ｋ／Ｍ（ｚ））にＲ^{（ｔ＋１）}［ｋ］を乗じる行列演算を、実数の４×４行列の乗算に変換して、Ｃ_ｋ ^（ｔ）と同時に乗ずるようにする。まず、（ａ（０）＋ａ（１）ｚ^−１）（ｂ（０）＋ｂ（１）ｚ^−１）≡ａ（０）ｂ（０）＋ａ（１）ｂ（１）＋｛ａ（０）ｂ（１）＋ａ（１）ｂ（０）｝ｚ^−１ｍｏｄ（φ_０（ｚ））であり、ｋ＝１，２，…，Ｍ／２−１においては、（ａ（０）＋ａ（１）ｚ^−１）（ｂ（０）＋ｂ（１）ｚ^−１）≡ａ（０）ｂ（０）−ａ（１）ｂ（１）＋｛ａ（０）ｂ（１）＋ａ（１）ｂ（０）＋ρ_２ｋ ^（ｔ）ａ（１）ｂ（１）｝ｚ^−１ｍｏｄ（φ_ｋ／Ｍ（ｚ））である。モジュール合成ポリフェーズ行列Ｒ^{（ｔ＋１）}［ｋ］の（ｍ，ｎ）の要素を、ｍ，ｎ＝０，１に対してｒ_{（ｍ，ｎ），ｋ} ^{（ｔ＋１）}（０）＋ｒ_{（ｍ，ｎ），ｋ} ^{（ｔ＋１）}（１）ｚ^−１，の形で表すと、ｍｏｄ（φ_ｋ／Ｍ（ｚ））にＲ^{（ｔ＋１）}［ｋ］を乗じる行列演算は、Ｐ［ｋ］＝Ｒ^{（ｔ＋１）}［ｋ］Ｓ［ｋ］で表される。ここでＳ［ｋ］＝［ｓ_０，ｋ（０） ｓ_０，ｋ（１） ｓ_１，ｋ（０） ｓ_１，ｋ（１）］^Ｔであり、
【数５５】

である。Ｒ ^{（ｔ＋１）}［ｋ］およびＣ_ｋ ^（ｔ）を乗ずる演算を結合させることによって複雑度を低減した、３段階ツリー構造ＣＣＦＢの合成部を図７に示す。図中、Ｃ_ｋ ^（ｔ） Ｒ ^{（ｔ＋１）}［ｋ］のブロックには、行列の乗算および式（２２）に基づいて入力信号および出力信号を並べる処理が含まれている。
【００３３】
分析部の第ｔステージと第ｔ＋１ステージのＣＣＦＢの縦列における、実数値並列モジュールの処理構成を図８に示す。Ｅ^（ｔ）［ｋ］の各要素は、Ｅ^（ｔ）において対応する要素の、Ｎ／２^ｔポイントのＲＤＦＴである。図８の演算（Ｄ）は、図６の演算（Ｃ）の逆である。従って、Ｑ _ｋおよびＰ _ｋの場合と同様に、入力信号をＵ _ｋ、出力信号をＶ _ｋと表すと、演算（Ｄ）は、Ｄ_ｋ ^（ｔ）をＣ_ｋ ^（ｔ）の逆行列として、Ｖ _ｋ＝Ｄ_ｋ ^（ｔ） Ｕ _ｋで与えられる。合成の場合と同様、ｍｏｄ（φ_ｋ／Ｍ（ｚ））にＥ^{（ｔ＋１）}［ｋ］を乗ずる演算は、式（２５）および式（２６）と同様にして４×４の実数行列Ｅ^{（ｔ＋１）}［ｋ］に変換できる。行列の乗算を結合させたＥ^{（ｔ＋１）}［ｋ］Ｄ_ｋ ^（ｔ）を導入することにより、複雑度を低減させた３段階ツリー構造ＣＣＢＦＢの分析部は、図９に示すような実現方式となる。
【００３４】
［２］、［３］で導出した、複雑度の低減手法は、３段階以上のツリー構造ＣＣＦＢへ容易に拡張できる。
【００３５】
［４］ ２チャネルＣＣＦＢのＰＲ条件
合成フィルタバンクによって再構成された信号が、単に分析フィルタバンクへの入力信号に対して遅延のみを有する場合、フィルタバンクは完全再構成（以下、ＰＲとよぶ）フィルタバンクと呼ばれる。ＰＲ条件は、主にエイリアス成分行列またはポリフェーズ行列を用いて解析されるが、タイムドメイン解析が有効な場合もある。ポリフェーズ行列解析によれば、分析ポリフェーズ行列の行列式が純粋な遅延の場合、すなわち、ｄを自然数、ｃを非ゼロ定数としたとき、ｄｅｔ（Ｅ）＝ｃｚ^−ｄである場合にのみＰＲのＦＩＲフィルタバンクが存在する。
【００３６】
線形位相２チャネルフィルタバンクの場合、ＦＩＲがＰＲとなるためには、分析フィルタが奇数次で逆対称もしくは偶数次で対称となる必要がある。これに基づき、２チャネルＰＲ線形位相ＦＩＲフィルタバンクの設計手法がいくつか提案されている。準完全再構成と見なされる別のアプローチでは、ＰＲの拘束条件を緩和するために再構成時のわずかな誤りを許容し、誤りの度合いを表すことによって、設計上の問題を最適化の問題として明確化している。準完全再構成においては、個々のアプリケーションに要する周波数応答を満足させるために、まず分析フィルタバンクを設計し、次に合成フィルタバンクを設計することにより、再構成時の誤りを最小にできることも示された。
【００３７】
２チャネルの分析ＣＣＦＢ及び合成ＣＣＦＢの組合せが、全てのステージにおいてＰＲであるとき、ツリー構造システムはＰＲである。本章および次章では、式（５）および式（１２）によってそれぞれ定義される、合成ポリフェーズ行列Ｒ^（ｔ）および分析ポリフェーズ行列Ｅ^（ｔ）を用いて、第ｔステージにおける２チャネルＣＣＦＢのＰＲ条件を解析する。故にＥ^（ｔ）およびＲ^（ｔ）の入力は長さＮ／２^ｔの信号である。２チャネルＣＣＦＢがＰＲであるためには、対応する複素数モジュールポリフェーズ行列が次のような関係を満たさなければならない。
【数５６】

ここでＩは２×２の単位行列である。従って、ＰＲ合成モジュールポリフェーズ行列Ｒ^（ｔ）（ｋ）は、Ｅ^（ｔ）（ｋ）を正則行列としたときＲ^（ｔ）（ｋ）＝Ｅ^（ｔ）（ｋ）^−１で与えられる。Ｅ^（ｔ）（ｋ）はスカラーの要素をもつ２×２の行列であるから、その逆行列は容易に得られる。ＰＲ条件を満たす合成ポリフェーズ行列Ｒ^（ｔ）は、Ｅ^（ｔ）（ｋ）^−１の各要素のＮ／２^ｔポイントのＩＤＦＴをとることによって得られ、実数値のＰＲシステムの構築は、Ｒ^（ｔ）を用いて実現できる。各ステージにおいて式（２７）のＰＲ条件に合致するようにフィルタを設計すれば、全ツリー構造ＣＣＦＢはＰＲシステムを構成する。
【００３８】
ポリフェーズ行列Ｅ^（ｔ）に対する行列式として次に定義される多項式Ｄ^（ｔ）（ｚ）を導入する。
【数５７】

Ｄ^（ｔ）（ｚ）のＮ／２^ｔポイントのＤＦＴとして、Ｄ^（ｔ）（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｎ／２^ｔ−１を定義する。すると上式より、
【数５８】

となる。多項式剰余算上でＤ^（ｔ）（ｚ）の逆数が存在すればＣＣＦＢはＰＲとなる。式（１３）からわかるように、Ｄ^（ｔ）（ｋ）はＥ^（ｔ）（ｋ）の行列式であるから、ｋ＝０，１，…，Ｎ／２^ｔ−１においてＤ^（ｔ）（ｋ）が非ゼロのときのみ、ＣＣＦＢはＰＲである。このとき、Ｄ^（ｔ）（ｚ）の逆数は常に有限長である。一方、通常の多項式演算では、ＦＩＲフィルタバンクのＰＲ条件である、多項式がｃｚ^−ｄの形をなすときを除き、Ｄ^（ｔ）（ｚ）の逆数は無限長である。この違いにより、通常のＦＩＲの場合と比較してＣＣＦＢのＰＲ条件はより緩和されたものとなる。Ｄ^（ｔ）（ｚ）がｃｚ^−ｄの形をとるときは、そのＤＦＴ値Ｄ^（ｔ）（ｋ）は必ず非ゼロ値をとることは明らかである。
【００３９】
式（１１）で定義される、Ｈ^（ｔ） _ｍ（ｚ）とポリフェーズ成分Ｈ^（ｔ） _ｍ０（ｚ）およびＨ^（ｔ） _ｍ１（ｚ）の関係を用いると、Ｎ／２^ｔ−１ポイントのＤＦＴであるＨ^（ｔ） _ｍ（ｋ）は、ポリフェーズ成分Ｈ^（ｔ） _ｍ０（ｚ）およびＨ^（ｔ） _ｍ１（ｚ）のＮ／２^ｔポイントのＤＦＴと、次のような関係にある。
【数５９】

ここで、ｍ＝Ｌ，Ｈであり、ｋ＝０，１，…，Ｎ／２^ｔ−１である。これらの連立方程式をＨ^（ｔ） _ｍ０（ｋ）およびＨ^（ｔ） _ｍ１（ｋ）について解き、それらの解を式（２９）に代入する。さらに実数値の分析フィルタにおけるＨ^（ｔ） _ｍ（Ｎ／２^ｔ＋ｋ）＝Ｈ^（ｔ） _ｍ（Ｎ／２^ｔ−ｋ）^＊なる関係を用い、これが真であれば
【数６０】

を得る。ここでｋ＝０，１，…，Ｎ／２^ｔ−１である。上付きの＊は複素共役を意味する。ｋ＝０，１，…，Ｎ／２^ｔ＋１のときＤ^（ｔ）（Ｎ／２^ｔ−ｋ）＝Ｄ^（ｔ）（ｋ）^＊であるから、実数値の分析フィルタにおいては、Ｄ^（ｔ）（ｋ）≠０，ｋ＝０，１，…，Ｎ／２^ｔ＋１のときのみＰＲ条件が満たされる。
【００４０】
分析フィルタＨ_Ｌ ^（ｔ）（ｚ）及びＨ_Ｈ ^（ｔ）（ｚ）が、ｋ＝０，１，…，Ｎ／２^ｔ＋１−１のとき｜Ｈ_Ｌ ^（ｔ）（ｋ）｜＞｜Ｈ_Ｈ ^（ｔ）（ｋ）｜、｜Ｈ_Ｈ ^（ｔ）（Ｎ／２^ｔ−ｋ）｜＞｜Ｈ_Ｌ ^（ｔ）（Ｎ／２^ｔ−ｋ）｜であるように設計されたとする。そのとき、｜Ｈ_Ｌ ^（ｔ）（ｋ）Ｈ_Ｈ ^（ｔ）（Ｎ／２^ｔ−ｋ）^＊｜＞｜Ｈ_Ｌ ^（ｔ）（Ｎ／２^ｔ−ｋ）^＊Ｈ_Ｈ ^（ｔ）（ｋ）｜であるから、ｋ＝Ｎ／２^ｔ＋１のときを除き全てのＤ^（ｔ）（ｋ）は非ゼロ値であることが保障される。ｋ＝Ｎ／２^ｔ＋１のときは、その行列式が次のように与えられる。
【数６１】

ここでＩｍ｛ｘ｝はｘの虚数部分である。実際のケースではほとんど、Ｄ^（ｔ）（Ｎ／２^ｔ＋１）の場合のみに注意すればよい。Ｈ_Ｌ ^（ｔ）（Ｎ／２^ｔ＋１）またはＨ_Ｈ ^（ｔ）（Ｎ／２^ｔ＋１）の一方が０でなければ、Ｈ_Ｌ ^（ｔ）（ｚ）またはＨ_Ｈ ^（ｔ）（ｚ）のどちらかをシフトさせることによりＤ^（ｔ）（Ｎ／２^ｔ＋１）を容易に０以外にすることができる。時間をシフトさせてもフィルタの振幅応答は変化しない。
【００４１】
［５］ ＱＭＦ ＣＣＦＢ
直交ミラーフィルタ（ＱＭＦ）バンクは分析フィルタがＨ_Ｈ（ｚ）＝Ｈ_Ｌ（−ｚ）なる関係を有する２チャネルフィルタバンクであり、Ｈ_Ｌ（ｚ）が良好なローパスフィルタであれば、Ｈ_Ｈ（ｚ）は良好なハイパスフィルタであることが保障される。ＱＭＦバンクは、ローパスフィルタＨ_Ｌ（ｚ）のみを設計すればよいことから重要性を有し、ポリフェーズ構造を用いることによって効率的な実現が可能である。しかしＨ_Ｌ（ｚ）がＦＩＲに限定される場合、ＰＲ条件のために、プロトタイプフィルタＨ_Ｌ（ｚ）のポリフェーズ成分はＨ_Ｌ０（ｚ）＝ｃ_０ｚ^−ｎおよびＨ_Ｌ１（ｚ）＝ｃ_１ｚ^−ｍの形をとる必要がある。ここでｎおよびｍは自然数、ｃ_０およびｃ_１は非ゼロ定数である。この拘束条件は、フィルタに良好なストップバンド減衰がないことを意味する。
【００４２】
第ｔステージの分析フィルタにおいて、Ｈ_Ｈ ^（ｔ）（ｚ）＝Ｈ_Ｌ ^（ｔ）（−ｚ）のとき、分析フィルタＨ_Ｈ ^（ｔ）（ｚ）は、Ｈ_Ｌ ^（ｔ）（ｚ）のポリフェーズ成分と次の関係にある。
【数６２】

このとき分析ポリフェーズ行列は次のように与えられる。
【数６３】

Ｅ^（ｔ）の行列式Ｄ^（ｔ）（ｚ）は
【数６４】

である。前章で述べたとおり、行列式のＤＦＴ値Ｄ^（ｔ）（ｋ）がｋ＝０，１，…，Ｎ／２^ｔ＋１において非ゼロのときのみ、２チャネルＣＣＦＢはＰＲである。通常のＱＭＦバンクにおける必要条件と同様に、Ｈ^（ｔ） _Ｌ０（ｚ）＝ｃ_０ｚ^−ｎ、Ｈ^（ｔ） _Ｌ１（ｚ）＝ｃ_１ｚ^−ｍのときは、Ｄ^（ｔ）（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｎ／２^ｔ＋１は非ゼロ値であり、ＣＣＦＢはＰＲとなる。
【００４３】
通常のＱＭＦバンクと比較して、ＣＣＦＢのＰＲの拘束条件はより緩和されたものとなる。Ｈ_Ｈ ^（ｔ）（ｚ）＝Ｈ_Ｌ ^（ｔ）（−ｚ）なる関係を用いて、行列式のＤＦＴ値は次式で与えられる。
【数６５】

式（３１）の後で述べたように、Ｄ^（ｔ）（ｋ）がｋ＝０，１，…，Ｎ／２^ｔ＋１において非ゼロ値のときのみＰＲ条件を満足する。プロトタイプ分析フィルタＨ_Ｌ ^（ｔ）（ｚ）が、｜Ｈ_Ｌ ^（ｔ）（ｋ）｜＞｜Ｈ_Ｌ ^（ｔ）（Ｎ／２^ｔ−ｋ）｜，ｋ＝０，１，…，Ｎ／２^ｔ＋１−１を満たすローパスフィルタのとき、そのようなｋにたいして｜Ｈ_Ｌ ^（ｔ）（ｋ）｜^２＞｜Ｈ_Ｌ ^（ｔ）（Ｎ／２^ｔ−ｋ）^＊｜^２であるから、（Ｈ_Ｌ ^（ｔ）（ｋ））^２≠（Ｈ_Ｌ ^（ｔ）（Ｎ／２^ｔ−ｋ）^＊）^２となる。従ってｋ＝０，１，…，Ｎ／２^ｔ＋１−１においてＤ^（ｔ）（ｋ）は非ゼロ値である。臨界点となるのはｋ＝Ｎ／２^ｔ＋１のときであり、このときの行列式は次式で与えられる。
【数６６】

この式から、ＤＦＴ値Ｈ_Ｌ ^（ｔ）（Ｎ／２^ｔ＋１）の実数部、虚数部の双方が非ゼロ値のときに限り、Ｄ^（ｔ）（Ｎ／２^ｔ＋１）は非ゼロ値になることがわかる。
【００４４】
各ステージのローパスフィルタは、ツリー構造システム全体がＰＲとなるように設計する必要がある。さらにフィルタの設計にあたっては、｜Ｄ^（ｔ）（Ｎ／２^ｔ＋１）｜の値が小さくならないように注意を払わなければならない。値が小さくなることによって、合成フィルタ係数が増大するとともに、合成部におけるノイズ増幅をもたらす。
【００４５】
導入例：第ｔステージにおけるフィルタ長をＮ／２^ｔ＋１とする。導入例として、長さ３２のローパス線形位相フィルタを、ＰＲの制限を課さない標準的なｒｅｍｅｚ交換法を用いて設計した。図１０はフィルタのインパルス応答を、図１１はそのＤＦＴを示している。図１１より、ｋ＝０，１，…，７において｜Ｈ_Ｌ（ｋ）｜＞｜Ｈ_Ｌ（１６−ｋ）｜であり、Ｈ_Ｌ（８）の実数部および虚数部は非ゼロであることがわかる。従って、このフィルタはＰＲ条件を満たしている。フィルタの振幅応答を図１２に示す。
【００４６】
［６］ 本実施の形態の評価
ＤＦＴドメイン構造図はフィルタが巡回畳み込みをなすフィルタバンクに適しているため、本章ではまずツリー構造システムにおけるＤＦＴドメイン構造図を導出し、次に、ツリー構造の構成がもたらす問題点について述べる。本章の後半では、本実現方式の計算上の複雑度にいついて評価する。
【００４７】
ツリー構造の構成中、２チャネルＣＣＦＢを縦列にすると、図１２に示すような周波数応答は、システム全体の周波数応答を直接反映することはない。ここで図１３（ａ）に示すプロセスについて考える。長さＭの入力信号Ｘ（ｚ）はまず、１／２ダウンサンプラを通過し、ダウンサンプラの出力信号および長さＭ／２のフィルタＨ（ｚ）についてのＭ／２ポイント巡回畳み込みから出力Ｙ（ｚ）が得られる。このプロセスは、図１３（ｂ）に示すように、入力信号Ｘ（ｚ）およびＨ（ｚ^２）のＭポイントの巡回畳み込みの後に１／２ダウンサンプラを通過するシステムと等しいことは、容易に理解できる。ＤＦＴドメインにおける実現手順は、図１３（ｃ）のように表すことができる。同図で、（ｋ）_Ｍ／２≡ｋ ｍｏｄ（Ｍ／２）であり、Ｈ（ｋ）はフィルタＨ（ｚ）のＭ／２ポイントのＤＦＴである。ＭポイントのＤＦＴ、Ｈ（（ｋ）_Ｍ／２）はＨ（ｚ）のＭ／２ポイントのＤＦＴを、ｋが０からＭ−１に至るまで２回繰り返す。図１３の手法を図１（ａ）の３段階ツリー構造分析ＣＣＦＢにあてはめると、図１４に示すＤＦＴドメイン構造図が得られる。
【００４８】
ツリー構造ＣＣＦＢは、ステージが１つ増すごとにフィルタ長を半分にしなければならない点が困難である。例えばＮ＝３２のとき、第２ステージのフィルタ長は１６であり、第３ステージでは８である。良好な周波数応答を有する短いフィルタを設計することは難しく、そのため、ステージが上がるごとに遷移バンドはシャープでなくなる傾向にある。サブチャネル遷移バンドは、基本的により高いステージにおけるフィルタのＤＦＴによって変化し、信号ブロックの大きさＮと、周波数応答の分解能とはトレードオフの関係にある。
【００４９】
本章の後半では、本実現方式の計算上の複雑度について、分析部に焦点をあてて評価を行う。ＭポイントのＦＦＴまたはＩＦＦＴを行うと、複素数の乗算が（Ｍ／２）ｌｏｇ_２（Ｍ）回、複素数の和算が（Ｍ）ｌｏｇ_２（Ｍ）回必要となる。２×２複素数行列の乗算における複雑度は、複素数の乗算が４回、複素数の和算が２回である。１回の複素数乗算の複雑度は、実数の乗算が４回と実数の和算が２回としてカウントする。実数のシステムにおいて、ＭポイントのＲＤＦＴの複雑度は実数の乗算が（Ｍ／２）ｌｏｇ_２（Ｍ）−３Ｍ／２＋２回、の実数の和算が（３Ｍ／２）ｌｏｇ_２（Ｍ）−５Ｍ／２＋２回である。ツリー構造システムの複雑度は上述の値を用いて、複素数の場合は図３、実数の場合は図７より計算できる。
【００５０】
ここで、最小化手順を踏まずに２チャネルＣＣＦＢを各々、複素数並列処理によって実現した場合の複雑度を評価する。長さＭの入力信号に対して２チャネル分析ＣＣＦＢを実行するには、Ｍ／２ポイントのＤＦＴが２回、Ｍ／２ポイントのＩＤＦＴが２回、２×２複素数行列乗算がＭ／２回必要となる。長さＭの入力信号に対する２チャネルＣＣＦＢを、実数の並列モジュールで実現した場合、Ｍ／２ポイントのＲＤＦＴが２回、Ｍ／２ポイントのＩＲＤＦＴが２回、４×４実数行列の乗算がＭ／４回必要となる。
【００５１】
最も効率的な実現方式の１つに、コサイン変調フィルタバンクがある。長さＭの分析フィルタを有する２チャネルフィルタバンクの計算上の複雑度は、ポリフェーズの実行手法を用い、高速離散コサイン変換の計算コストを無視すると、入力信号のサンプルポイントごとに、ほぼ乗算Ｍ／２回、和算（Ｍ−１）／２回となる。２チャネルフィルタバンクがラティス形のときも同じ桁の演算が必要となる。対称拡張法はコサイン変調フィルタバンクに不必要なため、入力信号の長さをＮでなくＮ／２と仮定し、ＣＣＦＢシステムに対して公平を期す。入力信号サイズＮ／２、フィルタ長Ｎの２チャネルコサイン変調フィルタバンクの複雑度は、乗算がＮ^２／４回、和算がＮ（Ｎ−１）／４回となる。第２ステージの２チャネルフィルタバンクでは、入力信号サイズはＮ／４、フィルタ長さはＮ／２となる。第３ステージにおける入力信号サイズおよびフィルタ長は第２ステージの半分となる。図１５に３段階までの分析フィルタバンクの複雑度をまとめた。図１６はＮ＝１６，３２，６４および１２８のときの、実数値での並列モジュールの実現、本手法による実数値での実現、およびコサイン変調フィルタバンクのそれぞれにおいて必要となる演算数を示している。Ｎが６４以上のとき、本手法を実数値で実現すると、他の２つの実現方式より良好な結果となることがわかる。
【００５２】
具体的構成
以上述べた概説に基づき、本実施の形態の具体的構成を次に述べる。
【００５３】
図１７は、第１の実施の形態に係る分析フィルタバンクのブロック図であり、基本となる動作原理は概要の［２］において述べたとおりである。分析フィルタバンク１００への複素数の入力信号Ｘ（ｚ）は、ダウンサンプラ１１０を経てＤＦＴ演算部１２０にて離散フーリエ変換をそれぞれ施され、行列乗算部１３０に送信される。次に行列乗算部１３０において、概要［２］における式（１３）で定義される行列Ｅ^（ｔ）（ｋ）のうち、ｔ＝１なる行列が乗算される。さらなる分割を行う長さＮ／２の信号、Ｕ（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｎ／２−１は、第１の行列演算部１４０へ送られる一方、分析フィルタバンク１００の出力とする信号は、ＩＤＦＴ演算部１６０へ送られる。第１の行列演算部１４０では、概要［２］における式（１５）で定義される行列Ｂ_ｋ ^（ｔ）のうち、ｔ＝1なる行列と、式（１３）で定義される行列Ｅ^（ｔ）のうち、ｔ＝２なる行列との積、Ｅ^（２）（ｋ）Ｂ_ｋ ^（１）の行列をあらかじめ計算し、記憶しておく。行列乗算部１３０から送信された信号Ｕ（ｋ）は［Ｕ（ｋ），Ｕ（Ｎ／４＋ｋ）］^Ｔ，ｋ＝０，１，…，Ｎ／４−１
なる行列に変換され、前記Ｅ^（２）（ｋ）Ｂ_ｋ ^（１）を乗算される。結果として得られた行列を［Ｓ_０（ｋ），Ｓ_１（ｋ）］^Ｔとすると、長さＮ／４の２つの信号、Ｓ_０（ｋ）およびＳ_１（ｋ）が第１の行列演算部１４０より出力される。信号Ｓ_０（ｋ）は第２の行列演算部１５０へ、信号Ｓ_１（ｋ）はＩＤＦＴ演算部１６０へ送られる。
【００５４】
ＩＤＦＴ演算部１６０は、入力信号に対し、離散逆フーリエ変換を施し、分析フィルタバンク１００の出力信号とする。
【００５５】
第２の行列演算部１５０にて、第１の行列演算部１４０と同様の処理を繰り返し、得られた２つの信号をＩＤＦＴ演算部１６０へ送信して、分析フィルタバンク１００の最終的な出力信号を得る。
【００５６】
図１８は第２の実施の形態に係る合成フィルタバンクのブロック図であり、基本となる動作原理は概要の［２］において述べたとおりである。合成フィルタバンク２００の複素数の入力信号は、ＤＦＴ演算部２１０にてそれぞれ離散フーリエ変換を施される。長さＮ／８の２つの信号、Ｓ_０（ｋ）およびＳ_１（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｎ／８−１は、第１の行列演算部２２０に送られる。第１の行列演算部２２０では、概要［２］における式（６）で定義される行列Ｒ^（ｔ）（ｋ）のうち、ｔ＝３なる行列と、式（１０）で定義される行列Ａ_ｋ ^（ｔ）のうち、ｔ＝２なる行列との積、Ａ_ｋ ^（２）Ｒ^（３）（ｋ）の行列をあらかじめ計算し、記憶しておく。ＤＦＴ演算部２１０より送信された２つの信号は、行列［Ｓ_０（ｋ），Ｓ_１（ｋ）］^Ｔの形となり、前記Ａ_ｋ ^（２）Ｒ^（３）（ｋ）が乗算される。結果として得られた行列は、概要の式（９）に基づいて並べられ、長さＮ／４の信号Ｑ（ｋ），ｋ＝０，１，…，Ｎ／４として出力されて、第２の行列演算部２３０へ送られる。第２の行列演算部２３０へは、ＤＦＴ演算部２１０から出力された長さＮ／４の信号も入力され、第１の行列演算部２２０と同様の処理が行われる。第２の行列演算部２３０とＤＦＴ演算部２１０からそれぞれ出力された長さＮ／２の信号は、行列乗算部２４０へ送られ、概要［２］における式（６）で定義される行列Ｒ^（ｔ）（ｋ）のうち、ｔ＝１なる行列が乗算される。このようにして得られた信号は、ＩＤＦＴ演算部２５０にて離散逆フーリエ変換を施され、アップサンプラ２６０を介して合成フィルタバンク２００の出力信号Ｙ（ｚ）として出力される。
【００５７】
本発明における第３の実施の形態に係る分析フィルタバンクは、図１７に示したブロック図と同じ構成を有する。基本となる動作原理は概要の［３］において述べたとおりである。第１の実施の形態と異なる点は、入力信号が実数のみからなり、全ての演算を実数のみで行うことである。そのため、行列乗算部１３０にて乗算される行列は、概要［３］におけるＥ ^（ｔ）［ｋ］のうち、ｔ＝１なる行列であり、第１の行列演算部１４０への実数入力信号Ｕ（ｋ）は、Ｕ（ｋ）＝ｕ_ｋ（０）＋ｕ_ｋ（１）ｚ^−１ （ｍ＝０，１）なる形で表したとき、ｋ＝０にてＵ［ｋ］＝［ｕ_０（０） ｕ_０（１） ｕ_Ｍ（０） ｕ_Ｍ（１）］^Ｔ、ｋ＝１，２，…，Ｎ／２−１にてＵ［ｋ］＝［ｕ_ｋ（０） ｕ_ｋ（１） ｕ_２Ｍ−ｋ（０） ｕ_２Ｍ−ｋ（１）］^Ｔとなる行列へ変換される。この変換は、行列乗算部１３０、第２の行列演算部１５０への入力信号に対しても同様に行われる。行列Ｕ［ｋ］に第１の行列演算部１４０で乗算される行列は、概要［３］における行列Ｄ_ｋ ^（ｔ）およびＥ ^（ｔ）［ｋ］を用いて、Ｅ ^（２）［ｋ］Ｄ_ｋ ^（１）となる。さらに演算結果をＳ(ｋ)＝［ｓ_０，ｋ（０） ｓ_０，ｋ（１） ｓ_１，ｋ（０）ｓ_１，ｋ（１）］^Ｔとしたとき、Ｓ_ｍ（ｋ）＝ｓ_ｍ，ｋ（０）＋ｓ_ｍ，ｋ（１）ｚ^−１ （ｍ＝０，１）なる２つの信号が出力される。第２の行列演算部においても同様の処理が行われる。
【００５８】
本発明における第４の実施の形態に係る分析フィルタバンクは、図１８に示したブロック図と同じ構成を有する。第２の実施の形態と異なるのは、第３の実施の形態と同じく、実数のみの演算で構成されている点である。そのため、入力信号をＳ_ｍ（ｋ）＝ｓ_ｍ，ｋ（０）＋ｓ_ｍ，ｋ（１）ｚ^−１ （ｍ＝０，１）なる形で表したときの行列、Ｓ(ｋ)＝［ｓ_０，ｋ（０） ｓ_０，ｋ（１） ｓ_１，ｋ（０） ｓ_１，ｋ（１）］^Ｔへ、ブロックごとに行列を乗算していく。第１の行列演算部２２０においては、概要［３］における式（２５）で定義される行列Ｒ ^{（ｔ＋１）}［ｋ］と、式（２４ａ）および（２４ｂ）で定義される行列Ｃ_ｋ ^（ｔ）のうち、ｔ＝２なる行列との積、Ｃ_ｋ ^（２） Ｒ ^（３）［ｋ］を乗算する。演算結果となる行列を、ｋ＝０のときＱ［ｋ］＝［ｑ_０（０） ｑ_０（１） ｑ_Ｍ／２（０） ｑ_Ｍ／２（１）］^Ｔ、ｋ＝１，２，…，Ｍ／２−１のときＱ［ｋ］＝［ｑ_ｋ（０） ｑ_ｋ（１） ｑ_Ｍ−ｋ（０） ｑ_Ｍ−ｋ（１）］^Ｔとすると、Ｑ（ｋ）＝ｑ_ｋ（０）＋ｑ_ｋ（１）ｚ^−１が、第１の行列演算部２２０における出力信号となる。また、行列乗算部２４０では、前記行列Ｒ ^{（ｔ＋１）}［ｋ］のうちｔ＝０なる行列が乗算される。第２の行列演算部２３０は第１の行列演算部２２０と同様の処理となる。
【００５９】
全ての実施の形態において、前記行列演算部は第１、第２のみに限らず、所望とする数だけ設けてもよい。また、前記行列演算部１４０、１５０、２２０、２３０は、前記入力信号に乗算する２つの行列の積を予め計算せず、入力信号に順次乗算させてもよい。
【００６０】
以上、本発明を実施の形態をもとに説明した。この実施の形態は例示であり、それらの各構成要素や各処理プロセスの組合せにいろいろな変形例が可能なこと、またそうした変形例も本発明の範囲にあることは当業者に理解されるところである。
【００６１】
【発明の効果】
本発明によれば、ツリー構造の分析フィルタバンクまたは合成フィルタバンクの実現に要する演算回数が減り、より低い計算コストで高い品質の信号処理を行うことが可能となる。また、完全再構成の条件が緩和されることにより、フィルタバンクの設計を容易に行うことができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】 ３段階ツリー構造ＣＣＦＢの基本構造を示す図である。図１（ａ）は分析フィルタバンク、図１（ｂ）は合成フィルタバンクである。
【図２】 合成ＣＣＦＢの第ｔ＋１ステージと第ｔステージの縦列において複素数の並列モジュールを実現した時の構成を示す図である。
【図３】 ３段階ツリー構造の合成ＣＣＦＢにおける、本実施の形態に係る複素数での実現方式の構成を示す図である。
【図４】 分析ＣＣＦＢの第ｔ＋１ステージと第ｔステージの縦列において複素数の並列モジュールを実現した時の構成を示す図である。
【図５】 ３段階ツリー構造の分析ＣＣＦＢにおける、本実施の形態に係る複素数での実現方式の構成を示す図である。
【図６】 合成ＣＣＦＢの第ｔ＋１ステージと第ｔステージの縦列において実数の並列モジュールを実現した時の構成を示す図である。
【図７】 ３段階ツリー構造の合成ＣＣＦＢにおける、本実施の形態に係る実数での実現方式の構成を示す図である。
【図８】 分析ＣＣＦＢの第ｔ＋１ステージと第ｔステージの縦列において実数の並列モジュールを実現した時の構成を示す図である。
【図９】 ３段階ツリー構造の分析ＣＣＦＢにおける、本実施の形態に係る実数での実現方式の構成を示す図である。
【図１０】 導入例において設計されたフィルタの評価結果のうち、インパルス応答を示す図である。
【図１１】 導入例において設計されたフィルタの評価結果のうち、ＤＦＴを示す図である。
【図１２】 導入例において設計されたフィルタの評価結果のうち、振幅応答を示す図である。
【図１３】 ダウンサンプラとＭ／２ポイント巡回畳み込みとの関係を示す説明図である。
【図１４】 ３段階ツリー構造ＣＣＦＢのＤＦＴドメイン構造を示す図である。
【図１５】 長さＮの入力信号に対する２分割ツリー構造フィルタバンクの計算上の複雑度を、フィルタバンクの実現方式によって比較した図である。
【図１６】 各入力信号長に対する演算回数を、フィルタバンクの実現方式によって比較した図である。
【図１７】 本実施の形態に係る分析フィルタバンクのブロック図である。
【図１８】 本実施の形態に係る合成フィルタバンクのブロック図である。
【符号の説明】
１００ 分析フィルタバンク、 １１０ ダウンサンプラ １２０ ＤＦＴ演算部、 １３０ 行列乗算部、 １４０ 第１の行列演算部、 １５０ 第２の行列演算部、 １６０ ＩＤＦＴ演算部、 ２００ 合成フィルタバンク、 ２１０ ＤＦＴ演算部、 ２２０ 第１の行列演算部、 ２３０第２の行列演算部、 ２４０ 行列乗算部、 ２５０ ＩＤＦＴ演算部 ２６０ アップサンプラ。[0001]
BACKGROUND OF THE INVENTION
The present invention relates to a filter bank used for signal coding and the like, and more particularly to a discrete wavelet transform using a tree structure filter bank in subband coding.
[0002]
[Prior art]
The filter bank is used for encoding and compression of audio signals and image signals. In an analysis filter bank in subband coding, an input signal is divided by a frequency band and output as a subband signal. On the other hand, the synthesis filter bank synthesizes the subband signals and reconstructs the original signal. A filter bank used for subband coding has an advantage in that signal processing for each frequency band can be performed according to the purpose of use. In particular, a discrete wavelet transform has been introduced in a tree structure filter bank generally used in subband coding. Since the discrete wavelet transform has an excellent frequency resolution in a low frequency band that is important for general image signals and the like, high-quality encoding can be performed efficiently. Many studies have been conducted to realize a filter bank efficiently. As one of them, the inventor has proposed a parallel module realization method in which a filter bank is realized by parallel processing of a fast Fourier transform processor and matrix multiplication (see Patent Document 1).
[0003]
An ideal filter bank in which the signal reconstructed by the synthesis filter bank has only a delay with respect to the input signal to the analysis filter bank is called a complete reconstruction filter bank. Numerous analysis results have been obtained for the conditions for complete reconstruction. Among them, for example, in an analysis using a polyphase matrix, a general FIR filter bank has a polyphase matrix determinant of cz when d is a natural number and c is a non-zero constant.^-DOnly in this case, it has been derived that a complete reconstruction is achieved.
[0004]
[Patent Document 1]
JP 2001-102931 A (FIG. 2)
[0005]
[Problems to be solved by the invention]
As the number of signal divisions increases, the tree structure filter bank increases the calculation cost and the design becomes complicated. Furthermore, in order to realize a completely reconstructed filter bank, it is generally necessary to satisfy strict conditions, which makes the filter bank design more difficult.
[0006]
The present invention has been made in view of such circumstances, and an object thereof is to provide a method for efficiently realizing a tree structure filter bank.
[0007]
Another object of the present invention is to provide a method for easily designing a filter bank having perfect reconstruction characteristics.
[0008]
[Means for Solving the Problems]
The present invention is to solve the above-mentioned problems, and in a tree-structured filter bank that can alleviate a complete reconstruction condition, the steps required for each stage of analysis and synthesis are simplified using matrix operations.
[0009]
One embodiment of the present invention relates to an analysis filter bank. This filter bank includes a matrix calculation unit that outputs at least two signals of length M by matrixing an input signal having a length of 2M subjected to at least discrete Fourier transform in accordance with a predetermined rule and performing a predetermined matrix calculation. It is characterized by.
[0010]
For example, for each input signal U (k), k = 0, 1,..., 2M-1 having a length of at least a discrete Fourier transform, each element in the polyphase matrix of the analysis filter of length M is discrete. E (k) is a 2 × 2 matrix having a Fourier transformed polynomial as an element,
[Expression 21]

2 × 2 matrix defined by_kWhen
[Expression 22]

And the two signals S of length M₀(K), S₁An arithmetic unit that outputs (k), k = 0, 1,..., M−1 may be included.
[0011]
The input signal U (k) may be subjected to a predetermined process after being subjected to discrete Fourier transform and before being input to the arithmetic unit. Specifically, the arithmetic units may be connected in cascade, and one of the output signals of the arithmetic unit may be used as an input signal of the arithmetic unit connected next, or an arithmetic operation of multiplying only E (k) is performed. You may input into the said calculation part later.
[0012]
As yet another example, a 2M-long real input signal U (k), k = 0, 1,..._k(0) + u_k(1) z^-1When expressed in the form (m = 0, 1), when k = 0U[K] = [u₀(0) u₀(1) u_M(0) u_M(1)]^T, When k = 1, 2,..., M−1U[K] = [u_k(0) u_k(1) u_2M-k(0) u_2M-k(1)]^TMatrix defined byU[K] (k = 0, 1,..., M−1), a 2 × 2 matrix E (k) having a polynomial obtained by discrete Fourier transform of each element in the polyphase matrix of the synthesis filter of length M. Of (m, n)_{(M, n), k}(0) + e_{(M, n), k}(1) z^-1In the form of (m = 0, 1), ρ_k= 2 cos (πk / M)
[Expression 23]

Matrix defined byE(K) and
[Expression 24]

Matrix D defined by_kAnd
[Expression 25]

Perform the operationS(k) = [s_{0, k}(0) s_{0, k}(1) s_{1, k}(0) s_{1, k}(1)]^TWhenSReplace each element of (k) with S_m(K) = s_{m, k}(0) + s_{m, k}(1) z^-1Two signals S of length M such that (m = 0, 1)₀(K), S₁An arithmetic unit that outputs (k), k = 0, 1,..., M−1 may be included.
[0013]
Here, the superscript T represents a transposed matrix.
[0014]
Another aspect of the invention relates to a synthesis filter bank. This synthesis filter bank matrixes at least two input signals of length M / 2 subjected to discrete Fourier transform according to a predetermined rule, and outputs a signal of length M by performing a predetermined matrix operation. It is characterized by including a part.
[0015]
For example, at least two input signals S of length M / 2 subjected to discrete Fourier transform₀(K) and S₁(K), k = 0, 1,..., M / 2-1, a 2 × 2 matrix having a polynomial obtained by discrete Fourier transform of each element in the polyphase matrix of the synthesis filter of length M / 2. Is R (k),
[Equation 26]

A 2 × 2 matrix defined by_kWhen
[Expression 27]

And an arithmetic unit that outputs a signal Q (k), k = 0, 1,..., M−1 having a length M.
[0016]
The input signal S₀(K) and S₁(K) may be subjected to predetermined processing after being subjected to discrete Fourier transform and before being input to the arithmetic unit. Specifically, the arithmetic units may be connected in cascade, and the output signal of the arithmetic unit may be one of the input signals of the arithmetic units connected next.
[0017]
As another example, two real input signals S of length M / 2 which have been subjected to at least discrete Fourier transform.₀(K) and S₁(K), k = 0, 1,..._m(K) = s_{m, k}(0) + s_{m, k}(1) z^-1When expressed in the form (m = 0, 1),S(k) = [s_{0, k}(0) s_{0, k}(1) s_{1, k}(0) s_{1, k}(1)]^TMatrix defined bySFor [k], (m, n) elements of a 2 × 2 matrix R (k) whose elements are polynomials subjected to DFT for each element in the polyphase matrix of the synthesis filter of length M / 2 , R_{(M, n), k}(0) + r_{(M, n), k}(1) z^-1In the form of (m = 0, 1), ρ_k= 2 cos (πk / M)
[Expression 28]

Matrix defined byR(k) and
[Expression 29]

Matrix C defined by_kAnd
[30]

Perform the operationQWhen each element of [k] is k = 0Q[K] = [q₀(0) q₀(1) q_{M / 2}(0) q_{M / 2}(1)]^T, When k = 1, 2,..., M / 2-1Q[K] = [q_k(0) q_k(1) q_Mk(0) q_Mk(1)]^TWhen
Q (k) = q_k(0) + q_k(1) z^-1An arithmetic unit that outputs a real signal Q (k), k = 0, 1,...
Note that the expression of the present invention converted into a filtering method, a filter bank design method, or the like, or any combination thereof is also effective as an aspect of the present invention.
[0018]
DETAILED DESCRIPTION OF THE INVENTION
Overview
First, the principle of the present invention will be outlined. [1] shows a basic configuration of a tree structure cyclic convolution filter bank to which the present invention is applied. In [2], a filter bank realization method according to the present embodiment will be described based on complex module parallel calculation. In [3], a realization method of the filter bank according to the present embodiment will be described based on parallel module calculation with real numbers. In [4], the complete reconstruction condition of the filter bank according to the present embodiment is analyzed. In [5], the complete reconstruction condition when using the QMF bank is analyzed, the design of the linear phase FIR QMF bank using this embodiment is explained using the standard filter design subroutine, and the characteristics are evaluated. Do. [6] compares the computational complexity of the filter bank implementation method according to the present embodiment with other implementation methods.
[0019]
[1] Basic tree structure using a cyclic convolution filter bank
The two-channel filter bank is the building block that forms the basis of the two-part tree structure filter bank. The tree structure filter bank according to the present embodiment uses cyclic convolution as a filter. By connecting two-channel analysis cyclic convolution filter banks (hereinafter referred to as CCFB), an analysis CCFB having a three-stage tree structure shown in FIG. 1A is obtained. Here, it is assumed that the length of the input signal is N and N is a power of 2. N / 2 in the figure^t-1-CC H_m ^(T)(Z), t = 1, 2, 3 and m = L, H blocks are the input signal and filter H_m ^(T)N / 2 of (z)^t-1It shows a point circular convolution operation. Analysis filter H_L ^(T)(Z) and H_H ^(T)(Z) are a low-pass filter and a high-pass filter in the t-th stage, respectively. In contrast, a composite CCFB having a three-stage tree structure is shown in FIG.
[0020]
The tree structure CCFB can be applied to image coding by a symmetric extension method. For simplicity, the signal is one-dimensional. The input signal is divided into consecutive blocks of N samples, and a tree structure CCFB is realized for each input signal block. In the symmetric expansion method, first, an input signal x (n) having a length N is expressed as x in 0 ≦ n ≦ N−1._ex(N) = x (n), x for N ≦ n ≦ 2N−1_exSymmetric signal x of length 2N such that (n) = x (2N−n−1)_exExtend to (n). The expanded signal is then sent to a two-channel analysis filter bank using cyclic convolution. The signal expanded as above is x_ex(0) = x_exSince (2N-1) is satisfied, the influence of the boundary does not occur in encoding. The expanded signal has 2N samples, but is symmetrical and can be uniquely represented by N samples. Furthermore, if a linear phase filter is used for the analysis filter, the output signal is kept symmetrical. Another important advantage of the symmetric expansion method is that no coefficient increase occurs by using cyclic convolution instead of linear convolution. When linear convolution of the input signal and the filter is performed, the length of the output signal increases with the length of the filter, and the coefficient increases accordingly.
[0021]
[2] Complex number arithmetic processing of tree structure CCFB
In this chapter, first, a parallel module processing method using complex numbers will be described as a basis for efficiently realizing the tree structure CCFB. Assuming that A (z) is a z-transform of a signal of length M, the discrete Fourier transform of the signal (hereinafter referred to as DFT) is A (k) = A (e^{j2πk / M}), K = 0, 1,..., M−1, which is z to e in A (z)^{j2πk / M}This is the value assigned. Next, the polynomial Ψ is defined by the following expression.
[31]

These polynomials satisfy the following equation:
[Expression 32]

Here, when n is a multiple of M, δ_M(N) = 1, otherwise δ_M(N) = 0. Using the polynomial Ψ, the discrete inverse Fourier transform (hereinafter referred to as IDFT) is
[Expression 33]

It can be expressed as. In the future, IDFT will be represented by this form of z-transform.
[0022]
First, the synthesis unit will be described. In the t-th stage synthesis bank, length N / 2^t-1Synthesis filter F_L ^(T)(Z) and F_H ^(T)(Z) is expressed by the following polyphase decomposition.
[Expression 34]

The composite polyphase matrix is
[Expression 35]

The complex number module composite polyphase matrix is given by
[Expression 36]

Given in. Where each element of the module composite polyphase matrix is R^(T)N / 2 of the corresponding element in^tIt is a DFT of points. When the parallel module processing with complex numbers is applied to each of the two-channel CCFBs in the CCFB column of the (t + 1) -th stage and the t-th stage, the configuration shown in FIG. 2 is obtained.
[0023]
First, the calculation indicated by the double arrow (A) in FIG. 2 will be described. The signal Q (z) in the figure is P₀(K) and P_lN / 2 for (k)^{t + 1}Taking the IDFT of points and their polyphase configuration, they are given as follows:
[Expression 37]

Using equation (2), N / 2 of Q (z)^tThe DFT of the point is given by
[Formula 38]

As a result, it can be expressed in the form of a matrix as follows.
[39]

here
[Formula 40]

It is. 2 times N / 2 in operation (A)^{t + 1}IDFT of points and 1 N / 2^tPoint DFT is N / 2^{t + 1}This is a simple 2 × 2 matrix multiplication, which reduces the computational complexity.
[0024]
Matrix A_k(T) and matrix R^{(T + 1)}By multiplying in advance by (k), the complex number operation of the tandem system of FIG. 2 is further simplified. If the above method is applied to the synthesis unit of the three-stage tree structure CCFB in FIG. 1B, the processing of FIG. 3 is obtained. A in the figure_k ^(T)R^{(T + 1)}The blocks of (k), t = 1, 2 include processing for arranging signals based on Expression (9) in addition to matrix multiplication.
[0025]
Next, the analysis unit will be described. Analysis filter H to apply parallel module processing_L ^(T)(Z) and H_H ^(T)(Z) is represented by polyphase decomposition.
[Expression 41]

The analysis polyphase matrix and the complex module analysis polyphase matrix are defined as follows.
[Expression 42]

[Expression 43]

E^(T)Each element of (k) is E^(T)N / 2 of the corresponding element in^tIt is a DFT of points. When the parallel module processing with complex numbers is applied to each of the two-channel analysis CCFBs in the column of CCFBs of the t-th stage and the t + 1-th stage of the analysis unit, the process of FIG. 4 is obtained.
[0026]
Comparing the operation (A) in FIG. 2 and the operation (B) in FIG. 4, the operation (B) is nothing more than the reverse of the operation (A). That is, the relationship between the input signal and the output signal for the operation (B) is expressed as follows.
(44)

Where matrix B_k ^(T)Is A_k ^(T)Is the inverse matrix of
[Equation 45]

As with composition, matrix B_k ^(T)Multiplication and E^{(T + 1)}The multiplication of (k) is the matrix E^{(T + 1)}(K) B_k ^(T)Can be combined into one multiplication. When the above method is applied to each of the two-channel analysis CCFBs of the system shown in FIG. 1A, the analysis unit is realized by the system shown in FIG.
[0027]
[3] Tree structure CCFB real number arithmetic processing
In actual applications, signals are often real numbers, so it is important to search for a realization method that uses only real number operations. The procedure for reducing computational complexity in a real system is similar to the approach for complex numbers.
[0028]
First, a method of parallel module processing with real values will be described. The polynomial φ and the polynomial ψ are defined as follows.
[Equation 46]

[Equation 47]

The polynomial φ and the polynomial ψ satisfy the following congruence.
[Formula 48]

An M-point real valued discrete Fourier transform (hereinafter referred to as RDFT) for a signal A (z) of length M is defined by the following equation.
[Equation 49]

Square brackets indicate that the DFT has been converted into a real value. If signal A (z) is real, RDFT is z^-1Becomes a real polynomial when 1 is 1 or less. A real-valued discrete inverse Fourier transform (hereinafter referred to as IRDFT) is given as follows.
[Equation 50]

When M is a power of 2, RDFT and IRDFT can be efficiently calculated by using a fast Fourier transform (hereinafter referred to as FFT) type algorithm. In addition, since only real numbers are calculated, the above algorithm is more efficient than the FFT algorithm.
[0029]
When the real number parallel module execution is applied to the 2-channel CCBFB in the CCFB column of the synthesis unit t + 1 stage and t stage, the implementation scheme of FIG. 6 is obtained. R^(T)Each element of [k] is a composite polyphase matrix R^(T)N / 2 of the corresponding element in^tRDFT of points. In FIG. 6, the input signal for the operation indicated by the double arrow (C) is P_m[K] = p_{m, k}(0) + p_{m, k}(1) z^-1, M = 0,1. N / 2 for these input signals^{t + 1}Taking the IRDFT of the points and taking their polyphase configuration, the signal Q (z) is given by:
[Formula 51]

hereP[K] = [p_{0, k}(0) p_{0, k}(1) p_{1, k}(0) p_{1, k}(1)]^TThen P [k] = [1 z^-2  z^-1  z^-3]P[K]. Superscript T indicates matrix transposition.
[0030]
To simplify the notation, in this chapter, N / 2^{t + 1}Is represented as M. Using equation (18), the congruence Q (z) ≡P [k] mod (φ_{k / M}(Z²)), K = 0, 1,..., M / 2-1. The output signal of operation (C) is Q [k] ≡Q (z) mod (φ_{k / 2M}(Z)), k = 0, 1,..., M−1. Further φ₀(Z²) = Φ₀(Z) φ_1/4(Z), the output signal is Q [0] ≡P [0] mod (φ₀(Z)), Q [M / 2] ≡P [0] mod (φ_1/4(Z)). Φ_{K / M}(Z²) = Φ_{K / 2M}(Z) φ_{(Mk) / 2M}Since (z), for k = 1, 2,..., M / 2-1, Q [k] ≡P [k] mod (φ_{k / 2M}(Z)), Q [M−k] ≡P [k] mod (φ_{(Mk) / 2M}(Z)). These congruence equations can be expressed in the form of multiplication of a 4 × 4 real matrix as follows.
[Formula 52]

Where k = 0Q[K] = [q₀(0) q₀(1) q_{M / 2}(0) q_{M / 2}(1)]^T, When k = 1, 2,..., M / 2-1Q[K] = [q_k(0) q_k(1) q_Mk(0) q_Mk(1)]^TIt is.
[0031]
4 × 4 real matrix C_k ^(T)Is determined as follows. First, the joint formula z^-2≡1 mod (φ₀(Z)), z^-2≡-1 mod (φ_1/4(Z)) and k = 1, 2,..., M / 2-1.^-2≡-1 + ρ_k ^(T)z^-1mod (φ_{k / 2M}(Z)), z^-3≡-ρ_k ^(T)+ (1 + ρ_2k ^(T)Z^-1mod (φ_{k / 2M}(Z)), z^-2≡-1-ρ_k ^(T)z^-1mod (φ_{(Mk) / 2M}(Z)), z^-3≡ρ_k ^(T)+ (1 + ρ_2k ^(T)Z^-1mod (φ_{(Mk) / 2M}(Z)). here,
[Equation 53]

It is.
P [k] = p_{0, k}(0) + p_{0, k}(1) z^-2+ P_{1, k}(0) z^-1+ P_{1, k}(1) z^-3Therefore, the matrix C_k ^(T)Is given as:
[Formula 54]

[0032]
In FIG. 6, mod (φ_{k / M}(Z)) to R^{(T + 1)}A matrix operation that multiplies [k] is converted into a multiplication of a real 4 × 4 matrix, and C_k ^(T)Try to ride at the same time. First, (a (0) + a (1) z^-1) (B (0) + b (1) z^-1) ≡a (0) b (0) + a (1) b (1) + {a (0) b (1) + a (1) b (0)} z^-1mod (φ₀(Z)), and in k = 1, 2,..., M / 2-1, (a (0) + a (1) z^-1) (B (0) + b (1) z^-1) ≡a (0) b (0) -a (1) b (1) + {a (0) b (1) + a (1) b (0) + ρ_2k ^(T)a (1) b (1)} z^-1mod (φ_{k / M}(Z)). Module synthesis polyphase matrix R^{(T + 1)}Let (m, n) element of [k] be r for m, n = 0,1_{(M, n), k} ^{(T + 1)}(0) + r_{(M, n), k} ^{(T + 1)}(1) z^-1, Mod (φ_{k / M}(Z)) to R^{(T + 1)}Matrix operation to multiply [k] isP[K] = R^{(T + 1)}[K]S[K]. hereS[K] = [s_{0, k}(0) s_{0, k}(1) s_{1, k}(0) s_{1, k}(1)]^TAnd
[Expression 55]

It is.R ^{(T + 1)}[K] and C_k ^(T)FIG. 7 shows a synthesis unit of a three-stage tree structure CCFB in which the complexity is reduced by combining operations multiplying by. In the figure, C_k ^(T) R ^{(T + 1)}The block [k] includes matrix multiplication and processing for arranging the input signal and the output signal based on Expression (22).
[0033]
FIG. 8 shows the processing configuration of the real value parallel module in the CCFB column of the t-th stage and the (t + 1) -th stage of the analysis unit. E^(T)Each element of [k] is E^(T)N / 2 of the corresponding element in^tRDFT of points. The calculation (D) in FIG. 8 is the reverse of the calculation (C) in FIG. Therefore,Q _kandP _kAs in the case ofU _k, Output signalV _kThe operation (D) is expressed as D_k ^(T)C_k ^(T)As the inverse matrix ofV _k= D_k ^(T) U _kGiven in. As with composition, mod (φ_{k / M}(Z)) to E^{(T + 1)}The operation of multiplying [k] is performed by a 4 × 4 real matrix E in the same manner as Expressions (25) and (26).^{(T + 1)}[K]. E combined matrix multiplication^{(T + 1)}[K] D_k ^(T)By introducing, the analysis unit of the three-level tree structure CCBFB with reduced complexity is realized as shown in FIG.
[0034]
The complexity reduction method derived in [2] and [3] can be easily extended to a tree structure CCFB having three or more stages.
[0035]
[4] PR condition for 2-channel CCFB
If the signal reconstructed by the synthesis filter bank has only a delay with respect to the input signal to the analysis filter bank, the filter bank is called a fully reconstructed (hereinafter referred to as PR) filter bank. The PR condition is analyzed mainly using an alias component matrix or a polyphase matrix, but time domain analysis may be effective in some cases. According to the polyphase matrix analysis, when the determinant of the analysis polyphase matrix is a pure delay, that is, when d is a natural number and c is a nonzero constant, det (E) = cz^-DThere is a PR FIR filter bank only if.
[0036]
In the case of a linear-phase two-channel filter bank, in order for FIR to be PR, the analysis filter needs to be inversely symmetric in the odd order or symmetric in the even order. Based on this, several design methods for a two-channel PR linear phase FIR filter bank have been proposed. Another approach, considered a quasi-complete reconstruction, allows design errors as optimization problems by allowing slight errors during reconstruction and expressing the degree of error to ease PR constraints. Clarified. In quasi-complete reconstruction, it is also shown that the error during reconstruction can be minimized by designing the analysis filter bank first and then the synthesis filter bank to satisfy the frequency response required for each application. It was done.
[0037]
When the combination of 2-channel analytical CCFB and synthetic CCFB is PR in all stages, the tree structure system is PR. In this chapter and the next chapter, the composite polyphase matrix R defined by equations (5) and (12), respectively.^(T)And analysis polyphase matrix E^(T)Is used to analyze the PR condition of the 2-channel CCFB in the t-th stage. Therefore E^(T)And R^(T)Input is length N / 2^tSignal. For a two-channel CCFB to be PR, the corresponding complex module polyphase matrix must satisfy the following relationship:
[56]

Here, I is a 2 × 2 unit matrix. Therefore, the PR synthesis module polyphase matrix R^(T)(K) is E^(T)R when (k) is a regular matrix^(T)(K) = E^(T)(K)^-1Given in. E^(T)Since (k) is a 2 × 2 matrix having scalar elements, the inverse matrix can be easily obtained. Synthetic polyphase matrix R that satisfies the PR condition^(T)Is E^(T)(K)^-1N / 2 of each element of^tThe real-value PR system is obtained by taking the IDFT of points.^(T)It can be realized using. If the filter is designed so as to meet the PR condition of Expression (27) at each stage, the full tree structure CCFB constitutes a PR system.
[0038]
Polyphase matrix E^(T)The polynomial D defined below as the determinant for^(T)(Z) is introduced.
[Equation 57]

D^(T)N / 2 of (z)^tD as point DFT^(T)(K), k = 0, 1,..., N / 2^t−1 is defined. Then, from the above formula,
[Formula 58]

It becomes. D on the polynomial remainder^(T)If the reciprocal of (z) exists, CCFB becomes PR. As can be seen from equation (13), D^(T)(K) is E^(T)Since it is a determinant of (k), k = 0, 1,..., N / 2^t-1 for D^(T)CCFB is PR only when (k) is non-zero. At this time, D^(T)The inverse of (z) is always finite. On the other hand, in normal polynomial arithmetic, the polynomial which is the PR condition of the FIR filter bank is cz^-DD, except when taking the form^(T)The reciprocal of (z) is infinitely long. Due to this difference, the PR condition of CCFB is more relaxed than in the case of normal FIR. D^(T)(Z) is cz^-DDFT value D when taking the form^(T)It is clear that (k) always takes a non-zero value.
[0039]
H defined by equation (11)^(T) _m(Z) and polyphase component H^(T) _m0(Z) and H^(T) _m1Using the relationship (z), N / 2^t-1H, the DFT of the point^(T) _m(K) is the polyphase component H^(T) _m0(Z) and H^(T) _m1N / 2 of (z)^tIt has the following relationship with the point DFT.
[Formula 59]

Here, m = L, H, k = 0, 1,..., N / 2^t-1. These simultaneous equations are expressed as H^(T) _m0(K) and H^(T) _m1Solve for (k) and substitute those solutions into equation (29). Furthermore, H in the real value analysis filter^(T) _m(N / 2^t+ K) = H^(T) _m(N / 2^t-K)^*If this is true,
[Expression 60]

Get. Where k = 0, 1,..., N / 2^t-1. Superscript * means complex conjugate. k = 0, 1,..., N / 2^{t + 1}When D^(T)(N / 2^t-K) = D^(T)(K)^*Therefore, in the real value analysis filter, D^(T)(K) ≠ 0, k = 0, 1,..., N / 2^{t + 1}Only when the PR condition is satisfied.
[0040]
Analysis filter H_L ^(T)(Z) and H_H ^(T)(Z) is k = 0, 1,..., N / 2^{t + 1}When -1 | H_L ^(T)(K) | >> | H_H ^(T)(K) |, | H_H ^(T)(N / 2^t-K) | >> | H_L ^(T)(N / 2^t−k) is designed to be |. At that time, | H_L ^(T)(K) H_H ^(T)(N / 2^t-K)^*｜ ＞ ｜ H_L ^(T)(N / 2^t-K)^*H_H ^(T)(K) |, so k = N / 2^{t + 1}All D except when^(T)(K) is guaranteed to be non-zero. k = N / 2^{t + 1}Then the determinant is given by
[Equation 61]

Here, Im {x} is an imaginary part of x. In most real cases, D^(T)(N / 2^{t + 1}) Only need to be noted. H_L ^(T)(N / 2^{t + 1}Or H_H ^(T)(N / 2^{t + 1}) Is not 0, H_L ^(T)(Z) or H_H ^(T)D by shifting either (z)^(T)(N / 2^{t + 1}) Can be easily set to other than zero. Shifting the time does not change the amplitude response of the filter.
[0041]
[5] QMF CCFB
Quadrature mirror filter (QMF) bank has H analysis filter_H(Z) = H_L(−z) is a two-channel filter bank having the relationship:_LIf (z) is a good low-pass filter, H_H(Z) is guaranteed to be a good high pass filter. QMF bank is low pass filter H_LSince only (z) needs to be designed, it is important, and efficient implementation is possible by using a polyphase structure. But H_LIf (z) is limited to FIR, because of the PR condition, the prototype filter H_LThe polyphase component of (z) is H_L0(Z) = c₀z^-NAnd H_L1(Z) = c₁z^-MIt is necessary to take the form of Where n and m are natural numbers, c₀And c₁Is a non-zero constant. This constraint means that the filter does not have good stopband attenuation.
[0042]
In the analysis filter of the t-th stage, H_H ^(T)(Z) = H_L ^(T)When (−z), analysis filter H_H ^(T)(Z) is H_L ^(T)It has the following relationship with the polyphase component of (z).
[62]

At this time, the analysis polyphase matrix is given as follows.
[Equation 63]

E^(T)Determinant D^(T)(Z)
[Expression 64]

It is. As mentioned in the previous chapter, the DFT value D of the determinant^(T)(K) is k = 0, 1,..., N / 2^{t + 1}2 channel CCFB is PR only when non-zero at. Similar to the requirements in a normal QMF bank, H^(T) _L0(Z) = c₀z^-N, H^(T) _L1(Z) = c₁z^-MIn case of D^(T)(K), k = 0, 1,..., N / 2^{t + 1}Is a non-zero value and CCFB is PR.
[0043]
Compared with a normal QMF bank, the constraint condition of the CCFB PR is more relaxed. H_H ^(T)(Z) = H_L ^(T)Using the relationship (−z), the DFT value of the determinant is given by:
[Equation 65]

As stated after equation (31), D^(T)(K) is k = 0, 1,..., N / 2^{t + 1}The PR condition is satisfied only when the value is non-zero. Prototype analysis filter H_L ^(T)(Z) is | H_L ^(T)(K) | >> | H_L ^(T)(N / 2^t−k) |, k = 0, 1,..., N / 2^{t + 1}For a low-pass filter satisfying −1 for such k_L ^(T)(K) |²> | H_L ^(T)(N / 2^t-K)^*｜²Therefore, (H_L ^(T)(K))²≠ (H_L ^(T)(N / 2^t-K)^*)²It becomes. Therefore, k = 0, 1,..., N / 2^{t + 1}-1 for D^(T)(K) is a non-zero value. The critical point is k = N / 2^{t + 1}The determinant at this time is given by the following equation.
[Equation 66]

From this equation, the DFT value H_L ^(T)(N / 2^{t + 1}) Only when both the real and imaginary parts are non-zero^(T)(N / 2^{t + 1}) Is a non-zero value.
[0044]
The low-pass filter of each stage needs to be designed so that the entire tree structure system is PR. Furthermore, when designing a filter,^(T)(N / 2^{t + 1}) Care must be taken not to reduce the value of |. By decreasing the value, the synthesis filter coefficient increases and noise amplification in the synthesis unit is caused.
[0045]
Introduction example: filter length at the t-th stage is N / 2^{t + 1}And As an introductory example, a low-pass linear phase filter of length 32 was designed using a standard remez exchange method that does not impose PR restrictions. FIG. 10 shows the impulse response of the filter, and FIG. 11 shows the DFT. From FIG. 11, at k = 0, 1,..._L(K) | >> | H_L(16-k) | and H_LIt can be seen that the real part and the imaginary part of (8) are non-zero. Therefore, this filter satisfies the PR condition. The amplitude response of the filter is shown in FIG.
[0046]
[6] Evaluation of this embodiment
Since the DFT domain structure diagram is suitable for a filter bank in which the filter performs cyclic convolution, this chapter first derives the DFT domain structure diagram in the tree structure system, and then describes the problems caused by the structure of the tree structure. In the second half of this chapter, we will evaluate the computational complexity of this implementation method.
[0047]
When the 2-channel CCFB is arranged in a column in the structure of the tree structure, the frequency response as shown in FIG. 12 does not directly reflect the frequency response of the entire system. Consider the process shown in FIG. An input signal X (z) of length M first passes through a 1/2 downsampler and outputs Y from an M / 2 point cyclic convolution for the output signal of the downsampler and a filter H (z) of length M / 2. (Z) is obtained. This process is similar to the input signals X (z) and H (z²It is easy to understand that this is equivalent to a system that goes through a 1/2 downsampler after M points of cyclic convolution. An implementation procedure in the DFT domain can be expressed as shown in FIG. In the figure, (k)_{M / 2}≡k mod (M / 2) and H (k) is the M / 2 point DFT of the filter H (z). M point DFT, H ((k)_{M / 2}) Repeats the M / 2-point DFT of H (z) twice until k reaches from 0 to M-1. When the method of FIG. 13 is applied to the three-stage tree structure analysis CCFB of FIG. 1A, the DFT domain structure diagram shown in FIG. 14 is obtained.
[0048]
The tree structure CCFB is difficult in that the filter length must be halved for each additional stage. For example, when N = 32, the filter length of the second stage is 16, and 8 for the third stage. It is difficult to design a short filter with a good frequency response, so the transition band tends to become less sharp as the stage goes up. The sub-channel transition band is basically changed by the DFT of the filter at a higher stage, and the signal block size N and the frequency response resolution are in a trade-off relationship.
[0049]
In the second half of this chapter, we will evaluate the computational complexity of this implementation method, focusing on the analysis section. When M-point FFT or IFFT is performed, the multiplication of the complex number is (M / 2) log₂(M) times, the sum of complex numbers is (M) log₂(M) times are required. Complexity in multiplication of a 2 × 2 complex number matrix is four times for complex number multiplication and two times for complex number summation. The complexity of one complex multiplication is counted as four real multiplications and two real additions. In a real system, the complexity of an M-point RDFT is (M / 2) log₂(M) -3M / 2 + 2 times real number addition is (3M / 2) log₂(M) −5 M / 2 + 2 times. The complexity of the tree structure system can be calculated from the above-described values using FIG. 3 for complex numbers and FIG. 7 for real numbers.
[0050]
Here, the complexity when each 2-channel CCFB is realized by complex parallel processing without following the minimization procedure is evaluated. To perform 2-channel analysis CCFB on an input signal of length M, M / 2 point DFT is performed twice, M / 2 point IDFT is performed twice, and 2 × 2 complex matrix multiplication is performed M / 2 times. Necessary. When 2-channel CCFB for an input signal of length M is realized by a real parallel module, M / 2 point RDFT is performed twice, M / 2 point IRDFT is performed twice, and multiplication of a 4 × 4 real matrix is performed by M. / 4 times required.
[0051]
One of the most efficient implementations is a cosine modulation filter bank. The computational complexity of a two-channel filter bank with an analytical filter of length M is approximately multiplied by M for each sample point of the input signal, using the polyphase implementation method and ignoring the computational cost of the fast discrete cosine transform. / 2 times, addition (M-1) / 2 times. The same digit operation is required when the two-channel filter bank is a lattice type. Since the symmetric extension method is unnecessary for the cosine modulation filter bank, the length of the input signal is assumed to be N / 2 instead of N, which is fair to the CCFB system. The complexity of a two-channel cosine modulation filter bank with input signal size N / 2 and filter length N is N²/ 4 times, and the sum is N (N-1) / 4 times. In the second stage 2-channel filter bank, the input signal size is N / 4 and the filter length is N / 2. The input signal size and filter length in the third stage are half that of the second stage. FIG. 15 summarizes the complexity of the analysis filter bank up to three levels. FIG. 16 shows the number of operations required for real-valued parallel modules, real-valued realization by this method, and cosine modulation filter bank when N = 16, 32, 64 and 128, respectively. Yes. When N is 64 or more, it can be seen that if this method is realized with real values, the result is better than the other two methods.
[0052]
Specific configuration
Based on the outline described above, the specific configuration of the present embodiment will be described next.
[0053]
FIG. 17 is a block diagram of the analysis filter bank according to the first embodiment, and the basic operation principle is as described in [2] in the overview. The complex input signal X (z) to the analysis filter bank 100 is subjected to discrete Fourier transform in the DFT operation unit 120 via the downsampler 110 and transmitted to the matrix multiplication unit 130. Next, in the matrix multiplication unit 130, the matrix E defined by the equation (13) in the outline [2].^(T)Of (k), a matrix with t = 1 is multiplied. The signal of length N / 2 for further division, U (k), k = 0, 1,..., N / 2-1, is sent to the first matrix calculator 140, while the output of the analysis filter bank 100 Is sent to the IDFT calculation unit 160. In the first matrix calculation unit 140, the matrix B defined by Expression (15) in the overview [2]._k ^(T)Among these, a matrix with t = 1 and a matrix E defined by Equation (13)^(T)And the product of the matrix with t = 2, E⁽²⁾(K) B_k ⁽¹⁾Is calculated and stored in advance. The signal U (k) transmitted from the matrix multiplier 130 is [U (k), U (N / 4 + k)].^T, K = 0, 1,..., N / 4-1
Is converted to a matrix⁽²⁾(K) B_k ⁽¹⁾Is multiplied. The resulting matrix is [S₀(K), S₁(K)]^TThen two signals of length N / 4, S₀(K) and S₁(K) is output from the first matrix calculator 140. Signal S₀(K) is sent to the second matrix calculator 150 as a signal S.₁(K) is sent to the IDFT calculation unit 160.
[0054]
The IDFT calculation unit 160 performs a discrete inverse Fourier transform on the input signal to obtain an output signal of the analysis filter bank 100.
[0055]
The second matrix calculation unit 150 repeats the same processing as that of the first matrix calculation unit 140, and transmits the two obtained signals to the IDFT calculation unit 160, so that the final output signal of the analysis filter bank 100 is obtained. Get.
[0056]
FIG. 18 is a block diagram of the synthesis filter bank according to the second embodiment, and the basic operation principle is as described in [2] in the overview. The complex input signals of the synthesis filter bank 200 are each subjected to discrete Fourier transform in the DFT operation unit 210. Two signals of length N / 8, S₀(K) and S₁(K), k = 0, 1,..., N / 8-1 are sent to the first matrix calculator 220. In the first matrix calculation unit 220, the matrix R defined by Expression (6) in the overview [2].^(T)Among (k), a matrix with t = 3 and a matrix A defined by Equation (10)_k ^(T)Of the product with the matrix of t = 2, A_k ⁽²⁾R⁽³⁾The matrix of (k) is calculated in advance and stored. The two signals transmitted from the DFT operation unit 210 are represented by a matrix [S₀(K), S₁(K)]^TIn the form of A_k ⁽²⁾R⁽³⁾(K) is multiplied. The resulting matrix is arranged based on the general formula (9), and is output as a signal Q (k), k = 0, 1,... To the matrix calculation unit 230. A signal of length N / 4 output from the DFT calculation unit 210 is also input to the second matrix calculation unit 230, and the same processing as that of the first matrix calculation unit 220 is performed. The signals of length N / 2 respectively output from the second matrix calculation unit 230 and the DFT calculation unit 210 are sent to the matrix multiplication unit 240, and the matrix R defined by Expression (6) in the outline [2]^(T)Of (k), a matrix with t = 1 is multiplied. The signal obtained in this manner is subjected to discrete inverse Fourier transform in the IDFT calculation unit 250 and output as an output signal Y (z) of the synthesis filter bank 200 via the upsampler 260.
[0057]
The analysis filter bank according to the third embodiment of the present invention has the same configuration as the block diagram shown in FIG. The basic operation principle is as described in [3] of the overview. The difference from the first embodiment is that the input signal consists only of real numbers, and all calculations are performed only with real numbers. Therefore, the matrix multiplied by the matrix multiplication unit 130 is the same as in the outline [3].E ^(T)[K] is a matrix with t = 1, and the real input signal U (k) to the first matrix calculation unit 140 is U (k) = u_k(0) + u_k(1) z^-1When expressed in the form (m = 0, 1), k = 0U[K] = [u₀(0) u₀(1) u_M(0) u_M(1)]^T, K = 1, 2, ..., N / 2-1U[K] = [u_k(0) u_k(1) u_2M-k(0) u_2M-k(1)]^TIs converted into a matrix. This conversion is similarly performed on the input signals to the matrix multiplier 130 and the second matrix calculator 150. line; queue; procession; paradeUThe matrix multiplied by [k] by the first matrix calculator 140 is the matrix D in the overview [3]._k ^(T)andE ^(T)Using [k],E ⁽²⁾[K] D_k ⁽¹⁾It becomes. Furthermore, the calculation resultS(k) = [s_{0, k}(0) s_{0, k}(1) s_{1, k}(0) s_{1, k}(1)]^TWhen S_m(K) = s_{m, k}(0) + s_{m, k}(1) z^-1Two signals (m = 0, 1) are output. Similar processing is performed in the second matrix operation section.
[0058]
The analysis filter bank according to the fourth embodiment of the present invention has the same configuration as the block diagram shown in FIG. The difference from the second embodiment is that, as in the third embodiment, the calculation is made of only real numbers. Therefore, the input signal is S_m(K) = s_{m, k}(0) + s_{m, k}(1) z^-1A matrix expressed as (m = 0, 1),S(k) = [s_{0, k}(0) s_{0, k}(1) s_{1, k}(0) s_{1, k}(1)]^TThe matrix is multiplied for each block. In the first matrix calculation unit 220, the matrix defined by the expression (25) in the overview [3].R ^{(T + 1)}[K] and the matrix C defined by the equations (24a) and (24b)_k ^(T), The product with the matrix of t = 2, C_k ⁽²⁾ R ⁽³⁾Multiply [k]. When k = 0, the result matrixQ[K] = [q₀(0) q₀(1) q_{M / 2}(0) q_{M / 2}(1)]^T, When k = 1, 2,..., M / 2-1Q[K] = [q_k(0) q_k(1) q_Mk(0) q_Mk(1)]^TThen Q (k) = q_k(0) + q_k(1) z^-1Becomes an output signal in the first matrix calculation unit 220. Further, the matrix multiplier 240 provides the matrix.R ^{(T + 1)}Of [k], a matrix with t = 0 is multiplied. The second matrix calculation unit 230 performs the same processing as the first matrix calculation unit 220.
[0059]
In all the embodiments, the matrix calculation unit is not limited to the first and second, but may be provided in a desired number. The matrix calculators 140, 150, 220, and 230 may sequentially multiply the input signal without calculating in advance the product of two matrices to be multiplied by the input signal.
[0060]
The present invention has been described based on the embodiments. This embodiment is an exemplification, and it will be understood by those skilled in the art that various modifications can be made to combinations of the respective constituent elements and processing processes, and such modifications are also within the scope of the present invention. is there.
[0061]
【The invention's effect】
According to the present invention, the number of operations required for realizing the analysis filter bank or the synthesis filter bank having a tree structure is reduced, and high quality signal processing can be performed at a lower calculation cost. Also, the filter bank can be easily designed by relaxing the conditions for complete reconstruction.
[Brief description of the drawings]
FIG. 1 is a diagram showing a basic structure of a three-level tree structure CCFB. FIG. 1A shows an analysis filter bank, and FIG. 1B shows a synthesis filter bank.
FIG. 2 is a diagram showing a configuration when a complex parallel module is realized in a column of the t + 1th stage and the tth stage of the composite CCFB.
FIG. 3 is a diagram illustrating a configuration of a realization method using a complex number according to the present embodiment in a composite CCFB having a three-stage tree structure;
FIG. 4 is a diagram showing a configuration when a complex parallel module is realized in a column of t + 1 stage and t stage of analysis CCFB.
FIG. 5 is a diagram illustrating a configuration of a realization method using complex numbers according to the present embodiment in a three-stage tree structure analysis CCFB;
FIG. 6 is a diagram showing a configuration when a real parallel module is realized in a column of the t + 1th stage and the tth stage of the composite CCFB.
FIG. 7 is a diagram showing a configuration of a realization method according to the present embodiment in a composite CCFB having a three-stage tree structure;
FIG. 8 is a diagram showing a configuration when a real parallel module is realized in a column of t + 1 stage and t stage of analysis CCFB.
FIG. 9 is a diagram illustrating a configuration of a real number realization method according to the present embodiment in a three-stage tree structure analysis CCFB;
FIG. 10 is a diagram showing an impulse response among the evaluation results of the filter designed in the introductory example.
FIG. 11 is a diagram showing DFT among the evaluation results of the filters designed in the introductory example.
FIG. 12 is a diagram showing an amplitude response among the evaluation results of the filter designed in the introductory example.
FIG. 13 is an explanatory diagram showing the relationship between a downsampler and M / 2 point cyclic convolution.
FIG. 14 is a diagram illustrating a DFT domain structure of a three-stage tree structure CCFB.
FIG. 15 is a diagram comparing the computational complexity of a two-part tree-structured filter bank for an input signal of length N, according to the filter bank implementation method.
FIG. 16 is a diagram comparing the number of computations for each input signal length according to a filter bank implementation method;
FIG. 17 is a block diagram of an analysis filter bank according to the present embodiment.
FIG. 18 is a block diagram of a synthesis filter bank according to the present embodiment.
[Explanation of symbols]
100 analysis filter bank, 110 downsampler 120 DFT operation unit, 130 matrix multiplication unit, 140 first matrix operation unit, 150 second matrix operation unit, 160 IDFT operation unit, 200 synthesis filter bank, 210 DFT operation unit, 220 First matrix operation unit, 230 second matrix operation unit, 240 matrix multiplication unit, 250 IDFT operation unit 260 upsampler.

Claims (8)

A DFT operation unit for performing a discrete Fourier transform on the signal input through the down sampler ;
A discrete Fourier transform is performed in the DFT operation unit, a signal multiplied by a predetermined matrix in the matrix multiplication unit is input through a predetermined connection path , matrixed according to a predetermined rule, and a plurality of matrix operations are performed by performing a predetermined matrix operation. A matrix operation unit that divides the signal,
An IDFT calculation unit that inputs a plurality of signals obtained by dividing the matrix calculation unit through a predetermined connection path, and performs discrete inverse Fourier transform on each of the signals to output signals;
With
The matrix calculation unit includes at least one calculation processing unit,
The arithmetic processing unit
The matrix length 2M of signal said predetermined matrix are multiplied in the multiplication unit or in the case where the arithmetic processing unit of the connected front exists in tandem length 2M output from the preceding processing unit, The signals U (k), k = 0, 1,..., 2M−1 are input through a predetermined connection path,
E (k) is a 2 × 2 matrix having a polynomial obtained by discrete Fourier transform of each element in the polyphase matrix of the analysis filter of length M,

Let B _k be a 2 × 2 matrix defined by

Comprising computing the performed, two signals _S 0 of length _{M (k), S 1 (} k), k = 0,1, ..., tree analysis filter bank, wherein the benzalkonium to output the M-1 . A DFT operation unit for discrete Fourier transform of a plurality of input signals;
A matrix operation unit that inputs a plurality of signals that have undergone discrete Fourier transform in the DFT operation unit through a predetermined connection path, forms a matrix according to a predetermined rule, and performs a predetermined matrix operation;
Synthesized in the matrix calculation unit, a signal of a predetermined matrix are multiplied in a matrix multiplication unit inputs through a predetermined connection path, and outputs the inverse discrete Fourier transform, IDFT calculation unit which inputs signals to the up-sampler When,
With
The matrix calculation unit includes at least one calculation processing unit,
The arithmetic processing unit
A signal that has been subjected to discrete Fourier transform in the DFT arithmetic unit, and a signal output from the previous arithmetic processing unit when there is a previous arithmetic processing unit connected in a column, is input via a connection path . For two signals S ₀ (k) and S ₁ (k), k = 0, 1,..., M / 2-1 of length M / 2,
Let R (k) be a 2 × 2 matrix whose elements are polynomials obtained by discrete Fourier transform of each element in the polyphase matrix of the synthesis filter of length M / 2,

When the 2 × 2 matrix defined by is A _k ,

Comprising computing the performed, one signal Q (k), k = 0,1 , ..., a tree structure synthesis filter bank, wherein the benzalkonium to output the M-1 of length M. A DFT operation unit for performing a discrete Fourier transform on the signal input through the down sampler ;
A discrete Fourier transform is performed in the DFT operation unit, a signal multiplied by a predetermined matrix in the matrix multiplication unit is input through a predetermined connection path , matrixed according to a predetermined rule, and a plurality of matrix operations are performed by performing a predetermined matrix operation. A matrix operation unit that divides the signal,
An IDFT calculation unit that inputs a plurality of signals obtained by dividing the matrix calculation unit through a predetermined connection path, and performs discrete inverse Fourier transform on each of the signals to output signals;
With
The matrix calculation unit includes at least one calculation processing unit,
The arithmetic processing unit
In the matrix multiplication unit, a signal having a length of 2M multiplied by the predetermined matrix, or in the case where there is a previous operation processing unit connected in a column, a 2M length output from the previous operation processing unit. The signal U (k) is input through a predetermined connection path,
Real signal U of the length 2M (k), k = 0,1 , ..., a 2M-1,
U (k) = u _k (0) + u _k (1) z ⁻¹ (m = 0,1)
When k = 0, U [k] = [u ₀ (0) u ₀ (1) u _M (0) u _M (1)] ^T ,
When k = 1, 2,..., M−1, U [k] = [u _k (0) u _k (1) u _2M−k (0) u _2M−k (1)] ^T
For a matrix U [k] (k = 0, 1,..., M−1) defined by
An element of (m, n) of a 2 × 2 matrix E (k) whose element is a polynomial obtained by performing discrete Fourier transform on each element in the polyphase matrix of the synthesis filter of length M is e _{(m, n) , K} (0) + e _{(m, n), k} (1) z ⁻¹ (m, n = 0, 1)
As ρ _k = 2 cos (πk / M),

Matrix E (k) defined by

In using the matrix D _k defined,

And calculate each element of S (k)
S (k) = [s _{0, k} (0) s _{0, k} (1) s _{1, k} (0) s _{1, k} (1)] ^T
When
S _m (k) = s _{m, k} (0) + s _{m, k} (1) z ⁻¹ (m = 0,1)
Two signals of length M to be _{S 0 (k), S 1} (k), k = 0,1, ..., tree analysis filter bank, wherein the benzalkonium to output the M-1. A DFT operation unit for discrete Fourier transform of a plurality of input signals;
A matrix operation unit that inputs a plurality of signals that have undergone discrete Fourier transform in the DFT operation unit through a predetermined connection path, forms a matrix according to a predetermined rule, and performs a predetermined matrix operation;
Synthesized in the matrix calculation unit, a signal of a predetermined matrix are multiplied in a matrix multiplication unit inputs through a predetermined connection path, and outputs the inverse discrete Fourier transform, IDFT calculation unit which inputs signals to the up-sampler When,
With
The matrix calculation unit includes at least one calculation processing unit,
The arithmetic processing unit
A signal that has been subjected to discrete Fourier transform in the DFT arithmetic unit, and a signal output from the previous arithmetic processing unit when there is a previous arithmetic processing unit connected in a column , is input via a connection path . Two real signals S ₀ (k) and S ₁ (k), k = 0, 1,..., M / 2-1 of length M / 2,
S _m (k) = s _{m, k} (0) + s _{m, k} (1) z ⁻¹ (m = 0,1)
When expressed in the form
S (k) = [s _{0, k} (0) s _{0, k} (1) s _{1, k} (0) s _{1, k} (1)] ^T
To in being defined matrix S [k],
An element of (m, n) of a 2 × 2 matrix R (k) having a polynomial obtained by discrete Fourier transform of each element in the polyphase matrix of the synthesis filter of length M / 2 as r _{(m, n) , K} (0) + r _{(m, n), k} (1) z ⁻¹ (m = 0,1)
When ρ _k = 2 cos (πk / M),

A matrix R (k) defined by

And the matrix C _k defined by

Perform the operation
When k = 0, Q [k] = [q ₀ (0) q ₀ (1) q _{M / 2} (0) q _{M / 2} (1)] ^T ,
When k = 1, 2,..., M / 2-1 Q [k] = [q _k (0) q _k (1) q _Mk (0) q _Mk (1)] ^T
When
Q (k) = q _k (0) + q _k (1) z ⁻¹
One real signals Q of length M as the (k), k = 0,1, ..., a tree structure synthesis filter bank, wherein the benzalkonium to output the M-1. A DFT operation unit for performing a discrete Fourier transform;
A matrix calculation unit including at least one calculation processing unit for performing a predetermined matrix calculation;
An IDFT operation unit for performing discrete inverse Fourier transform;
In an analysis filtering method in a tree structure analysis filter bank comprising:
A step in which the DFT operation unit performs a discrete Fourier transform on the signal input through the down sampler ;
A signal obtained by performing a discrete Fourier transform and multiplied by a predetermined matrix in the matrix multiplication unit is input through the predetermined connection path by the matrix calculation unit, matrixed according to a predetermined rule, and a plurality of signals are obtained by performing a predetermined matrix calculation. Dividing the signal into
A step of inputting the plurality of divided signals through a predetermined connection path by the IDFT calculation unit, and performing discrete inverse Fourier transform on each of the signals to output signals;
Including
The dividing step is performed by outputting a signal having a length of 2M multiplied by the predetermined matrix or, if there is a preceding arithmetic processing unit connected in a column to the arithmetic processing unit, output from the preceding arithmetic processing unit. The 2M-long signal U (k), k = 0, 1,..., 2M−1 is input through the predetermined connection path by the arithmetic processing unit,
E (k) is a 2 × 2 matrix having a polynomial obtained by discrete Fourier transform of each element in the polyphase matrix of the analysis filter of length M,

Let B _k be a 2 × 2 matrix defined by

And a matrix operation for calculating two signals S ₀ (k), S ₁ (k), k = 0, 1,..., M−1 having a length M. Analysis filtering method. A DFT operation unit for performing a discrete Fourier transform;
A matrix calculation unit including at least one calculation processing unit for performing a predetermined matrix calculation;
An IDFT operation unit for performing discrete inverse Fourier transform;
In a synthesis filtering method in a tree structure synthesis filter bank comprising:
A step in which the DFT operation unit performs a discrete Fourier transform on a plurality of input signals;
A step of inputting a plurality of signals subjected to discrete Fourier transform through a predetermined connection path by the matrix calculation unit , forming a matrix according to a predetermined rule, and performing a predetermined matrix calculation;
A signal that is synthesized and multiplied by a predetermined matrix in a matrix multiplication unit, the IDFT calculation unit inputs the signal through a predetermined connection path, outputs it by performing a discrete inverse Fourier transform, and sets it as an input signal to the upsampler ; ,
Including
The step of performing the synthesis includes
Of the signal that has undergone the discrete Fourier transform and the signal that is output from the preceding arithmetic processing unit when the arithmetic processing unit is connected in cascade to the arithmetic processing unit, the arithmetic processing unit is For two signals S ₀ (k) and S ₁ (k), k = 0, 1,..., M / 2-1 of length M / 2 input through a predetermined connection path ,
Let R (k) be a 2 × 2 matrix whose elements are polynomials obtained by discrete Fourier transform of each element in the polyphase matrix of the synthesis filter of length M / 2,

When the 2 × 2 matrix defined by is A _k ,

And performing a matrix operation for calculating one signal Q (k), k = 0, 1,..., M−1 having a length M. A DFT operation unit for performing a discrete Fourier transform;
A matrix calculation unit including at least one calculation processing unit for performing a predetermined matrix calculation;
An IDFT operation unit for performing discrete inverse Fourier transform;
In an analysis filtering method in a tree structure analysis filter bank comprising:
A step in which the DFT operation unit performs a discrete Fourier transform on the signal input through the down sampler ;
Multiple discrete Fourier transform is performed, a signal of a predetermined matrix are multiplied in matrix multiplying portion, the matrix calculator inputs through a predetermined connection path, and a matrix of a predetermined rule, by performing a predetermined matrix operation Dividing the signal into
A step of inputting the plurality of divided signals through a predetermined connection path by the IDFT calculation unit, and performing discrete inverse Fourier transform on each of the signals to output signals;
Including
The dividing step includes:
A signal having a length of 2M multiplied by the predetermined matrix, or if there is a preceding arithmetic processing unit connected in a column to the arithmetic processing unit, a 2M length output from the preceding arithmetic processing unit. The signal U (k) is input by the arithmetic processing unit through a predetermined connection path,
The real signal U (k), k = 0, 1,...
U (k) = u _k (0) + u _k (1) z ⁻¹ (m = 0,1)
When k = 0, U [k] = [u ₀ (0) u ₀ (1) u _M (0) u _M (1)] ^T ,
When k = 1, 2,..., M−1, U [k] = [u _k (0) u _k (1) u _2M−k (0) u _2M−k (1)] ^T
For a matrix U [k] (k = 0, 1,..., M−1) defined by
An element of (m, n) of a 2 × 2 matrix E (k) whose element is a polynomial obtained by performing discrete Fourier transform on each element in the polyphase matrix of the synthesis filter of length M is e _{(m, n) , K} (0) + e _{(m, n), k} (1) z ⁻¹ (m, n = 0, 1)
As ρ _k = 2 cos (πk / M),

Matrix E (k) defined by

In using the matrix D _k defined,

And calculate each element of S (k)
S (k) = [s _{0, k} (0) s _{0, k} (1) s _{1, k} (0) s _{1, k} (1)] ^T
When
S _m (k) = s _{m, k} (0) + s _{m, k} (1) z ⁻¹ (m = 0,1)
Analytical filtering method characterized by including a step of performing a matrix operation to calculate two signals S ₀ (k), S ₁ (k), k = 0, 1,. . A DFT operation unit for performing a discrete Fourier transform;
A matrix calculation unit including at least one calculation processing unit for performing a predetermined matrix calculation;
An IDFT operation unit for performing discrete inverse Fourier transform;
In a synthesis filtering method in a tree structure synthesis filter bank comprising:
A step in which the DFT operation unit performs a discrete Fourier transform on a plurality of input signals;
A step of inputting a plurality of signals subjected to discrete Fourier transform through a predetermined connection path by the matrix calculation unit, forming a matrix according to a predetermined rule, and performing a predetermined matrix calculation;
A signal that is synthesized and multiplied by a predetermined matrix in a matrix multiplication unit, the IDFT calculation unit inputs the signal through a predetermined connection path, outputs it by performing a discrete inverse Fourier transform, and sets it as an input signal to the upsampler ; ,
Including
The step of performing the synthesis includes
Of the signal that has undergone the discrete Fourier transform and the signal that is output from the preceding arithmetic processing unit when the arithmetic processing unit is connected in cascade to the arithmetic processing unit, the arithmetic processing unit is Two real signals S ₀ (k) and S ₁ (k), k = 0, 1,..., M / 2-1 of length M / 2 input through a predetermined connection path ,
S _m (k) = s _{m, k} (0) + s _{m, k} (1) z ⁻¹ (m = 0,1)
When expressed in the form
S (k) = [s _{0, k} (0) s _{0, k} (1) s _{1, k} (0) s _{1, k} (1)] ^T
To in being defined matrix S [k],
An element of (m, n) of a 2 × 2 matrix R (k) having a polynomial obtained by discrete Fourier transform of each element in the polyphase matrix of the synthesis filter of length M / 2 as r _{(m, n) , K} (0) + r _{(m, n), k} (1) z ⁻¹ (m = 0,1)
When ρ _k = 2 cos (πk / M),

A matrix R (k) defined by

And the matrix C _k defined by

Perform the operation
When k = 0, Q [k] = [q ₀ (0) q ₀ (1) q _{M / 2} (0) q _{M / 2} (1)] ^T ,
When k = 1, 2,..., M / 2-1 Q [k] = [q _k (0) q _k (1) q _Mk (0) q _Mk (1)] ^T
When
Q (k) = q _k (0) + q _k (1) z ⁻¹
A synthesis filtering method comprising a step of performing a matrix operation to calculate one real signal Q (k), k = 0, 1,...

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