JP5705106B2

JP5705106B2 - ユークリッド空間リード−マラー符号の軟判定復号を実行する方法

Info

Publication number: JP5705106B2
Application number: JP2011287619A
Authority: JP
Inventors: フィリップ・オーリック; レイモンド・イム; キーラン・パーソンズ; バヒド・タロク; ジンユン・ジャン
Original assignee: Mitsubishi Electric Research Laboratories Inc
Current assignee: Mitsubishi Electric Research Laboratories Inc
Priority date: 2011-01-14
Filing date: 2011-12-28
Publication date: 2015-04-22
Anticipated expiration: 2031-12-28
Also published as: JP2012151839A; US8245116B2; US20120185755A1

Description

この発明は、包括的には誤り訂正コーディングに関し、より詳細には、受信信号から軟情報を復号することに関する。

光通信ネットワーク
光ネットワーク等の高速通信ネットワークにおいて、レイテンシが主な課題である。これによって、レイテンシと、実施の複雑度と、チャネル符号の選択において重要なコーディング利得との間にトレードオフが生じる。多くの場合に、いかなるコーディング技法の使用も、復号及び符号化の複雑度の追加、並びにレイテンシの増大という犠牲を払うことでしか利得をもたらすことができない。十分な利得をもたらす一方で、符号化及び復号の複雑度を低く保つコーディング技法を見つけることが重要である。

リード−マラー(ＲＭ)符号
利用可能な帯域幅をより効率的に利用するために、光ファイバー通信システムにおいてポーラー符号(米国特許第７，７５６，４２４号「Optical CDMA communications system using OTDL device」を参照されたい)が光学的に用いられてきた。リード−マラー符号、すなわちポーラー符号のサブセットを用いて、シャノン限界によって予測される容量限界に近い性能を達成することができる。リード−マラー復号器は線形誤り訂正符号を用いる。リード−マラー(ＲＭ)符号は、局所的に検査可能な符号及び局所的に復号可能な符号の分類に属す。ＲＭ符号は、通信用途における確率的検査可能証明の設計において有用である。リード−マラー符号の特殊な例には、アダマール符号及びウォルシュ−アダマール符号が含まれる。

ＲＭ符号は、特殊な構造を有する多項式に基づく明快な構成を有する。より高次のＲＭ符号を、より低次のＲＭ符号から再帰的に構成することができる。これによって、リード−ソロモン符号等の、同様の性能を有する他の誤り訂正符号よりも数千倍少ない複雑度を有する復号プロセスが可能になる。

軟判定復号
当該技術分野において既知であるように、硬判定復号器は、通常０又は１の、可能な離散値の固定の集合を有するデータを復号する。

軟判定復号器は、誤り訂正符号を用いて符号化されたデータを復号し、データは０から１の範囲の連続値をとる。追加情報は、各入力データポイントの信頼性(確率)を示し、元のデータのより良好な推定値を形成するのに用いられる。したがって、軟判定復号器は通常、破損したデータが存在するときに、硬判定復号器よりも良好に機能する。

２つのタイプの軟判定復号器が存在する。第１に、最大尤度(ＭＬ)復号器が、特定の符号語がチャネルを介して送信された確率を求める。第２に、最大事後確率(ＭＡＰ)復号器が、情報ビットがチャネルを介して送信される符号語を生成するのに用いられた確率を求める。

既存の方式よりも優れた性能を有するリード−マラーの軟情報を復号する方法が要求されている。

この発明の実施の形態は、既存の方式よりも優れた性能を示すリード−マラーの軟情報を復号する方法を提供する。

この発明は、優れた性能を有するユークリッド空間リード−マラー(ＲＭ)符号の符号語の軟判定復号を実行する方法を提供することができる。

この発明の１つの実施の形態による、最適分解変数を見つける方法の概略図である。この発明の１つの実施の形態による、リード−マラー符号の復号方法の概略図である。この発明の１つの実施の形態による、リード−マラー符号の復号方法の別の概略図である。この発明の別の実施の形態による、リード−マラー符号の復号方法の概略図である。この発明の別の実施の形態による、リード−マラー符号の復号方法の別の概略図である。この発明の別の実施の形態による、リード−マラー符号のＭＡＰ復号方法の概略図である。

この発明の実施の形態は、ユークリッド空間リード−マラー(ＲＭ)符号の軟判定復号を実行する方法を提供する。図１〜図６に示す本方法及び手順のステップは、当該技術分野において既知のメモリ及び入力／出力インターフェースに接続されたプロセッサにおいて実行することができる。

次数(order)ｒ及び長さ２^ｍの符号語の符号ＲＭ(ｒ，ｍ)は、ｍ個の変数を有し、項が次数(degree)ｒの単項式からなるブール多項式の係数に関連付けられた全ての二値ベクトルの集合である。単項式は、変数の累乗の積であり、すなわち正式には、変数の有限数の乗算によって得られた任意の値である。

そのような符号は、

個の有効な符号語及び最小ハミング距離２^ｍ−ｒを有する。マッピング

及び

を用いて、例えば二相位相変調(ＢＰＳＫ)シンボルを用いてＲＭ(ｒ，ｍ)符号語を送信する。関数

は二項係数であり、すなわちｎ個の要素からなるより大きな集合からｋ個の要素からなる集合を構成する方法の数である。

最大尤度復号
一次リード−マラー符号の最大尤度復号及びアダマール変換
ＲＭ(１，ｍ)符号の多項式は、１＋ｘ_１＋…＋ｘ_ｍである。ＲＭ(１，ｍ)符号は、符号語のそれぞれが、ＢＰＳＫマッピング後に、アダマール行列

又は

における行となるという属性を有する。このため、符号化器は入力ビットシーケンスｂ_１，ｂ_２，…，ｂ_ｍ＋１を以下のようにマッピングする。符号化器はまず、ｍ個の下位ビットｂ_２，…，ｂ_ｍ＋１を検査し、この２進数の１０進数表現を計算する。これによってインデックス

がもたらされる。次に、符号化器は、ｂ_０＝０の場合、

のｉ番目の行を送信するか、又はｂ_０＝１の場合、

のｉ番目の行を送信する。

復号器は、２^ｍ個の座標を有する受信ベクトルを検査する。ｍ個の変数は、直交部分空間を形成し、アダマール変換によって検出することができ、定数１(constant one)の存在によりアダマール変換の結果が無効になる。

Ｙを受信ベクトルとし、

をサイズ２^ｍ×２^ｍのアダマール行列とすると、復号器は、尤度

を求める。受信ベクトルＹは送信される符号語であり、ゼロ平均及び雑音分散σ^２を有する加法的白色ガウス雑音によって破損されているものと仮定する。

Ｌ_ｉを尤度Ｌのｉ番目の要素の値とする。このとき、復号器は

を求める。ここで、関数ａｒｇｍａｘは、最大値を得るインデックスを返す。Ｌ_ｉの符号によって

が与えられる。インデックス

の二進展開は、いずれの変数が存在するかを示し、このため

から

の値の推定値を与える。

ＲＭ(ｍ，ｍ)を復号する最大尤度復号
符号ＲＭ(ｍ，ｍ)の生成行列Ｇは最大階数であり、２つの要素(ＧＦ(２))のガロア域において反転可能である。このため、復号器はＧの行列反転を実行してＧ^−１を得て、２を法とした算術において、閾値演算後の受信ベクトルをＧ^−１と乗算する。

より高次のリード−マラー符号の最大尤度復号及び再帰的分解
ＲＭ(１，ｍ)符号及びＲＭ(ｍ，ｍ)符号を復号する上記の２つの手順を所与として、次に、一般的なＲＭ(ｒ，ｍ)符号を再帰的に復号することができる。ＲＭ(ｒ，ｍ)符号は、よく知られているプロトキン分解を介して、ＲＭ(ｒ−１，ｍ−１)符号及びＲＭ(ｒ，ｍ−１)符号に分解することができることに留意する。

このため、ＢＰＳＫマッピングの後、ＲＭ(ｒ，ｍ)をＲＭ(ｒ，ｍ)＝｛(ｕ，ｕｖ)｜ｕ∈ＲＭ(ｒ，ｍ−１)かつｖ∈ＲＭ(ｒ−１，ｍ−１)｝として表すことができる。ここで、ｕｖはｕ及びｖの成分ごとの乗算を表す。このため、分解変数ｘ_ｊ(ｊ＝１，２，…，ｍ)の選択に依拠して、ＲＭ(ｒ，ｍ)の符号語は適切な順列を適用した後、以下のように書くことができる。

ここで、上付き文字ｊは、変数ｘ_ｉがプロトキン分解において用いられたことを表すのに用いられる。ｕ^ｊ _ｉ及びｕ^ｊ _ｉｖ^ｊ _ｉを用いて、ｒ^１及びｒ^２のｉ番目の座標を表す。ｕ^ｊ _ｉの対数尤度比(ＬＬＲ)、ＬＬＲ(ｕ^ｊ _ｉ)をｒ^１ _ｉから求めることができる。同様に、ｕ^ｊ _ｉｖ^ｊ _ｉの対数尤度比(ＬＬＲ)、ＬＬＲ(ｕ^ｊ _ｉｖ^ｊ _ｉ)をｒ^２ _ｉから求めることができる。ｖ^ｊ _ｉ＝ｕ^ｊ _ｉ(ｕ^ｊ _ｉｖ^ｊ _ｉ)であるので、ｖ^ｊ _ｉの対数尤度比ＬＬＲ(ｖ^ｊ _ｉ)は、ＬＬＲ(ｕ^ｊ _ｉ)及びＬＬＲ(ｕ^ｊ _ｉｖ^ｊ _ｉ)に関して以下のように表すことができる。

ＬＬＲ(ｖ^ｊ _ｉ)を計算する手順を有しているので、ｖ^ｊの復号を実行することができる。これは、ｖ^ｊと同じＬＬＲ値を有する受信ベクトルｒ^＊を生成することによって達成される。このため、ｒ^＊は受信符号語に対応し、ｖ^ｊが送信されたものと仮定する。これは、ｉ＝１，２，…，２^ｍ−１についてｒ^＊ _ｉ＝ＬＬＲ(ｖ^ｊ _ｉ)σ^２／２を設定することによって行われる。ＲＭ(ｒ−１，ｍ−１)復号器を有すると仮定し、この復号器にｒ^＊を通してｖ^ｊを得る。

プロトキン分解を実行するのに用いることができるｍ個の変数が存在すると同時に、

となるような最適分解変数

が存在する。ここで、関数ａｒｇｍａｘは、最大絶対値を返す。

の上記の選択によってｖ^ｊを正しく検出する確率が最大になる。

結果としてＭＬ復号器のより低い性能をもたらす一変形として、

を用いることが可能である。ここで、関数ａｒｇｍａｘｍｉｎは、ｖ^Ｊ _Ｉの絶対値(|・|)の最大インデックスｊ及び最小インデックスｉを返す。

従来技術は、分解変数のＬＬＲを求めず、絶対値(ａｂｓ)関数を用いず、最大値を見つけることを用いない。最大尤度(ＭＬ)復号器を用いるか又は最大事後確率(ＭＡＰ)復号器を用いるかに依拠して用いることができる２つの変形が存在する。ｍａｘ関数とａｂｓ関数との間に「ｓｕｍ」関数を挿入するか、ｍａｘ関数とａｂｓ関数との間に「ｍｉｎ」関数を挿入することができる。

図１は、最適分解変数１０１を求める手順１００の概略図である。例えば、符号ＲＭ(２，３)１０２について、符号の多項式構成において３つの変数が用いられている。これは、３つの可能な分解変数ｘ_１、ｘ_２、ｘ_３が存在することを意味する。

手順は、各分解変数に対応するビットｙ_１〜ｙ_８を再配置して(１１０)、ｊ＝１、２、及び３についてｕ^ｊ及びｕ^ｊｖ^ｊを得る。

分解変数のそれぞれについて、手順はＬＬＲｖ^ｊ _ｉを求める。ａｂｓ関数１３１を全ての計算されたｖ^ｊ _ｉに適用し、次にｓｕｍ関数又はｍｉｎ関数１５１をインデックスｉに適用する。このとき、ａｒｇｍａｘ関数１４１によって求められる最も大きな値に対応する分解変数インデックスｊが最適分解変数１０１である。

ここでｖ^ｊが得られるので、ｒ^２ｖ^ｊを計算することによってｖ^ｊをｒ^２において補償することができる。ＲＭ(ｒ，ｍ−１)復号器への入力を(ｒ^１＋ｒ^２ｖ^ｊ)／２として形成することができる。

次に、ＲＭ(ｒ−１，ｍ−１)復号器を用いてｖを復号することができる。ｖが復号されると、ｕについて２つの観測値が存在する。一方はｒ^１についてのものであり、一方はｒ^２ｖに関するものである。ガウス分布チャネルについて、２つの観測値を平均化することができ、ＲＭ(ｒ，ｍ−１)復号器を用いてｕを復号することができる。このプロセスは再帰的に適用することができる。

図２は、このプロセスを概略的に示している。図１に示す手順に従って符号ＲＭ(ｒ，ｍ)について最適分解変数が求められた(１００)後、ｒ^２２０２に対応するビットの半分が、ＲＭ(ｒ−１，ｍ−１)復号器２０３を用いて復号される。符号次数ｒに依拠して、ＲＭ(ｒ−１，ｍ−１)２０３は、部分符号ｒ^２を復号するための更なる再帰を要求することができるか、又はｒ−１＝１(すなわちｒ＝２)である場合、アダマール変換を用いて部分符号ｒ^２を復号することができる。

ＲＭ(ｒ−１，ｍ−１)復号器は復号されたｖ２０４及び対応する復号されていないビットの第１の集合を返す。復号されたｖを用いて、(ｒ^１＋ｒ^２ｖ^ｊ)／２２０５を求めることによってｕを推定する。ＲＭ(ｒ，ｍ−１)復号器２０６を用いて計算ベクトルが復号される。ｒ＝ｍ−１の場合、部分符号(ｒ^１＋ｒ^２ｖ^ｊ)／２を行列反転を用いて復号することができる。そうでない場合、更なる再帰を用いて部分符号を復号する。ＲＭ(ｒ，ｍ−１)復号器は、復号されたビットｕ２０７及び対応する復号されていないビットの第２の集合を返す。

図３は、手順のより詳細な概略図を示している。まず、手順は、ＲＭ(ｒ，ｍ)をプロトキン分解、及び上述した分解変数

の選択を用いてＲＭ(ｒ−１，ｍ−１)及びＲＭ(ｒ，ｍ−１)に分解することによって最適分解変数

１０１を求める。

次に、手順はｒ^２が現在復号可能であるか否かを判断する(３１０)。ＲＭ(ｒ−１，ｍ−１)に対応するプロトキン分解からの入力ｒ^２は、(ｒ−１＝１)である場合、この時点で復号可能である。

真である場合、アダマール変換に基づくＲＭ(１，ｍ−１)復号器の最大尤度復号器を用い、入力ｒ^２を用いてｖ^ｊを復号する(３１１)。

ｒ−１＞１である場合、このときはＲＭ(ｒ−１，ｍ−１)及び入力ｒ^２に対してプロトキン分解が再帰される(３１２)。

ｖ^ｉが得られると、ＲＭ(ｒ，ｍ−１)復号器への入力の生成に進むことができる。これは(ｒ^１＋ｒ^２ｖ^ｊ)／２３２０として生成される。

ＲＭ(ｒ，ｍ−１)符号がｒ＝ｍ−１の条件を満たす場合、入力(ｒ^１＋ｒ^２ｖ^ｊ)／２を復号して、上述したＲＭ(ｍ−１，ｍ−１)符号の生成行列を用いてｕ^ｊを生成することができる。

ｒ＝ｍ−１であるか否かをチェックする(３３０)。真である場合、このときはＲＭ(ｒ，ｍ−１)符号及び入力(ｒ^１＋ｒ^２ｖ^ｊ)／２に対して再びプロトキン分解が実行される(３３１)。そうでない場合、行列反転を用いて復号する(３３２)。

最適分解を用いた最大尤度リスト復号
最大尤度復号は通常、受信信号に最も類似した符号語及び対応する復号されていないビットパターンを見つける。いくつかの用途では、単一の類似した符号語のみでなく、複数の符号語も見つけることが有用である可能性がある。

これを行うために、図４に示されているように、ＲＭ(ｒ−１，ｍ−１)４０３の復号器は、複数の最も近い符号語からなる小さな集合を求める。例えば、ＲＭ(１，ｍ)の場合、これは以下によって行うことができる。

図１に従って最適分解変数が求められた(１０１)後、ｒ^２４０２に対応するビットの半分が、ＲＭ(ｒ−１，ｍ−１)復号器４０３を用いて復号される。ｒの値に依拠して、ＲＭ(ｒ−１，ｍ−１)は部分符号ｒ^２を復号するための更なる再帰を要求することができるか、又はｒ−１＝１(すなわちｒ＝２)の場合、リストアダマール変換を用いて部分符号ｒ^２を復号することができる。ＲＭ(ｒ−１，ｍ−１)復号器は、複数の復号されたｖ_ｉ４０４及び対応する復号されていないビットを返す。

復号されたｖ_ｉを用いて、(ｒ^１＋ｒ^２ｖ_ｉ)／２４０５を計算することによってｕ_ｉを推定する。推定値のそれぞれについて(全てのｉにわたる反復)、ＲＭ(ｒ，ｍ−１)復号器４０６を用いて計算ベクトルが復号される。ｒ＝ｍ−１の場合、行列反転を用いて部分符号(ｒ^１＋ｒ^２ｖ_ｉ)／２を復号することができる。そうでない場合、更なる再帰を用いて部分符号を復号する。ＲＭ(ｒ，ｍ−１)復号器が復号されたｕ４０７及び対応する復号されていないビットを返す。

リストアダマール変換
Ｙを受信ベクトルとし、

をアダマール行列とする。復号器は尤度

を求める。Ｌ_ｉをＬのｉ番目の要素の値とすると、復号器は、Ｌの値の集合に対応する複数の

を見つける。各

について、

の符号(sign)が

を与える。インデックス

はいずれの変数が存在するかを示し、したがって

から

の値を示す。各

の全てのビットパターンは符号語に対応する。次に、これらを用いてｖ_１、ｖ_２等を見つけることができる。

各ｖ_ｉについて(ｒ^１＋ｒ^２ｖ_ｉ)／２が求められ、ＲＭ(ｒ，ｍ−１)復号器に渡される。これらのベクトルのそれぞれを用いて対応するビット、すなわちｕ_ｉベクトルを復号することができる。

図５は、手順のより詳細な概略図を示している。手順は図３に非常に類似している。例外は、ｒ＝２のとき、リストアダマール復号器を用いていくつかの最も近いｖ_ｉを見つけることである。複数のｖ_ｉが返されるので、手順は複数の(ｒ^１＋ｒ^２ｖ_ｉ)／２５２０を求め、手順はこれらのベクトルを用いて全てのｉにわたってループし(５３０)、複数のｕ_ｉを復号する。

最大事後確率(ＭＡＰ)復号
従来技術では、ＭＡＰは符号語に対してのみ動作し、個々のビットに対しては動作しない。この発明の実施の形態は、ビットレベルのＭＡＰ復号の方法を提供する。ＲＭ(１，ｍ)及びＲＭ(ｍ，ｍ)について正確なＭＡＰ復号器が提供され、より高次のＲＭ符号について近似ＭＡＰ復号器が提供される。加えて、リスト最大尤度(ＭＬ)復号器に基づいた高速ＭＡＰ復号器も提供する。

ＲＭ(１，ｍ)のためのＭＡＰ復号器
ｒを受信ビットとし、σ^２を雑音分散とし、

をアダマール行列とする。このとき、以下の擬似コードを用いてビットの対数尤度ＬＬＲｂｉｔを求めることができる。

ここでＡは全ての二値ベクトルの行列である。

ＲＭ(ｍ，ｍ)のＭＡＰ復号器
ｒを受信ビットとし、σ^２を雑音分散とし、ｃ_ｉ(ｉ＝１，２，…，２^ｍ)を全ての二値ベクトルとする。まず、ｒ及びσ^２を所与として全てのｃ_ｉの尤度を求める。これは確率理論に基づいてよく知られている。その後、２を法としてｃ＝Ｇｂであることに留意する。ここでＧは生成多項式であり、ｂは復号されていないビットである。２を法とした算術でＧの反転を求めることは容易である。ｃ_ｉの尤度及びＧの反転を用いて、次に各ビットのＭＡＰを求めることができる。

より高次のリード−マラー符号のＭＡＰ復号器
図６は、より高次のＲＭ符号のための復号方法を示している。この方法はＭＬ復号器に類似している。以下の差異を強調する。

最適分解変数の最適値を求める(１０１)ために、以下を用いる。

ＲＭ(ｒ−１，ｍ−１)６０３復号器はｒ^２に対応する復号されていないビットのＬＬＲ６０４のみを返す。

本方法は、ビットのＬＬＲを用いて、符号語が結果としてｒ^２をもたらす尤度を求める。実質的な確率、例えば０．０１より高い確率を有する全ての符号語を検討する。これらの符号語はビットごとにｒ^２と乗算され、残りのビットを復号するのに用いることができる補償された受信符号語を与える。

加えて、ｒ^１６０５を用いて残りのビットを復号することができる。ＲＭ(ｒ，ｍ−１)６０６の復号器は可能性があるごとに呼び出される。明確にするために、ＲＭ(ｒ，ｍ−１)は少なくとも２回呼び出され、多くの符号語が実質的な確率を有する場合、はるかに多くの回数呼び出すことができる。

各再帰的呼び出しのＬＬＲによって、特定の補償された符号語又はｒ^１に対応するビットのＬＬＲが求められる。

ビットの全てのＬＬＲが結合される(６０７)。まず、実質的な確率を有する各補償された符号語の確率を用いて、重み付けされた合計を用いてビットのＬＬＲを求めることができる。最後に、ｒ^１からのビットのＬＬＲが、補償された符号語からのＬＬＲに加えられる。

ＭＬリスト復号器を用いたＭＡＰ復号器
より高速なＭＡＰ復号器のために、図４について上述したＭＬリスト復号器を用いることが可能である。リスト復号器は、観測信号を所与として尤度が最も高い少数の符号語を返す。ここで、各符号語は入力ビットパターンに対応する。少数の尤度が高い符号語を用いて、少数の尤度が高いビットパターンが特定される。次に、これらの尤度が高いビットパターンの重み付けされた合計を検討することによって近似ＭＡＰを計算することができる。

この符号は、光ファイバー通信ネットワーク、無線通信ネットワーク、及び有線通信ネットワークにおいて用いることができる。

Claims

ユークリッド空間リード−マラー(ＲＭ)符号の符号語の軟判定復号を実行する方法であって、次数ｒ及び長さ２^ｍの符号語の符号ＲＭ(ｒ，ｍ)は、ｍ個の変数を有し、項が次数ｒの単項式からなるブール多項式の係数に関連付けられた全ての二値ベクトルの集合であり、該方法は、
尤度計算を用いて最適分解変数ｉを選択するステップと、
符号ＲＭ(ｒ，ｍ)を｛(ｕ，ｕｖ)｜ｕ∈ＲＭ(ｒ，ｍ−１)かつｖ∈ＲＭ(ｒ−１，ｍ−１)｝として表すステップであって、ここで、ｕｖはｕ及びｖの成分ごとの乗算を表し、(ｕ，ｕｖ)＝(ｒ^１，ｒ^２)であるものと、
受信した符号語を、前記最適分解変数に基づいてｒ^１＝ｕ及びｒ^２＝ｕｖに分離するステップと、
前記最適分解変数に従って、ＲＭ(ｒ−１，ｍ−１)復号器を用いてｒ^２を復号するステップであって、復号されたｖ及び復号されたビットの第１の集合を得るものと、
(ｒ^１＋ｒ^２ｖ)／２を用いて、前記復号されたｖをｒ^１と結合するステップと、
ＲＭ(ｒ，ｍ−１)復号器を用いて(ｒ^１＋ｒ^２ｖ)／２を復号するステップであって、復号されたｕ及び復号されたビットの第２の集合を得るものと、
を含み、
前記各ステップはプロセッサにおいて実行される、ユークリッド空間リード−マラー(ＲＭ)符号の符号語の軟判定復号を実行する方法。
前記選択するステップはｖの対数尤度比を求め、絶対値演算及び最大値演算を用いる、請求項１に記載の方法。
前記選択するステップは和演算を用いる、請求項１に記載の方法。
前記選択するステップは最小値演算を用いる、請求項１に記載の方法。
ＲＭ(１，ｍ)符号の前記復号するステップは、アダマール変換を用いて、送信された符号語の最大尤度(ＭＬ)推定値を得る、請求項１に記載の方法。
ＲＭ(１，ｍ)符号の前記復号するステップは、複数の最も尤度の高い復号されたｖのリストアダマール変換を用いる、請求項５に記載の方法。
ＲＭ(ｍ，ｍ)符号は行列反転によって復号される、請求項１に記載の方法。
ＲＭ(１，ｍ)符号を前記アダマール変換を用いて復号し、前記符号語内の前記送信された情報ビットの最大事後確率(ＭＡＰ)推定値を得る、請求項５に記載の方法。
受信ベクトルに基づいて各符号語の尤度を求めるステップであって、前記行列反転を用いて前記ＲＭ(ｍ，ｍ)符号を復号して、前記符号語内の送信された情報ビットの最大事後確率(ＭＡＰ)推定値を得るものを更に含む、請求項７に記載の方法。
前記ＲＭ(ｒ−１，ｍ−１)復号器の出力において、前記送信された情報ビットの前記ＭＡＰ推定値に基づいて有効な符号語の確率を求めるステップと、
前記ＲＭ(ｒ−１，ｍ−１)の出力から最も尤度の高い符号語を選択するステップであって、該符号語をｒ^１と結合するものと、
を更に含む、請求項９に記載の方法。
重み和演算を用いて前記情報ビットの前記ＭＡＰ推定値を求めるステップを更に含む、請求項１０に記載の方法。