JP5911398B2 - 曲線推定方法及び装置 - Google Patents

Description

本技術は、スポットレートと残存期間との関係を表す曲線を推定するための技術に関する。

スポットレート（ＳＲ：Spot Rate）とは、現在市場が予測する、満期日までの期間（残存期間）に応じた平均利回りである。厳密には満期日までの間に利子の支払いのない債券（割引債）の平均利回りである。一般的には、デフォルトリスクのない国債の価格から計算される。

但し、日本の場合には国債は、満期日までの間に、複数の利子の支払がある利付債券であるので、国債から直接スポットレートを求めることはできない。そこで、利付債券を利子と元本部分とに分け、それぞれの支払時に満期を迎え、途中に利子の支払いのない債券の組み合わせとみなして、スポットレートを算出する。

なお、日本の国債は、おおよそ３００銘柄存在しており、満期までの期間は最長４０年である。そして、満期までの期間が長い国債（例えば３０年から４０年）の銘柄数が少ないことが問題となる。また、利子及び償還額は発行時に決定されており、途中で変更されない。

図１に、銘柄αの国債の利払い及び償還と現在価値の算出を模式的に示す。例えば半年毎に、一定の利子ｃ_αが満期日までＬ_α回続き、満期日には償還額Ｒ_αも支払われる。より具体的には、利払い１回目からＬ_α−１回までは利払い額ｃ_αが支払われ、最後のＬ_α回目にはｃ_α＋Ｒ_αが支払われる。

一方、これらの支払額の現在価値は、各支払時期の下部に示されている値を乗じた値となる。なお、ｒ（ｔ）は、時間ｔ後のスポットレートを表しており、時間ｔの場合には割引率１／（１＋ｒ（ｔ））^tが乗じられている。すなわち、現在価値を複利で増やしたものが将来価値と考え、将来価値から現在価値を逆算している。なお、ｔ_k ^αは、銘柄αのｋ回目の支払時期までの期間を表す。

国債の市場価値＝利子及び元本の現在価値の合計とすると、市場価格ｐ_αは、以下のように表される。

また、割引率ｄ（ｔ）とスポットレートとの関係は以下のように規定される。すなわち、割引率ｄ（ｔ）＝現在価値と将来価値の比である。従って、以下のように具体的に示される。

従来、スポットレートは以下の手順にて算出していた。すなわち、国債の取引データを収集して、国債の市場価格の統計モデルに基づき割引率を算出する。統計モデルは以下の式で表される。

なお、ε_αは正規分布Ｎ（０，σ²）の誤差を表している。また、ｎは銘柄数を表す。

しかしながら、上で述べたように、日本の国債は残存期間が長い銘柄の数が少ない。国債の残存期間と国債価格との関係を示すと図２のようになるが、点線で囲まれた部分で分かるように、残存期間が長い部分についてはサンプル数が少なくなる。このため、これらのデータを基に曲線を描くと、図３のように、残存期間が長い部分においてカーブが不自然に蛇行するようになってしまう。なお、スポットレートカーブは、残存期間とスポットレートとの関係を表す曲線である。

川崎 能典、安道 知寛(2002)正則化法非線形回帰モデルによるイールドカーブの推定,統計数理,第50巻第2号,149-164 みずほレポート「主成分分析による国債スポットレートカーブの構造把握とその予測可能性の検討 〜マクロ経済・金融変数に基づく共通ファクターモデルの利用〜」２０１０年９月２１日発行，みずほ総合研究所 小西貞則, 北川源四郎, 情報量規準, 朝倉書店, 2004年 80-106ページ

従って、本技術の目的は、一側面として、利付債券のデータから適切なスポットレートカーブを描くことができるようにするための技術を提供することである。

本技術の一態様に係る曲線推定方法は、（Ａ）利付債券の銘柄毎に満期日と利子と償還額と支払済み利子を含む市場価格とを格納するデータ格納部から、満期日毎に１銘柄の利付債券を抽出し、（Ｂ）抽出された利付債券の銘柄についての満期日と利子と償還額とから、抽出された利付債券の銘柄毎に各支払時期の支払額を列挙した行列を生成し、（Ｃ）生成された行列を正則行列に変換し、抽出された利付債券の銘柄毎の市場価格を含む行列と正則行列とから、抽出された利付債券の銘柄の各々について満期日における割引率を算出する処理を実行し、（Ｄ）算出された満期日における割引率から、抽出された利付債券の銘柄の各々について満期日における金利を算出し、（Ｅ）算出された満期日における金利から回帰曲線を算出する処理を含む。

利付債券のデータから適切なスポットレートカーブを描くことができるようになる。

図１は、国債の利払い及び償還並びに現在価値の算出について説明するための図である。 図２は、国債の残存期間と価格との関係を模式的に示す図である。 図３は、従来技術で描かれるスポットレートカーブの一例を示す図である。 図４は、本技術の実施の形態に係る情報処理装置の機能ブロック図である。 図５は、第１データ格納部に格納されるデータの一例を示す図である。 図６は、本実施の形態に係るメインの処理フローを示す図である。 図７は、フィルタリング処理の処理フローを示す図である。 図８は、キャッシュフロー行列の一例を示す図である。 図９は、割引率算出処理の処理フローを示す図である。 図１０は、正則行列への変換処理を説明するための図である。 図１１は、国債複利利回りデータの一例を示す図である。 図１２は、割引率曲線の一例を示す図である。 図１３は、正則行列の一例を示す図である。 図１４Ａは、スポットレートの数値例を示す図である。 図１４Ｂは、スポットレートのプロット例を示す図である。 図１５は、回帰モデルで用いられる基底関数の中心値及び広がりを説明するための図である。 図１６は、ｓ² _kとμ_kとの関係を表す図である。 図１７は、スポットレートカーブ推定処理の処理フローを示す図である。 図１８は、出力データの一例を示す図である。 図１９は、出力データの他の例を示す図である。 図２０は、コンピュータの機能ブロック図である。

図４に、本実施の形態に係り、スポットレートカーブを推定する情報処理装置１００の機能ブロック図を示す。情報処理装置１００は、第１データ格納部１０１と、抽出部１０２と、第２データ格納部１０３と、行列生成部１０４と、第３データ格納部１０５と、割引率算出部１０６と、第４データ格納部１１３と、第５データ格納部１０７と、スポットレート算出部１０８と、第６データ格納部１０９と、曲線推定部１１０と、第７データ格納部１１１と、出力部１１２とを有する。

第１データ格納部１０１には、例えば図５に示すような国債のデータが格納されている。図５の例では、国債の銘柄毎に、銘柄識別子、満期日、利子（又は利率）、償還額、支払間隔、市場価格、取引量、入札日などのデータが格納されている。なお、市場価格は、市場の価格に経過利子（支払済み利子）が加算された金額である。また、取引回数も併せて格納されている場合もある。

抽出部１０２は、第１データ格納部１０１に格納されている国債のデータから、以下の処理で用いられるデータを抽出し、第２データ格納部１０３に格納する。行列生成部１０４は、第２データ格納部１０３に格納されている国債のデータから、以下で説明するキャッシュフロー行列を生成し、第３データ格納部１０５に格納する。

割引率算出部１０６は、正則変換部１０６１を有し、第２データ格納部１０３と第４データ格納部１１３に格納されているデータを用いて、第３データ格納部１０５に格納されているキャッシュフロー行列を正則行列に変換すると共に、割引率行列を算出し、第５データ格納部１０７に格納する。第４データ格納部１１３には、例えば国債複利利回りデータ等の、フォーワードディスカウントファクターを算出するためのデータが格納されている。

スポットレート算出部１０８は、第２データ格納部１０３に格納されているデータを用いて、第５データ格納部１０７に格納されている割引率行列から、各満期日におけるスポットレートを算出し、算出されたスポットレートを第６データ格納部１０９に格納する。曲線推定部１１０は、第２データ格納部１０３に格納されているデータを用いて、第６データ格納部１０９に格納されているスポットレートから、スポットレートカーブを推定する処理を実行し、処理結果を第７データ格納部１１１に格納する。出力部１１２は、出力装置（表示装置、印刷装置、その他ネットワークを介して接続されている他のコンピュータなど）に、スポットレートカーブのデータを出力する。

次に、図６乃至図１９を用いて、情報処理装置１００の処理内容を説明する。

まず、抽出部１０２は、第１データ格納部１０１に格納されている国債データから、満期日毎に１銘柄の国債を抽出するか又は１銘柄の仮想的な国債を生成するフィルタリング処理を実行し、処理結果を第２データ格納部１０３に格納する（ステップＳ１）。例えば、図７に示すような処理フローを実施する。

まず、抽出部１０２は、満期日の早いもの順に国債のデータをソートする（ステップＳ２１）。そして、抽出部１０２は、満期日が同じ銘柄の国債毎にグループ化する（ステップＳ２３）。その後、抽出部１０２は、グループ毎に、１銘柄の国債を以下で述べるようなルールに従って選択するか、以下で述べるように１銘柄の仮想的な国債を生成し、選択された又は生成された国債のデータを第２データ格納部１０３に格納する（ステップＳ２５）。

ステップＳ２５については、様々なバリエーションが考えられるが、第１のバリエーションとしては、取引量最大の国債を１銘柄選択する。これは、取引量が多いほど適正価格との誤差が小さいと推定されるためである。また、第２のバリエーションとしては、最近入札日が最も新しい国債を１銘柄選択する。これも一般的には流動性が高いためである。

さらに、第３のバリエーションとしては、満期日が同じ国債の市場価格、償還額、利子については、重み付け和により仮想的な国債を１銘柄生成する。重みについては取引量を用いる。例えば、銘柄ｉの重みをａ_iとし、銘柄ｉの市場価格をｐ_iとし、銘柄ｉの償還額をＲ_iとし、銘柄ｉの利子をｃ_iとすると、以下のように表される。

ｐは仮想的な国債の市場価格を表し、ｃは仮想的な国債の利子を表し、Ｒは仮想的な国債の償還額を表している。

なお、第１乃至第３のバリエーションについては、取引量と取引回数と残存期間（満期日までの期間）とのうち少なくともいずれかについて閾値を超えた国債について１銘柄の国債を抽出するようにしても良い。例えば、残存期間が２ヶ月未満のものを除外したり、取引量が閾値未満のものを除外したりする。

また、第４のバリエーションとしては、以下のような手順で選別するようにしても良い。
（１）残存期間のゾーン毎に、選択する国債の種類を限定する。
残存期間２年以下であれば、２年債のみ選択
残存期間２年を超えて５年以下であれば、５年債のみ選択
残存期間５年を超えて１０年以下であれば、１０年債のみ選択
残存期間１０年を超えて２０年以下であれば、２０年債のみ選択
残存期間２０年を超えて３０年以下であれば、３０年債のみ選択
残存期間３０年を超えて４０年以下であれば、４０年債のみ選択
なお、日本の国債の５年債は新規発行がないので、５年債がなければ１０年債を代替して用いるようにしても良い。また、２年債の残存日数３０日未満は対象外とする。
（２）（１）のように限定した上で、同一満期日について複数の銘柄の国債が残っていれば、最新入札日の銘柄の国債を選択する。

図６の処理の説明に戻って、行列生成部１０４は、第２データ格納部１０３に格納されているフィルタリング処理結果に含まれる国債についてのキャッシュフロー行列（ＣＦ行列）を生成し、第３データ格納部１０５に格納する（ステップＳ３）。

キャッシュフロー行列の各行は、国債の１銘柄に対応し、各列は、利子又は償還額（元本）のいずれかの支払時期に対応する。そして、キャッシュフロー行列におけるｉｊ成分には、国債の銘柄ｉについて支払時期ｊに支払われる支払額（利子又は利子及び償還額）が設定される。

例えば図８に示すようなキャッシュフロー行列が生成される。図８の例では、国債はＮ銘柄抽出された例を示しており、これらＮ銘柄の国債については全部でＭ回の支払時期がある。例えば、支払時期ｔ₁及びｔ_M-3には、銘柄Ｎの国債の利子の支払いが行われており、支払時期ｔ_Mには銘柄Ｎの国債の利子及び償還額の支払いが行われている。それ以外の支払時期については、銘柄Ｎの国債については支払いはないので、「０」が設定される。他の銘柄についても同様である。

支払時期ｔ_iについては、国債の各銘柄について、満期日−支払間隔×ｎ（ｎは自然数）により計算する。但し支払時期ｔ_iが負の値になると算出を停止する。すなわち、満期日を起点に、支払間隔分だけ順番に現在まで遡る。支払額は、各銘柄の利子そのものか、満期日であれば利子＋償還額となる。また、以下に述べる処理にて用いるので、ｔ₁乃至ｔ_Mについても第３データ格納部１０５に格納しておく。

次に、割引率算出部１０６は、第３データ格納部１０５に格納されているキャッシュフロー行列から、各満期日における割引率を算出する割引率算出処理を実行し、処理結果を第５データ格納部１０７に格納する（ステップＳ５）。割引率算出処理については、図９乃至図１３を用いて説明する。

まず、割引率算出部１０６の正則変換部１０６１は、初期フォーワードディスカウントファクター（ＦＤ）を用いて、キャッシュフロー行列を正則行列に変換する（ステップＳ３１）。

このステップでは、まず、キャッシュフロー行列の列ｊ（ｊ＝１，２，．．．，Ｍ）のうち、対応する支払時期ｔ_jが銘柄ｉ（ｉ＝１，．．．，Ｎ）の満期日Ｔ＝｛Ｔ_i｜ｉ＝１，．．．，Ｎ｝に含まれない列を特定する。図１０に模式的に示す例では、ｔ₁、ｔ₂、ｔ₅については、満期日ではないので、特定される。

そして、このように特定された列を、直後の満期日の列に、フォーワードディスカウントファクターＤを考慮した上で加算する。ｔ₁及びｔ₂の列については、ｔ₃＝Ｔ₁の列に加算し、ｔ₅の列については、ｔ₆＝Ｔ₃の列に加算する。

また、支払時期ｔにおけるキャッシュフローの現在価値を近似的に保存するように、フォーワードディスカウントファクターの逆数１／Ｄ（ｔ，Ｔ）を、ｔの列に乗じてから、Ｔの列に加算する。Ｄ（ｔ，Ｔ）は、支払時期ｔから支払時期Ｔまでのフォーワードディスカウントファクターを表している。

初期フォーワードディスカウントファクターは、例えば第４データ格納部１１３に格納されている国債複利利回りデータから算出される。国債複利利回りデータは、例えば図１１に示すようなデータであり、この国債複利利回りから割引率を、上で述べた（１）式で算出する。そして、割引率から以下の式でフォーワードディスカウントファクターＤを算出する。

ｄ（τ_t）は、現時点から時点ｔまでの期間τ_tについての割引率である。同様に、ｄ（τ_T）は、現時点から時点Ｔまでの期間τ_Tについての割引率である。

但し、図１１に示すように、離散的な割引率しか得られないので、上で述べたキャッシュフロー行列を正則行列に変換するために用いるフォーワードディスカウントファクターＤ（ｔ₁，ｔ₂）のためのｄ（τ_t1）及びｄ（τ_t2）が直接計算されない場合もある。このような場合には、算出された各時点の割引率に加えて現在の割引率を「１」と設定して、例えば三次スプライン補間等の補間方式にて割引率曲線を描き、τ_t1及びτ_t2についての割引率ｄ（τ_t1）及びｄ（τ_t2）を得る。

割引率曲線は、例えば図１２に示すような単調減少関数を表す曲線となる。図１２は、残存期間「０」（すなわち現時点）からより長い残存期間に向かって割引率の変化を表す図１２のように、国債複利利回りデータからは点がプロットされるだけであり、点の間の値については、補間計算によって算出する。図１２では、時点ｔに相当する、現在からの期間τ_tについての割引率はｄ（τ_t）であり、時点Ｔに相当する、現在からの期間τ_Tについての割引率はｄ（τ_T）である。

図１０の例では、ｔ₁の列については、Ｄ（ｔ₁，ｔ₃＝Ｔ₁）＝ｄ（τ_t1）／ｄ（τ_t3）を乗じてからＴ₁の列に加算する。さらに、ｔ₂の列については、Ｄ（ｔ₂，ｔ₃）＝ｄ（τ_t2）／ｄ（τ_t3）を乗じてからＴ₃の列に加算する。また、ｔ₅の列については、Ｄ（ｔ₅，ｔ₆＝Ｔ₃）＝ｄ（τ_t5）／ｄ（τ_t6）を乗じてからＴ₃の列に加算する。

そして、満期日以外の列を削除すれば、図１０に示すようなキャッシュフロー行列から、図１３に示すようなＮ行Ｎ列の正則行列が得られる。すなわち、抽出された銘柄の国債の支払時期が、これらの銘柄の国債のいずれかの満期日に集約された形のキャッシュフロー行列に変換される。

なお、初期フォーワードディスカウントファクターは仮の値であるから、国債複利利回りデータを用いなくても良い。例えば、図１２に模式的に示すような、１から単調に減少するような任意の曲線を用意して用いるようにしても良い。

図９の処理の説明に戻って、割引率算出部１０６は、正則行列から、割引率行列を算出し、第５データ格納部１０７に格納する（ステップＳ３３）。

国債の市場価格は、ファイナンス理論上、各キャッシュフローを割引率で割り引いて合算した値であるため、下記の関係から割引率行列ｄを算出する。なお、正則行列をＣとする。
Ｃｄ＝ｐ
ｄ＝（ｄ₁，ｄ₂，...，ｄ_N）^T
ｄ_kは、時点Ｔ_kにおける割引率である。
ｐ＝（ｐ₁，ｐ₂，...，ｐ_N）^T
ｐ_kは、時点Ｔ_kにおける市場価格である。このようなデータは第３データ格納部１０５に格納されている。

従って、以下のように変形すれば、割引率行列ｄを得ることができる。
ｄ＝Ｃ^-1ｐ

そして、割引率算出部１０６は、第５データ格納部１０７に格納されている１回前の割引率行列ｄ’と今回算出された割引率行列ｄとの差が許容範囲内であるか判断する（ステップＳ３５）。いずれの満期日における割引率の差の絶対値も閾値未満であることが要件となる。なお、初回は、この条件を満たさないものとする。この条件を満たす場合には、呼出元の処理に戻る。

一方、この条件を満たさない場合には、正則変換部１０６１は、ステップＳ３３で算出された割引率行列から算出されるフォーワードディスカウントファクターを用いて、キャッシュフロー行列を正則行列に変換する（ステップＳ３７）。変換のやり方はステップＳ３１と同様であるが、用いるフォーワードディスカウントファクターの値だけが異なる。そして処理はステップＳ３３に戻る。

このように、割引率が収束するまでステップＳ３３乃至Ｓ３７を繰り返すことになる。すなわち、市場価格を正しく算出するまで、正則行列及び割引率行列を設定し直すものである。

図６の処理の説明に戻って、スポットレート算出部１０８は、第２データ格納部１０３に格納されているデータを用いて、第５データ格納部１０７に格納されている割引率行列から、国債の各銘柄の満期日についてのスポットレートを算出し、第６データ格納部１０９に格納する（ステップＳ７）。

上で述べた（２）式と同様に、以下のような式で算出される。

但し、ｒ_iは満期日Ｔ_iにおけるスポットレートである。またｄ_iはＴ_iにおける割引率を表す。

満期日Ｔ_iについては、現在からの残存期間に変換することができる。そうすると、例えば図１４Ａに示すようなデータが得られる。図１４Ａの例では、残存期間とスポットレート（ＳＲ）とのデータが含まれている。図１４Ａのデータを、グラフにすると図１４Ｂのようになる。図１４Ｂの例では、横軸は残存期間を表し、縦軸はスポットレートを表す。このように、一部の残存期間、特に３０年から４０年の間についてはスポットレートが算出されていないことが分かる。本実施の形態では、上で述べたような処理を実施することで、以下に述べる回帰計算を実施するのに適切なデータが用意されることになる。

そうすると、曲線推定部１１０は、第６データ格納部１０９に格納されているスポットレートに対してスポットレートカーブ推定処理を実行し、処理結果を第７データ格納部１１１に格納する（ステップＳ９）。このスポットレートカーブ推定処理については、図１５乃至図１９を用いて説明する。

本実施の形態では、例えばガウス型の基底関数の重み付け和を含む回帰モデルを用いてスポットレートカーブを推定する。より具体的には、期間Ｔ_α後のスポットレートｒ_αは、以下のような回帰モデルによって表される。

ε_αは正規分布Ｎ（０，σ²）の誤差を表す。σ²は誤差の分散を表す。また、ｗ_kは、ｋ番目の基底関数の重みを表している。さらに、（４）式は、ガウス型の基底関数を表しており、（４）式において、μ_kはｋ番目の基底関数の中心値を表しており、νは、基底関数の広がりを制御するためのパラメータである。ｓ² _kは、ｋ番目の基底関数の広がりを表すパラメータである。

本実施の形態では（５）式により、ｋ＝１についての基底関数の中心値を、残存期間の最小値Ｔ₁より１０年短い期間に設定し、ｋ＝ｍについての基底関数の中心値を、残存期間の最大値Ｔ_Nよりも１０年長い期間に設定している。これは、図１５に模式的に示される。このように、基底関数の定義域を広げ、残存期間の範囲を充分に基底関数で満たすことで安定的なスポットレートカーブが得られる。特に中心値が残存期間の最小値Ｔ₁から最大値Ｔ_Nまでの範囲の外側に設定されるｋ＝１についての基底関数及びｋ＝ｍについての基底関数によって、他の基底関数についてのひずみの補償を行うことができるようになっている。なお、１０年は、一例であって、場合によっては異なる値を設定するようにしても良い。

また、残存期間の最小値Ｔ₁より１０年短い期間から残存期間の最大値Ｔ_Nよりも１０年長い期間までの範囲をｍ等分した位置に各基底関数の中心値を配置している。但し、ｍは、予め設定されるか又は以下の処理で決定される。

さらに、（６）式は、長い残存期間が設定された中心値を有する基底関数ほど、その広がりが大きくなることを表している。具体的には、ｓ_k ²とμ_kとの関係は、図１６に示すようなカーブを描く。μ_kが大きな値であれば、残存期間が長い位置に配置される基底関数に相当する。そして、図１６から分かるように、残存期間が長い位置に配置された基底関数ほど、ｓ_k ²が大きな値となる。すなわち、基底関数の広がりが大きくなる。

これは、市場の動向により、残存期間が短いところのスポットレートは、比較的（同じ取引日のスポットレートの中での残存期間の違いによる）変化が大きく、残存期間が長いところのスポットレートは変化が少ないことを考えると、基底関数として残存期間の短いところは広がりの狭いもの、残存期間の長いところは広がりの大きいものを使うのが適切であり、本実施の形態ではこれに従っている。

そして、このような回帰モデルについての確率密度関数は以下のように表される。

このような確率密度関数から罰則項を含む罰則付き対数尤度は、以下のように定義される。

なお、λは、正則化パラメータを表す。また、（８）式の第１及び第２項は回帰モデルの誤差の対数尤度を表しており、第３項は重み行列ｗが滑らかに変化するように設定された罰則項を表している。

このような罰則付き対数尤度を最大化する重み行列ｗ及びσ²を、ｗの推定値ｗ^（”＾”は上付きのハットを表す）及びσ²^（”＾”は上付きのハットを表す）の推定値とすると、以下を解くことになる。

そうすると、解は以下のように表される。

なお、スポットレート行列ｒ＝（ｒ₁，ｒ₂，．．．，ｒ_N）である。

このようにして得られる重み行列ｗ^及びσ²^で規定される一般化情報量規準の値を最小化するように、回帰モデル等のパラメータｍ、ν及びλを決定する。

なお、（１０）式の右辺第３項のｔｒは、対角成分の和を表す。

以上をまとめると、曲線推定部１１０は、図１７に示すような処理を実施する。まず、曲線推定部１１０は、ｍ、ν及びλの初期値を設定する（ステップＳ４１）。そして、曲線推定部１１０は、ｍ、ν及びλを用いて重み行列ｗ及びσ²の推定値を算出する（ステップＳ４３）。（９）式を用いて推定値を算出する。

そして、曲線推定部１１０は、重み行列ｗ及びσ²の推定値から、一般化情報量規準の値を算出する（ステップＳ４５）。（１０）式を用いて一般化情報量規準の値を算出する。

その後、曲線推定部１１０は、スポットレートカーブ推定処理の終了条件を満たすか判断する（ステップＳ４７）。使用する非線形最適化手法に応じて、一般化情報量規準の値を最小化するための終了条件が決定される。終了条件を満たす場合には呼出元の処理に戻る。

一方、処理の終了条件を満たさない場合には、曲線推定部１１０は、所定のアルゴリズムで新たなｍ、ν及びλの値を設定する（ステップＳ４９）。例えば遺伝的アルゴリズムなどよく知られた非線形最適化手法に従って、ｍ、ν及びλの値を決定する。そして処理はステップＳ４３に戻る。但し、非線形最適化手法は遺伝的アルゴリズムに限定されるものではない。

なお、ｍ、ν及びλが予め何らかの手法で設定されている場合には、図１７の処理を行わずに、それらの値をそのまま用いて（９）式で重み行列ｗ及びσ²の推定値を算出して用いる。

以上のような処理を実施することで、一般化情報量規準の値を最小化するｍ、ν及びλに加えて、その時の重み行列ｗ及びσ²も得られる。従って、下記の式及び（４）式乃至（６）式で、任意の残存期間についてのスポットレートを算出できるようになる。

なお、ｍ及びν、重み行列ｗ、σ²、各基底関数の中心位置μ_k（１≦ｋ≦ｍ）、広がりを表すパラメータｓ² _k（１≦ｋ≦ｍ）があれば、（１４）式を計算できるので、曲線推定部１１０は、これらのデータを第７データ格納部１１１に格納する。

図６の処理の説明に戻って、出力部１１２は、第７データ格納部１１１に格納されているデータそのものを出力するか、（１４）式と第７データ格納部１１１に格納されているデータから、所定の刻みで残存期間を変化させてその残存期間についてのスポットレートを算出してその計算結果に従って数値データを出力するか又は曲線自体を出力する（ステップＳ１１）。

例えば、図１８に示すようなデータを算出して、そのまま出力するようにしても良い。図１８の例では、０．０１刻みで残存期間を列挙しており、それらの残存期間のスポットレートを列挙している。

また、スポットレートカーブにすると図１９に示すような曲線が得られる。図１９の例では、横軸は残存期間を表しており、縦軸はスポットレート（ＳＲ）を表している。丸で囲われている部分は、国債の数が少ないため（図２参照）、従来技術では図３に示すように大きく変化するような曲線しか描けなかったが、図１９の例では、滑らかに変化するような曲線が描けている。

以上本技術の実施の形態を説明したが、本技術はこれに限定されるものではない。例えば、図４に示した機能ブロック図は一例であり、プログラムモジュール構成が一致しないような実装も可能である。

さらに、処理フローについても一例であって処理結果が変わらない限り、処理ステップの順番を入れ替えたり、複数の処理ステップを並列実行させるようにしても良い。

なお、上で述べた曲線推定装置である情報処理装置１００は、コンピュータ装置であって、図２０に示すように、メモリ２５０１とＣＰＵ（Central Processing Unit）２５０３とハードディスク・ドライブ（ＨＤＤ：Hard Disk Drive）２５０５と表示装置２５０９に接続される表示制御部２５０７とリムーバブル・ディスク２５１１用のドライブ装置２５１３と入力装置２５１５とネットワークに接続するための通信制御部２５１７とがバス２５１９で接続されている。オペレーティング・システム（ＯＳ：Operating System）及び本実施例における処理を実施するためのアプリケーション・プログラムは、ＨＤＤ２５０５に格納されており、ＣＰＵ２５０３により実行される際にはＨＤＤ２５０５からメモリ２５０１に読み出される。ＣＰＵ２５０３は、アプリケーション・プログラムの処理内容に応じて表示制御部２５０７、通信制御部２５１７、ドライブ装置２５１３を制御して、所定の動作を行わせる。また、処理途中のデータについては、主としてメモリ２５０１に格納されるが、ＨＤＤ２５０５に格納されるようにしてもよい。本技術の実施例では、上で述べた処理を実施するためのアプリケーション・プログラムはコンピュータ読み取り可能なリムーバブル・ディスク２５１１に格納されて頒布され、ドライブ装置２５１３からＨＤＤ２５０５にインストールされる。インターネットなどのネットワーク及び通信制御部２５１７を経由して、ＨＤＤ２５０５にインストールされる場合もある。このようなコンピュータ装置は、上で述べたＣＰＵ２５０３、メモリ２５０１などのハードウエアとＯＳ及びアプリケーション・プログラムなどのプログラムとが有機的に協働することにより、上で述べたような各種機能を実現する。

以上述べた本実施の形態をまとめると、以下のようになる。

本実施の形態に係る曲線推定方法は、（Ａ）利付債券（例えば国債）の銘柄毎に満期日と利子（利率の場合もある）と償還額と支払済み利子を含む市場価格とを格納するデータ格納部から、満期日毎に１銘柄の利付債券を抽出するステップと、（Ｂ）抽出された利付債券の銘柄についての満期日と利子と償還額とから、抽出された利付債券の銘柄毎に各支払時期の支払額を列挙した行列を生成するステップと、（Ｃ）生成された行列を正則行列に変換し、抽出された利付債券の銘柄毎の市場価格を含む行列と正則行列とから、抽出された利付債券の銘柄の各々について満期日における割引率を算出する処理を実行するステップと、（Ｄ）算出された満期日における割引率から、抽出された利付債券の銘柄の各々について満期日における金利を算出するステップと、（Ｅ）算出された満期日における金利から回帰曲線を算出するステップとを含む。

このような処理を実施することで、一部期間の金利のデータが不足する場合においても適切な曲線を得ることができるようになる。

また、上で述べたデータ格納部が、利付債券の銘柄毎に取引量又は入札日をさらに格納する場合もある。この場合、満期日毎に１銘柄の利付債券を抽出するステップにおいて、取引量又は入札日に基づき、満期日毎に１銘柄の利付債券を選択するようにしても良い。発明者の非自明な知見によれば、このような選択を実施することで、より適切な回帰曲線が得られるようになる。

さらに、上で述べた満期日毎に１銘柄の利付債券を抽出するステップにおいて、満期日が同一の利付債券の銘柄が複数存在する場合に、当該複数の銘柄の利付債券のデータから仮想的な１つの銘柄の利付債券の利子と償還額と市場価格とを算出するようにしても良い。統計的に適切なデータを生成できるようになる。

また、上で述べた割引率を算出する処理において、生成された行列において、抽出された利付債券の銘柄の満期日以外の支払時期における支払額から当該支払時期直後の満期日における支払額を算出して、抽出された利付債券の銘柄毎に満期日毎の支払額を列挙した正則行列に変換するようにしても良い。このようにすれば、抽出された利付債券の利払い時期が利付債券のいずれかの銘柄の満期日に適切に集約されるようになる。

さらに、上で述べた割引率を算出する処理が、（ｃ１）生成された行列において、抽出された利付債券の銘柄の満期日以外の支払時期における支払額から、抽出された利付債券の銘柄の満期日における第１の利率を用いて当該支払時期直後の満期日における支払額を算出して、抽出された利付債券の銘柄毎に満期日毎の支払額を列挙した正則行列に変換する処理と、（ｃ２）正則行列の逆行列と、抽出された利付債券の銘柄毎の市場価格を含む行列との積から、抽出された利付債券の銘柄の各々について満期日における第２の利率を算出する処理と、（ｃ３）第１の利率と第２の利率との差が全て所定の閾値以下となるまで、第１の利率を第２の利率で置き換えて、正則行列の変換と第２の利率の算出とを繰り返し実行する処理とを含むようにしても良い。

このような処理を実施することで得られる第２の利率は、適切な割引率となる。なお、満期日における支払額を算出する際に、第１の利率に含まれない期間についての利率については補間計算（例えば三次スプライン補間）にて算出するようにしても良い。

さらに、回帰曲線の算出において用いられる回帰モデルが、満期日における金利を、複数の基底関数の重み付き和で表すものである場合もある。その場合、複数の基底関数の中心値が、現在から満期日のうち最も早い第１の満期日までの期間より所定期間短い第１の期間から、現在から満期日のうち最も遅い第２の満期日までの期間より所定期間長い第２の期間までの期間を等分した間隔で設定される場合もある。また、複数の基底関数の各々の広がりを表すパラメータが、当該基底関数の中心値が大きいほど大きな値となるように設定される場合もある。このような回帰モデルによれば、より確からしい滑らかな回帰曲線を得られるようになる。

また、上で述べた回帰曲線の算出において、回帰曲線の算出において用いられる回帰モデルに基づく確率密度関数について規定され且つ滑らかに変化させるための罰則項を含む対数尤度を最大化し、且つ複数の基底関数の重みを含むパラメータ群の値を決定するようにしても良い。

さらに、上で述べた回帰曲線の算出において、上記パラメータ群に関連して規定される一般化情報量規準の値が最小となるように、回帰モデルにおける基底関数の中心値の間隔に関連するパラメータと基底関数の広がりを制御するパラメータと罰則項に含まれる正則パラメータとを決定するようにしても良い。以上のような処理を行うことで、適切な回帰モデルを決定できるようになる。

なお、上で述べたような処理をコンピュータに実行させるためのプログラムを作成することができ、当該プログラムは、例えばフレキシブル・ディスク、ＣＤ−ＲＯＭなどの光ディスク、光磁気ディスク、半導体メモリ（例えばＲＯＭ）、ハードディスク等のコンピュータ読み取り可能な記憶媒体又は記憶装置に格納される。

以上の実施例を含む実施形態に関し、さらに以下の付記を開示する。

（付記１）
利付債券の銘柄毎に満期日と利子と償還額と支払済み利子を含む市場価格とを格納するデータ格納部から、満期日毎に１銘柄の利付債券を抽出し、
抽出された前記利付債券の銘柄についての前記満期日と前記利子と前記償還額とから、抽出された前記利付債券の銘柄毎に各支払時期の支払額を列挙した行列を生成し、
生成された前記行列を正則行列に変換し、抽出された前記利付債券の銘柄毎の前記市場価格を含む行列と前記正則行列とから、抽出された前記利付債券の銘柄の各々について満期日における割引率を算出する処理を実行し、
算出された前記満期日における割引率から、抽出された前記利付債券の銘柄の各々について前記満期日における金利を算出し、
算出された前記満期日における金利から回帰曲線を算出する
処理を含み、コンピュータにより実行される曲線推定方法。

（付記２）
前記データ格納部が、前記利付債券の銘柄毎に取引量又は入札日をさらに格納しており、
前記満期日毎に１銘柄の利付債券を抽出する処理において、
前記取引量又は入札日に基づき、満期日毎に１銘柄の利付債券を選択する
付記１記載の曲線推定方法。

（付記３）
前記満期日毎に１銘柄の利付債券を抽出する処理において、
満期日が同一の利付債券の銘柄が複数存在する場合に、当該複数の銘柄の利付債券のデータから仮想的な１つの銘柄の利付債券の利子と償還額と市場価格とを算出する
付記１記載の曲線推定方法。

（付記４）
前記割引率を算出する処理が、
生成された前記行列において、抽出された前記利付債券の銘柄の満期日以外の支払時期における支払額から当該支払時期直後の満期日における支払額を算出して、抽出された前記利付債券の銘柄毎に前記満期日毎の支払額を列挙した正則行列に変換する
付記１乃至３のいずれか１つ記載の曲線推定方法。

（付記５）
前記割引率を算出する処理が、
生成された前記行列において、抽出された前記利付債券の銘柄の満期日以外の支払時期における支払額から、抽出された前記利付債券の銘柄の満期日における第１の利率を用いて当該支払時期直後の満期日における支払額を算出して、抽出された前記利付債券の銘柄毎に前記満期日毎の支払額を列挙した正則行列に変換し、
前記正則行列の逆行列と、抽出された前記利付債券の銘柄毎の前記市場価格を含む行列との積から、抽出された前記利付債券の銘柄の各々について満期日における第２の利率を算出し、
前記第１の利率と前記第２の利率との差が全て所定の閾値以下となるまで、前記第１の利率を前記第２の利率で置き換えて、前記正則行列の変換と前記第２の利率の算出とを繰り返し実行する
処理を含む付記１乃至３のいずれか１つ記載の曲線推定方法。

（付記６）
前記回帰曲線の算出において用いられる回帰モデルが、
前記満期日における金利を、複数の基底関数の重み付き和で表すものであり、
前記複数の基底関数の中心値が、現在から前記満期日のうち最も早い第１の満期日までの期間より所定期間短い第１の期間から、現在から前記満期日のうち最も遅い第２の満期日までの期間より前記所定期間長い第２の期間までの期間を等分した間隔で設定され、
前記複数の基底関数の各々の広がりを表すパラメータが、当該基底関数の中心値が大きいほど大きな値となるように設定される
付記１乃至５のいずれか１つ記載の曲線推定方法。

（付記７）
前記回帰曲線の算出において、
前記回帰曲線の算出において用いられる回帰モデルに基づく確率密度関数について規定され且つ滑らかに変化させるための罰則項を含む対数尤度を最大化し、且つ前記複数の基底関数の重みを含むパラメータ群の値を決定する
付記６記載の曲線推定方法。

（付記８）
前記回帰曲線の算出において、
前記パラメータ群に関連して規定される一般化情報量規準の値が最小となるように、前記回帰モデルにおける前記基底関数の中心値の間隔に関連するパラメータと前記基底関数の広がりを制御するパラメータと前記罰則項に含まれる正則パラメータとを決定する
付記７記載の曲線推定方法。

（付記９）
利付債券の銘柄毎に満期日と利子と償還額と支払済み利子を含む市場価格とを格納するデータ格納部から、満期日毎に１銘柄の利付債券を抽出し、
抽出された前記利付債券の銘柄についての前記満期日と前記利子と前記償還額とから、抽出された前記利付債券の銘柄毎に各支払時期の支払額を列挙した行列を生成し、
生成された前記行列を正則行列に変換し、抽出された前記利付債券の銘柄毎の前記市場価格を含む行列と前記正則行列とから、抽出された前記利付債券の銘柄の各々について満期日における割引率を算出する処理を実行し、
算出された前記満期日における割引率から、抽出された前記利付債券の銘柄の各々について前記満期日における金利を算出し、
算出された前記満期日における金利から回帰曲線を算出する
処理を、コンピュータに実行させるための曲線推定プログラム。

（付記１０）
利付債券の銘柄毎に満期日と利子と償還額と支払済み利子を含む市場価格とを格納するデータ格納部から、満期日毎に１銘柄の利付債券を抽出する抽出部と、
抽出された前記利付債券の銘柄についての前記満期日と前記利子と前記償還額とから、抽出された前記利付債券の銘柄毎に各支払時期の支払額を列挙した行列を生成する生成部と、
生成された前記行列を正則行列に変換し、抽出された前記利付債券の銘柄毎の前記市場価格を含む行列と前記正則行列とから、抽出された前記利付債券の銘柄の各々について満期日における割引率を算出する処理を実行する割引率算出部と、
算出された前記満期日における割引率から、抽出された前記利付債券の銘柄の各々について前記満期日における金利を算出する金利算出部と、
算出された前記満期日における金利から回帰曲線を算出する曲線算出部と、
を有する曲線推定装置。

１０１ 第１データ格納部
１０２ 抽出部
１０３ 第２データ格納部
１０４ 行列生成部
１０５ 第３データ格納部
１０６ 割引率算出部
１１３ 第４データ格納部
１０７ 第５データ格納部
１０８ スポットレート算出部
１０９ 第６データ格納部
１１０ 曲線推定部
１１１ 第７データ格納部
１１２ 出力部

Claims (10)

1. 利付債券の銘柄毎に満期日と利子と償還額と支払済み利子を含む市場価格とを格納するデータ格納部から、満期日毎に１銘柄の利付債券を抽出し、
   抽出された前記利付債券の銘柄についての前記満期日と前記利子と前記償還額とから、抽出された前記利付債券の銘柄毎に各支払時期の支払額を列挙した行列を生成し、
   生成された前記行列を正則行列に変換し、抽出された前記利付債券の銘柄毎の前記市場価格を含む行列と前記正則行列とから、抽出された前記利付債券の銘柄の各々について満期日における割引率を算出する処理を実行し、
   算出された前記満期日における割引率から、抽出された前記利付債券の銘柄の各々について前記満期日における金利を算出し、
   算出された前記満期日における金利から回帰曲線を算出する
   処理を含み、コンピュータにより実行される曲線推定方法。
2. 前記データ格納部が、前記利付債券の銘柄毎に取引量又は入札日をさらに格納しており、
   前記満期日毎に１銘柄の利付債券を抽出する処理において、
   前記取引量又は入札日に基づき、満期日毎に１銘柄の利付債券を選択する
   請求項１記載の曲線推定方法。
3. 前記満期日毎に１銘柄の利付債券を抽出する処理において、
   満期日が同一の利付債券の銘柄が複数存在する場合に、当該複数の銘柄の利付債券のデータから仮想的な１つの銘柄の利付債券の利子と償還額と市場価格とを算出する
   請求項１記載の曲線推定方法。
4. 前記割引率を算出する処理が、
   生成された前記行列において、抽出された前記利付債券の銘柄の満期日以外の支払時期における支払額から当該支払時期直後の満期日における支払額を算出して、抽出された前記利付債券の銘柄毎に前記満期日毎の支払額を列挙した正則行列に変換する
   請求項１乃至３のいずれか１つ記載の曲線推定方法。
5. 前記割引率を算出する処理が、
   生成された前記行列において、抽出された前記利付債券の銘柄の満期日以外の支払時期における支払額から、抽出された前記利付債券の銘柄の満期日における第１の利率を用いて当該支払時期直後の満期日における支払額を算出して、抽出された前記利付債券の銘柄毎に前記満期日毎の支払額を列挙した正則行列に変換し、
   前記正則行列の逆行列と、抽出された前記利付債券の銘柄毎の前記市場価格を含む行列との積から、抽出された前記利付債券の銘柄の各々について満期日における第２の利率を算出し、
   前記第１の利率と前記第２の利率との差が全て所定の閾値以下となるまで、前記第１の利率を前記第２の利率で置き換えて、前記正則行列の変換と前記第２の利率の算出とを繰り返し実行する
   処理を含む請求項１乃至３のいずれか１つ記載の曲線推定方法。
6. 前記回帰曲線の算出において用いられる回帰モデルが、
   前記満期日における金利を、複数の基底関数の重み付き和で表すものであり、
   前記複数の基底関数の中心値が、現在から前記満期日のうち最も早い第１の満期日までの期間より所定期間短い第１の期間から、現在から前記満期日のうち最も遅い第２の満期日までの期間より前記所定期間長い第２の期間までの期間を等分した間隔で設定され、
   前記複数の基底関数の各々の広がりを表すパラメータが、当該基底関数の中心値が大きいほど大きな値となるように設定される
   請求項１乃至５のいずれか１つ記載の曲線推定方法。
7. 前記回帰曲線の算出において、
   前記回帰曲線の算出において用いられる回帰モデルに基づく確率密度関数について規定され且つ滑らかに変化させるための罰則項を含む対数尤度を最大化し、且つ前記複数の基底関数の重みを含むパラメータ群の値を決定する
   請求項６記載の曲線推定方法。
8. 前記回帰曲線の算出において、
   前記パラメータ群に関連して規定される一般化情報量規準の値が最小となるように、前記回帰モデルにおける前記基底関数の中心値の間隔に関連するパラメータと前記基底関数の広がりを制御するパラメータと前記罰則項に含まれる正則パラメータとを決定する
   請求項７記載の曲線推定方法。
9. 利付債券の銘柄毎に満期日と利子と償還額と支払済み利子を含む市場価格とを格納するデータ格納部から、満期日毎に１銘柄の利付債券を抽出し、
   抽出された前記利付債券の銘柄についての前記満期日と前記利子と前記償還額とから、抽出された前記利付債券の銘柄毎に各支払時期の支払額を列挙した行列を生成し、
   生成された前記行列を正則行列に変換し、抽出された前記利付債券の銘柄毎の前記市場価格を含む行列と前記正則行列とから、抽出された前記利付債券の銘柄の各々について満期日における割引率を算出する処理を実行し、
   算出された前記満期日における割引率から、抽出された前記利付債券の銘柄の各々について前記満期日における金利を算出し、
   算出された前記満期日における金利から回帰曲線を算出する
   処理を、コンピュータに実行させるための曲線推定プログラム。
10. 利付債券の銘柄毎に満期日と利子と償還額と支払済み利子を含む市場価格とを格納するデータ格納部から、満期日毎に１銘柄の利付債券を抽出する抽出部と、
    抽出された前記利付債券の銘柄についての前記満期日と前記利子と前記償還額とから、抽出された前記利付債券の銘柄毎に各支払時期の支払額を列挙した行列を生成する生成部と、
    生成された前記行列を正則行列に変換し、抽出された前記利付債券の銘柄毎の前記市場価格を含む行列と前記正則行列とから、抽出された前記利付債券の銘柄の各々について満期日における割引率を算出する処理を実行する割引率算出部と、
    算出された前記満期日における割引率から、抽出された前記利付債券の銘柄の各々について前記満期日における金利を算出する金利算出部と、
    算出された前記満期日における金利から回帰曲線を算出する曲線算出部と、
    を有する曲線推定装置。

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