JP4595166B2 - FIR filter coefficient setting method - Google Patents

Description

【００５４】
すなわち、振幅特性関数Ｈ（ｅ^jw）は、図４に示した固定パラメータの関数Ｑ（ｅ^jw）と設計パラメータを含む余弦級数Ｐ（ｅ^jw）との積で表される。以後、各式（１−１）〜（式１−４）の和の上限をＲ−１＋２×Ｎｐと表すことにする。すなわち、Ｒは図４のように計算される。また、a(n); ￣ b(n);￣c(n); ￣ d(n) をｐ（ｎ）と総称する。
【００５５】
所望の振幅特性Ｄ（ｅ^jw）とし、各周波数に対する重みをＷ（ｅ^jw）とするとき、重みつき近似誤差は次のように定義される。
【００５６】
【数２】

【００５７】
【数３】

【００５８】
式（２）に式（３）を代入すると次のようになる。
【００５９】
【数４】

【００６０】
ただし、＾Ｗ（ｅ^jw）、＾Ｄ（ｅ^jw）は下記のようであるとする。
【００６１】
【数５】

【００６２】
【数６】

【００６３】
式（４）は、場合１〜場合４の４つの場合の直線位相ＦＩＲフィルタの重みつき近似誤差を表している。
重みつきチェビシェフ近似問題は、式（２）において指定周波数帯域内での｜Ｅ（ｅ^jw）｜の最大値を最小にするような式（１−１）〜（１−４）のa(n); ￣ b(n);￣ c(n);￣ d(n) を決定することである。
【００６４】
以下、具体例に関連付けて説明する。
ここでは、下記式および図５に示すように、振幅特性Ｄ（ｅ^jw）を定義する。
【００６５】
【数７】

【００６６】
ただし、Ｒが与えられると、δ1 ，δ2 の値は任意に指定できないが、その比率を指定することができる。
Ｗ（ｅ^jw）は通過域では一定値Ｗ1 、阻止域ではＷ2 とし、Ｗ1 δ1 ＝Ｗ2 δ2 が成立するように選ぶ。たとえば、Ｗ1 ＝１、Ｗ2 ＝δ1 ／δ2 と選ぶ。このとき、次の交番定理が成り立つ。
【００６７】
定理
（Ｒ−１）次の余弦級数Ｐ（ｅ^jw）がｗの区間（０，π）で目的特性に対する最良重みつきチェビシェフ近似であるための必要十分条件は、
(1) Ｅ（ｅ^jw）は区間（０，π）で少なくとも（Ｒ＋１）回、極値をとる周波数をｗ0 ＜ｗ1 ＜ｗ2 ＜・・＜ｗR-1 ＜ｗR とする。
(2) 隣り合う極値の符号は異なり、かつすべての極値の絶対値は等しいこと。
すなわち、次の条件を満足する。
【００６８】
【数８】

【００６９】
したがって、｜Ｅ（ｅ^jwi ）｜は区間内での｜Ｅ（ｅ^jw）｜の最大値に等しい。
【００７０】
最良なチェビシェフ近似を得る手法に交番定理に基づいたレムズ交換アルゴリズム(Remez Exchange Algorithm)がある（Rabiner, L.R., McClellan, J.H. and Parks, T.W.: "FIR Digital Filter Design Techniques Using Weighted Chebyshev Approximation", Proc. IEEE, Vol 63,April, pp.595-610, 1975 参照）。
任意の周波数点を通過するようにレムズ交換アルゴリズムは、周波数領域で所望の振幅特性をチェビシェフ近似し、近似された振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求めるものである。
【００７１】
図６は、本発明に係る任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムのフローチャートである。
具体的な任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムは以下のようになる。
【００７２】
ｓｔｅｐ０
図６に示すように、まず、初期設定を行う（Ｆ１０１）。この初期設定では、直線位相ＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、通過させたい任意周波数点を入力、初期極値点の設定を行う。
具体的に設定する項目は以下の通りである。
・タップ数、
・直線位相ＦＩＲフィルタは、偶対称あるいは奇対称、
・バンドの数、
・各バンドの両端の周波数、
・各バンドの所望の振幅値、
・各バンドに対する重みづけ、
・通過させたい点の周波数と振幅値（ｗ_R+1 ，Ｄ（ｅ^jwR+1 ），ｉ＝１，・・，Ｎｐ）
・近似帯域で極値となる周波数ｗ⁽⁰⁾ ＝ｗ_k ⁽⁰⁾ （ｋ＝０，・・，Ｒ）
ただし、右肩文字(i) は繰り返しの回数を表している。
【００７３】
ｓｔｅｐ１
次に、現在の極値点から振幅特性を補間するラグランジュ補間多項式を生成する（Ｆ１０２）。
上記式（２）で示すチェビシェフ近似の目的関数が最小になる必要十分条件は交番定理により示されている。そこで、交番定理をもとにして、各極値点で所望の振幅特性からの重みつき近似誤差δ⁽ⁱ⁾ が等しく、符号が交番するように、次のパラメータｐ（ｎ）を求める。
【００７４】
【数９】

【００７５】
すなわち、周波数点ｗ⁽ⁱ⁾ ＝ｗ_k ⁽ⁱ⁾ （ｋ＝０，・・，Ｒ）における式（４）の重みつき近似誤差が次式を満足する。
【００７６】
【数１０】

【００７７】
以下、簡略化のために右肩文字(i) は省略する。式（１０）を変形すると次のようになる。
【００７８】
【数１１】

【００７９】
式（１１）に制約として周波数領域で通過させたい周波数点の等式が加わる。
【００８０】
【数１２】

【００８１】
式（１１）と式（１２）を行列表現すると、次のようになる。
【００８２】
【数１３】

【００８３】
しかし、この式を解くのは非常に計算量が多いので、まずδを解析的に求める。
【００８４】
【数１４】

【００８５】
【数１５】

【００８６】
【数１６】

【００８７】
αk は行列Ｆのｋ行（Ｒ＋１）列の要素の余因子である。ただし、＾Ｗ（ｅ^jw），＾Ｄ（ｅ^jw）は、それぞれ式（５）、式（６）を使う。
次にこのδを用いて次式のようにおく。
【００８８】
【数１７】

【００８９】
【数１８】

【００９０】
極値点以外の周波数の振幅特性を求めるために、極値点と通過させたい周波数点を用いて補間する補間多項式として、今回はラグランジュ補間多項式を用いることにする。すなわち、Ｐ（ｅ^jw）は、ラグランジュ補間多項式を用いて、ｗk(（ｋ＝０，・・，Ｒ＋Ｎｐ）で値Ｃk をとるような補間をすることで計算される。
【００９１】
【数１９】

【００９２】
【数２０】

【００９３】
【数２１】

【００９４】
この結果は、式（１３）を解いたことに相当する。
【００９５】
ｓｔｅｐ２
補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を求めることと（Ｆ１０３）、最適近似が得られた否かを繰り返し判断する（Ｆ１０４）。
上記したｓｔｅｐ１の結果の各極値点ｗk は必ずしも重みつき誤差関数Ｅ（ｅ^jw）の極値になっておらず、｜Ｅ（ｅ^jw）｜＞δ⁽ⁱ⁾ となる点が存在することがある。そこで新しい極値点ｗ⁽ⁱ⁺¹⁾ を全点同時入れ替え法から決定する。
全点同時入れ替え法:
次式に基づいて、補間に用いた極値点から計算される重みつき近似誤差の極値を近似帯域全体にわたり探し求め、それを新しい極値点ｗ⁽ⁱ⁺¹⁾ ＝ｗ_k ⁽ⁱ⁺¹⁾ (k=0,1, ・・,R) とし、ｓｔｅｐ１の処理に戻る。
【００９６】
【数２２】

【００９７】
極値の位置が変化しなくなったとき最適近似が得られたとする。これが繰り返しの終了条件であり、次のｓｔｅｐ３の処理へ進む。
【００９８】
図７は、全点入れ替え法の概念図である。
簡単に説明すると、図７中の黒丸が補間に用いた極値点を表し、この極値点から求めた重みつき近似誤差Ｅ（ｅ^jw）が実線に相当する。
図７（Ａ）に示すように、黒丸の極値点での重みつき近似誤差の値は白丸となるが、実際の極値は四角で示す周波数である。そこで、四角で示す周波数を新しい極値点として、ｓｔｅｐ１の処理に戻る。
また、図７（Ｂ）に示すように、補間に用いた極値点と実際の極値の周波数がずれているので、四角で示す周波数を新しい極値点として、ｓｔｅｐ１の処理に戻る。
そして、図７（Ｃ）に示すように、補間に用いた極値点と、実際の重みつき近似誤差の極値点( 白丸) が同じになったときに、繰り返しは終了する。
【００９９】
ｓｔｅｐ３
近似された振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める（Ｆ１０５）。
最適近似関数Ｐ（ｅ^jw）からＮタップのインパルス応答ｈ（ｎ）を求める際に、ｐ（ｎ）から求める代わりに、次式から求める。
【０１００】
【数２３】

【０１０１】
【数２４】

【０１０２】
【数２５】

【０１０３】
【数２６】

【０１０４】
【数２７】

【０１０５】
もし、通過させたい任意の周波数点がない場合、Ｎｐ＝０のときは、通常のレムズ交換アルゴリズムと同じである。
【０１０６】
図８は、以下に示す仕様に対して、任意の周波数点を通過するように拡張したレムズ交換アルゴリズムで設定された低域通過フィルタの周波数応答を示す図である。
【０１０７】
仕様
・タップ数；２４タップ、
・対称性 ；偶対称
【０１０８】
【表１】

【０１０９】
【表２】

【０１１０】
図８（Ａ）はデシベルで表示した周波数応答を示す図、図８（Ｂ）はそのままの値で表示した周波数応答を示す図、図８（Ｃ）は利得３付近を拡大した図、図８（Ｄ）は利得０付近を拡大した図である。
また、図中、実線は最終的に得られた周波数特性を示している。また、点線はバンドの区切りを示し、黒丸は指定した周波数点を示している。
【０１１１】
図８、特に図８（Ｃ），（Ｄ）から、本実施形態に係る任意の周波数点を通過するように拡張したレムズ交換アルゴリズムで設定された低域通過フィルタは、指定した周波数点を通過していることが確認できる。
【０１１２】
次に、変形例として、指定された阻止域の減衰量を満足するアルゴリズムについて説明する。
このアルゴリズムは、任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムを用いて、バンド数が２である低域通過フィルタ、または、高域通過フィルタに対して、指定された阻止域の減衰量( 重みつき近似誤差) を満足するアルゴリズムである。
なお、以下の説明では、低域通過フィルタを想定して記述しているが、高域通過フィルタに適用したいときは、「通過域」と「阻止域」は逆になる。
【０１１３】
阻止域の減衰量を満足するための方法としては、以下に示す３種類のアプローチが存在する。
第１は、通過域の終点周波数ｗp を可変、阻止域の始点周波数ｗs を固定、およびタップ数を固定とするアプローチである。
第２は、通過域の終点周波数ｗp を固定、阻止域の始点周波数ｗs を可変、およびタップ数を固定とするアプローチである。
第３は、通過域の終点周波数ｗp を固定、阻止域の始点周波数ｗs を固定、タップ数を可変とするアプローチである。
【０１１４】
以下、第１、第２、および第３のアプローチについて、図面に関連つけて順を追って説明する。
【０１１５】
第１のアプローチ
まず、一つ目のアプローチでは、指定した阻止域の減衰量ｄＢs を満足する最も大きい通過域の終点周波数ｗp を求めることになる。
図９は、阻止域の減衰量を満足するフィルタを求めるアルゴリズムのフローチャートを示す図である。
図１０は、阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタを求めるアルゴリズムで、自由になるパラメータ（変数）と固定されるパラメータ（変数）を示している。
【０１１６】
ここで、このアルゴリズムで自由になるパラメータ、目的、そしてアルゴリズムの原理を列挙すると次のようになる。
＊自由パラメータ: 通過域の終点周波数ｗp である。
＊目的: 指定した阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数ｗp を持つフィルタを得る。
＊原理: 通過域の始点周波数と阻止域の両端の周波数が固定であり、通過域の終点周波数が自由パラメータである。レムズ交換アルゴリズムによるチェビシェフ近似では、
・通過域の終点周波数ｗp が阻止域の始点周波数ｗs よりも遠ざかる
→阻止域の減衰量は大きくなる。
・通過域の終点周波数ｗp が阻止域の始点周波数ｗs に近づく
→阻止域の減衰量は小さくなる。
すなわち、阻止域の始点周波数ｗs から遠い周波数（ｗ＝０付近）にｗ _p ^(cur) と阻止域の始点周波数に近い周波数ｗ _p ^(pre) を初期周波数として用意し、二分割法を利用して指定した減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数の位置ｗp を求める。
なお、このようなパラメータの直線探索法で最も効率の良い方法は黄金分割法であるが、ここでは、アルゴリズムの理解が容易な二分割法を採用している。
【０１１７】
図９および以下に説明するアルゴリズムの各ステップ処理Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４，Ｆ１０５の内容は、図６に関連付けて説明した任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムと同じである。したがって、これらの処理については、図６と同じ符号を用いている。
【０１１８】
ｓｔｅｐ１０
図９に示すように、まず、初期設定を行う（Ｆ２０１）。この初期設定では、直線位相ＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、通過させたい任意の周波数点を入力、初期極値点の設定、阻止域の減衰量の指定、二分割法の初期周波数の設定を行う。
具体的に設定する項目は以下の通りである。
・タップ数、
・直線位相ＦＩＲフィルタは、偶対称あるいは奇対称、
・バンドの数は２個、
・通過域の始点周波数、
・通過域の利得、
・阻止域の両端の周波数、
・阻止域の利得、
・通過域と阻止域に対する重みづけ、
・通過させたい点の周波数と振幅値、
・阻止域の減衰量ｄＢs(すなわち、阻止域のリップルの大きさδ2 を指す) 、・近似帯域で極値となる周波数ｗ⁽⁰⁾ ＝ｗ_k ⁽⁰⁾ （ｋ＝０，・・，Ｒ）
ただし、右肩文字(i) は繰り返しの回数を表している。
【０１１９】
また、図１１は、阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタを求めるアルゴリズムにおける二分割法の初期周波数を示す図である。
図１１に示すように、本例では、二分割法の初期周波数として下記のような値を与えている。
【０１２０】
【数２８】

【０１２１】
ｗp の後ろにある[t] の部分はサイクル数を表すものとする。
ここでは、周波数ｗ _p ^(pre) [0] に対しては任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムを実行して阻止域における最小の減衰量ｄＢ^(pre) [0] が求められているとして以下のステップについて説明する。
【０１２２】
ｓｔｅｐ１１
任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムを実行する（Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４）。
具体的には、処理Ｆ１０２では、ｗ _p ^(cur) [t] のときの極値点と通過させたい周波数点から振幅特性を補間する補間多項式を生成を生成する。
次いで、処理Ｆ１０３において、補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定する。
そして、処理Ｆ１０４において、レムズ交換アルゴリズムの繰り返し判断を行う。
【０１２３】
ｓｔｅｐ１２
次に、阻止域の減衰量を調べる（Ｆ２０６）。
処理Ｆ１０２で求めた補間多項式を用いて、阻止域における最小の減衰量（最大の重みつき近似誤差δ2 ）ｄＢ _s ^(cur) [t] を調べる。
【０１２４】
ｓｔｅｐ１３
次に、指定した阻止域の減衰量との比較を行う（Ｆ２０７）。
具体的には、指定した阻止域の減衰量ｄＢs と比較して、下記式（２９）または式（３０）を満足している場合には、ｓｔｅｐ１５（Ｆ１０５）の処理に移行する。満足していない場合にはｓｔｅｐ１４（Ｆ２０８）の処理に移行する。
【０１２５】
【数２９】

【０１２６】
【数３０】

【０１２７】
ただし、ε1 とε2 は非常に小さい値をしている。
【０１２８】
ｓｔｅｐ１４
指定した阻止域の減衰量ｄＢs との比較において、上記式（２９）または式（３０）を満足していない場合には、バンドの設定を変更する（Ｆ２０８）。
具体的には、新しい通過域の終点周波数ｗ _p ^(cur) [t + 1] を設定する。その設定法として一回目のループの場合と二回目以降のループの場合に分けて説明する。
【０１２９】
一回目 :
一回目の場合には、図１２に示す３つのケースが考えられる。
すなわち、周波数ｗ _p ^(pre) [0] 、ｗ _p ^(cur) [0] に対して、図１２（Ａ），（Ｂ），（Ｃ）に示すケースが考えられる。
図１２（Ａ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量を満足しているケースである。この場合、阻止域の始点周波数ｗs に近い周波数ｗ _p ^(pre) [0] を解としてｓｔｅｐ１５の処理に進む。
図１２（Ｂ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量を満足しないケースである。この場合、現在のタップ数では、指定した減衰量を実現することができないので、その旨を表示して終了する。
図１２（Ｃ）に示すケースは、片方のみが指定した減衰量を満足するケースである。この場合は、下記式（３１）のようにしてｓｔｅｐ１１の処理に移行する。
なお、今回の初期周波数点の与え方では、ｗ _p ^(pre) [0] が満足し、ｗ _p ^(cur) [0] が満足しないケースは存在しない。
【０１３０】
【数３１】

【０１３１】
二回目以降 :
二回目以降の場合には、図１３に示す２つのケースが考えられる。二回目以降における新しい周波数の決め方において、ｗ _p ^(pre) [t +1]には必ず指定した減衰量ｄＢs を満足する周波数を保存する。周波数ｗ _p ^(pre) [t] 、ｗ _p ^(cur) [t] に対して、図１３（Ａ），（Ｂ）に示すケースが考えられる。
図１３（Ａ）に示すケースは、片方のみが指定した減衰量を満足するケースである。この場合は、下記式（３２）のようにして次のｓｔｅｐ１１の処理に移行する。
なお、常にｗ _p ^(pre) [t] は指定した減衰量を満足した周波数がくるので、ｗ _p ^(pre) [t] が満足しないケースは存在しない。
【０１３２】
【数３２】

【０１３３】
図１３（Ｂ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量を満足しているケースである。この場合は、下記式（３３）のようにして次のｓｔｅｐ１１の処理に移行する。
【０１３４】
【数３３】

【０１３５】
ｓｔｅｐ１５
近似された振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める（Ｆ１０５）。
すなわち、最終的に得られた振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める。
【０１３６】
図１４は、「阻止域の減衰量を満足する最大の通過域の終点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタの周波数応答特性を示す図である。
図１４（Ａ）はデシベルで表示した周波数応答を示す図、図１４（Ｂ）はそのままの値で表示した周波数応答を示す図、図１４（Ｃ）は利得３付近を拡大した図、および図１４（Ｄ）は利得０付近を拡大した図である。
【０１３７】
この場合の基本アルゴリズム、求めたい変数、指定周波数点は以下の通りである。
【０１３８】
基本アルゴリズム :
任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムである。
・２４タップ
・偶対称
・阻止域の減衰量は−４０ｄＢ以下
求めたい変数 :
通過域の終点周波数ｗp である。
【０１３９】
【表３】

【０１４０】
【表４】

【０１４１】
なお、図１４中において、実線は阻止域の減衰量を満足する最大の通過域の終点周波数をもつ低域通過フィルタの周波数応答を示している。また、点線はあらかじめ与えたバンドの区切りを示し、黒丸は指定した周波数点を示している。
【０１４２】
図１４（Ａ）から指定した阻止域の減衰量を実現していることが確認できる。
また、図１４（Ｃ），（Ｄ）から指定した周波数点を通過していることが確認できる。
【０１４３】
すなわち、図１４からわかるように、本発明に係る「阻止域の減衰量を満足する最大の通過域の終点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタは、良好な周波数応答特性を有している。
【０１４４】
第２のアプローチ
次に、第２のアプローチでは、指定した阻止域の減衰量ｄＢs を満足する最も小さい阻止域の始点周波数ｗs を求めることになる。
そのためのフローチャートは、第１のアプローチで参照した図９と等価なものとなる。
図１５は、阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタを求めるアルゴリズムで、自由になるパラメータ（変数）と固定されるパラメータ（変数）を示している。
【０１４５】
ここで、このアルゴリズムで自由になるパラメータ、目的、そしてアルゴリズムの原理を列挙すると次のようになる。
＊自由パラメータ: 阻止域の始点周波数ｗs である。
＊目的: 指定した阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数ｗs を持つフィルタを得る。
＊原理: 通過域の両端の周波数と阻止域の終点周波数が固定であり、阻止域の始点周波数が自由パラメータである。レムズ交換アルゴリズムによるチェビシェフ近似では、
・この阻止域の始点周波数ｗs が通過域の終点周波数ｗp よりも遠ざかる→阻止域の減衰量は大きくなる。
・この阻止域の始点周波数ｗs が通過域の終点周波数ｗp に近づく
→阻止域の減衰量は小さくなる。
すなわち、通過域の終点周波数から遠い周波数ｗ _s ^(pre) と通過域の終点周波数に近い周波数ｗ _s ^(cur) を初期周波数として用意し、二分割法を利用して指定した減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数の位置ｗs を求める。
なお、この場合も、このようなパラメータの直線探索法で最も効率が良い方法は黄金分割法であるが、ここでは、アルゴリズムの理解が容易な二分割法を採用している。
【０１４６】
また、図９および以下に説明するアルゴリズムの各ステップ処理Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４，Ｆ１０５の内容は、第１のアプローチの場合と同様に、図６に関連付けて説明したプリフィルタの周波数応答を考慮したレムズ交換アルゴリズムと同じである。したがって、ここでの処理については、図６と同じ符号を用いている。
【０１４７】
ｓｔｅｐ２０
図９に示すように、まず、初期設定を行う（Ｆ２０１）。この初期設定では、直線位相ＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、通過させたい任意の周波数点を入力、初期極値点の設定、阻止域の減衰量の指定、二分割法の初期周波数の設定を行う。
具体的に設定する項目は以下の通りである。
・タップ数、
・直線位相ＦＩＲフィルタは、偶対称あるいは奇対称、
・バンドの数は２個
・通過域の両端の周波数、
・通過域の利得、
・阻止域の終点周波数、
・阻止域の利得、
・通過域と阻止域に対する重みづけ、
・通過させたい点の周波数と振幅値、
・阻止域の減衰量ｄＢs(すなわち、阻止域のリップルの大きさδ2 を指す) 、
・近似帯域で極値となる周波数ｗ⁽⁰⁾ ＝ｗ_k ⁽⁰⁾ （ｋ＝０，・・，Ｒ）
ただし、右肩文字(i) は繰り返しの回数を表している。
【０１４８】
また、図１６は、阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域を持つフィルタを求めるアルゴリズムにおける二分割法の初期周波数を示す図である。
図１６に示すように、本例では、二分割法の初期周波数として下記のような値を与えている。
【０１４９】
【数３４】

【０１５０】
ｗs の後ろにある[t] の部分はサイクル数を表すものとする。
ここでは、周波数ｗ _s ^(pre) [0] に対しては任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムを実行して阻止域における最小の減衰量ｄＢ^(pre) [0] が求められているとして以下のステップについて説明する。
【０１５１】
ｓｔｅｐ２１
任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムを実行する（Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４）。
具体的には、処理Ｆ１０２では、ｗ _s ^(cur) [t] のときの極値点から振幅特性を補間する補間多項式を生成を生成する。
次いで、処理Ｆ１０３において、補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定する。
そして、処理Ｆ１０４において、レムズ交換アルゴリズムの繰り返し判断を行う。
【０１５２】
ｓｔｅｐ２２
次に、阻止域の減衰量を調べる（Ｆ２０６）。
処理Ｆ１０２で求めた補間多項式を用いて、阻止域における最小の減衰量( 最大の重みつき近似誤差δ2)ｄＢ _s ^(cur) [t] を調べる。
【０１５３】
ｓｔｅｐ２３
次に、指定した阻止域の減衰量との比較を行う（Ｆ２０７）。
具体的には、指定した阻止域の減衰量ｄＢs と比較して、下記式（３５）または式（３６）を満足している場合には、ｓｔｅｐ２５（Ｆ１０５）の処理に移行する。満足していない場合にはｓｔｅｐ２４（Ｆ２０８）の処理に移行する。
【０１５４】
【数３５】

【０１５５】
【数３６】

【０１５６】
ただし、ε1 とε2 は非常に小さい値とする。
【０１５７】
ｓｔｅｐ２４
指定した阻止域の減衰量との比較において、上記式（３５）または式（３６）を満足していない場合には、バンドの設定を変更する（Ｆ２０８）。
具体的には、新しい阻止域の始点周波数ｗ _s ^(cur) [t + 1] を設定する。その設定法として一回目のループの場合と二回目以降のループの場合に分けて説明する。
【０１５８】
一回目 :
一回目の場合には、図１７に示す３つのケースが考えられる。
すなわち、周波数ｗ _s ^(pre) [0] 、ｗ _s ^(cur) [0] に対して、図１７（Ａ），（Ｂ），（Ｃ）に示すケースが考えられる。
図１７（Ａ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量を満足しているケースである。この場合、ｗ＝０に近い周波数ｗ _s ^(pre) [0] を解としｓｔｅｐ２５の処理に進む。
図１７（Ｂ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量を満足しないケースである。この場合、現在のタップ数では、指定した減衰量を実現することができないので、その旨を表示して終了。
図１７（Ｃ）に示すケースは、片方のみが指定した減衰量を満足するケースである。この場合は、下記式（３７）のようにしてｓｔｅｐ２１の処理に移行する。
なお、今回の初期周波数点の与え方では、ｗ _s ^(pre) [0] が満足し、ｗ _s ^(cur) [0] が満足しないケースは存在しない。
【０１５９】
【数３７】

【０１６０】
二回目以降 :
二回目以降の場合には、図１８に示す２つのケースが考えられる。二回目以降における新しい周波数の決め方において、ｗ _s ^(pre) [t + 1] には必ず指定した減衰量ｄＢs を満足する周波数を保存することにする。周波数ｗ _s ^(pre) [t] 、ｗ _s ^(cur) [t] に対して、図１８（Ａ），（Ｂ）に示すケースが考えられる。
図１８（Ａ）に示すケースは、片方のみが指定した減衰量を満足するケースである。この場合は、下記式（３８）のようにして次のｓｔｅｐ２１の処理に移行する。
なお、常にｗ _s ^(pre) [t] は減衰量を満足した周波数がくるので、ｗ _s ^(pre) [t] が満足しないケースは存在しない。
【０１６１】
【数３８】

【０１６２】
図１８（Ｂ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量を満足しているケースである。この場合は、下記式（３９）のようにして次のｓｔｅｐ２１の処理に移行する。
【０１６３】
【数３９】

【０１６４】
ｓｔｅｐ２５
近似された振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める（Ｆ１０５）。
すなわち、最終的に得られた振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める。
【０１６５】
図１９は、「阻止域の減衰量を満足する最小の阻止域の始点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタの周波数応答特性を示す図である。
図１９（Ａ）はデシベルで表示した周波数応答を示す図、図１９（Ｂ）はそのままの値で表示した周波数応答を示す図、図１９（Ｃ）は利得３付近を拡大した図、および図１９（Ｄ）は利得０付近を拡大した図である。
【０１６６】
この場合の基本アルゴリズム、求めたい変数、指定周波数点は以下の通りである。
【０１６７】
基本アルゴリズム :
任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムである。
・２４タップ
・偶対称
・阻止域の減衰量は−４０ｄＢ以下
求めたい変数 :
阻止域の始点周波数ｗs である。
【０１６８】
【表５】

【０１６９】
【表６】

【０１７０】
なお、図１９中において、実線は阻止域の減衰量を満足する最小の阻止域の始点周波数をもつ低域通過フィルタの周波数応答を示している。また、点線はあらかじめ与えたバンドの区切りを示し、黒丸は指定して周波数点を示している。
【０１７１】
図１９（Ａ）から指定した阻止域の減衰量を実現していることが確認できる。
また、図１９（Ｃ），（Ｄ）から指定した周波数点を通過していることが確認できる。
【０１７２】
すなわち、図１９からわかるように、本発明に係る「阻止域の減衰量を満足する最小の阻止域の始点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタは、良好な周波数応答特性を有している。
【０１７３】
第３のアプローチ
最後に、第３のアプローチでは、指定した阻止域の減衰量ｄＢs を満足する最小のタップ数Ｎを求めることになる。
図２０は、阻止域の減衰量を満足する最小のタップ数のフィルタを求めるアルゴリズムのフローチャート示す図である。
【０１７４】
ここで、このアルゴリズムで、自由になるパラメータ、目的、そしてアルゴリズムの原理を列挙すると次のようになる。
＊自由パラメータ: タップ数である。
＊目的: 指定された阻止域の減衰量を満足する最小タップ数のフィルタを得る。
＊原理: バンドの変数はすべて固定であるので、指定した阻止域の減衰量を満足できない場合に、タップ数を１タップ増やす。
【０１７５】
また、図２０および以下に説明するアルゴリズムの各ステップ処理Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４，Ｆ１０５、の内容は、第１のアプローチの場合と同様に、図６に関連付けて説明した任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムと同じである。また、処理Ｆ２０６の内容は第２のアプローチの場合と同様に、図９に関連付けて説明した処理と同様である。したがって、ここでの処理については、図６および図９と同じ符号を用いている。
【０１７６】
ｓｔｅｐ３０
図２０に示すように、まず、初期設定を行う（Ｆ４０１）。この初期設定では、直線位相ＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、通過させたい任意の周波数点を入力、初期極値点の設定を行う。
具体的に設定する項目は以下の通りである。
・初期タップ数、
・直線位相ＦＩＲフィルタは、偶対称あるいは奇対称、
・バンドの数は２個、
・各バンドの始点周波数と終点周波数、
・各バンドの利得、
・各バンドの重みづけ、
・通過させたい点の周波数と振幅値、
・阻止域の減衰量ｄＢs(すなわち、阻止域のリップルの大きさδ2 を指す) 、
・近似帯域で極値となる周波数ｗ⁽⁰⁾ ＝ｗ_k ⁽⁰⁾ （ｋ＝０，・・，Ｒ）
ただし、右肩文字(i) は繰り返しの回数を表している。
【０１７７】
ｓｔｅｐ３１
任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムを実行する（Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４）。
具体的には、処理Ｆ１０２では、ｗ _p ^(cur) [t]のときの極値点と通過させたい周波数点から振幅特性を補間する補間多項式を生成を生成する。
次いで、処理Ｆ１０３において、補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定する。
そして、処理Ｆ１０４において、レムズ交換アルゴリズムの繰り返し判断を行う。
【０１７８】
ｓｔｅｐ３２
次に、阻止域の減衰量を調べる（Ｆ２０６）。
処理Ｆ１０２で求めた補間多項式を用いて、阻止域における最小の減衰量( 最大の重みつき近似誤差δ2)ｄＢ _s ^(cur) [t] を調べる。
【０１７９】
ｓｔｅｐ３３
次に、指定した阻止域の減衰量との比較を行う（Ｆ４１２）。
具体的には、指定した阻止域の減衰量ｄＢs と比較して、下記式（４０）を満足している場合には、ｓｔｅｐ３５（Ｆ１０５）の処理に移行する。満足していない場合にはｓｔｅｐ３４（Ｆ４１３）の処理に移行する。
【０１８０】
【数４０】

【０１８１】
ｓｔｅｐ３４
１タップ増やす（Ｆ４１３）。
すなわち、現在のタップ数を１タップ増やし、ｓｔｅｐ３０の処理に移行する。
【０１８２】
ｓｔｅｐ３５
近似された振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める（Ｆ１０５）。
すなわち、最終的に得られた振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める。
【０１８３】
図２１は、「阻止域の減衰量を実現する最小のタップ数」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタの周波数応答特性を示す図である。
図２１（Ａ）はデシベルで表示した周波数応答を示す図、図２１（Ｂ）はそのままの値で表示した周波数応答を示す図、図２１（Ｃ）は利得３付近を拡大した図、および図２１（Ｄ）は利得０付近を拡大した図である。
【０１８４】
この場合の基本アルゴリズム、求めたい変数、指定周波数点は以下の通りである。
【０１８５】
基本アルゴリズム :
任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムである。
・初期タップ数１０タップ
・偶対称
・阻止域の減衰量は−６０ｄＢ以下
求めたい変数 :
タップ数Ｎである。
【０１８６】
【表７】

【０１８７】
【表８】

【０１８８】
なお、図２１中において、実線は阻止域の減衰量が−６０ｄＢ以下になる最小のタップ数（３６タップ）の低域通過フィルタの周波数応答を示している。また、点線はあらかじめ与えたバンドの区切りを示し、黒丸は指定した周波数点を示している。
【０１８９】
図２１（Ａ）から指定した阻止域の減衰量を実現していることが確認できる。
また、図２１（Ｃ），（Ｄ）から指定した周波数点を通過していることが確認できる。
【０１９０】
すなわち、図２１からわかるように、本発明に係る「阻止域の減衰量を実現する最小のタップ数」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタは、良好な周波数応答特性を有している。
【０１９１】
次に、第２の変形例として、阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタを求めるアルゴリズムについて説明する。
【０１９２】
ここで、このアルゴリズムで自由になるパラメータ、目的、そしてアルゴリズムの原理を列挙すると次のようになる。
＊自由パラメータ: 通過域の終点周波数ｗp と阻止域の始点周波数ｗs である。
＊目的: 阻止域の減衰量ｄＢs を満足し、かつ、遷移域の周波数ｗc で減衰量ｄＢc を通過するバンドを決定する。すなわち、遷移域の特定周波数ｗc で減衰量ｄＢc となるような最も大きい通過域の終点周波数ｗp と最も小さい阻止域の始点周波数ｗs を得る。
＊原理: 通過域の始点周波数と阻止域の終点周波数が固定であり、通過域の終点周波数ｗp と阻止域の始点周波数ｗs が自由パラメータである。２つの自由パラメータがあるので、同時に動かすと適切に決めることができない。そこで、片方のパラメータを固定し、阻止域の減衰量を満足するもう一方のパラメータを求める。遷移域の周波数ｗc で減衰量ｄＢc を通過しない場合は、固定していたパラメータを変更する。以上のような反復を繰り返すことで、遷移域の周波数ｗc で減衰量ｄＢc を通過するバンドを決定する。
阻止域の減衰量を満足するパラメータを求める方法は、２種類のアプローチ、すなわち、
第１に「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」、
第２に「阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタ」があるので、それぞれをベースにしたアルゴリズムを順を追って説明する。
【０１９３】
図２２は、阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタを求めるアルゴリズムのフローチャートを示す図である。
まず、図２２〜図２７に関連付けて、「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」をベースにしたアルゴリズムについて説明する。
【０１９４】
すなわち、本アルゴリズムでは、「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムを利用する。
具体的なアルゴリズムの方針は、図２３に示すように、上記アルゴリズムを内側のループとしてｗs を求め、さらに外側にｗp を求めるためのループをかぶせてバンドのパラメータを決定する。
すなわち、外側のループで通過域の終点周波数ｗp を固定し、内側のループで阻止域の減衰量ｄＢs を満足する阻止域の始点周波数ｗs を求める。
求められた振幅特性が指定した遷移域の点（ｗc ，ｄＢc ）を通過してないときは、「阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタ」を探索したときと同様にｗp を二分割法を用いて探索する。
以下に具体的なアルゴリズムを示すが、内側のループである「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムは同じなので説明は省略する。
【０１９５】
また、図２２および以下に説明するアルゴリズムの各ステップ処理Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４，Ｆ１０５、の内容は、第１のアプローチの場合と同様に、図６に関連付けて説明した任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムと同じである。また、処理Ｆ２０６，Ｆ２０７，Ｆ２０８の内容は第２のアプローチの場合と同様に、図９に関連付けて説明した処理、すなわち「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」のアルゴリズムと同様である。したがって、ここでの処理については、図６および図９と同じ符号を用いている。
【０１９６】
ｓｔｅｐ４０
まず、図２２に示すように、初期設定を行う（Ｆ３０１）。この初期設定では、直線位相ＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、通過させたい任意の周波数点を入力、初期極値点の設定、阻止域の減衰量の指定、二分割法の初期周波数の設定を行う。
具体的に設定する項目は以下の通りである。
・タップ数、
・直線位相ＦＩＲフィルタは、偶対称あるいは奇対称、
・バンドの数は２個、
・通過域の始点周波数ｗs ＝０、
・通過域の利得、
・阻止域の終点周波数ｗp ＝π、
・阻止域の利得、
・通過域と阻止域に対する重みづけ、
・通過させたい点の周波数と振幅値、
・阻止域の減衰量ｄＢs(すなわち、阻止域のリップルの大きさδ2 を指す) 、
・遷移域の周波数ｗc とその減衰量ｄＢc 、
・近似帯域で極値となる周波数ｗ⁽⁰⁾ ＝ｗ_k ⁽⁰⁾ （ｋ＝０，・・，Ｒ）
ただし、右肩文字(i) は繰り返しの回数を表している。
【０１９７】
また、図２４は、阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタを求めるアルゴリズムにおける二分割法の初期周波数を示す図である。
図２４に示すように、本例では、二分割法の初期周波数とし下記のような値を与えている。
【０１９８】
【数４１】

【０１９９】
ｗp の後ろにある[t] の部分はサイクル数を表すものとする。
ここでは、周波数ｗ _p ^(pre) [0] に対しては任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムを実行して阻止域における指定した減衰量ｄＢs を満足する最小の阻止域の始点周波数ｗ _s ^(pre) [0]が求められ、そのときのｗc における利得ｄＢ _c ^(pre) [0] が得られているとして以下のステップについて説明する。
【０２００】
ｓｔｅｐ４１
「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムを実行する(F102, F103, F104, F206, F207, F208)。
具体的には、処理Ｆ１０２では、ｗ _p ^(cur) [t] のときの極値点と通過させたい周波数点から振幅特性を補間する補間多項式を生成する。
次いで、処理Ｆ１０３において、補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定する。
そして、処理Ｆ１０４において、レムズ交換アルゴリズムの繰り返し判断を行う。
次に、処理Ｆ２０６において、阻止域における最小の減衰量（最大の重みつき近似誤差）を求める。
次に、処理Ｆ２０７において、阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数ｗs を持つフィルタを求めるアルゴリズムの終了条件を得る。
また、処理Ｆ２０８において、新しい阻止域の始点周波数ｗ _s ^(cur) の設定を行う。
【０２０１】
ｓｔｅｐ４２
次に、遷移域に指定した周波数の減衰量を調べる（Ｆ３０９）。
処理Ｆ１０２において、「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数」を求めるアルゴリズムで最終的に求まったラグランジュ補間多項式を用いて、遷移域に指定した周波数ｗc に対する減衰量ｄＢ _c ^(cur) [t] を調べる。
【０２０２】
ｓｔｅｐ４３
遷移域の指定減衰量との比較を行う（Ｆ３１０）。
遷移域の周波数ｗc に対する減衰量ｄＢc と比較して、下記式（４２）または式（４３）を満足している場合には、ｓｔｅｐ４５（Ｆ１０５）の処理に移行し、満足していない場合にはｓｔｅｐ４４（Ｆ３１１）の処理に移行する。
【０２０３】
【数４２】

【０２０４】
【数４３】

【０２０５】
ただし、ε1 とε2 は非常に小さい値をしている。
【０２０６】
ｓｔｅｐ４４
遷移域の周波数ｗc に対する減衰量ｄＢc との比較において、上記式（４２）または式（４３）を満足していない場合には、バンドの設定を変更する（Ｆ３１１）。
具体的には、新しい通過域の終点周波数ｗ _p ^(cur) [t + 1] を設定する。その設定法として一回目のループの場合と二回目以降のループの場合に分けて説明する。
【０２０７】
一回目 :
一回目の場合には、図２５に示す３つのケースが考えられる。
すなわち、周波数ｗ _p ^(pre) [0] 、ｗ _p ^(cur) [0] に対して、図２５（Ａ），（Ｂ），（Ｃ）に示すケースが考えられる。
図２５（Ａ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量ｄＢc を満足しているケースである。この場合、大きい周波数ｗ _p ^(cur) [0] を解としてｓｔｅｐ４５の処理に進む。
図２５（Ｂ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量を満足しないケースである。この場合、現在のタップ数では、指定した減衰量を実現することができないので、その旨を表示して終了する。
図２５（Ｃ）に示すケースは、片方のみが指定した減衰量を満足するケースである。この場合は、下記式（４４）のようにしてｓｔｅｐ４１の処理に移行する。
なお、今回の初期周波数の与え方では、ｗ _p ^(cur) [0] が満足し、ｗ _p ^(pre) [0] が満足しないケースは存在しない。
【０２０８】
【数４４】

【０２０９】
二回目以降 :
二回目以降の場合には、図２６に示す２つのケースが考えられる。二回目以降における新しい周波数ｗ _p ^(cur) [t + 1] の決め方において、ｗ _p ^(pre) [t + 1] には必ず指定減衰量ｄＢc を満足する周波数を保存する。周波数ｗ _p ^(pre) [t] 、ｗ _p ^(cur) [t] に対して図２６（Ａ），（Ｂ）に示すケースが考えられる。
図２６（Ａ）に示すケースは、片方のみが指定した減衰量を満足するケースである。この場合は、下記式（４５）の処理を行い次のｓｔｅｐ４１の処理に移行する。
なお、常にｗ _p ^(pre) [t] は指定した減衰量を満足した周波数がくるので、ｗ _p ^(pre) [t] が満足しないケースは存在しない。
【０２１０】
【数４５】

【０２１１】
図２６（Ｂ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量を満足しているケース。この場合は、下記式（４６）の処理を行い次のｓｔｅｐ４１の処理に移行する。
【０２１２】
【数４６】

【０２１３】
ｓｔｅｐ４５
近似された振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める（Ｆ１０５）。
すなわち、最終的に得られた振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める。
【０２１４】
図２７は、「最小の阻止域の始点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムをベースにした「阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタ」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタの周波数応答特性を示す図である。
図２７（Ａ）はデシベルで表示した周波数応答を示す図、図２７（Ｂ）はそのままの値で表示した周波数応答を示す図、図２７（Ｃ）は利得３付近を拡大した図、および図２７（Ｄ）は利得０付近を拡大した図である。
【０２１５】
この場合の基本アルゴリズム、求めたい変数、指定周波数点は以下の通りである。
【０２１６】
基本アルゴリズム :
阻止域の減衰量を満足する最小の阻止域の始点周波数を求めるレムズ交換アルゴリズムである。
・（０．４π，１２ｄＢ）を通過
・２４タップ
・偶対称
・阻止域の減衰量は−４０ｄＢ以下
求めたい変数 :
通過域の終点周波数ｗp と阻止域の始点周波数ｗs である。
【０２１７】
【表９】

【０２１８】
【表１０】

【０２１９】
なお、図２７において、実線は阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過する低域通過フィルタの周波数応答を示している。また、黒丸は指定した周波数点（遷移域の周波数点と任意の周波数点）を示している。
【０２２０】
図２７（Ａ）から指定した阻止域の減衰量を実現していることが確認できる。
図２７（Ｂ）から遷移域に指定した阻止域の減衰量を実現していることが確認できる。
また、図２７（Ｃ），（Ｄ）から指定した周波数点を通過していることが確認できる。
【０２２１】
すなわち、図２７からわかるように、「最小の阻止域の始点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムをベースにした「阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタ」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタは、良好な周波数応答特性を有している。
【０２２２】
次に、阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタを求めるアルゴリズムをベースにしたアルゴリズムについて、図２２、図２８〜図３２に関連付けて説明する。
この場合のフローチャートは、阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタを求めるアルゴリズムにおいて参照した図２２と等価なものとなる。
【０２２３】
本アルゴリズムでは、「阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムを利用する。
具体的なアルゴリズムの方針は、図２８に示すように、上記アルゴリズムを内側のループとしてｗp を求め、さらに外側にｗs を求めるためのループをかぶせてバンドのパラメータを決定する。
すなわち、外側のループで阻止域の始点周波数ｗs を固定し、内側のループで阻止域の指定減衰量ｄＢs を満足する通過域の終点周波数ｗp を求める。
求められた振幅特性が指定した遷移域の点（ｗc ，ｄＢc ）を通過してないときは、「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」を探索したときと同様にｗs を二分割法を用いて探索する。
具体的に以下にアルゴリズムを示すが、内側のループである「阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムは同じなので説明は省略する。
【０２２４】
また、図２２および以下に説明するアルゴリズムの各ステップ処理Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４，Ｆ１０５、の内容は、第１のアプローチの場合と同様に、図６に関連付けて説明した任意の週は数点を通過するレムズ交換アルゴリズムと同じである。また、処理Ｆ２０６，Ｆ２０７，Ｆ２０８の内容は第２のアプローチの場合と同様に、図９に関連付けて説明した処理、すなわち「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」のアルゴリズムと同様である。したがって、ここでの処理については、図６および図９と同じ符号を用いている。
【０２２５】
ｓｔｅｐ５０
図２２に示すように、まず、初期設定を行う（Ｆ３０１）。この初期設定では、直線位相ＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、通過させたい任意の周波数点を入力、初期極値点の設定、阻止域の減衰量の指定、二分割法の初期周波数の設定を行う。
具体的に設定する項目は以下の通りである。
・タップ数、
・直線位相ＦＩＲフィルタは、偶対称あるいは奇対称、
・バンドの数は２個、
・通過域の始点周波数ｗ＝０、
・通過域の利得、
・阻止域の終点周波数ｗ＝π、
・阻止域の利得、
・通過域と阻止域に対する重みづけ、
・通過させたい点の周波数と振幅値、
・阻止域の減衰量ｄＢs(すなわち、阻止域のリップルの大きさδ2 を指す) 、
・遷移域の周波数ｗc とその減衰量ｄＢc 、
・近似帯域で極値となる周波数ｗ⁽⁰⁾ ＝ｗ_k ⁽⁰⁾ （ｋ＝０，・・，Ｒ）
ただし、右肩文字(i) は繰り返しの回数を表している。
【０２２６】
また、図２９は、阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタを求めるアルゴリズムにおける二分割法の初期周波数を示す図である。
図２９に示すように、本例では、二分割法の初期周波数として下記のような値を与えている。
【０２２７】
【数４７】

【０２２８】
もう一方のｗ _s ^(pre) [0] は下記のように値として「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」を探索するアルゴリズムで求まったｗs をｗ _s ^(pre) [0] としている。
【０２２９】
【数４８】

【０２３０】
なお、本来ならば、下記式（５７）として探索すべきであるが、これでは阻止域を減衰量を満足するようなｗp が見当たらない。そこで、ｗp の最小の値は０．０１程度であることから、このときの阻止域の減衰量を満足する阻止域の始点周波数ｗs を初期周波数としている。
【０２３１】
【数４９】

【０２３２】
ｗs の後ろにある[t] の部分はサイクル数を表すものとする。
ここでは、周波数ｗ _s ^(pre) [0] に対しては、任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムを実行して阻止域における指定した減衰量ｄＢs を満足する最大の通過域の終点周波数ｗ _p ^(pre) [0]が求められ、そのときのｗc における利得ｄＢ _c ^(pre) [0] が得られているとして以下のステップについて説明する。
【０２３３】
ｓｔｅｐ５１
「阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムを実行する(F102, F103, F104, F206, F207, F208)。
具体的には、処理Ｆ１０２では、ｗ _s ^(cur) [t] のときの極値点と通過させたい周波数点から振幅特性を補間する補間多項式を生成する。
次いで、処理Ｆ１０３において、補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定する。
そして、処理Ｆ１０４において、レムズ交換アルゴリズムの繰り返し判断を行う。
次に、処理Ｆ２０６において、阻止域における最小の減衰量（最大の重みつき近似誤差）を求める。
次に、処理Ｆ２０７において、阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数ｗp を持つフィルタを求めるアルゴリズムの終了条件を得る。
また、処理Ｆ２０８において、新しい阻止域の始点周波数ｗ _p ^(cur) の設定を行う。
【０２３４】
ｓｔｅｐ５２
次に、遷移域に指定した周波数の減衰量を調べる（Ｆ３０９）。
処理Ｆ１０２において、「阻止域の減衰量を満足する最も大きい阻止域の終点周波数」を求めるアルゴリズムで最終的に求まったラグランジュ補間多項式を用いて、遷移域に指定した周波数ｗc に対する減衰量ｄＢ _c ^(cur) を調べる。
【０２３５】
ｓｔｅｐ５３
指定した遷移域の減衰量との比較を行う（Ｆ３１０）。
指定した遷移域の周波数ｗc に対する減衰量ｄＢc と比較して、下記式（５０）または式（５１）を満足している場合には、ｓｔｅｐ５５（Ｆ１０５）の処理に移行し、満足していない場合にはｓｔｅｐ５４（Ｆ３１１）の処理に移行する。
【０２３６】
【数５０】

【０２３７】
【数５１】

【０２３８】
ただし、ε1 とε2 は非常に小さい値をしている。
【０２３９】
ｓｔｅｐ５４
遷移域の周波数ｗc に対する減衰量ｄＢc との比較において、上記式（５０）または式（５１）を満足していない場合には、バンドの設定を変更する（Ｆ３１１）。
具体的には、新しい阻止域の始点周波数ｗ _s ^(cur) [t + 1] を設定する。その設定法として一回目のループの場合と二回目以降のループの場合に分けて説明する。
【０２４０】
一回目 :
一回目の場合には、図３０に示す３つのケースが考えられる。
すなわち、周波数ｗ _s ^(pre) [0] 、ｗ _s ^(cur) [0] に対して、図３０（Ａ），（Ｂ），（Ｃ）に示すケースが考えられる。
図３０（Ａ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量ｄＢc を満足しているケースである。この場合、大きい周波数ｗ _s ^(cur) [0] を解としてｓｔｅｐ５５の処理に進む。
図３０（Ｂ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量を満足しないケースである。この場合、現在のタップ数では、指定した減衰量を実現することができないので、その旨を表示して終了する。
図３０（Ｃ）に示すケースは、片方のみが指定した減衰量を満足するケースである。この場合は、下記式（５２）のようにしてｓｔｅｐ５１の処理に移行する。
なお、今回の初期周波数の与え方では、ｗ _s ^(cur) [0] が満足し、ｗ _s ^(pre) [0] が満足しないケースは存在しない。
【０２４１】
【数５２】

【０２４２】
二回目以降 :
二回目以降の場合には、図３１に示す２つのケースが考えられる。二回目以降における新しい周波数ｗ _s ^(cur) [t + 1] の決め方において、ｗ _s ^(pre) [t + 1] には必ず指定減衰量ｄＢc を満足する周波数を保存する。周波数ｗ _s ^(pre) [t] 、ｗ _s ^(cur) [t] に対して図３１（Ａ），（Ｂ）に示すケースが考えられる。
図３１（Ａ）に示すケースは、片方のみが指定した減衰量を満足するケースである。この場合は、下記式（５３）のようにして次のｓｔｅｐ５１の処理に移行する。
なお、常にｗ _s ^(pre) [t] は指定した減衰量を満足した周波数がくるので、ｗ _s ^(pre) [t] が満足しないケースは存在しない。
【０２４３】
【数５３】

【０２４４】
図３１（Ｂ）に示すケースは、両方とも指定した減衰量を満足しているケース。この場合は、下記式（５４）のようにして次のｓｔｅｐ５１の処理に移行する。
【０２４５】
【数５４】

【０２４６】
ｓｔｅｐ５５
近似された振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める（Ｆ１０５）。
すなわち、最終的に得られた振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める。
【０２４７】
図３２は、「最大の通過域の終点周波数をフィルタ」を求めるアルゴリズムをベースにした「阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタ」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタの周波数応答特性を示す図である。
図３２（Ａ）はデシベルで表示した周波数応答を示す図、図３２（Ｂ）はそのままの値で表示した周波数応答を示す図、図３２（Ｃ）は利得３付近を拡大した図、および図３２（Ｄ）は利得０付近を拡大した図である。
【０２４８】
この場合の基本アルゴリズム、求めたい変数、指定周波数点は以下の通りである。
【０２４９】
基本アルゴリズム :
阻止域の減衰量を満足する最小の阻止域の始点周波数を求める任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムである。
・（０．４π，１２ｄＢ）を通過
・２４タップ
・偶対称
・阻止域の減衰量は−４０ｄＢ以下
求めたい変数 :
通過域の終点周波数ｗp と阻止域の始点周波数ｗs である。
【０２５０】
【表１１】

【０２５１】
【表１２】

【０２５２】
なお、図３２において、実線は阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過する低域通過フィルタの周波数応答を示している。また、黒丸は指定した周波数点（遷移域の周波数点と任意の周波数点）を示している。
【０２５３】
図３２（Ａ）から指定した阻止域の減衰量を実現していることが確認できる。
図３２（Ｂ）から遷移域に指定した阻止域の減衰量を実現していることが確認できる。
また、図３２（Ｃ），（Ｄ）から指定した周波数点を通過していることが確認できる。
【０２５４】
すなわち、図３２からわかるように、「最大の通過域の終点周波数をフィルタ」を求めるアルゴリズムをベースにした「阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタ」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタは、良好な周波数応答特性を有している。
【０２５５】
次に、バンドを変更可能なレムズ交換アルゴリズムに対して、阻止域の減衰量を満足する最小タップ数のフィルタ設計のアルゴリズムについて説明する。
ここでは、前記「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムと、前記「阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタ」を求めるアルゴリズムに対して、指定した阻止域の減衰量を実現する最小タップ数のフィルタを求めるアルゴリズムについて説明する。
【０２５６】
図３３は、阻止域の減衰量を実現する最小タップ数のフィルタを求めるアルゴリズムのフローチャートを示す図である。
【０２５７】
このアルゴリズムで自由になるパラメータ、目的、そしてアルゴリズムの原理を列挙すると次のようになる。
＊自由パラメータ:
・タップ数
・２種類のアプローチが存在する。
第１に、通過域の終点周波数ｗp を可変とし、阻止域の始点周波数ｗs を固定する。
第２に、通過域の終点周波数ｗp を固定し、阻止域の始点周波数ｗs を可変とする。
＊目的: バンドの変数のうち一つが可変であるアルゴリズム対して、指定された阻止域の減衰量dBs を満足する最小タップ数のフィルタを得る。
＊原理: 1 回目のループで「解なし」となるとき、タップ数が足りず指定した減衰量が実現できないので、1 タップ数を増やし再度ためしてみる。
【０２５８】
また、図３３および以下に説明するアルゴリズムの各ステップ処理Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４，Ｆ１０５、の内容は、第１のアプローチの場合と同様に、図６に関連付けて説明した任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムと同じである。また、処理Ｆ２０１，Ｆ２０６，Ｆ２０７，Ｆ２０８の内容は第２のアプローチの場合と同様に、図９に関連付けて説明した処理、すなわち「阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタ」のアルゴリズム、および「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」のアルゴリズムと同様である。したがって、ここでの処理については、図６および図９と同じ符号を用いている。
【０２５９】
ｓｔｅｐ６０
図３３に示すように、まず、初期設定を行う（Ｆ２０１）。この初期設定では、直線位相ＦＩＲフィルタの設定、バンドの設定、通過させたい任意の周波数点を入力、初期極値点の設定、阻止域の減衰量の指定、二分割法の初期周波数の設定を行う。
具体的に設定する項目は以下の通りである。
・タップ数、
・直線位相ＦＩＲフィルタは、偶対称あるいは奇対称、
・バンドの数は２個、
・通過域の始点周波数ｗ＝０、
・通過域の利得、
・阻止域の終点周波数ｗ＝π、
・阻止域の利得、
・通過域と阻止域に対する重みづけ、
・通過させたい点の周波数と振幅値、
・阻止域の減衰量ｄＢs(すなわち、阻止域のリップルの大きさδ2 を指す) 、
・近似帯域で極値となる周波数ｗ⁽⁰⁾ ＝ｗ_k ⁽⁰⁾ （ｋ＝０，・・，Ｒ）
ただし、右肩文字(i) は繰り返しの回数を表している。
・二分割法の初期周波数の入力
【０２６０】
ｓｔｅｐ６１
任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムを実行する（Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４）。
具体的には、処理Ｆ１０２では、極値点と通過させたい周波数点から振幅特性を補間する補間多項式を生成を生成する。
次いで、処理Ｆ１０３において、補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定する。
そして、処理Ｆ１０４において、レムズ交換アルゴリズムの繰り返し判断を行う。
【０２６１】
ｓｔｅｐ６２
次に、阻止域における最小の減衰量( 最大の重みつき近似誤差) を求める（Ｆ２０６）。
【０２６２】
ｓｔｅｐ６３
指定した阻止域の減衰量を満足する周波数の探索アルゴリズムの終了条件が成り立つか否かを判別する（Ｆ２０７）。
終了条件が成り立つ場合にはｓｔｅｐ６７（Ｆ１０５）の処理に移行し、成り立たないときはｓｔｅｐ６４（Ｆ２０８）の処理に移行する。
【０２６３】
ｓｔｅｐ６４
指定した阻止域の減衰量を満足する周波数の探索アルゴリズムの終了条件が成り立たない場合に、バンドの設定を変更する（Ｆ２０８）。
【０２６４】
ｓｔｅｐ６５
指定した阻止域の減衰量との比較を行う（Ｆ４１４）。
処理Ｆ２０８のバンドの設定変更において、１回目のループで「解なし」となる場合はｓｔｅｐ６６（Ｆ４１４）の処理に移行し、それ以外の場合は、ｓｔｅｐ６１の処理に戻る。
【０２６５】
ｓｔｅｐ６６
１タップ増やす（Ｆ４１５）。
現在のタップ数を１タップ増やし、ｓｔｅｐ６０（Ｆ２０１）の初期設定処理に移行する。
【０２６６】
ｓｔｅｐ６７
近似された振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める（Ｆ１０５）。
【０２６７】
図３４は、「阻止域の減衰量を満足する最小のタップ数」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタの周波数応答特性を示す図である。
図３４（Ａ）はデシベルで表示した周波数応答を示す図、図３４（Ｂ）はそのままの値で表示した周波数応答を示す図、図３４（Ｃ）は利得３付近を拡大した図、および図３４（Ｄ）は利得０付近を拡大した図である。
【０２６８】
この場合の基本アルゴリズム、求めたい変数、指定周波数点は以下の通りである。
【０２６９】
基本アルゴリズム :
阻止域の減衰量を満足する最小の阻止域の始点周波数を持つフィルタを求める任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムである。
・偶対称
・阻止域の減衰量は−６０ｄＢ以下
求めたい変数 :
・タップ数Ｎ
・阻止域の始点周波数ｗs
【０２７０】
【表１３】

【０２７１】
【表１４】

【０２７２】
なお、図３４中において、実線は阻止域の減衰量が−６０ｄＢ以下になる最小のタップ数（１７タップ）の低域通過フィルタの周波数応答を示している。また、点線はあらかじめ与えたバンドの区切りを示し、黒丸は指定した周波数点を示している。
【０２７３】
図３４（Ａ）から指定した阻止域の減衰量を実現していることが確認できる。
また、図３４（Ｃ），（Ｄ）から指定した周波数点を通過していることが確認できる。
【０２７４】
すなわち、図３４からわかるように、「阻止域の減衰量を満足する最小のタップ数」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタは、良好な周波数応答特性を有している。
【０２７５】
また、図３５は、「指定した阻止域の減衰量を実現する最小のタップ数」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタの周波数応答を示す図である。
図３５（Ａ）はデシベルで表示した周波数応答を示す図、図３５（Ｂ）はそのままの値で表示した周波数応答を示す図、図３５（Ｃ）は利得３付近を拡大した図、および図３５（Ｄ）は利得０付近を拡大した図である。
【０２７６】
この場合の基本アルゴリズム、求めたい変数、指定周波数点は以下の通りである。
【０２７７】
基本アルゴリズム :
阻止域の減衰量を満足する最大の通過域の終点周波数を持つフィルタを求める任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムである。
・偶対称
・阻止域の減衰量は−６０ｄＢ以下
求めたい変数 :
・タップ数Ｎ
・阻止域の始点周波数ｗs
【０２７８】
【表１５】

【０２７９】
【表１６】

【０２８０】
なお、図３５中において、実線は阻止域の減衰量が−６０ｄＢ以下になる最小のタップ数（１７タップ）の低域通過フィルタの周波数応答を示している。また、点線はあらかじめ与えたバンドの区切りを示し、黒丸は指定した周波数点を示している。
【０２８１】
図３５（Ａ）から指定した阻止域の減衰量を実現していることが確認できる。
また、図３５（Ｃ），（Ｄ）から指定した周波数点を通過していることが確認できる。
【０２８２】
すなわち、図３５からわかるように、「指定した阻止域の減衰量を実現する最小のタップ数」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタは、良好な周波数応答特性を有している。
【０２８３】
次に、阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過する最小タップ数のフィルタを求めるアルゴリズムについて説明する。
ここでは、前記「阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタ」を求めるアルゴリズムに対して、阻止域の減衰量を満足し、かつ、遷移域の周波数点を通過する最小タップ数のフィルタを求めるアルゴリズムについて説明する。
【０２８４】
図３６は、阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過する最小タップ数のフィルタを求めるアルゴリズムのフローチャートを示す図である。
【０２８５】
このアルゴリズムで自由になるパラメータ、目的、そしてアルゴリズムの原理を列挙すると次のようになる。
＊自由パラメータ:
・タップ数
・通過域の終点周波数ｗp
・阻止域の始点周波数ｗs
＊目的: 指定された阻止域の減衰量ｄＢs を満足し、かつ、遷移域の周波数ｗc で減衰量ｄＢc を通過する最小タップ数のフィルタを得る。すなわち、遷移域の特定周波数ｗc で減衰量ｄＢc となるような最も大きい通過域の終点周波数ｗp と最も小さい阻止域の始点周波数ｗs を決め、最小のタップ数となるフィルタを得る。
＊原理: １回目のループで「解なし」となるとき、タップ数が足りず指定した減衰量が実現できないので、１タップ数を増やし再度ためしてみる。また、遷移域の周波数点を実現できない場合においても１タップ数を増やし再度ためしてみる。
【０２８６】
また、図３６および以下に説明するアルゴリズムの各ステップ処理Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４，Ｆ１０５、の内容は、第１のアプローチの場合と同様に、図６に関連付けて説明した任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムと同じである。また、処理Ｆ２０６，Ｆ２０７，Ｆ２０８の内容は第２のアプローチの場合と同様に、図９に関連付けて説明した処理、すなわち「阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタ」のアルゴリズム、または「阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタ」のアルゴリズムと同様である。さらに、処理Ｆ３０１，Ｆ３０９，Ｆ３１０，Ｆ３１１の内容は、図２２に関連付けて説明した処理、すなわち、「阻止域の減衰量を満足し、遷移域の特定周波数での指定減衰量を通過するフィルタを求めるアルゴリズム」と同様である。したがって、ここでの処理については、図６、図９、および図２２と同じ符号を用いている。
【０２８７】
ｓｔｅｐ７０
図３６に示すように、まず、初期設定を行う（Ｆ３０１）。具体的には、阻止域の減衰量を満足し、かつ、遷移域に指定した減衰量を通過するフィルタを求めるアルゴリズムの初期設定を行う。
具体的に設定する項目は以下の通りである。
・タップ数、
・直線位相ＦＩＲフィルタは、偶対称あるいは奇対称、
・バンドの数は２個、
・通過域の始点周波数ｗ＝０、
・通過域の利得、
・阻止域の終点周波数ｗ＝π、
・阻止域の利得、
・通過域と阻止域に対する重みづけ、
・通過させたい点の周波数と振幅値、
・阻止域の減衰量ｄＢs(すなわち、阻止域のリップルの大きさδ2 を指す) 、
・遷移域の周波数ｗc とその減衰量ｄＢc 、
・近似帯域で極値となる周波数ｗ⁽⁰⁾ ＝ｗ_k ⁽⁰⁾ （ｋ＝０，・・，Ｒ）
ただし、右肩文字(i) は繰り返しの回数を表している。
・二分割法の初期周波数の入力
【０２８８】
ｓｔｅｐ７１
任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムを実行する（Ｆ１０２，Ｆ１０３，Ｆ１０４）。
具体的には、処理Ｆ１０２では、極値点から振幅特性を補間する補間多項式を生成を生成する。
次いで、処理Ｆ１０３において、補間多項式から求められた振幅特性から新しい極値点を決定する。
そして、処理Ｆ１０４において、レムズ交換アルゴリズムの繰り返し判断を行う。
【０２８９】
ｓｔｅｐ７２
次に、阻止域における最小の減衰量( 最大の重みつき近似誤差) を求める（Ｆ２０６）。
【０２９０】
ｓｔｅｐ７３
指定した阻止域の減衰量を満足する周波数の探索アルゴリズムの終了条件が成り立つか否かを判別する（Ｆ２０７）。
終了条件が成り立つ場合にはｓｔｅｐ７７（Ｆ３０９）の処理に移行し、成り立たないときはｓｔｅｐ７４（Ｆ２０８）の処理に移行する。
【０２９１】
ｓｔｅｐ７４
指定した阻止域の減衰量を満足する周波数の探索アルゴリズムの終了条件が成り立たない場合に、バンドの設定を変更する（Ｆ２０８）。
【０２９２】
ｓｔｅｐ７５
指定した阻止域の減衰量との比較を行う（Ｆ４１４）。
処理Ｆ２０８のバンドの設定変更において、１回目のループで「解なし」となる場合はｓｔｅｐ７６（Ｆ４１５）の処理に移行し、それ以外の場合は、ｓｔｅｐ７１の処理に戻る。
【０２９３】
ｓｔｅｐ７６
１タップ増やす（Ｆ４１５）。
現在のタップ数を１タップ増やし、ｓｔｅｐ７０（Ｆ３０１）の初期設定処理に移行する。
【０２９４】
ｓｔｅｐ７７
指定した阻止域の減衰量を満足する周波数の探索アルゴリズムの終了条件が成り立たつ場合に、遷移域に指定した周波数の減衰量を調べる（Ｆ３０９）。
【０２９５】
ｓｔｅｐ７８
指定した阻止域の減衰量との比較を行う（Ｆ３１０）。
終了条件が成り立つ場合にはｓｔｅｐ８２（Ｆ１０５）の処理に移行し、成り立たないときはｓｔｅｐ７９（Ｆ３１１）の処理に移行する。
【０２９６】
ｓｔｅｐ７９
終了条件が成り立たない場合に、バンドの設定を変更する（Ｆ３１１）。
【０２９７】
ｓｔｅｐ８０
指定した阻止域の減衰量との比較を行う（Ｆ４１６）。
処理Ｆ３１１のバンドの設定変更において、１回目のループで「解なし」となる場合はｓｔｅｐ８１（Ｆ４１７）の処理に移行し、それ以外の場合は、ｓｔｅｐ７１の処理に戻る。
【０２９８】
ｓｔｅｐ８１
１タップ増やす（Ｆ４１７）。
現在のタップ数を１タップ増やし、ｓｔｅｐ７０（Ｆ３０１）の初期設定処理に移行する。
【０２９９】
ｓｔｅｐ８３
近似された振幅特性から直線位相ＦＩＲフィルタの係数を求める（Ｆ１０５）。
【０３００】
図３７は、「阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過する最小のタップ数のフィルタ」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタの周波数応答特性を示す図である。
図３７（Ａ）はデシベルで表示した周波数応答を示す図、図３７（Ｂ）はそのままの値で表示した周波数応答を示す図、図３７（Ｃ）は利得３付近を拡大した図、および図３７（Ｄ）は利得０付近を拡大した図である。
【０３０１】
この場合の基本アルゴリズム、求めたい変数、指定周波数点は以下の通りである。
基本アルゴリズム :
阻止域の減衰量を満足する最大の通過域の終点周波数を求めるアルゴリズムをベースにした、遷移域の周波数点を通過するフィルタを得るレムズ交換アルゴリズムである。
・（０．４π，１２ｄＢ）を通過
・偶対称
・阻止域の減衰量は−６０ｄＢ以下
求めたい変数 :
・タップ数Ｎ
・通過域の終点周波数ｗp
・阻止域の始点周波数ｗs
【０３０２】
【表１７】

【０３０３】
【表１８】

【０３０４】
なお、図３７中において、実線は阻止域の減衰量が−６０ｄＢ以下になる遷移域の周波数０．４πで減衰量−１２ｄＢ以下となる最小のタップ数（１７タップ）の低域通過フィルタの周波数応答を示している。また、点線はあらかじめ与えたバンドの区切りを示し、黒丸は指定した周波数点を示している。
【０３０５】
図３７（Ａ）から指定した阻止域の減衰量を実現していることが確認できる。
図３７（Ｂ）から遷移域に指定した周波数点を通過していることが確認できる。
また、図３５（Ｃ），（Ｄ）から指定した周波数点を通過していることが確認できる。
【０３０６】
すなわち、図３７からわかるように、「阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過する最小のタップ数のフィルタ」を求めるアルゴリズムにより得られた低域通過フィルタは、良好な周波数応答特性を有している。
【０３０７】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明によれば、任意の周波数点を通過する周波数応答を持つことが可能となる利点がある。
【図面の簡単な説明】
【図１】ＦＩＲフィルタのトランスバーサル型回路構成を示す図である。
【図２】従来方法における周波数応答と利得１付近の拡大図である。
【図３】ＦＩＲフィルタが直線位相を持つ４つの場合のインパルス応答を示す図である。
【図４】直線位相ＦＩＲフィルタの４つの場合に対するＱ（ｅ^jw）とＲを示す図である。
【図５】重みつきチェビシェフ近似の例を示す図である。
【図６】本発明の任意の周波数点を通過するレムズ交換アルゴリズムのフローチャートである。
【図７】重みつき近似誤差Ｅ（ｅ^jw）の新しい極値の決定法を説明するための図である。
【図８】本発明の任意の周波数点を指定したときの周波数応答とその拡大図を示す図である。
【図９】阻止域の減衰量を満足するフィルタを求めるアルゴリズムのフローチャートを示す図である。
【図１０】阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタを求めるアルゴリズムのパラメータを示す図である。
【図１１】阻止域の減衰量を満足する最も大きい通過域の終点周波数を持つフィルタを求めるアルゴリズムにおける二分割法の初期周波数を示す図である。
【図１２】一回目のループにおけるバンド設定の変更を示す図である。
【図１３】二回目以降のループにおけるバンド設定の変更を示す図である。
【図１４】阻止域の減衰量を満足する最大の通過域の終点周波数をもつフィルタの周波数応答を示す図である。
【図１５】阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタを求めるアルゴリズムのパラメータを示す図である。
【図１６】阻止域の減衰量を満足する最も小さい阻止域の始点周波数を持つフィルタを求めるアルゴリズムにおける二分割法の初期周波数を示す図である。
【図１７】一回目のループにおけるバンド設定の変更を示す図である。
【図１８】二回目以降のループにおけるバンド設定の変更を示す図である。
【図１９】阻止域の減衰量を満足する最小の阻止域の始点周波数をもつフィルタの周波数応答を示す図である。
【図２０】阻止域の減衰量を満足する最小のタップ数のフィルタを求めるアルゴリズムのフローチャートを示す図である。
【図２１】阻止域の減衰量を実現する最小のタップ数のフィルタの周波数応答とその拡大図を示す図である。
【図２２】阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタを求めるアルゴリズムのフローチャートを示す図である。
【図２３】阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタを求めるアルゴリズム（１）を示す図である。
【図２４】阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタを求めるアルゴリズムにおける二分割法の初期周波数を示す図である。
【図２５】一回目のループにおけるバンド設定の変更を示す図である。
【図２６】二回目以降のループにおけるバンド設定の変更を示す図である。
【図２７】阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタの周波数応答とその拡大図を示す図である。
【図２８】阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタを求めるアルゴリズム（２）を示す図である。
【図２９】阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタを求めるアルゴリズムにおける二分割法の初期周波数を示す図である。
【図３０】一回目のループにおけるバンド設定の変更を示す図である。
【図３１】二回目以降のループにおけるバンド設定の変更を示す図である。
【図３２】阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過するフィルタの周波数応答とその拡大図を示す図である。
【図３３】阻止域の減衰量を実現する最小のタップ数のフィルタを求めるアルゴリズムのフローチャートを示す図である。
【図３４】阻止域の減衰量を満足する最小のタップ数のフィルタの周波数応答とその拡大図を示す図である。
【図３５】阻止域の減衰量を満足する最小のタップ数のフィルタの周波数応答とその拡大図を示す図である。
【図３６】阻止域の減衰量を満足し、遷移域の周波数点を通過する最小のタップ数のフィルタを求めるアルゴリズムのフローチャートを示す図である。
【図３７】阻止域の減衰量を満足し、かつ、遷移領域の周波数点を通過する最小タップ数のフィルタの周波数応答とその拡大図を示す図である。
【符号の説明】
１…直線位相ＦＩＲフィルタ、２−１〜２−n-1 …遅延器、３−１〜３−ｎ…乗算器、４…加算器、ｈ（０）〜ｈ（ｎ−１）…フィルタ係数、ＴIN…入力端子、ＴOUT …出力端子。[0001]
BACKGROUND OF THE INVENTION
The present invention relates to an FIR filter necessary for digital signal processing and a coefficient setting method thereof.
[0002]
[Prior art]
Filter processing is often used in digital signal processing of images and sounds. As a filter used for the filter processing, a linear phase FIR (Finite Impulse Response) filter is often used because it has a linear phase with a finite number of taps.
[0003]
FIG. 1 is a diagram showing a transversal circuit configuration of a linear phase FIR filter.
As shown in FIG. 1, the linear phase FIR filter 1 includes (n-1) delay units 2-1 to 2-n-1 that are cascade-connected to an input terminal TIN to form a shift register, and an input N multipliers 3 for multiplying the signal input to the terminal TIN and the output signals of the delay units 2-1 to 2-n-1 by filter coefficients h (0) to h (n-1), respectively. 1 to 3 -n and an adder 4 that adds the output signals of n multipliers 3-1 to 3 -n and outputs to the output terminal TOUT.
[0004]
As a typical design method for such a linear phase FIR filter, for example, a Remez Exchange algorithm applied to a linear phase FIR filter by Parks, TW and McClellan, JH and others is known (Parks, TW and McClellan, JH: "Chebyshev Approximation for Nonrecursive Digital Filters with Linear Phase", IEEE Trans. Circuit Theory, CT-19, 2, pp.189-194, 1972, and Rabiner, LR, McClellan, JH and Parks, TW: " FIR Digital Filter Design Techniques Using Weighted Chebyshev Approximation ", Proc. IEEE, Vol 63, April, pp. 595-610, 1975).
[0005]
The Rems exchange algorithm is an algorithm for approximating the weighted approximation error so as to have an equiripple shape with respect to a desired amplitude characteristic.
[0006]
[Problems to be solved by the invention]
By the way, in the design specification of the linear phase FIR filter, the DC gain at the frequency w = 0 may have to be set to 1.
[0007]
However, the Rems exchange algorithm has the following problems.
That is, as shown in FIG. 2, the Rems exchange algorithm cannot obtain an amplitude characteristic that passes through a specified arbitrary frequency point.
[0008]
The present invention has been made in view of such circumstances, and an object thereof is to provide an FIR filter capable of having a frequency response passing through an arbitrary frequency point and a coefficient setting method thereof.
[0009]
[Means for Solving the Problems]
  In order to achieve the above object, the present invention is an FIR filter in which an impulse response is represented by a finite time length, and the impulse response is a filter coefficient, and the filter coefficient has an arbitrary frequency point.Remez Exchange algorithm throughIs set by performing weighted approximation to a desired characteristic.
[0010]
Further, the present invention is a method for setting a filter coefficient of an FIR filter in which an impulse response is represented by a finite time length, and the impulse response is a filter coefficient. Using the added algorithm, the filter coefficient is calculated by performing weighted approximation to a desired characteristic.
[0011]
In the present invention, the weighted approximation is performed on a desired characteristic using a Remez Exchange algorithm that passes through an arbitrary frequency point.
[0012]
Further, the present invention is a method for setting a filter coefficient of an FIR filter in which an impulse response is represented by a finite time length and the impulse response is a filter coefficient, and it is desired to pass through an extreme point of an amplitude characteristic of frequency. A first step for generating an interpolation polynomial for interpolating amplitude characteristics from frequency points; a second step for determining new extreme points from the amplitude characteristics obtained from the interpolation polynomial obtained in the first step; The step and the second step are repeated, and a third step that ends under a predetermined condition and a fourth step for obtaining the filter coefficient from the amplitude characteristic approximated in the third step are included.
[0013]
In the present invention, as the termination condition of the third step, for example, when determining whether or not the position of the extreme value is approximated within a desired range, the maximum value of the approximation error with the desired amplitude value is designated. When it falls within the range, a case where a preset number of iterations has been reached can be adopted.
[0014]
The present invention also includes an initial setting step for setting at least an FIR filter, setting a band, inputting an arbitrary frequency point to be passed, and setting an initial extreme point before performing the first step.
[0015]
In the present invention, in the second step and the third step, the extreme value of the weighted approximate error calculated from the extreme point used for the interpolation is searched over the entire approximate band, and the calculated extreme value is found as a new extreme point. And it is determined that the optimum approximation has been obtained when the position of the extremum no longer changes.
[0016]
In the present invention, in the fourth step, the filter coefficient is calculated by performing weighted approximation to a desired characteristic using an algorithm to which a constraint condition that allows passage of an arbitrary frequency point is added. To do.
[0017]
The present invention is an FIR filter in which an impulse response is represented by a finite time length, the impulse response is a filter coefficient, and has an arbitrary tap, and the filter coefficient is variable in the number of taps, When a band is fixed, an algorithm with a constraint that passes through any frequency point that satisfies the stopband attenuation is used to satisfy the stopband attenuation. Is set by performing weighted approximation.
[0018]
The present invention is also a method for setting a filter coefficient of an FIR filter having an arbitrary response, in which the impulse response is represented by a finite time length, the impulse response is a filter coefficient, and the number of taps is variable. When the band is fixed, the desired characteristics can be obtained so that the attenuation in the stop band is satisfied by using an algorithm with a constraint that passes through any frequency point that satisfies the attenuation in the stop band. The filter coefficient is calculated by performing weighted approximation on the filter coefficient.
[0019]
Further, the present invention is a method for setting a filter coefficient of an FIR filter in which an impulse response is represented by a finite time length, the impulse response is a filter coefficient, the number of taps can be changed, and a band is fixed. The first step of generating an interpolation polynomial for interpolating the amplitude characteristic from the extreme point of the amplitude characteristic of the frequency and the frequency point to be passed, and a new one from the amplitude characteristic obtained from the interpolation polynomial obtained in the first step. The second step of determining the extreme point, the first step and the second step are repeated, the third step is completed according to a predetermined condition, and the attenuation amount of the stop band is examined from the amplitude characteristic approximated in the third step. A fourth step, a fifth step for comparing the determined attenuation amount with the attenuation amount of the designated stop band, and determining whether the comparison result satisfies a predetermined condition; From the amplitude characteristic approximated by the sixth step of changing the number of taps when the comparison result of the fifth step does not satisfy a predetermined condition and the third step that satisfies the predetermined condition in the fifth step And a seventh step for obtaining the filter coefficient.
[0020]
In the present invention, before performing the first step, at least the FIR filter setting, the band setting, the input of an arbitrary frequency point to be passed, the setting of the initial extreme point, and the specification of the attenuation amount of the stop band are performed. Initial setting step to perform.
[0021]
In the present invention, the minimum attenuation in the stop band is checked in the fourth step, and the number of taps is increased in the sixth step.
[0022]
In the present invention, in the seventh step, when the number of taps is variable and the band is fixed, an algorithm to which a constraint condition is passed so as to pass an arbitrary frequency point satisfying the attenuation amount of the stop band is added. The filter coefficient is calculated by performing weighted approximation to a desired characteristic so as to satisfy the attenuation amount of the stop band.
[0023]
Further, the present invention is an FIR filter in which an impulse response is represented by a finite time length, the impulse response is a filter coefficient, and has an arbitrary tap, and the filter coefficient is a fixed number of taps. When the band setting can be changed, the desired characteristics are set so as to satisfy the stopband attenuation using an algorithm with a constraint that passes any frequency point that satisfies the stopband attenuation. Is set by performing weighted approximation.
[0024]
Further, the present invention is a method for setting a filter coefficient of an FIR filter having an arbitrary response, in which the impulse response is represented by a finite time length, the impulse response is a filter coefficient, and the number of taps is fixed. When the band setting can be changed, an algorithm with a constraint condition that passes through any frequency point that satisfies the attenuation amount of the stop band is used to satisfy the desired attenuation amount of the stop band. The filter coefficient is calculated by performing weighted approximation on the characteristics.
[0025]
The present invention is also a method for setting a filter coefficient of an FIR filter in which an impulse response is represented by a finite time length, the impulse response is a filter coefficient, the number of taps is fixed, and band setting can be changed. A first step of generating an interpolation polynomial for interpolating the amplitude characteristic from the extreme point of the amplitude characteristic of the frequency and the frequency point to be passed, and a new pole from the amplitude characteristic obtained from the interpolation polynomial obtained in the first step A second step of determining a value point, a third step that repeats the first step and the second step, and ends according to a predetermined condition, and a second step that examines the attenuation amount of the stop band from the amplitude characteristic approximated in the third step. 4 steps, a fifth step for comparing the determined attenuation amount with the attenuation amount of the designated stop band and determining whether the comparison result satisfies a predetermined condition, From the amplitude characteristic approximated by the sixth step of changing the band setting when the comparison result of the fifth step does not satisfy the predetermined condition and the third step satisfying the predetermined condition in the fifth step And a seventh step for obtaining the filter coefficient.
[0026]
In the present invention, before performing the first step, at least the FIR filter setting, the band setting, the input of an arbitrary frequency point to be passed, the setting of the initial extreme point, and the specification of the attenuation amount of the stop band are performed. Initial setting step to perform.
[0027]
In the present invention, in the fourth step, the minimum attenuation in the stop band is examined.
[0028]
In the present invention, in the seventh step, when the number of taps is fixed and the band setting can be changed, a constraint condition is added such that it passes through any frequency point that satisfies the attenuation amount of the stop band. Using the algorithm, the filter coefficient is calculated by performing weighted approximation to a desired characteristic so as to satisfy the attenuation amount of the stop band.
[0029]
The present invention is an FIR filter in which an impulse response is represented by a finite time length, the impulse response is a filter coefficient, and has an arbitrary tap, and the filter coefficient is variable in the number of taps. When the band setting can be changed, the desired characteristics are set so as to satisfy the stopband attenuation using an algorithm with a constraint that passes any frequency point that satisfies the stopband attenuation. Is set by performing weighted approximation.
[0030]
Further, the present invention is a method for setting a filter coefficient of an FIR filter having an arbitrary response, in which the impulse response is represented by a finite time length, the impulse response is a filter coefficient, and the number of taps is variable. When the band setting can be changed, an algorithm with a constraint condition that passes through any frequency point that satisfies the attenuation amount of the stop band is used to satisfy the desired attenuation amount of the stop band. The filter coefficient is calculated by performing weighted approximation on the characteristics.
[0031]
Further, the present invention is a method for setting a filter coefficient of an FIR filter in which an impulse response is represented by a finite time length, the impulse response is a filter coefficient, the number of taps is variable, and band setting can be changed. A first step of generating an interpolation polynomial for interpolating the amplitude characteristic from the extreme point of the amplitude characteristic of the frequency and the frequency point to be passed, and a new pole from the amplitude characteristic obtained from the interpolation polynomial obtained in the first step A second step of determining a value point, a third step that repeats the first step and the second step, and ends according to a predetermined condition, and a second step that examines the attenuation amount of the stop band from the amplitude characteristic approximated in the third step. 4 steps, a fifth step for comparing the determined attenuation amount with the attenuation amount of the designated stop band and determining whether the comparison result satisfies a predetermined condition, The sixth step of changing the band setting when the comparison result of the fifth step does not satisfy the predetermined condition, and after changing the band in the sixth step, the attenuation amount of the stop band can be satisfied with the current number of taps. A seventh step for determining whether or not, and an eighth step for changing the number of taps when it is determined that the seventh step is not satisfied, and the third step for satisfying a predetermined condition in the fifth step. And a ninth step for obtaining the filter coefficient from the amplitude characteristic approximated by the step.
[0032]
In the present invention, before performing the first step, at least the FIR filter setting, the band setting, the input of an arbitrary frequency point to be passed, the setting of the initial extreme point, and the specification of the attenuation amount of the stop band are performed. Initial setting step to perform.
[0033]
In the present invention, the minimum attenuation in the stop band is checked in the fourth step, and the number of taps is increased in the eighth step.
[0034]
In the present invention, in the ninth step, when the number of taps is variable and the band setting can be changed, a restriction condition is added so as to pass any frequency point that satisfies the attenuation amount of the stop band. Using the algorithm, the filter coefficient is calculated by performing weighted approximation to a desired characteristic so as to satisfy the attenuation amount of the stop band.
[0035]
Further, the present invention is an FIR filter in which an impulse response is represented by a finite time length, the impulse response is a filter coefficient, and has an arbitrary tap, and the filter coefficient is a fixed number of taps. When the band setting can be changed, using an algorithm that adds a constraint condition that passes the arbitrary frequency point that satisfies the attenuation amount of the stopband and passes the attenuation amount of the specified frequency of the transition region, It is set by performing weighted approximation to a desired characteristic so as to satisfy the attenuation amount of the stop band.
[0036]
Further, the present invention is a method for setting a filter coefficient of an FIR filter having an arbitrary response, in which the impulse response is represented by a finite time length, the impulse response is a filter coefficient, and the number of taps is fixed. When the band setting can be changed, using an algorithm that satisfies the stop band attenuation and passes the attenuation of the specified frequency in the transition band and adds a constraint that passes any frequency point Then, the filter coefficient is calculated by performing weighted approximation to a desired characteristic so as to satisfy the attenuation amount of the stop band.
[0037]
The present invention is also a method for setting a filter coefficient of an FIR filter in which an impulse response is represented by a finite time length, the impulse response is a filter coefficient, the number of taps is fixed, and band setting can be changed. A first step of generating an interpolation polynomial for interpolating the amplitude characteristic from the extreme point of the amplitude characteristic of the frequency and the frequency point to be passed, and a new pole from the amplitude characteristic obtained from the interpolation polynomial obtained in the first step A second step of determining a value point, a third step that repeats the first step and the second step, and ends according to a predetermined condition, and a second step that examines the attenuation amount of the stop band from the amplitude characteristic approximated in the third step. The step 4 and the amount of attenuation checked in the fourth step are compared with the amount of attenuation in the designated stop band, and it is determined whether or not the comparison result satisfies a predetermined condition. 5 steps, a sixth step of changing the band setting when the comparison result of the fifth step does not satisfy the predetermined condition, and a specified frequency in the transition region that satisfies the predetermined condition in the fifth step. The seventh step of checking the attenuation amount is compared with the attenuation amount of the designated transition band in the seventh step, and the attenuation amount of the designated transition region is compared, and whether or not the comparison result satisfies a predetermined condition. An eighth step for judging, a ninth step for changing the setting of the band when the comparison result of the seventh step does not satisfy the predetermined condition, and an approximation that satisfies the predetermined condition in the seventh step A tenth step of obtaining the filter coefficient from the amplitude characteristic.
[0038]
In the present invention, before performing the first step, at least the setting of the FIR filter, the setting of the band, the input of an arbitrary frequency point to be passed, the setting of the initial extreme value point, the designation of the attenuation amount of the stop band, An initial setting step for specifying an attenuation amount at a specified frequency in the transition region;
[0039]
In the present invention, in the fourth step, the minimum attenuation in the stop band is examined.
[0040]
Further, in the present invention, in the tenth step, when the number of taps is fixed and the band setting can be changed, the attenuation amount of the stop band is satisfied and the attenuation amount of the designated frequency of the transition band is passed. The filter coefficient is calculated by performing a weighted approximation to a desired characteristic so as to satisfy the attenuation amount of the stop band using an algorithm to which a constraint condition that passes through an arbitrary frequency point is added. .
[0041]
The present invention is an FIR filter in which an impulse response is represented by a finite time length, the impulse response is a filter coefficient, and has an arbitrary tap, and the filter coefficient is variable in the number of taps. When the band setting can be changed, using an algorithm that adds a constraint condition that passes the arbitrary frequency point that satisfies the attenuation amount of the stopband and passes the attenuation amount of the specified frequency of the transition region, It is set by performing weighted approximation to a desired characteristic so as to satisfy the attenuation amount of the stop band.
[0042]
Further, the present invention is a method for setting a filter coefficient of an FIR filter having an arbitrary response, in which the impulse response is represented by a finite time length, the impulse response is a filter coefficient, and the number of taps is variable. When the band setting can be changed, using an algorithm that satisfies the stop band attenuation and passes the attenuation of the specified frequency in the transition band and adds a constraint that passes any frequency point Then, the filter coefficient is calculated by performing weighted approximation to a desired characteristic so as to satisfy the attenuation amount of the stop band.
[0043]
Further, the present invention is a method for setting a filter coefficient of an FIR filter in which an impulse response is represented by a finite time length, the impulse response is a filter coefficient, the number of taps is variable, and band setting can be changed. A first step of generating an interpolation polynomial for interpolating the amplitude characteristic from the frequency point to be passed through the extreme point of the amplitude characteristic of the frequency, and a new extreme value from the amplitude characteristic obtained from the interpolation polynomial obtained in the first step. A second step of determining a point, a third step of repeating the first step and the second step, and ending according to a predetermined condition, and a fourth step of examining the attenuation in the stopband from the amplitude characteristic approximated in the third step The step is compared with the attenuation amount checked in the fourth step and the attenuation amount in the designated stop band, and it is determined whether or not the comparison result satisfies a predetermined condition. Step 6 and the sixth step for changing the setting of the band when the comparison result of the fifth step does not satisfy the predetermined condition, and after the band change in the sixth step, the attenuation of the stop band with the current number of taps A seventh step for determining whether or not the amount can be satisfied, an eighth step for changing the number of taps when it is determined that the amount cannot be satisfied in the seventh step, and a transition region that satisfies a predetermined condition in the fifth step The 9th step of checking the attenuation amount of the designated frequency of the above and the attenuation amount of the designated frequency of the transition region examined in the 9th step are compared with the attenuation amount of the designated transition region, and the comparison result satisfies the predetermined condition A tenth step for determining whether there is a band, an eleventh step for changing the band setting when the comparison result of the tenth step does not satisfy a predetermined condition, and a band in the eleventh step After that, the twelfth step for determining whether or not the specified frequency in the transition region can be passed with the current number of taps, and the number of taps is changed when it is determined that the twelfth step cannot be passed. A thirteenth step and a fourteenth step for obtaining the filter coefficient from the approximated amplitude characteristic satisfying a predetermined condition in the tenth step.
[0044]
In the present invention, before performing the first step, at least the setting of the FIR filter, the setting of the band, the input of an arbitrary frequency point to be passed, the setting of the initial extreme value point, the designation of the attenuation amount of the stop band, An initial setting step for specifying an attenuation amount at a specified frequency in the transition region;
[0045]
In the present invention, the minimum attenuation in the stop band is checked in the fourth step, and the number of taps is increased in the eighth and thirteenth steps.
[0046]
In the present invention, in the 14th step, when the number of taps is fixed and the band setting can be changed, the attenuation amount of the stop band is satisfied and the attenuation amount of the designated frequency of the transition band is passed. The filter coefficient is calculated by performing a weighted approximation to a desired characteristic so as to satisfy the attenuation amount of the stop band using an algorithm to which a constraint condition that passes through an arbitrary frequency point is added. .
[0047]
According to the present invention, for example, an arbitrary frequency point to be passed is input by initial setting, and a linear phase FIR filter setting, band setting, prefilter coefficient setting, and initial extreme value point setting are performed.
Next, an interpolation polynomial for interpolating the amplitude characteristic is generated from the current extreme value point and an arbitrary frequency point to be passed.
Next, a new extreme point is determined from the amplitude characteristic obtained from the generated interpolation polynomial.
These are repeated, and for example, it is determined whether or not the position of the extreme value is approximated within a desired range.
Then, a filter coefficient is obtained from the approximated amplitude characteristic.
[0048]
DETAILED DESCRIPTION OF THE INVENTION
Hereinafter, embodiments of the present invention will be described with reference to the drawings.
[0049]
The linear phase FIR filter according to the present invention can equivalently have a transversal circuit configuration as shown in FIG.
However, the filter coefficient h extends the Remez Exchange algorithm for solving the Chebyshev approximation problem, as described in detail below, and has a desired amplitude characteristic so as to pass through any frequency point. Chebyshev approximation is obtained from the approximated amplitude characteristics.
[0050]
Hereinafter, a specific method for setting coefficients of the linear phase FIR filter according to the present invention will be described in order with reference to the drawings.
In the following description, the number of arbitrary frequency points desired to pass in the frequency domain is represented as Np.
[0051]
As shown in FIG. 3, the transfer function K (z) of the linear phase FIR filter is classified into four cases in order to have a linear phase.
Specifically, odd-numbered taps shown in FIG. 3A, even in the case of even symmetry, even-numbered taps shown in FIG. 3B, even-numbered symmetry 2, odd-numbered taps shown in FIG. Case 3 and the even number tap shown in FIG. 3D, and the case of odd symmetry 4 are classified into four cases.
[0052]
The amplitude characteristic function H (e^jw) Is left as it is, and cases 2 to 4 are rewritten as follows.
[0053]
[Expression 1]

[0054]
That is, the amplitude characteristic function H (e^jw) Is a fixed parameter function Q (e) shown in FIG.^jw) And cosine series P (e^jw) And the product. Hereinafter, the upper limit of the sum of the expressions (1-1) to (Expression 1-4) will be expressed as R-1 + 2 × Np. That is, R is calculated as shown in FIG. Also, a (n); ￣ b (n); ￣ c (n); ￣ d (n) are collectively referred to as p (n).
[0055]
Desired amplitude characteristic D (e^jw) And the weight for each frequency is W (e^jw), The weighted approximation error is defined as follows.
[0056]
[Expression 2]

[0057]
[Equation 3]

[0058]
Substituting equation (3) into equation (2) gives the following.
[0059]
[Expression 4]

[0060]
However, ^ W (e^jw), ^ D (e^jw) Is as follows.
[0061]
[Equation 5]

[0062]
[Formula 6]

[0063]
Equation (4) represents the weighted approximation error of the linear phase FIR filter in the four cases 1 to 4.
The weighted Chebyshev approximation problem is expressed as | E (e within the specified frequency band in Equation (2).^jw) | To determine a (n); ￣ b (n); ￣ c (n); ￣ d (n) in equations (1-1) to (1-4) that minimize the maximum value of | It is.
[0064]
Hereinafter, description will be made in association with specific examples.
Here, as shown in the following equation and FIG. 5, the amplitude characteristic D (e^jw) Is defined.
[0065]
[Expression 7]

[0066]
However, if R is given, the values of δ1 and δ2 cannot be arbitrarily specified, but their ratios can be specified.
W (e^jw) Is a constant value W1 in the pass band and W2 in the stop band, and is selected so that W1 δ1 = W2 δ2 holds. For example, W1 = 1 and W2 = δ1 / δ2. At this time, the following alternating theorem holds.
[0067]
theorem
(R-1) The next cosine series P (e^jw) Is the best weighted Chebyshev approximation for the target property in the interval (0, π) of w:
(1) E (e^jw) Is at least (R + 1) times in the interval (0, π), and the frequency at which the extreme value is obtained is set to w0 <w1 <w2 <.. <wR-1 <wR.
(2) Signs of adjacent extreme values are different and the absolute values of all extreme values are equal.
That is, the following condition is satisfied.
[0068]
[Equation 8]

[0069]
Therefore, | E (e^jwi) | Is in the section | E (e^jw) | Equals the maximum value of |.
[0070]
The best Chebyshev approximation method is the Remez Exchange Algorithm (Rabiner, LR, McClellan, JH and Parks, TW: "FIR Digital Filter Design Techniques Using Weighted Chebyshev Approximation", Proc. IEEE, Vol 63, April, pp.595-610, 1975).
The Rems exchange algorithm is such that a desired amplitude characteristic is Chebyshev approximated in the frequency domain so as to pass an arbitrary frequency point, and a coefficient of the linear phase FIR filter is obtained from the approximated amplitude characteristic.
[0071]
FIG. 6 is a flowchart of the Remms exchange algorithm passing through an arbitrary frequency point according to the present invention.
The Rems exchange algorithm that passes through a specific arbitrary frequency point is as follows.
[0072]
step0
As shown in FIG. 6, first, initial setting is performed (F101). In this initial setting, a linear phase FIR filter is set, a band is set, an arbitrary frequency point to be passed is input, and an initial extreme point is set.
The items to be specifically set are as follows.
・ Number of taps,
・ The linear phase FIR filter is even symmetric or odd symmetric,
・ Number of bands,
-Frequency at both ends of each band,
The desired amplitude value for each band,
・ Weighting for each band
・ Frequency and amplitude value (w_{R + 1}, D (e^{jwR + 1}), I = 1,..., Np)
・ Frequency w which becomes extreme value in approximate band⁽⁰⁾= W_k ⁽⁰⁾(K = 0, ..., R)
However, the right superscript (i) represents the number of repetitions.
[0073]
step1
Next, a Lagrangian interpolation polynomial for interpolating the amplitude characteristic from the current extreme value point is generated (F102).
The necessary and sufficient condition for minimizing the objective function of the Chebyshev approximation expressed by the above equation (2) is shown by the alternating theorem. Therefore, based on the alternating theorem, the weighted approximation error δ from the desired amplitude characteristics at each extreme point⁽ⁱ⁾Are equal, and the next parameter p (n) is obtained so that the signs alternate.
[0074]
[Equation 9]

[0075]
That is, the frequency point w⁽ⁱ⁾= W_k ⁽ⁱ⁾The weighted approximation error of equation (4) in (k = 0,..., R) satisfies the following equation.
[0076]
[Expression 10]

[0077]
Hereinafter, for the sake of simplicity, the right superscript (i) is omitted. The equation (10) is transformed as follows.
[0078]
## EQU11 ##

[0079]
An equation of a frequency point to be passed in the frequency domain is added as a constraint to the equation (11).
[0080]
[Expression 12]

[0081]
Expressions (11) and (12) are expressed in matrix as follows.
[0082]
[Formula 13]

[0083]
However, since solving this equation is very computationally intensive, δ is first obtained analytically.
[0084]
[Expression 14]

[0085]
[Expression 15]

[0086]
[Expression 16]

[0087]
αk is a cofactor of an element of k rows (R + 1) columns of the matrix F. However, ^ W (e^jw), ^ D (e^jw) Uses Equation (5) and Equation (6), respectively.
Next, using this δ, the following equation is established.
[0088]
[Expression 17]

[0089]
[Expression 18]

[0090]
In order to obtain the amplitude characteristics of the frequencies other than the extreme points, a Lagrange interpolation polynomial is used this time as an interpolation polynomial to be interpolated using the extreme points and the frequency points to be passed. That is, P (e^jw) Is calculated by performing interpolation such that a value Ck is obtained by wk ((k = 0,..., R + Np) using a Lagrange interpolation polynomial.
[0091]
[Equation 19]

[0092]
[Expression 20]

[0093]
[Expression 21]

[0094]
This result corresponds to solving equation (13).
[0095]
step2
A new extreme point is obtained from the amplitude characteristic obtained from the interpolation polynomial (F103), and it is repeatedly determined whether or not an optimum approximation is obtained (F104).
Each extreme point wk as a result of the above step 1 is not necessarily a weighted error function E (e^jw)^jw) ｜ ＞ δ⁽ⁱ⁾There may be points. So a new extreme point w^{(i + 1)}Is determined from the all-point simultaneous replacement method.
All point simultaneous replacement method:
Based on the following equation, the extreme value of the weighted approximation error calculated from the extreme point used for the interpolation is searched over the entire approximation band, and is calculated as the new extreme point w.^{(i + 1)}= W_k ^{(i + 1)}(k = 0,1,..., R) and return to step 1 processing.
[0096]
[Expression 22]

[0097]
Suppose that an optimal approximation is obtained when the position of the extremum no longer changes. This is a repetition end condition, and the process proceeds to the next step 3.
[0098]
  FIG. 7 is a conceptual diagram of the all-point replacement method.
  Briefly, the black circles in FIG. 7 represent the extreme points used for the interpolation, and the weighted approximation error E (e) obtained from the extreme points.^jw) Corresponds to the solid line.
  As shown in FIG. 7A, the weighted approximation error value at the extreme point of the black circle is a white circle, but the actual extreme value is a frequency indicated by a square. Therefore, the process returns to step 1 with the frequency indicated by the square as a new extreme point.
  Further, as shown in FIG. 7B, the frequency of the extreme point used for the interpolation and the frequency of the actual extreme value are deviated, so that the frequency indicated by the square is set as a new extreme point and the processing returns to step 1.
  Then, as shown in FIG. 7C, the extreme point used for the interpolation and the extreme point (white circle) of the actual weighted approximation error are the same.becameSometimes the iteration ends.
[0099]
step3
The coefficient of the linear phase FIR filter is obtained from the approximated amplitude characteristic (F105).
Optimal approximation function P (e^jw), The N-tap impulse response h (n) is obtained from the following equation instead of p (n).
[0100]
[Expression 23]

[0101]
[Expression 24]

[0102]
[Expression 25]

[0103]
[Equation 26]

[0104]
[Expression 27]

[0105]
If there is no arbitrary frequency point to be passed, when Np = 0, it is the same as the normal Rems exchange algorithm.
[0106]
FIG. 8 is a diagram showing the frequency response of the low-pass filter set by the Remms exchange algorithm extended to pass arbitrary frequency points with respect to the specifications shown below.
[0107]
specification
・ Number of taps: 24 taps
・ Symmetry: Even symmetry
[0108]
[Table 1]

[0109]
[Table 2]

[0110]
8A is a diagram showing the frequency response displayed in decibels, FIG. 8B is a diagram showing the frequency response displayed as it is, and FIG. 8C is an enlarged view of the vicinity of gain 3. FIG. (D) is an enlarged view of the vicinity of zero gain.
In the figure, the solid line shows the frequency characteristics finally obtained. A dotted line indicates a band delimiter, and a black circle indicates a designated frequency point.
[0111]
8, especially FIGS. 8C and 8D, the low-pass filter set by the Remms exchange algorithm extended to pass any frequency point according to this embodiment passes the designated frequency point. You can confirm that
[0112]
Next, as a modification, an algorithm that satisfies the specified attenuation amount of the stop band will be described.
This algorithm uses a Remms exchange algorithm that passes through arbitrary frequency points, and provides a specified stopband attenuation (weighted) for a low-pass or high-pass filter with two bands. It is an algorithm that satisfies (approximation error).
In the following description, a low-pass filter is assumed. However, when applying to a high-pass filter, the “pass band” and the “stop band” are reversed.
[0113]
There are the following three types of methods for satisfying the attenuation in the stop band.
The first is an approach in which the end point frequency wp of the pass band is variable, the start point frequency ws of the stop band is fixed, and the number of taps is fixed.
The second approach is to fix the end point frequency wp of the pass band, change the start point frequency ws of the stop band, and fix the number of taps.
The third approach is to fix the end point frequency wp of the pass band, the start point frequency ws of the stop band, and the number of taps to be variable.
[0114]
Hereinafter, the first, second, and third approaches will be described in order with reference to the drawings.
[0115]
First approach
First, in the first approach, the largest passband end point frequency wp that satisfies the specified stopband attenuation dBs is obtained.
FIG. 9 is a diagram illustrating a flowchart of an algorithm for obtaining a filter that satisfies the attenuation amount of the stop band.
FIG. 10 shows a free parameter (variable) and a fixed parameter (variable) in an algorithm for obtaining a filter having the largest passband end point frequency that satisfies the attenuation amount of the stop band.
[0116]
Here, the parameters, objectives, and principles of the algorithm that can be freely set by this algorithm are listed as follows.
* Free parameter: The end point frequency wp of the passband.
* Purpose: To obtain a filter having the largest passband end point frequency wp that satisfies the specified stopband attenuation.
* Principle: The start point frequency of the pass band and the frequency at both ends of the stop band are fixed, and the end point frequency of the pass band is a free parameter. In the Chebyshev approximation with the Rems exchange algorithm,
・ The end point frequency wp of the pass band is moved away from the start point frequency ws of the stop band.
→ The attenuation in the stopband increases.
・ The end point frequency wp of the passband approaches the start point frequency ws of the stopband
→ The attenuation in the stopband is reduced.
That is, w is set to a frequency far from the start point frequency ws of the stop band (near w = 0)_p ^(cur)And the frequency w near the start frequency of the stopband_p ^(pre)Is prepared as an initial frequency, and the position wp of the end point frequency of the largest passband satisfying the specified attenuation is obtained using the bisection method.
The most efficient method for the linear search method with such parameters is the golden division method, but here, a two-division method with easy understanding of the algorithm is adopted.
[0117]
The contents of each step processing F102, F103, F104, and F105 of the algorithm described in FIG. 9 and the following are the same as the Rems exchange algorithm passing through an arbitrary frequency point described in relation to FIG. Therefore, the same reference numerals as those in FIG. 6 are used for these processes.
[0118]
step10
As shown in FIG. 9, first, initial setting is performed (F201). In this initial setting, set the linear phase FIR filter, set the band, enter any frequency point you want to pass, set the initial extreme point, specify the stopband attenuation, and set the initial frequency for the bisection method. Do.
The items to be specifically set are as follows.
・ Number of taps,
・ The linear phase FIR filter is even symmetric or odd symmetric,
・ The number of bands is 2,
-The starting frequency of the passband,
・ Passband gain,
The frequency at both ends of the stopband,
Stopband gain,
・ Weighting for passband and stopband,
・ Frequency and amplitude value of the point you want to pass,
Stopband attenuation dBs (that is, the magnitude of the stopband ripple δ2), Frequency w which is an extreme value in the approximate band⁽⁰⁾= W_k ⁽⁰⁾(K = 0, ..., R)
However, the right superscript (i) represents the number of repetitions.
[0119]
FIG. 11 is a diagram showing the initial frequency of the bisection method in an algorithm for obtaining a filter having the largest end frequency in the pass band that satisfies the attenuation amount in the stop band.
As shown in FIG. 11, in this example, the following values are given as the initial frequencies of the bisection method.
[0120]
[Expression 28]

[0121]
The part [t] after wp represents the cycle number.
Here, frequency w_p ^(pre)For [0], a Remms exchange algorithm that passes through an arbitrary frequency point is executed, and the minimum attenuation in the stopband dB^(pre)The following steps will be described assuming that [0] is required.
[0122]
step11
A Rems exchange algorithm that passes through an arbitrary frequency point is executed (F102, F103, F104).
Specifically, in process F102, w_p ^(cur)Generates an interpolating polynomial that interpolates amplitude characteristics from the extreme points at [t] and the frequency points to be passed.
Next, in process F103, a new extreme point is determined from the amplitude characteristic obtained from the interpolation polynomial.
Then, in process F104, the Rems exchange algorithm is repeatedly determined.
[0123]
step12
Next, the amount of attenuation in the stop band is examined (F206).
Using the interpolation polynomial obtained in process F102, the minimum attenuation in the stop band (maximum weighted approximation error δ2) dB_s ^(cur)Check [t].
[0124]
step13
Next, a comparison is made with the attenuation amount of the designated stop band (F207).
Specifically, when the following expression (29) or expression (30) is satisfied as compared with the specified attenuation amount dBs of the stop band, the process proceeds to step 15 (F105). If not satisfied, the process proceeds to step 14 (F208).
[0125]
[Expression 29]

[0126]
[30]

[0127]
However, ε1 and ε2 are very small values.
[0128]
step14
If the above expression (29) or expression (30) is not satisfied in comparison with the specified attenuation amount dBs of the stop band, the band setting is changed (F208).
Specifically, the end frequency w of the new passband_p ^(cur)Set [t + 1]. The setting method will be described separately for the first loop and the second and subsequent loops.
[0129]
First time :
In the first case, three cases shown in FIG. 12 are considered.
That is, the frequency w_p ^(pre)[0], w_p ^(cur)On the other hand, the cases shown in FIGS. 12A, 12B, and 12C can be considered.
The case shown in FIG. 12A is a case where both of the specified attenuation amounts are satisfied. In this case, the frequency w close to the start point frequency ws of the stop band_p ^(pre)[0] is taken as a solution and the process proceeds to step 15.
The case shown in FIG. 12B is a case where both do not satisfy the designated attenuation amount. In this case, the specified number of taps cannot be realized with the current number of taps.
The case shown in FIG. 12C is a case where only one of the specified attenuation amounts is satisfied. In this case, the process proceeds to step 11 as shown in the following equation (31).
In this method of giving the initial frequency point, w_p ^(pre)[0] is satisfied, w_p ^(cur)There is no case where [0] is not satisfied.
[0130]
[31]

[0131]
After the second :
In the second and subsequent cases, two cases shown in FIG. 13 can be considered. In determining the new frequency after the second time,_p ^(pre)[t + 1] always stores a frequency satisfying the specified attenuation amount dBs. Frequency w_p ^(pre)[t], w_p ^(cur)For [t], cases shown in FIGS. 13A and 13B are conceivable.
The case shown in FIG. 13A is a case where only one of the specified attenuation amounts is satisfied. In this case, the process proceeds to the next step 11 as shown in the following equation (32).
Always w_p ^(pre)Since [t] has a frequency that satisfies the specified attenuation, w_p ^(pre)There is no case where [t] is not satisfied.
[0132]
[Expression 32]

[0133]
The case shown in FIG. 13B is a case where both of the specified attenuation amounts are satisfied. In this case, the process proceeds to the next step 11 as shown in the following equation (33).
[0134]
[Expression 33]

[0135]
step15
The coefficient of the linear phase FIR filter is obtained from the approximated amplitude characteristic (F105).
That is, the coefficient of the linear phase FIR filter is obtained from the finally obtained amplitude characteristic.
[0136]
FIG. 14 is a diagram showing the frequency response characteristics of the low-pass filter obtained by an algorithm for obtaining “a filter having the maximum end frequency in the pass band that satisfies the attenuation amount in the stop band”.
14A is a diagram showing the frequency response displayed in decibels, FIG. 14B is a diagram showing the frequency response displayed as it is, FIG. 14C is an enlarged view around the gain 3, and FIG. 14 (D) is an enlarged view of the vicinity of zero gain.
[0137]
The basic algorithm, variables to be obtained, and designated frequency points in this case are as follows.
[0138]
Basic algorithm :
It is a Remms exchange algorithm that passes through an arbitrary frequency point.
・ 24 taps
・ Even symmetry
-Stop band attenuation is -40dB or less
Variable you want to find :
This is the end point frequency wp of the pass band.
[0139]
[Table 3]

[0140]
[Table 4]

[0141]
In FIG. 14, the solid line indicates the frequency response of the low-pass filter having the maximum end frequency of the pass band that satisfies the attenuation amount of the stop band. A dotted line indicates a predetermined band separation, and a black circle indicates a designated frequency point.
[0142]
It can be confirmed from FIG. 14A that the specified attenuation amount in the stop band is realized.
Moreover, it can confirm that it has passed the frequency point designated from FIG.14 (C), (D).
[0143]
That is, as can be seen from FIG. 14, the low-pass filter obtained by the algorithm according to the present invention for obtaining the “filter having the maximum end frequency of the pass band that satisfies the attenuation amount of the stop band” has a good frequency response. It has characteristics.
[0144]
Second approach
Next, in the second approach, the lowest stopband start frequency ws that satisfies the specified stopband attenuation dBs is obtained.
The flowchart for that is equivalent to FIG. 9 referred to in the first approach.
FIG. 15 shows a free parameter (variable) and a fixed parameter (variable) in an algorithm for obtaining a filter having the smallest stopband start frequency that satisfies the stopband attenuation.
[0145]
Here, the parameters, objectives, and principles of the algorithm that can be freely set by this algorithm are listed as follows.
* Free parameter: Stop band start frequency ws.
* Purpose: To obtain a filter having the smallest stopband start frequency ws that satisfies the specified stopband attenuation.
* Principle: The frequency at both ends of the pass band and the end frequency of the stop band are fixed, and the start point frequency of the stop band is a free parameter. In the Chebyshev approximation with the Rems exchange algorithm,
The start point frequency ws of the stop band is moved away from the end point frequency wp of the pass band. → The attenuation amount of the stop band becomes large.
・ The start point frequency ws of this stopband approaches the end point frequency wp of the passband
→ The attenuation in the stopband is reduced.
That is, the frequency w far from the end point frequency of the passband_s ^(pre)And the frequency w close to the end point frequency of the passband_s ^(cur)Is prepared as the initial frequency, and the position ws of the start point frequency of the smallest stopband that satisfies the specified attenuation is obtained using the bisection method.
In this case as well, the golden division method is the most efficient method for the linear search method of such parameters, but here, a two-division method with easy understanding of the algorithm is adopted.
[0146]
Also, the contents of each step processing F102, F103, F104, and F105 of the algorithm described in FIG. 9 and the following are taken into account the frequency response of the prefilter described in association with FIG. 6 as in the first approach. Same as Rems exchange algorithm. Therefore, the same reference numerals as in FIG. 6 are used for the processing here.
[0147]
step20
As shown in FIG. 9, first, initial setting is performed (F201). In this initial setting, set the linear phase FIR filter, set the band, enter any frequency point you want to pass, set the initial extreme point, specify the stopband attenuation, and set the initial frequency for the bisection method. Do.
The items to be specifically set are as follows.
・ Number of taps,
・ The linear phase FIR filter is even symmetric or odd symmetric,
・ The number of bands is two
-Frequency at both ends of the passband,
・ Passband gain,
Stop point end point frequency,
Stopband gain,
・ Weighting for passband and stopband,
・ Frequency and amplitude value of the point you want to pass,
Stopband attenuation dBs (that is, the stopband ripple magnitude δ2),
・ Frequency w which becomes extreme value in approximate band⁽⁰⁾= W_k ⁽⁰⁾(K = 0, ..., R)
However, the right superscript (i) represents the number of repetitions.
[0148]
FIG. 16 is a diagram showing the initial frequency of the bisection method in an algorithm for obtaining a filter having the smallest stop band that satisfies the attenuation amount of the stop band.
As shown in FIG. 16, in this example, the following values are given as the initial frequencies of the bisection method.
[0149]
[Expression 34]

[0150]
The part [t] after ws represents the cycle number.
Here, frequency w_s ^(pre)For [0], a Remms exchange algorithm that passes through an arbitrary frequency point is executed, and the minimum attenuation in the stopband dB^(pre)The following steps will be described assuming that [0] is required.
[0151]
step21
A Rems exchange algorithm that passes through an arbitrary frequency point is executed (F102, F103, F104).
Specifically, in process F102, w_s ^(cur)Generate an interpolating polynomial that interpolates the amplitude characteristics from the extreme points at [t].
Next, in process F103, a new extreme point is determined from the amplitude characteristic obtained from the interpolation polynomial.
Then, in process F104, the Rems exchange algorithm is repeatedly determined.
[0152]
step22
Next, the amount of attenuation in the stop band is examined (F206).
Using the interpolation polynomial obtained in process F102, the minimum attenuation in the stopband (maximum weighted approximation error δ2) dB_s ^(cur)Check [t].
[0153]
step23
Next, a comparison is made with the attenuation amount of the designated stop band (F207).
Specifically, when the following expression (35) or expression (36) is satisfied as compared with the specified attenuation amount dBs of the stop band, the process proceeds to step 25 (F105). If not satisfied, the process proceeds to step 24 (F208).
[0154]
[Expression 35]

[0155]
[Expression 36]

[0156]
However, ε1 and ε2 are very small values.
[0157]
step24
If the above expression (35) or expression (36) is not satisfied in comparison with the attenuation amount of the designated stop band, the band setting is changed (F208).
Specifically, the new stopband start frequency w_s ^(cur)Set [t + 1]. The setting method will be described separately for the first loop and the second and subsequent loops.
[0158]
First time :
In the first case, three cases shown in FIG. 17 can be considered.
That is, the frequency w_s ^(pre)[0], w_s ^(cur)On the other hand, the cases shown in FIGS. 17A, 17B, and 17C are conceivable.
The case shown in FIG. 17A is a case where both of the specified attenuation amounts are satisfied. In this case, the frequency w is close to w = 0._s ^(pre)[0] is taken as a solution and the process proceeds to step 25.
The case shown in FIG. 17B is a case where both do not satisfy the designated attenuation amount. In this case, the specified number of taps cannot be realized with the current number of taps.
The case shown in FIG. 17C is a case where only one of the specified attenuation amounts is satisfied. In this case, the process proceeds to step 21 as shown in the following equation (37).
In this method of giving the initial frequency point, w_s ^(pre)[0] is satisfied, w_s ^(cur)There is no case where [0] is not satisfied.
[0159]
[Expression 37]

[0160]
After the second :
In the second and subsequent cases, two cases shown in FIG. 18 can be considered. In determining the new frequency after the second time,_s ^(pre)In [t + 1], a frequency satisfying the specified attenuation amount dBs is always stored. Frequency w_s ^(pre)[t], w_s ^(cur)For [t], the cases shown in FIGS. 18A and 18B are conceivable.
In the case shown in FIG. 18A, only one of the cases satisfies the specified attenuation. In this case, the process proceeds to the next step 21 as shown in the following equation (38).
Always w_s ^(pre)Since [t] has a frequency that satisfies the attenuation, w_s ^(pre)There is no case where [t] is not satisfied.
[0161]
[Formula 38]

[0162]
The case shown in FIG. 18B is a case where both of the specified attenuation amounts are satisfied. In this case, the process proceeds to the next step 21 as shown in the following equation (39).
[0163]
[39]

[0164]
step25
The coefficient of the linear phase FIR filter is obtained from the approximated amplitude characteristic (F105).
That is, the coefficient of the linear phase FIR filter is obtained from the finally obtained amplitude characteristic.
[0165]
FIG. 19 is a diagram showing frequency response characteristics of a low-pass filter obtained by an algorithm for obtaining “a filter having a minimum stopband start frequency satisfying the stopband attenuation”.
19A is a diagram showing the frequency response displayed in decibels, FIG. 19B is a diagram showing the frequency response displayed as it is, FIG. 19C is an enlarged view of the vicinity of gain 3, and FIG. 19 (D) is an enlarged view of the vicinity of zero gain.
[0166]
The basic algorithm, variables to be obtained, and designated frequency points in this case are as follows.
[0167]
Basic algorithm :
It is a Remms exchange algorithm that passes through an arbitrary frequency point.
・ 24 taps
・ Even symmetry
-Stop band attenuation is -40dB or less
Variable you want to find :
The start point frequency ws of the stop band.
[0168]
[Table 5]

[0169]
[Table 6]

[0170]
  Note that FIG.InThe solid line shows the frequency response of the low-pass filter having the minimum stopband start frequency satisfying the stopband attenuation. A dotted line indicates a band division given in advance, and a black circle indicates a specified frequency point.
[0171]
It can be confirmed from FIG. 19A that the specified attenuation amount in the stop band is realized.
Moreover, it can confirm that it has passed the frequency point designated from FIG.19 (C), (D).
[0172]
That is, as can be seen from FIG. 19, the low-pass filter obtained by the algorithm according to the present invention for obtaining the “filter having the minimum stopband start frequency satisfying the stopband attenuation” has a good frequency response. It has characteristics.
[0173]
Third approach
Finally, in the third approach, the minimum number of taps N that satisfies the specified stopband attenuation dBs is obtained.
FIG. 20 is a flowchart illustrating an algorithm for obtaining a filter with the minimum number of taps that satisfies the attenuation amount of the stop band.
[0174]
Here, the parameters, objectives, and principles of the algorithm that can be freely set by this algorithm are listed as follows.
* Free parameter: Number of taps.
* Purpose: Obtain a filter with the minimum number of taps that satisfies the specified stopband attenuation.
* Principle: Since all band variables are fixed, the number of taps is increased by one tap when the specified stopband attenuation cannot be satisfied.
[0175]
In addition, the contents of step processing F102, F103, F104, and F105 of the algorithm described below in FIG. 20 pass through the arbitrary frequency points described in relation to FIG. 6 as in the case of the first approach. Same as Rems exchange algorithm. Further, the content of the process F206 is the same as the process described in association with FIG. 9 as in the case of the second approach. Therefore, the same reference numerals as in FIGS. 6 and 9 are used for the processing here.
[0176]
step30
As shown in FIG. 20, first, initial setting is performed (F401). In this initial setting, the setting of the linear phase FIR filter, the setting of the band, the input of an arbitrary frequency point to be passed, and the setting of the initial extreme value point are performed.
The items to be specifically set are as follows.
・ Initial tap number,
・ The linear phase FIR filter is even symmetric or odd symmetric,
・ The number of bands is 2,
・ Start frequency and end frequency of each band,
・ Gain of each band,
・ Weight of each band,
・ Frequency and amplitude value of the point you want to pass,
Stopband attenuation dBs (that is, the stopband ripple magnitude δ2),
・ Frequency w which becomes extreme value in approximate band⁽⁰⁾= W_k ⁽⁰⁾(K = 0, ..., R)
However, the right superscript (i) represents the number of repetitions.
[0177]
step31
A Rems exchange algorithm that passes through an arbitrary frequency point is executed (F102, F103, F104).
Specifically, in process F102, w_p ^(cur) Generate an interpolating polynomial that interpolates the amplitude characteristics from the extreme points at [t] and the frequency points to be passed.
Next, in process F103, a new extreme point is determined from the amplitude characteristic obtained from the interpolation polynomial.
Then, in process F104, the Rems exchange algorithm is repeatedly determined.
[0178]
step32
Next, the amount of attenuation in the stop band is examined (F206).
Using the interpolation polynomial obtained in process F102, the minimum attenuation in the stopband (maximum weighted approximation error δ2) dB_s ^(cur)Check [t].
[0179]
step33
Next, a comparison is made with the attenuation amount of the designated stop band (F412).
Specifically, when the following expression (40) is satisfied as compared with the specified attenuation amount dBs of the stop band, the process proceeds to step 35 (F105). If not satisfied, the process proceeds to step 34 (F413).
[0180]
[Formula 40]

[0181]
step34
Increase one tap (F413).
That is, the current tap number is increased by one tap, and the process proceeds to step 30.
[0182]
step35
The coefficient of the linear phase FIR filter is obtained from the approximated amplitude characteristic (F105).
That is, the coefficient of the linear phase FIR filter is obtained from the finally obtained amplitude characteristic.
[0183]
FIG. 21 is a diagram illustrating a frequency response characteristic of the low-pass filter obtained by an algorithm for obtaining “the minimum number of taps that realizes the attenuation amount in the stop band”.
21A is a diagram showing the frequency response displayed in decibels, FIG. 21B is a diagram showing the frequency response displayed as it is, FIG. 21C is an enlarged view around the gain 3, and FIG. 21 (D) is an enlarged view of the vicinity of zero gain.
[0184]
The basic algorithm, variables to be obtained, and designated frequency points in this case are as follows.
[0185]
Basic algorithm :
It is a Remms exchange algorithm that passes through an arbitrary frequency point.
-Initial tap number 10 taps
・ Even symmetry
-Stop band attenuation is -60dB or less
Variable you want to find :
The number of taps is N.
[0186]
[Table 7]

[0187]
[Table 8]

[0188]
In FIG. 21, the solid line indicates the frequency response of the low-pass filter having the minimum number of taps (36 taps) at which the attenuation amount in the stop band is −60 dB or less. A dotted line indicates a predetermined band separation, and a black circle indicates a designated frequency point.
[0189]
It can be confirmed from FIG. 21A that the specified attenuation amount in the stop band is realized.
Moreover, it can confirm that it has passed the frequency point designated from FIG.21 (C), (D).
[0190]
That is, as can be seen from FIG. 21, the low-pass filter obtained by the algorithm for obtaining the “minimum number of taps for realizing the attenuation in the stop band” according to the present invention has a good frequency response characteristic. .
[0191]
Next, as a second modification, an algorithm for obtaining a filter that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes through the frequency points in the transition band will be described.
[0192]
Here, the parameters, objectives, and principles of the algorithm that can be freely set by this algorithm are listed as follows.
* Free parameters: end point frequency wp of passband and start point frequency ws of stopband.
* Objective: To determine a band that satisfies the attenuation dBs in the stop band and passes the attenuation dBc at the frequency wc in the transition band. That is, the largest passband end point frequency wp and the smallest stopband start point frequency ws that have the attenuation dBc at the specific frequency wc in the transition region are obtained.
* Principle: The start point frequency of the passband and the end point frequency of the stopband are fixed, and the end point frequency wp of the passband and the start point frequency ws of the stopband are free parameters. Since there are two free parameters, it cannot be determined properly if they are moved simultaneously. Therefore, one parameter is fixed, and the other parameter satisfying the attenuation in the stop band is obtained. If the attenuation dBc is not passed at the transition band frequency wc, the fixed parameter is changed. By repeating the above repetition, a band that passes the attenuation amount dBc at the frequency wc in the transition region is determined.
There are two approaches to finding a parameter that satisfies the stopband attenuation:
First, “a filter having the smallest stopband start frequency that satisfies the stopband attenuation”,
Second, since there is a “filter having the largest end frequency in the pass band that satisfies the attenuation amount in the stop band”, an algorithm based on each will be described step by step.
[0193]
FIG. 22 is a diagram showing a flowchart of an algorithm for obtaining a filter that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes the frequency point in the transition band.
First, an algorithm based on “a filter having the smallest start frequency in the stop band that satisfies the stop band attenuation” will be described with reference to FIGS.
[0194]
That is, in this algorithm, an algorithm for obtaining “a filter having the smallest stopband start frequency satisfying the stopband attenuation” is used.
As shown in FIG. 23, a specific algorithm policy is to determine ws using the above algorithm as an inner loop, and further cover the outer loop for determining wp to determine the band parameters.
That is, the end point frequency wp of the pass band is fixed in the outer loop, and the start point frequency ws of the stop band satisfying the stop band attenuation dBs is obtained in the inner loop.
When the obtained amplitude characteristic does not pass through the designated transition band point (wc, dBc), “when the search is made for a filter having the largest passband end point frequency that satisfies the stopband attenuation” Similarly, wp is searched using the bisection method.
Although a specific algorithm is shown below, the algorithm for obtaining the inner loop “filter having the smallest stopband start frequency satisfying the stopband attenuation” is the same, and the description thereof is omitted.
[0195]
Further, the contents of step processing F102, F103, F104, and F105 of the algorithm described below and in FIG. 22 pass through the arbitrary frequency points described in relation to FIG. 6 as in the case of the first approach. Same as Rems exchange algorithm. Similarly to the case of the second approach, the contents of the processes F206, F207, and F208 are the processes described with reference to FIG. It is the same as the algorithm of "." Therefore, the same reference numerals as in FIGS. 6 and 9 are used for the processing here.
[0196]
step40
First, as shown in FIG. 22, initial setting is performed (F301). In this initial setting, set the linear phase FIR filter, set the band, enter any frequency point you want to pass, set the initial extreme point, specify the stopband attenuation, and set the initial frequency for the bisection method. Do.
The items to be specifically set are as follows.
・ Number of taps,
・ The linear phase FIR filter is even symmetric or odd symmetric,
・ The number of bands is 2,
・ Starting point frequency ws = 0 of the passband,
・ Passband gain,
-Stopband end point frequency wp = π,
Stopband gain,
・ Weighting for passband and stopband,
・ Frequency and amplitude value of the point you want to pass,
Stopband attenuation dBs (that is, the stopband ripple magnitude δ2),
The transition band frequency wc and its attenuation dBc,
・ Frequency w which becomes extreme value in approximate band⁽⁰⁾= W_k ⁽⁰⁾(K = 0, ..., R)
However, the right superscript (i) represents the number of repetitions.
[0197]
FIG. 24 is a diagram illustrating the initial frequency of the bisection method in an algorithm for obtaining a filter that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes through the frequency points in the transition band.
As shown in FIG. 24, in this example, the following values are given as the initial frequency of the bisection method.
[0198]
[Expression 41]

[0199]
The part [t] after wp represents the cycle number.
Here, frequency w_p ^(pre)For [0], a Rems exchange algorithm that passes through an arbitrary frequency point is executed, and the minimum stopband start frequency w satisfying the specified attenuation dBs in the stopband._s ^(pre) [0] is obtained, and the gain in wc at that time is dB_c ^(pre)The following steps will be described assuming that [0] is obtained.
[0200]
step41
An algorithm for obtaining “a filter having the smallest stopband start frequency satisfying the stopband attenuation” is executed (F102, F103, F104, F206, F207, F208).
Specifically, in process F102, w_p ^(cur)Generate an interpolation polynomial that interpolates the amplitude characteristics from the extreme points at [t] and the frequency points to be passed.
Next, in process F103, a new extreme point is determined from the amplitude characteristic obtained from the interpolation polynomial.
Then, in process F104, the Rems exchange algorithm is repeatedly determined.
Next, in process F206, the minimum attenuation amount (maximum weighted approximation error) in the stop band is obtained.
Next, in process F207, an end condition of an algorithm for obtaining a filter having the smallest stopband start point frequency ws satisfying the stopband attenuation is obtained.
In process F208, the new stopband start frequency w_s ^(cur)Set up.
[0201]
step42
Next, the attenuation amount of the frequency designated in the transition region is examined (F309).
In process F102, using the Lagrange interpolation polynomial finally obtained by the algorithm for obtaining "the smallest start frequency of the stop band that satisfies the stop band attenuation", the attenuation dB for the frequency wc specified in the transition area_c ^(cur)Check [t].
[0202]
step43
Comparison with the designated attenuation amount in the transition region is performed (F310).
If the following expression (42) or expression (43) is satisfied as compared with the attenuation amount dBc with respect to the frequency wc in the transition region, the process proceeds to step 45 (F105), and if not satisfied, The process proceeds to step 44 (F311).
[0203]
[Expression 42]

[0204]
[Equation 43]

[0205]
However, ε1 and ε2 are very small values.
[0206]
step44
If the above expression (42) or (43) is not satisfied in the comparison with the attenuation amount dBc with respect to the frequency wc in the transition region, the band setting is changed (F311).
Specifically, the end frequency w of the new passband_p ^(cur)Set [t + 1]. The setting method will be described separately for the first loop and the second and subsequent loops.
[0207]
First time :
In the first case, three cases shown in FIG. 25 can be considered.
That is, the frequency w_p ^(pre)[0], w_p ^(cur)On the other hand, the cases shown in FIGS. 25A, 25B, and 25C can be considered.
The case shown in FIG. 25A is a case where both satisfy the designated attenuation amount dBc. In this case, a large frequency w_p ^(cur)[0] is taken as a solution and the process proceeds to step 45.
The case shown in FIG. 25B is a case where both do not satisfy the designated attenuation amount. In this case, the specified number of taps cannot be realized with the current number of taps.
The case shown in FIG. 25C is a case where only one of the specified attenuation amounts is satisfied. In this case, the process proceeds to step 41 as shown in the following formula (44).
In addition, in this way of giving the initial frequency, w_p ^(cur)[0] is satisfied, w_p ^(pre)There is no case where [0] is not satisfied.
[0208]
(44)

[0209]
After the second :
In the second and subsequent cases, two cases shown in FIG. 26 are considered. New frequency w after the second time_p ^(cur)In determining [t + 1], w_p ^(pre)[t + 1] always stores a frequency satisfying the specified attenuation amount dBc. Frequency w_p ^(pre)[t], w_p ^(cur)For [t], the cases shown in FIGS. 26A and 26B are conceivable.
The case shown in FIG. 26A is a case where only one of the specified attenuation amounts is satisfied. In this case, the processing of the following formula (45) is performed and the processing proceeds to the next step 41.
Always w_p ^(pre)Since [t] has a frequency that satisfies the specified attenuation, w_p ^(pre)There is no case where [t] is not satisfied.
[0210]
[Equation 45]

[0211]
Both cases shown in FIG. 26B satisfy the specified attenuation. In this case, the processing of the following formula (46) is performed and the processing proceeds to the next step 41.
[0212]
[Equation 46]

[0213]
step45
The coefficient of the linear phase FIR filter is obtained from the approximated amplitude characteristic (F105).
That is, the coefficient of the linear phase FIR filter is obtained from the finally obtained amplitude characteristic.
[0214]
FIG. 27 is obtained by an algorithm for obtaining a “filter that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes through the frequency point in the transition band” based on the algorithm for obtaining the “filter having the minimum start band frequency in the stop band”. It is a figure which shows the frequency response characteristic of a low-pass filter.
FIG. 27A is a diagram showing a frequency response displayed in decibels, FIG. 27B is a diagram showing a frequency response displayed as it is, FIG. 27C is an enlarged view of the vicinity of gain 3, and FIG. 27 (D) is an enlarged view of the vicinity of zero gain.
[0215]
The basic algorithm, variables to be obtained, and designated frequency points in this case are as follows.
[0216]
Basic algorithm :
This is a Remms exchange algorithm for obtaining the minimum stopband start frequency that satisfies the stopband attenuation.
-Passes through (0.4π, 12dB)
・ 24 taps
・ Even symmetry
-Stop band attenuation is -40dB or less
Variable you want to find :
The end point frequency wp of the pass band and the start point frequency ws of the stop band.
[0217]
[Table 9]

[0218]
[Table 10]

[0219]
In FIG. 27, the solid line represents the frequency response of the low-pass filter that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes through the frequency points in the transition band. Black circles indicate designated frequency points (frequency points in the transition region and arbitrary frequency points).
[0220]
It can be confirmed from FIG. 27A that the specified attenuation amount in the stop band is realized.
From FIG. 27B, it can be confirmed that the attenuation amount in the stop band designated as the transition area is realized.
Moreover, it can confirm that it has passed the frequency point designated from FIG.27 (C), (D).
[0221]
That is, as can be seen from FIG. 27, “a filter that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes through the frequency point in the transition band” is obtained based on an algorithm that calculates “a filter having the minimum start band frequency in the stop band”. The low-pass filter obtained by the algorithm has a good frequency response characteristic.
[0222]
Next, an algorithm based on an algorithm for obtaining a filter having the largest passband end point frequency satisfying the stopband attenuation will be described with reference to FIGS. 22 and 28 to 32.
The flowchart in this case is equivalent to FIG. 22 referred to in the algorithm for obtaining a filter that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes the frequency point in the transition band.
[0223]
In this algorithm, an algorithm for obtaining “a filter having the largest passband end point frequency that satisfies the attenuation in the stopband” is used.
As shown in FIG. 28, a specific algorithm policy is to determine wp using the above algorithm as an inner loop, and further cover the outer loop for determining ws to determine the band parameters.
That is, the start point frequency ws of the stop band is fixed in the outer loop, and the end point frequency wp of the pass band that satisfies the specified attenuation amount dBs of the stop band is obtained in the inner loop.
When the obtained amplitude characteristic does not pass through the specified transition band point (wc, dBc), “when searching for the filter having the smallest stopband start frequency satisfying the stopband attenuation” Similarly, ws is searched using the bisection method.
Specifically, the algorithm is shown below, but the algorithm for obtaining the inner loop “filter having the largest passband end point frequency that satisfies the attenuation amount of the stopband” is the same, and the description thereof is omitted.
[0224]
In addition, the contents of each step processing F102, F103, F104, F105 of the algorithm described below in FIG. 22 are the same as in the first approach in the case of any week described in relation to FIG. Same as the Rems exchange algorithm that goes through. Similarly to the case of the second approach, the contents of the processes F206, F207, and F208 are the processes described with reference to FIG. It is the same as the algorithm of "." Therefore, the same reference numerals as in FIGS. 6 and 9 are used for the processing here.
[0225]
step50
As shown in FIG. 22, first, initialization is performed (F301). In this initial setting, set the linear phase FIR filter, set the band, enter any frequency point you want to pass, set the initial extreme point, specify the stopband attenuation, and set the initial frequency for the bisection method. Do.
The items to be specifically set are as follows.
・ Number of taps,
・ The linear phase FIR filter is even symmetric or odd symmetric,
・ The number of bands is 2,
・ Starting point frequency w = 0 in the passband,
・ Passband gain,
-Stopband end point frequency w = π,
Stopband gain,
・ Weighting for passband and stopband,
・ Frequency and amplitude value of the point you want to pass,
Stopband attenuation dBs (that is, the stopband ripple magnitude δ2),
The transition band frequency wc and its attenuation dBc,
・ Frequency w which becomes extreme value in approximate band⁽⁰⁾= W_k ⁽⁰⁾(K = 0, ..., R)
However, the right superscript (i) represents the number of repetitions.
[0226]
FIG. 29 is a diagram showing the initial frequency of the bisection method in an algorithm for obtaining a filter that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes through the frequency points in the transition band.
As shown in FIG. 29, in this example, the following values are given as the initial frequencies of the bisection method.
[0227]
[Equation 47]

[0228]
The other w_s ^(pre)[0] is ws obtained by an algorithm for searching for “a filter having the smallest stopband start frequency satisfying the stopband attenuation” as w_s ^(pre)[0]
[0229]
[Formula 48]

[0230]
Originally, the search should be made as the following formula (57), but in this case, there is no wp that satisfies the attenuation in the stop band. Therefore, since the minimum value of wp is about 0.01, the start point frequency ws of the stopband that satisfies the stopband attenuation at this time is set as the initial frequency.
[0231]
[Formula 49]

[0232]
The part [t] after ws represents the cycle number.
Here, frequency w_s ^(pre)For [0], the end point frequency w of the maximum passband that satisfies the specified attenuation dBs in the stopband by executing the Remms exchange algorithm that passes through any frequency point._p ^(pre) [0] is obtained, and the gain in wc at that time is dB_c ^(pre)The following steps will be described assuming that [0] is obtained.
[0233]
step51
An algorithm for obtaining “a filter having the largest passband end point frequency satisfying the stopband attenuation” is executed (F102, F103, F104, F206, F207, F208).
Specifically, in process F102, w_s ^(cur)Generate an interpolation polynomial that interpolates the amplitude characteristics from the extreme points at [t] and the frequency points to be passed.
Next, in process F103, a new extreme point is determined from the amplitude characteristic obtained from the interpolation polynomial.
Then, in process F104, the Rems exchange algorithm is repeatedly determined.
Next, in process F206, the minimum attenuation amount (maximum weighted approximation error) in the stop band is obtained.
Next, in process F207, an end condition of an algorithm for obtaining a filter having the largest passband end point frequency wp that satisfies the attenuation amount of the stopband is obtained.
In process F208, the new stopband start frequency w_p ^(cur)Set up.
[0234]
step52
Next, the attenuation amount of the frequency designated in the transition region is examined (F309).
In process F102, an attenuation amount dB with respect to the frequency wc specified in the transition region is obtained by using a Lagrange interpolation polynomial finally obtained by an algorithm for obtaining "the largest stopband end point frequency that satisfies the attenuation amount of the stopband"._c ^(cur)Check out.
[0235]
step53
Comparison with the attenuation amount of the designated transition region is performed (F310).
When the following expression (50) or expression (51) is satisfied as compared with the attenuation amount dBc with respect to the frequency wc of the designated transition region, the process proceeds to step 55 (F105), and is not satisfied Then, the process proceeds to step 54 (F311).
[0236]
[Equation 50]

[0237]
[Formula 51]

[0238]
However, ε1 and ε2 are very small values.
[0239]
step54
If the above expression (50) or (51) is not satisfied in the comparison with the attenuation amount dBc with respect to the frequency wc in the transition region, the setting of the band is changed (F311).
Specifically, the new stopband start frequency w_s ^(cur)Set [t + 1]. The setting method will be described separately for the first loop and the second and subsequent loops.
[0240]
First time :
In the first case, three cases shown in FIG. 30 are considered.
That is, the frequency w_s ^(pre)[0], w_s ^(cur)On the other hand, the cases shown in FIGS. 30A, 30B, and 30C can be considered.
The case shown in FIG. 30A is a case where both satisfy the designated attenuation amount dBc. In this case, a large frequency w_s ^(cur)[0] is taken as a solution and the process proceeds to step 55.
The case shown in FIG. 30B is a case where both do not satisfy the designated attenuation amount. In this case, the specified number of taps cannot be realized with the current number of taps.
The case shown in FIG. 30C is a case where only one of the specified attenuation amounts is satisfied. In this case, the process proceeds to step 51 as shown in the following equation (52).
In addition, in this way of giving the initial frequency, w_s ^(cur)[0] is satisfied, w_s ^(pre)There is no case where [0] is not satisfied.
[0241]
[Formula 52]

[0242]
After the second :
In the second and subsequent cases, two cases shown in FIG. 31 can be considered. New frequency w after the second time_s ^(cur)In determining [t + 1], w_s ^(pre)[t + 1] always stores a frequency satisfying the specified attenuation amount dBc. Frequency w_s ^(pre)[t], w_s ^(cur)For [t], cases shown in FIGS. 31A and 31B can be considered.
The case shown in FIG. 31A is a case where only one of the specified attenuation amounts is satisfied. In this case, the process proceeds to the next step 51 as shown in the following equation (53).
Always w_s ^(pre)Since [t] has a frequency that satisfies the specified attenuation, w_s ^(pre)There is no case where [t] is not satisfied.
[0243]
[Equation 53]

[0244]
The cases shown in FIG. 31B both satisfy the specified attenuation. In this case, the process proceeds to the next step 51 as shown in the following equation (54).
[0245]
[Formula 54]

[0246]
step55
The coefficient of the linear phase FIR filter is obtained from the approximated amplitude characteristic (F105).
That is, the coefficient of the linear phase FIR filter is obtained from the finally obtained amplitude characteristic.
[0247]
FIG. 32 is a graph showing a low filter obtained by an algorithm for obtaining a “filter that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes through the frequency points in the transition band” based on the algorithm for obtaining “filter the end point frequency in the maximum pass band”. It is a figure which shows the frequency response characteristic of a band pass filter.
32A is a diagram showing the frequency response displayed in decibels, FIG. 32B is a diagram showing the frequency response displayed as it is, FIG. 32C is an enlarged view around the gain 3, and FIG. 32 (D) is an enlarged view of the vicinity of zero gain.
[0248]
The basic algorithm, variables to be obtained, and designated frequency points in this case are as follows.
[0249]
Basic algorithm :
This is a Remms exchange algorithm that passes an arbitrary frequency point for obtaining the minimum start frequency of the stop band that satisfies the attenuation amount of the stop band.
-Passes through (0.4π, 12dB)
・ 24 taps
・ Even symmetry
-Stop band attenuation is -40dB or less
Variable you want to find :
The end point frequency wp of the pass band and the start point frequency ws of the stop band.
[0250]
[Table 11]

[0251]
[Table 12]

[0252]
In FIG. 32, the solid line indicates the frequency response of the low-pass filter that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes through the frequency points in the transition band. Black circles indicate designated frequency points (frequency points in the transition region and arbitrary frequency points).
[0253]
It can be confirmed from FIG. 32A that the specified attenuation amount in the stop band is realized.
From FIG. 32B, it can be confirmed that the attenuation amount of the stop band designated as the transition area is realized.
Moreover, it can confirm that it has passed the frequency point designated from FIG.32 (C), (D).
[0254]
That is, as can be seen from FIG. 32, an algorithm for obtaining “a filter that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes through the frequency points in the transition band” is based on an algorithm for obtaining “filter the end frequency in the maximum pass band”. The low-pass filter obtained by the above has a good frequency response characteristic.
[0255]
Next, a filter design algorithm with a minimum number of taps that satisfies the attenuation in the stop band will be described for the Rems exchange algorithm that can change the band.
Here, the algorithm for obtaining the “filter having the smallest stopband start frequency satisfying the stopband attenuation” and the “filter having the largest passband endpoint frequency satisfying the stopband attenuation” An algorithm for obtaining a filter with the minimum number of taps that realizes the specified attenuation amount in the stopband will be described.
[0256]
FIG. 33 is a diagram showing a flowchart of an algorithm for obtaining a filter with the minimum number of taps for realizing the attenuation amount in the stop band.
[0257]
The enumeration of the parameters, objectives, and algorithm principles that can be freed by this algorithm is as follows.
* Free parameters:
・ Number of taps
• There are two types of approaches.
First, the passband end point frequency wp is variable and the stopband start point frequency ws is fixed.
Second, the passband end point frequency wp is fixed and the stopband start point frequency ws is variable.
* Purpose: To obtain a filter with the minimum number of taps that satisfies the specified stopband attenuation dBs for an algorithm in which one of the band variables is variable.
* Principle: When there is no solution in the first loop, the specified attenuation cannot be achieved due to insufficient taps, so try increasing the number of taps and try again.
[0258]
Also, the contents of step processing F102, F103, F104, and F105 of the algorithm described below and FIG. 33 pass through the arbitrary frequency points described in relation to FIG. 6 as in the case of the first approach. Same as Rems exchange algorithm. Similarly to the case of the second approach, the contents of the processes F201, F206, F207, and F208 are the same as those described in connection with FIG. 9, that is, “the highest passband end point frequency satisfying the stopband attenuation is set. This is the same as the algorithm of “the filter having the filter” and the “filter having the smallest start frequency of the stop band that satisfies the attenuation amount of the stop band”. Therefore, the same reference numerals as in FIGS. 6 and 9 are used for the processing here.
[0259]
step60
As shown in FIG. 33, first, initial setting is performed (F201). In this initial setting, set the linear phase FIR filter, set the band, enter any frequency point you want to pass, set the initial extreme point, specify the stopband attenuation, and set the initial frequency for the bisection method. Do.
The items to be specifically set are as follows.
・ Number of taps,
・ The linear phase FIR filter is even symmetric or odd symmetric,
・ The number of bands is 2,
・ Starting point frequency w = 0 in the passband,
・ Passband gain,
-Stopband end point frequency w = π,
Stopband gain,
・ Weighting for passband and stopband,
・ Frequency and amplitude value of the point you want to pass,
Stopband attenuation dBs (that is, the stopband ripple magnitude δ2),
・ Frequency w which becomes extreme value in approximate band⁽⁰⁾= W_k ⁽⁰⁾(K = 0, ..., R)
However, the right superscript (i) represents the number of repetitions.
・ Entering the initial frequency of the bisection method
[0260]
step61
A Rems exchange algorithm that passes through an arbitrary frequency point is executed (F102, F103, F104).
Specifically, in the process F102, generation of an interpolation polynomial for interpolating the amplitude characteristic from the extreme value point and the frequency point to be passed is generated.
Next, in process F103, a new extreme point is determined from the amplitude characteristic obtained from the interpolation polynomial.
Then, in process F104, the Rems exchange algorithm is repeatedly determined.
[0261]
step62
Next, the minimum attenuation amount (maximum weighted approximation error) in the stop band is obtained (F206).
[0262]
step63
It is determined whether or not the end condition of the frequency search algorithm satisfying the specified stopband attenuation is satisfied (F207).
If the end condition is satisfied, the process proceeds to step 67 (F105), and if not, the process proceeds to step 64 (F208).
[0263]
step64
If the end condition of the frequency search algorithm satisfying the specified stopband attenuation is not satisfied, the band setting is changed (F208).
[0264]
step65
A comparison is made with the attenuation amount of the designated stop band (F414).
In the band setting change of process F208, if “no solution” is obtained in the first loop, the process proceeds to step 66 (F414), and otherwise, the process returns to step 61.
[0265]
step66
Increase one tap (F415).
The current tap number is increased by one tap, and the process proceeds to the initial setting process of step 60 (F201).
[0266]
step67
The coefficient of the linear phase FIR filter is obtained from the approximated amplitude characteristic (F105).
[0267]
FIG. 34 is a diagram showing the frequency response characteristics of the low-pass filter obtained by the algorithm for obtaining “the minimum number of taps satisfying the attenuation amount in the stop band”.
34A is a diagram showing the frequency response displayed in decibels, FIG. 34B is a diagram showing the frequency response displayed as it is, FIG. 34C is an enlarged view of the vicinity of gain 3, and FIG. 34 (D) is an enlarged view of the vicinity of zero gain.
[0268]
The basic algorithm, variables to be obtained, and designated frequency points in this case are as follows.
[0269]
Basic algorithm :
This is a Remms exchange algorithm that passes through an arbitrary frequency point for obtaining a filter having a minimum stopband start frequency that satisfies the stopband attenuation.
・ Even symmetry
-Stop band attenuation is -60dB or less
Variable you want to find :
・ Tap number N
-Stop band start frequency ws
[0270]
[Table 13]

[0271]
[Table 14]

[0272]
In FIG. 34, the solid line indicates the frequency response of the low-pass filter having the minimum number of taps (17 taps) at which the attenuation amount in the stop band is −60 dB or less. A dotted line indicates a predetermined band separation, and a black circle indicates a designated frequency point.
[0273]
It can be confirmed from FIG. 34A that the specified attenuation amount in the stop band is realized.
Moreover, it can confirm that it has passed the frequency point designated from FIG.34 (C), (D).
[0274]
That is, as can be seen from FIG. 34, the low-pass filter obtained by the algorithm for obtaining “the minimum number of taps that satisfies the attenuation amount of the stop band” has a good frequency response characteristic.
[0275]
FIG. 35 is a diagram showing the frequency response of the low-pass filter obtained by the algorithm for obtaining “the minimum number of taps that realizes the attenuation amount of the designated stop band”.
35A is a diagram showing the frequency response displayed in decibels, FIG. 35B is a diagram showing the frequency response displayed as it is, FIG. 35C is an enlarged view of the vicinity of gain 3, and FIG. 35 (D) is an enlarged view of the vicinity of zero gain.
[0276]
The basic algorithm, variables to be obtained, and designated frequency points in this case are as follows.
[0277]
Basic algorithm :
This is a Remms exchange algorithm that passes an arbitrary frequency point for obtaining a filter having the maximum end frequency of the pass band that satisfies the attenuation amount of the stop band.
・ Even symmetry
-Stop band attenuation is -60dB or less
Variable you want to find :
・ Tap number N
-Stop band start frequency ws
[0278]
[Table 15]

[0279]
[Table 16]

[0280]
In FIG. 35, the solid line indicates the frequency response of the low-pass filter having the minimum number of taps (17 taps) at which the attenuation in the stop band is −60 dB or less. A dotted line indicates a predetermined band separation, and a black circle indicates a designated frequency point.
[0281]
It can be confirmed from FIG. 35A that the specified attenuation amount in the stop band is realized.
Moreover, it can confirm that it has passed the frequency point designated from FIG.35 (C), (D).
[0282]
That is, as can be seen from FIG. 35, the low-pass filter obtained by the algorithm for obtaining “the minimum number of taps that realizes the specified attenuation amount of the stop band” has a good frequency response characteristic.
[0283]
Next, an algorithm for obtaining a filter with the minimum number of taps that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes through the frequency points in the transition band will be described.
Here, for the algorithm for obtaining the “filter that satisfies the stop band attenuation and passes the frequency band in the transition band”, satisfies the stop band attenuation and passes the frequency band in the transition band. An algorithm for obtaining a filter with the minimum number of taps will be described.
[0284]
FIG. 36 is a diagram illustrating a flowchart of an algorithm for obtaining a filter having the minimum number of taps that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes through the frequency points in the transition band.
[0285]
The enumeration of the parameters, objectives, and algorithm principles that can be freed by this algorithm is as follows.
* Free parameters:
・ Number of taps
・ End point frequency wp of pass band
-Stop band start frequency ws
* Objective: To obtain a filter with the minimum number of taps that satisfies the specified stopband attenuation dBs and passes the attenuation dBc at the transition band frequency wc. That is, the largest passband end point frequency wp and the smallest stopband start point frequency ws that have the attenuation dBc at the specific frequency wc in the transition region are determined, and a filter having the minimum number of taps is obtained.
* Principle: When there is no solution in the first loop, the number of taps is insufficient and the specified attenuation cannot be realized, so increase the number of taps and try again. Even when the frequency point in the transition region cannot be realized, the number of taps is increased and the operation is tried again.
[0286]
In addition, the contents of each step processing F102, F103, F104, and F105 of the algorithm described below in FIG. 36 pass through the arbitrary frequency points described in relation to FIG. 6 as in the case of the first approach. Same as Rems exchange algorithm. Similarly to the case of the second approach, the contents of the processes F206, F207, and F208 are the processes described in relation to FIG. 9, that is, “filter having the largest passband end point frequency that satisfies the stopband attenuation amount”. ”Or the“ filter having the smallest stopband start frequency satisfying the stopband attenuation ”. Furthermore, the contents of the processes F301, F309, F310, and F311 are the processes described in relation to FIG. 22, that is, “filters that satisfy the attenuation amount in the stop band and pass the specified attenuation amount at the specific frequency in the transition area. This is the same as the “sought algorithm”. Therefore, the same reference numerals as in FIGS. 6, 9, and 22 are used for the processing here.
[0287]
step70
As shown in FIG. 36, first, initial setting is performed (F301). Specifically, the algorithm is initially set to obtain a filter that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes the attenuation amount specified in the transition region.
The items to be specifically set are as follows.
・ Number of taps,
・ The linear phase FIR filter is even symmetric or odd symmetric,
・ The number of bands is 2,
・ Starting point frequency w = 0 in the passband,
・ Passband gain,
-Stopband end point frequency w = π,
Stopband gain,
・ Weighting for passband and stopband,
・ Frequency and amplitude value of the point you want to pass,
Stopband attenuation dBs (that is, the stopband ripple magnitude δ2),
The transition band frequency wc and its attenuation dBc,
・ Frequency w which becomes extreme value in approximate band⁽⁰⁾= W_k ⁽⁰⁾(K = 0, ..., R)
However, the right superscript (i) represents the number of repetitions.
・ Entering the initial frequency of the bisection method
[0288]
step71
A Rems exchange algorithm that passes through an arbitrary frequency point is executed (F102, F103, F104).
Specifically, in process F102, generation of an interpolation polynomial for interpolating amplitude characteristics from extreme points is generated.
Next, in process F103, a new extreme point is determined from the amplitude characteristic obtained from the interpolation polynomial.
Then, in process F104, the Rems exchange algorithm is repeatedly determined.
[0289]
step72
Next, the minimum attenuation amount (maximum weighted approximation error) in the stop band is obtained (F206).
[0290]
step73
It is determined whether or not the end condition of the frequency search algorithm satisfying the specified stopband attenuation is satisfied (F207).
If the end condition is satisfied, the process proceeds to step 77 (F309), and if not, the process proceeds to step 74 (F208).
[0291]
step74
If the end condition of the frequency search algorithm satisfying the specified stopband attenuation is not satisfied, the band setting is changed (F208).
[0292]
step75
A comparison is made with the attenuation amount of the designated stop band (F414).
In the band setting change of process F208, if “no solution” is obtained in the first loop, the process proceeds to step 76 (F415), and otherwise, the process returns to step 71.
[0293]
step76
Increase one tap (F415).
The current tap number is increased by one tap, and the process proceeds to the initial setting process of step 70 (F301).
[0294]
step77
When the end condition of the frequency search algorithm satisfying the specified attenuation amount in the stop band is satisfied, the attenuation amount of the frequency specified in the transition area is examined (F309).
[0295]
step78
Comparison with the attenuation amount of the designated stop band is performed (F310).
If the end condition is satisfied, the process proceeds to step 82 (F105), and if not, the process proceeds to step 79 (F311).
[0296]
step79
If the end condition is not satisfied, the band setting is changed (F311).
[0297]
step80
Comparison with the attenuation amount of the designated stop band is performed (F416).
In the band setting change in process F311, when “no solution” is obtained in the first loop, the process proceeds to step 81 (F417), and in other cases, the process returns to step 71.
[0298]
step81
Increase one tap (F417).
The current tap number is increased by one tap, and the process proceeds to the initial setting process of step 70 (F301).
[0299]
step83
The coefficient of the linear phase FIR filter is obtained from the approximated amplitude characteristic (F105).
[0300]
FIG. 37 is a diagram showing the frequency response characteristics of the low-pass filter obtained by an algorithm for obtaining “a filter with the minimum number of taps that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes through the frequency points in the transition band”.
37A is a diagram showing the frequency response displayed in decibels, FIG. 37B is a diagram showing the frequency response displayed as it is, FIG. 37C is an enlarged view of the vicinity of gain 3, and FIG. 37 (D) is an enlarged view of the vicinity of a gain of zero.
[0301]
The basic algorithm, variables to be obtained, and designated frequency points in this case are as follows.
Basic algorithm :
This is a Remms exchange algorithm that obtains a filter that passes a frequency point in the transition band, based on an algorithm that obtains the end point frequency in the maximum pass band that satisfies the attenuation in the stop band.
-Passes through (0.4π, 12dB)
・ Even symmetry
-Stop band attenuation is -60dB or less
Variable you want to find :
・ Tap number N
・ End point frequency wp of pass band
-Stop band start frequency ws
[0302]
[Table 17]

[0303]
[Table 18]

[0304]
  In FIG. 37, the solid line indicates that the attenuation in the stop band is −60 dB or less.Transition frequencyThe frequency response of a low-pass filter having a minimum number of taps (17 taps) that has an attenuation of −12 dB or less at several 0.4π is shown. A dotted line indicates a predetermined band separation, and a black circle indicates a designated frequency point.
[0305]
It can be confirmed from FIG. 37 (A) that the specified attenuation amount in the stop band is realized.
It can be confirmed from FIG. 37 (B) that the frequency point designated in the transition region is passed.
Moreover, it can confirm that it has passed the frequency point designated from FIG.35 (C), (D).
[0306]
That is, as can be seen from FIG. 37, the low-pass filter obtained by the algorithm that calculates “a filter with the minimum number of taps that satisfies the attenuation in the stop band and passes through the frequency points in the transition band” has a good frequency. Has response characteristics.
[0307]
【The invention's effect】
As described above, according to the present invention, there is an advantage that it is possible to have a frequency response passing through an arbitrary frequency point.
[Brief description of the drawings]
FIG. 1 is a diagram illustrating a transversal circuit configuration of an FIR filter.
FIG. 2 is an enlarged view in the vicinity of a frequency response and a gain of 1 in the conventional method.
FIG. 3 is a diagram showing an impulse response when the FIR filter has four linear phases.
FIG. 4 shows Q (e) for four cases of linear phase FIR filters.^jw) And R.
FIG. 5 is a diagram illustrating an example of weighted Chebyshev approximation.
FIG. 6 is a flowchart of the Remms exchange algorithm that passes through any frequency point of the present invention.
FIG. 7 shows a weighted approximation error E (e^jwIt is a figure for demonstrating the determination method of the new extreme value of ().
FIG. 8 is a diagram showing a frequency response when an arbitrary frequency point of the present invention is designated and an enlarged view thereof.
FIG. 9 is a diagram showing a flowchart of an algorithm for obtaining a filter that satisfies the attenuation amount of the stop band.
FIG. 10 is a diagram illustrating parameters of an algorithm for obtaining a filter having the largest passband end point frequency that satisfies the attenuation amount of the stopband.
FIG. 11 is a diagram illustrating an initial frequency of the bisection method in an algorithm for obtaining a filter having the largest end frequency in the pass band that satisfies the attenuation amount in the stop band.
FIG. 12 is a diagram showing band setting change in the first loop.
FIG. 13 is a diagram showing changes in band settings in the second and subsequent loops.
FIG. 14 is a diagram showing a frequency response of a filter having a maximum passband end point frequency satisfying a stopband attenuation.
FIG. 15 is a diagram illustrating parameters of an algorithm for obtaining a filter having the smallest stopband start frequency satisfying the stopband attenuation.
FIG. 16 is a diagram illustrating an initial frequency of the bisection method in an algorithm for obtaining a filter having the smallest start frequency in the stop band that satisfies the stop band attenuation.
FIG. 17 is a diagram showing band setting change in the first loop;
FIG. 18 is a diagram showing changes in band settings in the second and subsequent loops.
FIG. 19 is a diagram illustrating a frequency response of a filter having a minimum stopband start frequency that satisfies the stopband attenuation.
FIG. 20 is a flowchart illustrating an algorithm for obtaining a filter having the minimum number of taps satisfying the attenuation amount in the stop band.
FIG. 21 is a diagram showing a frequency response of a filter with the minimum number of taps for realizing the attenuation amount in the stop band and an enlarged view thereof.
FIG. 22 is a diagram showing a flowchart of an algorithm for obtaining a filter that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes the frequency point in the transition band.
FIG. 23 is a diagram showing an algorithm (1) for obtaining a filter that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes the frequency point in the transition band.
FIG. 24 is a diagram illustrating an initial frequency of the bisection method in an algorithm for obtaining a filter that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes the frequency point in the transition band.
FIG. 25 is a diagram showing a change in band setting in the first loop.
FIG. 26 is a diagram illustrating band setting change in the second and subsequent loops.
FIG. 27 is a diagram illustrating a frequency response of a filter that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes through a frequency point in the transition band and an enlarged view thereof.
FIG. 28 is a diagram showing an algorithm (2) for obtaining a filter that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes the frequency point in the transition band.
FIG. 29 is a diagram illustrating an initial frequency of the bisection method in an algorithm for obtaining a filter that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes through the frequency points in the transition band.
FIG. 30 is a diagram illustrating band setting change in the first loop;
FIG. 31 is a diagram showing changes in band settings in the second and subsequent loops.
FIG. 32 is a diagram illustrating a frequency response of a filter that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes through a frequency point in the transition band and an enlarged view thereof.
FIG. 33 is a diagram showing a flowchart of an algorithm for obtaining a filter with the minimum number of taps for realizing the attenuation amount in the stop band.
FIG. 34 is a diagram showing a frequency response of a filter with the minimum number of taps satisfying the attenuation amount in the stop band and an enlarged view thereof.
FIG. 35 is a diagram showing a frequency response of a filter with the minimum number of taps satisfying the attenuation amount in the stop band and an enlarged view thereof.
FIG. 36 is a diagram illustrating a flowchart of an algorithm for obtaining a filter having the minimum number of taps that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes through the frequency points in the transition band.
FIG. 37 is a diagram illustrating a frequency response of a filter having a minimum tap number that satisfies the attenuation amount in the stop band and passes through a frequency point in the transition region, and an enlarged view thereof.
[Explanation of symbols]
DESCRIPTION OF SYMBOLS 1 ... Linear phase FIR filter, 2-1 to 2-n-1 ... Delay device, 3-1 to 3-n ... Multiplier, 4 ... Adder, h (0) to h (n-1) ... Filter coefficient , TIN: input terminal, TOUT: output terminal.

Claims (4)

The impulse response is represented by a finite time length, the impulse response is a filter coefficient, the number of taps is variable, and the band setting is a changeable filter coefficient setting method of the FIR filter,
At least FIR filter setting, band setting, pre-filter coefficient setting, input of arbitrary frequency points to be passed, initial extremum point setting, stopband attenuation amount specification, tap number, filter symmetry information, number of bands, the start frequency of the passband, end frequency of the stop band, the desired amplitude values of the respective bands, weighting for each band, the coefficient of the pre-filter, the frequency and the amplitude value of a point to be passed, An initial setting step for setting the attenuation amount of the stop band, the frequency that becomes the extreme value in the approximate band,
A first step of generating an interpolation polynomial for interpolating the amplitude characteristic from the extreme point of the amplitude characteristic of the current frequency and the frequency point to be passed;
In determining the new extreme point from the amplitude characteristic obtained from the interpolation polynomial obtained in the first step, throughout approximate band extremes of weighting approximation error which is calculated from the extreme point used for the interpolation A second step of searching and obtaining the obtained value as a new extreme point;
A third step that repeats the first step and the second step and ends under a predetermined condition that an optimum approximation is obtained when the position of the extreme value stops changing;
A fourth step of examining the attenuation of the stop band from the amplitude characteristic approximated in the third step;
A fifth step of comparing the determined attenuation amount with the attenuation amount of the designated stop band and determining whether the comparison result satisfies a predetermined condition;
A sixth step of changing the setting of the band when the comparison result of the fifth step does not satisfy a predetermined condition;
After changing the band in the sixth step, a seventh step for determining whether or not the attenuation amount of the stop band can be satisfied with the current number of taps;
An eighth step of changing the number of taps when it is determined that the seventh step is not satisfied;
A ninth step of obtaining the filter coefficient from the amplitude characteristic approximated in the third step that satisfies a predetermined condition in the fifth step,
In the fourth step, the minimum attenuation in the stop band is examined,
In the 8th step above, increase the number of taps,
In the ninth step, when the number of taps is variable and the band setting can be changed, blocking is performed using an algorithm to which a constraint condition that passes an arbitrary frequency point that satisfies the attenuation amount of the blocking band is added. so as to satisfy the attenuation of frequency, by performing weighting approximation to the desired characteristics, method of setting the filter coefficients of the FIR filter for calculating the filter coefficients. 2. The filter coefficient setting of the FIR filter according to claim 1 , wherein the weighting approximation is performed with respect to a desired characteristic by using a Remez Exchange algorithm that passes through an arbitrary frequency point that satisfies the attenuation amount of the stop band. Method. The impulse response is represented by a finite time length, the impulse response is a filter coefficient, the number of taps is variable, and the band setting is a changeable filter coefficient setting method of the FIR filter,
At least FIR filter setting, band setting, pre-filter coefficient setting, input of arbitrary frequency point to be passed, initial extreme point setting, stop band attenuation specification, transition band specified frequency attenuation in performing the specified amount, the number of taps, the symmetry of the information of the filter, the number of bands, the start frequency of the passband, end frequency of the stopband, the passband gain, the gain of the stopband, the weight for passband and stopband with an initial setting step of setting the coefficient of the pre-filter, the frequency and the amplitude value of a point to be passed, the attenuation in the stopband, frequency and its attenuation amount of the transition zone, the frequency at which an extreme value in the approximate range,
A first step of generating an interpolation polynomial for interpolating the amplitude characteristic from the extreme point of the amplitude characteristic of the current frequency and the frequency point to be passed;
In determining the new extreme point from the amplitude characteristic obtained from the interpolation polynomial obtained in the first step, throughout approximate band extremes of weighting approximation error which is calculated from the extreme point used for the interpolation A second step of searching and obtaining the obtained value as a new extreme point;
A third step that repeats the first step and the second step and ends under a predetermined condition that an optimum approximation is obtained when the position of the extreme value stops changing;
A fourth step of examining the attenuation of the stop band from the amplitude characteristic approximated in the third step;
A fifth step of comparing the attenuation amount checked in the fourth step with the attenuation amount of the designated stop band and determining whether the comparison result satisfies a predetermined condition;
A sixth step of changing the setting of the band when the comparison result of the fifth step does not satisfy a predetermined condition;
After changing the band in the sixth step, a seventh step for determining whether or not the attenuation amount of the stop band can be satisfied with the current number of taps;
An eighth step of changing the number of taps when it is determined that the above seventh step is not satisfactory;
A ninth step of examining the attenuation amount of the designated frequency in the transition region that satisfies the predetermined condition in the fifth step;
A tenth step of comparing the attenuation amount of the designated frequency in the transition region examined in the ninth step with the attenuation amount of the designated transition region, and determining whether the comparison result satisfies a predetermined condition;
An eleventh step of changing the setting of the band when the comparison result of the tenth step does not satisfy a predetermined condition;
After the band change in the eleventh step, a twelfth step for determining whether or not the specified frequency in the transition region can be passed with the current number of taps;
A thirteenth step of changing the number of taps when it is determined that the passage cannot be made in the twelfth step;
A fourteenth step for obtaining the filter coefficient from the approximated amplitude characteristic satisfying a predetermined condition in the tenth step,
In the fourth step, the minimum attenuation in the stop band is examined,
In the 8th and 13th steps, the number of taps is increased,
In the fourteenth step, when the number of taps is variable and the band setting can be changed, it passes through an arbitrary frequency point that satisfies the attenuation amount of the stop band and passes the attenuation amount of the designated frequency in the transition band. using an algorithm adding a constraint such that, to satisfy the attenuation of the stop band, by performing weighting approximation to the desired characteristics of the filter coefficients of the FIR filter for calculating the filter coefficients Setting method. The above weighted approximation uses a Remez Exchange algorithm that passes through any frequency point that satisfies the attenuation in the stop band and passes the attenuation in the specified frequency in the transition band. Do
The method for setting the filter coefficient of the FIR filter according to claim 3 .

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