JP7548604B2 - 線分の接続方法、２階実対称テンソルの表示方法、及び、２階実対称テンソルの表示プログラム - Google Patents

Description

本発明は、線分の接続方法、２階実対称テンソルの表示方法、及び、２階実対称テンソルの表示プログラムに関する。

一般に物理問題に現れる物理量は、数学的にはテンソルを用いて記述される。テンソルのうち、０階テンソルはスカラーとよばれ、１階テンソルはベクトルとよばれる。特定の領域内の各点におけるスカラーを各点の位置及び時刻の関数として記述したものをスカラー場とよび、領域内の各点におけるベクトルを各点の位置及び時刻の関数として記述したものをベクトル場とよぶ。

空間的に２次元的な広がりをもつ領域（２次元領域）を対象とする問題においても、３次元的な広がりをもつ領域（３次元領域）を対象とする問題においても、スカラー場及びベクトル場の可視化は従来から行われてきており、多くの数値解析ツール、可視化ツールにこれらの可視化手法が様々に実装されている。

「２次元領域内での２階テンソル場」は、２階テンソルを用いて表現される物理量（例えば、連続体における歪み、応力等）に関して、空間的に２次元的広がりをもつ領域内の各点の位置と時刻との関数として表現される場である。２次元領域内での２階テンソル場については、多くの可視化手法が存在する。例えば、非特許文献１には、荷重が静的に作用する環境下において、釣合い状態にある線形弾性体の平板内に生じる応力場（２次元領域内での２階対称テンソル場）の主軸ベクトルを連結した主応力線による可視化手法が開示されている。

光弾性論文集Ｖｏｌ４，Ｎｏ．１・２，（１９８２）ｐ２０～ｐ２７，「主応力解析および主応力線追跡のためのコンピュータ方式について」（西田正孝、小谷誠、中島清士、本田節三、新家弘健、著）

２次元又は３次元の領域内で、離散的に配置された各点における応力テンソルの主軸ベクトルの方向を線分で表現する可視化手法が提案されている。また、２次元又は３次元の領域内で、離散的に配置された各点における応力テンソルの主軸ベクトルの方向の線分の長さを、それぞれの主軸ベクトルの方向の主応力値に対応させ、主応力の正負を線分に付す矢印の向きで表現する可視化手法も提案されている。

しかしながら、「３次元領域内での２階テンソル場」は、２階テンソルを用いて表現される物理量（例えば、連続体における歪み、応力等）に関して、空間的に３次元的広がりをもつ領域内の各点の位置と時刻との関数として表現される場である。３次元領域内での２階テンソル場は、領域内の１個の点に対し、２階対称テンソルの場合は６個の成分で表現され、２階非対称テンソルの場合は９個の成分で表現される。このような３次元領域内での２階テンソル場において、領域内の各点における主軸の方向や対応する主値の大きさ等の情報を可視化する手法の提案は従来乏しく、これらの情報を正しくかつ直感的に把握し易くする表示方法の提案が望まれている。

本発明は、上記の事情に鑑みて為されたもので、３次元領域内での２階実対称テンソル場において、領域内の各点での主軸の方向やそれに対応する主値の大きさ等を正しくかつ直感的に把握し易く表示するための線分の接続方法、その線分の接続方法を利用した２階実対称テンソルの表示方法、及び、２階実対称テンソルの表示プログラムを提供することを例示的課題とする。

上記の課題を解決するために、本発明の例示的側面としての線分の接続方法は、以下の（１）～（７）の工程を有する、３次元領域における線分の接続方法である。

（１）３次元領域内において任意の１点として選択された起点Ｏにおける２階実対称テンソルの３個の主値の各々に対応する主軸方向に沿って延びる３本の第１線分ＯＡ、ＯＢ、ＯＣを定義する。ここで、前記３本の第１線分は、いずれも前記起点Ｏから延びる所定の微小長さの線分であって、前記起点Ｏを中心とした右手座標系又は左手座標系のうちのいずれか一方の座標系である選択座標系を構成して３次元的に相互に直交する線分である。
（２）前記起点Ｏから延びる３本の所定の微小長さの第１線分ＯＡ’、ＯＢ’、ＯＣ’を定義する。ここで、前記第１線分ＯＡ’は前記第１線分ＯＡと同一直線上逆方向に延びる線分であり、前記第１線分ＯＢ’は前記第１線分ＯＢと同一直線上逆方向に延びる線分であり、前記第１線分ＯＣ’は前記第１線分ＯＣと同一直線上逆方向に延びる線分である。
（３）６本の前記第１線分ＯＡ～ＯＣ、ＯＡ’～ＯＣ ’の中から１本の線分を第１選択線分として選択し、その両端点のうち起点Ｏでない方の端点を終点Ｐと定義する。
（４）前記終点Ｐにおける２階実対称テンソルの３個の主値の各々に対応する主軸方向に沿って延びる３本の第２線分Ｐａ、Ｐｂ、Ｐｃを定義する。ここで、前記３本の第２線分は、いずれも前記終点Ｐから延びる所定の微小長さの線分であって、前記終点Ｐを中心とする前記選択座標系を構成して３次元的に相互に直交する線分である。
（５）前記終点Ｐから延びる３本の所定の微小長さの第２線分Ｐａ’、Ｐｂ’、Ｐｃ’を定義する。ここで、前記第２線分Ｐａ’は前記第２線分Ｐａと同一直線上逆方向に延びる線分であり、前記第２線分Ｐｂ’は前記第２線分Ｐｂと同一直線上逆方向に延びる線分であり、前記第２線分Ｐｃ’は前記第２線分Ｐｃと同一直線上逆方向に延びる線分である。
（６）６本の前記第２線分Ｐａ～Ｐｃ、Ｐａ’～Ｐｃ ’と前記第１選択線分とを用いた演算処理の結果に基づいて、６本の前記第２線分Ｐａ～Ｐｃ、Ｐａ’～Ｐｃ ’の中から前記第１選択線分に対し最も滑らかに接続可能な１本の第２線分を第２選択線分として選択し、前記第１選択線分に前記第２選択線分を接続してその余の前記第２線分を破棄する。
（７）前記第２選択線分の両端点のうち前記第１選択線分と接続された方の端点を起点Ｏと読み替え、反対側の端点を終点Ｐと読み替え、かつ、当該第２選択線分を前記第１選択線分と読み替えた後に、前記（４）～前記（６）の工程を所定の終了条件を充足するまで繰り返し実行する。

また、本発明の他の例示的側面としての２階実対称テンソルの表示方法は、上記の線分の接続方法を用いて前記所定の微小長さの前記第１選択線分と前記所定の微小長さの前記第２選択線分とを接続し、
当該接続された複数の選択線分を前記３次元領域内に描画された直線又は曲線として表示する。

また、本発明の更に他の例示的側面としての２階実対称テンソルの表示プログラムは、コンピュータに、上記の２階実対称テンソルの表示方法を実行させる。

本発明の更なる目的又はその他の特徴は、以下添付図面を参照して説明される好ましい実施形態によって明らかにされるであろう。

本発明によれば、３次元領域内での２階実対称テンソル場において、領域内の各点での主軸の方向やそれに対応する主値の大きさ等を正しくかつ直感的に把握し易く表示することができる。

本発明に係るテンソル表示プログラムＰＧの動作を実現するためのコンピュータＳの概念図である。 ３次元領域内の任意の点（起点Ｏ）を示す図である。 第１選択線分の終点Ｐを定義した状態を説明する図である。 起点Ｏから開始された第１選択線分ＯＡに対し、線分が次々と接続された様子を示す図である。 起点Ｏから６方向に直線又は曲線が延びた状態を示す図である。 点Ａを中心とする右手座標系を構成する第２選択線分群を示す図である。 実施例１にかかる３次元領域Ｖ１を示す図である。 ３次元領域Ｖ１に上下方向に１００ＭＰａの引張力を加えたときの３次元領域Ｖ１内での応力に対応する２階実対称テンソルを表示した表示例である。 ３次元領域Ｖ１に上下方向に１００ＭＰａの引張力を加えたときの３次元領域Ｖ１内での応力に対応する２階実対称テンソルを表示した他の表示例である。 ３次元領域Ｖ１に上下方向に１００ＭＰａの引張力を加えたときの３次元領域Ｖ１内での応力に対応する２階実対称テンソルを表示した更に他の表示例である。 実施例２にかかる３次元領域Ｖ２を示す図である。 ３次元領域Ｖ２に上下方向に１００ＭＰａの引張力を加えたときの３次元領域Ｖ２内での応力に対応する２階実対称テンソルを表示した表示例である。 ３次元領域Ｖ２に上下方向に１００ＭＰａの引張力を加えたときの３次元領域Ｖ２内での応力に対応する２階実対称テンソルを表示した他の表示例である。 ３次元領域Ｖ２に上下方向に１００ＭＰａの引張力を加えたときの３次元領域Ｖ２内での応力に対応する２階実対称テンソルを表示した更に他の表示例である。 実施例３にかかる３次元領域Ｖ３を示す図である。 ３次元領域Ｖ３に上下方向に１００ＭＰａの引張力を加えたときの３次元領域Ｖ３内での応力に対応する２階実対称テンソルを表示した表示例である。

［実施形態１］
以下、本発明の実施形態１に係る２階実対称テンソルの表示プログラム（以下、テンソル表示プログラムという。）ＰＧについて図面を参照しつつ説明する。図１は、このテンソル表示プログラムＰＧの動作を実現するためのコンピュータＳの概念図である。このテンソル表示プログラムＰＧは、以下に説明する（工程１）～（工程７）を含む２階実対称テンソルの表示方法（以下、テンソル表示方法という。）をコンピュータＳに実行させるものである。テンソル表示方法は、（工程１）～（工程７）に説明する線分の接続方法に基づき接続された線分をコンピュータＳの画面Ｄ上に表示することにより実現される。

コンピュータＳは、その主要部としての演算処理部（ＣＰＵ）２とメモリ４とを有している。メモリ４は、記憶媒体であり、テンソル表示プログラムＰＧの他、各種データや設定項目がその内部にデータとして格納される。テンソル表示プログラムＰＧは、もちろん外部記憶装置（例えば、可搬性のストレージやクラウドサーバ等。）に格納されていてもよいし、当初からコンピュータＳ内のメモリ４に格納されていてもよい。

ＣＰＵ２は、コンピュータＳの主要部を構成する演算装置である。テンソル表示プログラムＰＧが起動することにより、その動作指令に基づき、ＣＰＵ２がテンソル表示方法を実行する。

テンソル表示方法は、３次元領域内の各点から延びる所定の微小長さの線分を次々と接続する線分の接続方法を用いている。３次元領域内の各点は、３次元領域を所定の微小領域に分割した場合の、各微小領域に対応する点である。
したがって、微小長さの線分は、隣接する２個の微小領域内の２個の点を接続する線分である。

ここで、３次元領域は、３次元空間内に物理的に存在する立体物を意味し、その形状は問わない。所定の微小領域は概念上極めて小さく分割された立体形状であり、所定の微小長さは概念上極めて短い長さである。所定の微小長さは有限の長さであり、この長さは、演算処理の都合に応じて設定される。一般に、短くすれば演算精度は向上するが演算処理量と演算処理負荷が大きくなり、長くすれば演算精度は低下するが演算処理量と演算処理負荷が小さくなる。

図２は、３次元領域内の任意の点Ｏを示す図である。３次元領域の形状は特に限定がなく、例えば立方体、円柱、三角錐、球等でもよく、その他の形状を備えた立体形状であってもよい。点Ｏは、演算処理開始のために任意に選択された点である。そのため、最初に選択された点を、特に起点Ｏと呼ぶこととする。起点Ｏは、３次元領域内の点であれば、どの位置に存在する点でもよく、演算処理を実行する者（以下、ユーザという。）の判断に基づいて選択される。

（工程１）起点Ｏにおける２階実対称テンソルの３個の主応力値（主値）の各々に対応する主軸ベクトル方向（主軸方向）に沿って延びる３本の第１線分ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ（以下、第１線分ＯＡ～ＯＣという。）を定義する（図２参照）。ここで、３本の第１線分は、いずれも起点Ｏから延びる所定の微小長さの線分であって、起点Ｏを中心とした右手座標系又は左手座標系のうちのいずれか一方の座標系である選択座標系を構成して３次元的に相互に直交する線分である。

図２において、第１線分ＯＡ～ＯＣは３次元空間内で相互に直交する方向に延びる線分であり、その方向は起点Ｏにおける主軸ベクトル方向である。第１線分ＯＡ～ＯＣのいずれが第１主軸ベクトル方向であるか、第２主軸ベクトル方向であるか、第３主軸ベクトル方向であるかを問わない。第１線分ＯＡ～ＯＣはいずれも有限長さの線分であり、その長さは所定の微小長さである。なお、本実施形態１では、選択座標系が右手座標系であり、第１線分ＯＡ～ＯＣが、この順序において右手座標系を構成する場合について説明する。選択座標系は右手座標系に限定されず、左手座標系であってもよい。

（工程２）次に、起点Ｏから延びる３本の所定の微小長さの第１線分ＯＡ’、ＯＢ’、ＯＣ’（以下、第１線分ＯＡ’～ＯＣ ’という。）を定義する。ここで、第１線分ＯＡ’は第１線分ＯＡと同一直線上逆方向に延びる線分であり、第１線分ＯＢ’は第１線分ＯＢと同一直線上逆方向に延びる線分であり、第１線分ＯＣ’は第１線分ＯＣと同一直線上逆方向に延びる線分である。これにより、図２に示すように、起点Ｏを中心として６軸方向に延びる６本の第１線分ＯＡ～ＯＣ、ＯＡ’～ＯＣ’が定義される。点Ａ～Ｃ及びＡ’～Ｃ’はいずれも、各々の第１線分の端点（起点Ｏでない方の点）である。

（工程３）６本の第１線分ＯＡ～ＯＣ、ＯＡ’～ＯＣ ’の中から１本の線分を第１選択線分として選択し、その両端点のうち起点Ｏでない方の端点を終点Ｐと定義する。本実施形態１では、第１線分ＯＡを第１選択線分として選択した場合について説明する。したがって、点Ａが終点Ｐとして定義される。

なお、第１選択線分としていずれの第１線分を選択するかはユーザの判断に基づく。起点Ｏに対応して第１選択線分として第１線分ＯＡを選択した場合は点Ａが終点Ｐであるが、もちろん第１選択線分として他の第１線分（ＯＢ～ＯＣ、ＯＡ’～ＯＣ ’）を選択した場合は、他の点（Ｂ～Ｃ、Ａ’～Ｃ ’）が終点Ｐとなる。また、後述するように、線分の接続を繰り返すごとに、その度に選択される第１選択線分の端点が終点Ｐとして定義される。図３は、点Ａを終点Ｐと定義した状態を説明する図である。

（工程４）終点Ｐ（点Ａ）における２階実対称テンソルの３個の主応力値（主値）の各々に対応する主軸ベクトル方向（主軸方向）に沿って延びる３本の第２線分Ｐａ、Ｐｂ、Ｐｃ（以下、Ｐａ～Ｐｃという。）を定義する（図３参照）。ここで、３本の第２線分は、いずれも終点Ｐから延びる所定の微小長さの線分であって、終点Ｐを中心とする選択座標系を構成して３次元的に相互に直交する線分である。

なお、ここで、終点Ｐ＝点Ａであるので、第２線分Ｐａ～Ｐｃは、第２線分Ａａ～Ａｃと表すことができる。図３において、第２線分Ａａ～Ａｃは３次元空間内で相互に直交する方向に延びる線分であり、その方向は点Ａにおける主軸ベクトル方向である。第２線分Ａａ～Ａｃのいずれが第１主軸ベクトル方向であるか、第２主軸ベクトル方向であるか、第３主軸ベクトル方向であるかを問わない。第２線分Ａａ～Ａｃはいずれも有限長さの線分であり、その長さは所定の微小長さである。なお、本実施形態１では、選択座標系は右手座標系であるので、第２線分Ａａ～Ａｃは、この順序において右手座標系である。

（工程５）終点Ｐ（点Ａ）から延びる３本の所定の微小長さの第２線分Ｐａ’、Ｐｂ’、Ｐｃ’（以下、Ｐａ’～Ｐｃ’という。）を定義する。ここで、第２線分Ｐａ’は第２線分Ｐａと同一直線上逆方向に延びる線分であり、第２線分Ｐｂ’は第２線分Ｐｂと同一直線上逆方向に延びる線分であり、第２線分Ｐｃ’は第２線分Ｐｃと同一直線上逆方向に延びる線分である。なお、第２線分Ｐａ’～Ｐｃ’は第２線分Ａａ’～Ａｃ’とも表すことができる。これにより、図３に示すように、点Ａを中心として６軸方向に延びる６本の第２線分Ａａ～Ａｃ、Ａａ’～Ａｃ’が定義される。点ａ～ｃ及びａ’～ｃ’はいずれも、各々の第２線分の端点（点Ａでない方の点）である。

（工程６）６本の第２線分Ａａ～Ａｃ、Ａａ’～Ａｃ ’と第１選択線分ＯＡとを用いた演算処理の結果に基づいて、６本の第２線分Ａａ～Ａｃ、Ａａ’～Ａｃ ’の中から第１選択線分ＯＡに対し最も滑らかに接続可能な１本の第２線分を第２選択線分として選択し、第１選択線分に第２選択線分を接続してその余の第２線分を破棄する。本実施形態１においては、第２選択線分がＡａである場合について説明する。すなわち、第１選択線分ＯＡに第２選択線分Ａａを接続し、その余の第２線分Ａａ、Ａｃ、Ａａ’～Ａｃ ’を破棄する。ここで、その余の第２線分を破棄するとは、第２選択線分以外の第２線分を第１選択線分に対して接続しないとの意味である。

なお、（工程６）の具体的なプロセス、すなわち、どのような演算処理によって第１選択線分に対し最も滑らかに接続可能な１本の第２線分を第２選択線分として選択するかの具体例については、後述する。

（工程７）第２選択線分Ａａの両端点のうち第１選択線分と接続された方の端点（点Ａ）を新たに起点Ｏと読み替え、反対側の端点（点ｂ）を新たに終点Ｐと読み替え、第２選択線分Ａａを新たに第１選択線分ＯＡと読み替える。その後に、（工程４）～（工程６）の工程を所定の終了条件を充足するまで繰り返し実行する。第１選択線分に第２選択線分を接続し、その後に第２選択線分を新たに第１選択線分と読み替える。新たな第１選択線分に対し、接続すべき新たな第２選択線分を工程６の演算処理に基づいて選択し、選択された新たな第２選択線分を新たな第１選択線分に接続する。新たな第２選択線分が接続されるごとに、その新たな第２選択線分を更に新たな起点Ｏから更に新たな終点Ｐまでの更に新たな第１選択線分であると読み替え、更に新たな第２選択線分を選択する。

このように、（工程４）～（工程６）を繰り返すことにより、起点Ｏから開始された微小長さの線分が次々と接続され、直線又は曲線を形成する。図４は、起点Ｏから開始された第１選択線分ＯＡに対し、（工程４）～（工程６）を繰り返すことにより選択された線分Ａａ、線分ａｘ１、線分ｘ１ｘ２、線分ｘ２ｘ３・・・が次々と接続された様子を示す図である。（工程４）～（工程６）を繰り返すことにより、最初に選択した第１選択線分ＯＡに対し、滑らかに接続された直線又は曲線を形成することができる。図４に示すように、微小長さの線分同士が接続されて形成された直線又は曲線をコンピュータＳの画面Ｄに表示することで、テンソル表示方法が実現する。なお、所定の終了条件については、後述する。

（工程６の具体例）
６本の第２線分Ａａ～Ａｃ、Ａａ’～Ａｃ ’の中から第１選択線分ＯＡに対し最も滑らかに接続可能な１本の第２線分を第２選択線分として選択するための演算処理の具体的例について説明する。
６本の第２線分Ａａ～Ａｃ、Ａａ’～Ａｃ ’の中から任意の１本の第２線分（ここでは、第２線分Ａａとする。）を選択する。第１選択線分ＯＡと第２線分Ａａとの方向余弦値ＣＳａを算出する。次に他の第２線分Ａｂを選択し、第１選択線分ＯＡと第２線分Ａｂとの方向余弦値ＣＳｂを算出する。このように６本全ての第２線分Ａａ～Ａｃ、Ａａ’～Ａｃ ’について第１選択線分ＯＡとの方向余弦値ＣＳａ～ＣＳｃ、ＣＳａ’～ＣＳｃ’を各々算出する。これら６個の方向余弦値ＣＳａ～ＣＳｃ、ＣＳａ’～ＣＳｃ’のうち最大のものに対応する第２線分を第２選択線分として選択する。例えば、方向余弦値ＣＳａが６個の方向余弦値のうち最大であるとき、第２選択線分として第２線分Ａａを選択する。

第１選択線分との為す角度が最も鈍角となる（すなわち、第１選択線分と最も滑らかに接続される。）第２線分を第２選択線分として選択することが可能となる。

（所定の終了条件）
次に、（工程７）において、（工程４）～（工程６）の繰り返しを停止し、線分の接続を終了するための所定の終了条件について説明する。例えば、ユーザにより予め線分の接続数、すなわち（工程４）～（工程６）の演算処理の繰り返し数が１０００や１００００等の有限に設定されている場合、その設定数に到達したときに線分の接続を終了する。また、ユーザにより演算処理の途中で停止スイッチが押され、演算処理の中断指令が入力されたときも、線分の接続を終了する。線分の接続を終了するとは、工程の実行を停止することを意味する。

（主応力値（主値）の表示）
なお、３次元領域内の各点における主軸ベクトル方向に延びる微小長さの線分は、各々対応する主応力値（主値）を有している。その主応力値（主値）に応じて微小長さの線分を色分け表示することで、主軸ベクトルの方向のみならずその大きさも直感的に把握し易く画面Ｄに表示することが可能である。主応力値（主値）の大きさや正負に応じて、所定の数値範囲ごとに分類して色分けすれば、ユーザが各点の主応力値（主値）を容易に把握することができる。

本実施形態１では、３次元領域内の各点における第１主軸ベクトル同士、第２主軸ベクトル同士、第３主軸ベクトル同士が必ずしも接続されるものではない。本実施形態１によれば、ユーザが滑らかと感じて直感的に方向を把握し易い主軸ベクトル方向の線分同士が接続される。また、複数の線分が接続された結果としての直線又は曲線は、線上の途中で色が変化することとなる。

［実施形態２］
上記実施形態１においては、第１選択線分として第１線分ＯＡを選択した場合について説明した。実施形態２では、６本の第１線分ＯＡ～ＯＣ、ＯＡ’～ＯＣ’のすべてを第１選択線分として選択する。これにより、図５に示すように、第１線分ＯＡ～ＯＣ、ＯＡ’～ＯＣ’のすべてについて第２選択線分が順次接続され、起点Ｏから６方向に直線又は曲線が延びることとなる。起点Ｏから６方向に延びる、直感的に把握し易い２階実対象テンソルの表示が可能となる。なお、上記に説明した手順以外は、実施形態１と同様であるので説明を省略する。

［実施形態３］
上記実施形態１においては、第１選択線分としてユーザの判断に基づき第１線分ＯＡを選択した場合について説明した。実施形態３では、起点Ｏにおける２階実対称テンソルの３個の主応力値（主値）のうちの２個の主応力値（主値）のみが一致しその余の主応力値（主値）が一致しない場合について説明する。

例えば、起点Ｏにおける３個の主応力値（主値）ｓＡ、ｓＢ、ｓＣ（主応力値（主値）ｓＡ、ｓＢ、ｓＣは各々第１線分ＯＡ、ＯＢ、ＯＣに対応。）のうち主応力値（主値）ｓＡと主応力値（主値）ｓＢとが一致する値であって、主応力値（主値）ｓＣのみが異なる値であるとき、ユーザの判断に基づき第１選択線分を選択しない。主応力値（主値）ｓＡに対応する第１線分ＯＡや主応力値（主値）ｓＢに対応する第１線分ＯＢを第１選択線分として選択せず、主応力値（主値）ｓＣに対応する第１線分ＯＣ又はその同一直線上の第１線分ＯＣ’を第１選択線分として選択する。なお、上記に説明した手順以外は、実施形態１と同様であるので説明を省略する。

［変形例１］
（工程６の他の具体例１）
６本の第２線分Ａａ～Ａｃ、Ａａ’～Ａｃ ’の中から第１選択線分ＯＡに対し最も滑らかに接続可能な１本の第２線分を第２選択線分として選択するための演算処理の他の具体例（他の具体例１）について説明する。
まず、第１選択線分（ここでは、第１線分ＯＡ。）に対応する主応力値（主値）（ここでは、主応力値（主値）ｓＡ。）と、第２線分Ａａ～Ａｃに各々対応する（終点Ｐにおける）主応力値（主値）ｓａ～ｓｃとの差分値ｄａ～ｄｃを算出する。差分値ｄａ～ｄｃの中から絶対値が最小のもの（例えば、ｄａ。）を選択し、その絶対値が最小である差分値（差分値ｄａ）に対応する第２線分を候補第２線分（例えば、第２線分Ａａ）と定義する。

候補第２線分（第２線分Ａａ）と第１選択線分（第１線分ＯＡ）との方向余弦値（方向余弦値ＣＳａ）を算出する。候補第２線分と同一直線上で逆方向に延びる第２線分（第２線分Ａａ’）と第１選択線分（第１線分ＯＡ）との方向余弦値（方向余弦値ＣＳａ’）を算出する。２つの方向余弦値（方向余弦値ＣＳａ、ＣＳａ’）のうち値の大きい方の方向余弦値（例えば、方向余弦値ＣＳａ）に対応する第２線分（第２線分Ａａ）を第２選択線分として選択する。

第１選択線分に対応する主応力値（主値）との差分が最も小さい第２線分の中から、第１選択線分との為す角度が最も鈍角となる（すなわち、第１選択線分と最も滑らかに接続される。）第２線分を第２選択線分として選択することが可能となる。なお、上記に説明した手順以外は、実施形態１と同様であるので説明を省略する。

［変形例２］
（工程６の他の具体例２）
６本の第２線分Ａａ～Ａｃ、Ａａ’～Ａｃ ’の中から第１選択線分ＯＡに対し最も滑らかに接続可能な１本の第２線分を第２選択線分として選択するための演算処理の更に他の具体例（他の具体例２）について説明する。
まず、６本の第２線分Ａａ～Ａｃ、Ａａ’～Ａｃ ’の中から任意の３本の第２線分を選択する。この３本の第２線分は、終点Ｐ（点Ａ）を中心とする選択座標系（ここでは、右手座標系。）を構成する３本であり、この３本１組の第２線分を１組の第２選択線分群と定義する。

図６は、点Ａを中心とする右手座標系を構成する第２選択線分群を示す図である。例えば、第２線分の終点が端点ａ、ｂ、ｃである場合の第２選択線分群は、順に第２線分Ａａ、Ａｂ、Ａｃで構成される１組（図６中ではＡ－ａｂｃ。）、順に第２線分Ａｂ、Ａｃ、Ａａで構成される１組（図６中ではＡ－ｂｃａ。）、順に第２線分Ａｃ、Ａａ、Ａｂで構成される１組（図６中ではＡ－ｃａｂ。）の合計３組である。

同様に、第２線分の終点が端点ｂ、ａ’、ｃである場合の３組（図６中ではＡ－ｂａ’ｃ、Ａ－ａ’ｂｃ、Ａ－ｃｂａ’。）、端点ａ’、ｂ’、ｃである場合の３組（図６中ではＡ－ａ’ｂ’ｃ、Ａ－ｂ’ｃａ’、Ａ－ｃａ’ｂ’。）、端点ａ、ｃ、ｂ’である場合の３組（図６中ではＡ－ａｃｂ’、Ａ－ｃｂ’ａ、Ａ－ｂ’ａｃ。）、端点ｂ、ａ、ｃ’である場合の３組（図６中ではＡ－ｂａｃ’、Ａ－ａｃ’ｂ、Ａ－ｃ’ｂａ。）、端点ａ’、ｂ、ｃ’である場合の３組（図６中ではＡ－ａ’ｂｃ’、Ａ－ｂａ’ｃ’、Ａ－ｃ’ ａ’ｂ。）、端点ａ’、ｃ’、ｂ’である場合の３組（図６中ではＡ－ａ’ｃ’ｂ’、Ａ－ｃ’ｂ’ ａ’、Ａ－ｂ’ａ’ｃ’。）、端点ａ、ｂ’、ｃ’である場合の３組（図６中ではＡ－ａｂ’ｃ’、Ａ－ｂ’ｃ’ａ、Ａ－ｃ’ ａｂ’。）と合わせて、合計２４組の第２選択線分群を定義する。

第１選択線分（ここでは、第１線分ＯＡ。）を含み起点Ｏを中心とした選択座標系（ここでは、右手座標系。）を構成する３本の第１線分を１組の第１選択線分群（ここでは、第１線分ＯＡ、ＯＢ、ＯＣで構成される１組。）として選択する。なお、この第１選択線分群の選択が初回（すなわち、（工程６）の実行が初回。）である場合には、第１選択線分ＯＡを含み右手座標系を構成する第１選択線分群をユーザが任意に選択してよい（例えば、第１線分ＯＡ、ＯＣ、ＯＢ’で構成される１組であってもよい。）。第１選択線分群の選択が２回目以降（すなわち、（工程６）の実行が２回目以降。）である場合については、後述する。

１組の第１選択線分群と２４組の第２選択線分群の各々との方向余弦値を算出する。方向余弦値の算出は、第１選択線分群と第２選択線分群との間で、対応する線分同士で行う。例えば、第１選択線分群がＯＡ、ＯＢ、ＯＣで構成されるものであり、第２選択線分群がＡａ、Ａｂ、Ａｃで構成されるものである場合、第１線分ＯＡと第２線分Ａａとの方向余弦値、第１線分ＯＢと第２線分Ａｂとの方向余弦値、第１線分ＯＣと第２線分Ａｃとの方向余弦値を各々算出する。

このようにして１組の第２選択線分群に対して算出した３個の方向余弦値を合計した合計値を合計指標値と定義する。１組の第１選択線分群と１組の第２選択線分群との間での演算処理で１つの合計指標値が算出される。２４組の第２選択線分群について演算処理を行うことで、２４個の合計指標値が算出される。２４個の合計指標値のうち最大のものに対応する第２選択線分群を接続線分群と定義する。

接続線分群を構成する３本の第２線分のうち、第１選択線分（ここでは、第１線分ＯＡ。）に対応する第２線分（ここでは、Ａａ。）を第２選択線分として選択する。なお、第１選択線分群の選択が２回目以降（すなわち、（工程６）の実行が２回目以降。）である場合は、ユーザが任意に第１選択線分群を選択するのでなく、接続線分群を第１選択線分群と読み替えて（工程６）を実行する。また、上記に説明した手順以外は、実施形態１と同様であるので説明を省略する。

［変形例３］
（他の所定の終了条件１）
（工程７）において、（工程４）～（工程６）の繰り返しを停止し、線分の接続を終了するための他の所定の終了条件（他の所定の終了条件１）について説明する。（工程４）～（工程６）を繰り返した結果、定義された終点Ｐが３次元領域の表面、すなわち立体内部でなく、立体の表面積を構成するいずれかの面の一部に到達したとき、又は３次元領域の領域外（立体外部）に到達したときに、線分の接続を終了する。なお、上記に説明した手順以外は、実施形態１と同様であるので説明を省略する。

［変形例４］
（所定の終了条件２）
（工程７）において、（工程４）～（工程６）の繰り返しを停止し、線分の接続を終了するための更に他の所定の終了条件（他の所定の終了条件２）について説明する。（工程４）において、終点Ｐにおける３個の主応力値（主値）ｓａ～ｓｃのうちの２個の主応力値（主値）（ここでは、主応力値（主値）ｓａ、ｓｂ。）のみが一致しその余の主応力値（主値）（ここでは、主応力値（主値）ｓｃ。）が一致しない場合には、６本の第２線分Ｐａ～Ｐｃ、Ｐａ’～Ｐｃ ’の全てを定義しない。その代わりに、その余の主応力値（主値）ｓｃに対応する第２線分α（ここでは、第２線分Ａｃ。）と、その第２線分αと同一直線上逆方向に延びる第２線分β（ここでは、第２線分Ａｃ’。）と第２線分γとを定義する。ここで、第２線分γは、終点Ｐ（点Ａ）を通り第２線分αに直交する平面ＰＬ上に定義される所定の微小長さの線分であって、終点Ｐ（点Ａ）を起点として放射状に延びる複数の線分のうち第１選択線分との方向余弦値が最大となるものである。

その余の主応力値（主値）ｓｃに対応する第２線分α、第２線分αと同一直線上逆方向の第２線分β、第２線分γの３本の第２線分と第１選択線分（ここでは、ＯＡ）とを用いて、（工程６）を実行する。（工程６）の実行の結果、第２選択線分として選択された線分が第２線分γであった場合に、線分の接続を終了する。なお、上記に説明した手順以外は、実施形態１と同様であるので説明を省略する。

［変形例５］
（所定の終了条件３）
（工程７）において、（工程４）～（工程６）の繰り返しを停止し、線分の接続を終了するための更に他の所定の終了条件（他の所定の終了条件３）について説明する。（工程７）において、新たに起点Ｏとされた点における２階実対称テンソルの３個の主応力値（主値）がすべて一致した場合、線分の接続を終了する。また、（工程１）の開始前に最初にユーザが選択した起点Ｏにおける２階実対称テンソルの３個の主応力値（主値）がすべて一致した場合も、線分の接続を終了する（この場合、線分の接続方法を開始しない。）。なお、上記に説明した手順以外は、実施形態１と同様であるので説明を省略する。

［変形例６］
（所定の終了条件４）
（工程７）において、（工程４）～（工程６）の繰り返しを停止し、線分の接続を終了するための更に他の所定の終了条件（他の所定の終了条件４）について説明する。（工程３）において定義された終点Ｐにおける２階実対称テンソルの３個の主応力値（主値）がすべて一致した場合、線分の接続を終了する。なお、上記に説明した手順以外は、実施形態１と同様であるので説明を省略する。

［変形例７］
（所定の終了条件５）
（工程７）において、（工程４）～（工程６）の繰り返しを停止し、線分の接続を終了するための更に他の所定の終了条件（他の所定の終了条件４）について説明する。（工程７）において読み替えたことにより生成された複数の起点Ｏのうちいずれか２個の距離が前記所定の微小長さ以下となった場合に線分の接続を終了する。換言すれば、（工程７）において新たに起点Ｏとされた点が、過去に起点Ｏであった複数の点のうちのいずれかと線分の長さ（所定の微小長さ）以下の距離となった場合（過去に起点Ｏであった複数の点のうちのいずれかを中心とする半径微小長さの球体内部に存在した場合）に、線分の接続を終了する。

なお、過去に起点Ｏであった複数の点は、（工程７）において新たに起点Ｏとされた点を含む線分に接続されている複数の線分のいずれかに含まれる点である。なお、上記に説明した手順以外は、実施形態１と同様であるので説明を省略する。

［実施例１］
図７は、実施例１にかかる３次元領域Ｖ１を示す図である。この実施例１では、３次元領域Ｖ１は、１辺が１０ｃｍの立方体形状であって、その内部中心に直径３ｃｍの空洞Ｎを有する立体形状である。

３次元領域Ｖ１のヤング率＝２００ＧＰａ、ポアソン比＝０．２５、３次元領域Ｖ１を所定の微小領域（四面体領域）に分割したときの分割数を９４９４７１６０個としている。所定の微小領域の１辺の長さは最大値で０．９２ｍｍ、最小値で０．０７５ｍｍであり、平均値で０．５ｍｍである。各々の微小領域の１辺の長さの最大値は、各々の微小領域における線分の長さ（所定の微小長さ）の最大値である。

図７に示すように、３次元領域Ｖ１に上下方向に１００ＭＰａの引張力を加えたときの２階実対称テンソルの状態を図８に示す。図８は、演算処理開始における最初の起点Ｏの位置を、３次元領域Ｖ１の１辺を８等分する格子状の位置（ただし、３次元領域Ｖ１の表面は除く。）に配置したときの表示例である。（工程６）としては実施形態１で説明した方法を用いている。また、各点における主応力値（主値）について、図８に示すように、－２．０×１０^６Ｐａ未満（負の値は圧縮を示す。）の範囲値から２．０×１０^６Ｐａ以上（正の値は引張を示す。）の範囲値までを黒から白までの複数階調の色分けで表示している。

なお、同じ演算処理結果を矢視方向を変えて図９及び図１０に示す。図８～図１０は同一の演算処理結果を表示する図であるが、図中の右上に参考となるＸＹＺ座標を示すように、各々の矢視方向が異なる。また、図８～１０と、後述する図１２～１４、１６は、グレースケールで表示しているため、黒から白の階調表示で表されているが、これらの図面をカラー表示することももちろん可能である。その場合は、例えば青から赤の複数色で各点における主応力値（主値）を色分け表示することが可能であり、一層直感的に把握し易い表示図面とすることができる。

［実施例２］
図１１は、実施例２にかかる３次元領域Ｖ２を示す図である。この実施例２では、３次元領域Ｖ２は、１辺が１０ｃｍの立方体形状であり、その底面に頂点Ｑを中心とする半径２ｃｍの扇形の亀裂Ｑ１を有している。

３次元領域Ｖ２のヤング率＝２００ＧＰａ、ポアソン比＝０．２５、３次元領域Ｖ２を所定の微小領域（四面体領域）に分割したときの分割数を６２８１８０５５個としている。所定の微小領域の１辺の長さは最大値で１．０５ｍｍ、最小値で０．１９ｍｍであり、平均値で０．５７ｍｍである。各々の所定の微小領域の１辺の長さの最大値は、各々の微小領域における線分の長さ（所定の微小長さ）の最大値である。

図１１に示すように、３次元領域Ｖ２に上下方向に１００ＭＰａの引張力を加えたときの２階実対称テンソルの状態を図１２に示す。図１２は、演算処理開始における最初の起点Ｏの位置を、３次元領域Ｖ２の１辺を８等分する格子状の位置（ただし、３次元領域Ｖ２の表面は除く。）に配置したときの表示例である。（工程６）としては実施形態１で説明した方法を用いている。また、各点における主応力値（主値）について、図１２に示すように、０Ｐａ未満（負の値は圧縮を示す。）の範囲値から１．５×１０^８Ｐａ以上の範囲値（正の値は引張を示す。）までを黒から白までの複数階調の色分けで表示している。

なお、同じ演算処理結果であるが、水平面内（ＸＹ平面内）を主軸ベクトル方向とする線分を非表示とした表示例を図１３及び図１４に示す。図１３、図１４は同一の演算処理結果を表示する図であるが、図中の右上に参考となるＸＹＺ座標を示すように、各々の矢視方向が異なる。図１４では、各点における主応力値（主値）を、－１．０×１０^８Ｐａ未満の範囲値（負の値は圧縮を示す。）から１．０×１０^８Ｐａ以上の範囲値（正の値は引張を示す。）までを黒から白までの複数階調の色分けで表示している。

［実施例３］
図１５は、実施例３にかかる３次元領域Ｖ３を示す図である。この実施例３では、３次元領域Ｖ３は、１辺が１０ｃｍの立方体形状であり、その底面に頂点Ｑと頂点Ｒとを含む辺に平行に、頂点Ｑから幅２ｃｍの帯状の亀裂Ｑ２を有している。

３次元領域Ｖ３のヤング率＝２００ＧＰａ、ポアソン比＝０．２５、３次元領域Ｖ３を所定の微小領域（四面体領域）に分割したときの分割数を６２８１８０５５個としている。所定の微小領域の１辺の長さは最大値で１．０５ｍｍ、最小値で０．１９ｍｍであり、平均値で０．５７ｍｍである。各々の所定の微小領域の１辺の長さの最大値は、各々の微小領域における線分の長さ（所定の微小長さ）の最大値である。

図１５に示すように、３次元領域Ｖ３に上下方向に１００ＭＰａの引張力を加えたときの２階実対称テンソルの状態を図１６に示す。図１６は、演算処理開始における最初の起点Ｏの位置を３次元領域Ｖ３の１辺を８等分する格子状の位置（ただし、３次元領域Ｖ３の表面は除く。）に配置したときの表示例である。（工程６）としては実施形態１で説明した方法を用いている。また、各点における主応力値（主値）について、図１６に示すように、０Ｐａ未満（負の値は圧縮を示す。）の範囲値から１．５×１０^８Ｐａ以上（正の値は引張を示す。）の範囲値までを黒から白までの複数階調の色分けで表示している。

以上、本発明の好ましい実施形態について説明したが、本発明は、これらに限定されるものでなく、その要旨の範囲内で様々な変形や変更が可能である。例えば、本発明は、以下の趣旨を含むものとする。

［趣旨１］
以下の（１）～（７）の工程を有する、３次元領域における線分の接続方法。
（１）３次元領域内において任意の１点として選択された起点Ｏにおける２階実対称テンソルの３個の主値の各々に対応する主軸方向に沿って延びる３本の第１線分ＯＡ、ＯＢ、ＯＣを定義する。ここで、前記３本の第１線分は、いずれも前記起点Ｏから延びる所定の微小長さの線分であって、前記起点Ｏを中心とした右手座標系又は左手座標系のうちのいずれか一方の座標系である選択座標系を構成して３次元的に相互に直交する線分である。
（２）前記起点Ｏから延びる３本の所定の微小長さの第１線分ＯＡ’、ＯＢ’、ＯＣ’を定義する。ここで、前記第１線分ＯＡ’は前記第１線分ＯＡと同一直線上逆方向に延びる線分であり、前記第１線分ＯＢ’は前記第１線分ＯＢと同一直線上逆方向に延びる線分であり、前記第１線分ＯＣ’は前記第１線分ＯＣと同一直線上逆方向に延びる線分である。
（３）６本の前記第１線分ＯＡ～ＯＣ、ＯＡ’～ＯＣ ’の中から１本の線分を第１選択線分として選択し、その両端点のうち起点Ｏでない方の端点を終点Ｐと定義する。
（４）前記終点Ｐにおける２階実対称テンソルの３個の主値の各々に対応する主軸方向に沿って延びる３本の第２線分Ｐａ、Ｐｂ、Ｐｃを定義する。ここで、前記３本の第２線分は、いずれも前記終点Ｐから延びる所定の微小長さの線分であって、前記終点Ｐを中心とする前記選択座標系を構成して３次元的に相互に直交する線分である。
（５）前記終点Ｐから延びる３本の所定の微小長さの第２線分Ｐａ’、Ｐｂ’、Ｐｃ’を定義する。ここで、前記第２線分Ｐａ’は前記第２線分Ｐａと同一直線上逆方向に延びる線分であり、前記第２線分Ｐｂ’は前記第２線分Ｐｂと同一直線上逆方向に延びる線分であり、前記第２線分Ｐｃ’は前記第２線分Ｐｃと同一直線上逆方向に延びる線分である。
（６）６本の前記第２線分Ｐａ～Ｐｃ、Ｐａ’～Ｐｃ ’と前記第１選択線分とを用いた演算処理の結果に基づいて、６本の前記第２線分Ｐａ～Ｐｃ、Ｐａ’～Ｐｃ ’の中から前記第１選択線分に対し最も滑らかに接続可能な１本の第２線分を第２選択線分として選択し、前記第１選択線分に前記第２選択線分を接続してその余の前記第２線分を破棄する。
（７）前記第２選択線分の両端点のうち前記第１選択線分と接続された方の端点を起点Ｏと読み替え、反対側の端点を終点Ｐと読み替え、かつ、当該第２選択線分を前記第１選択線分と読み替えた後に、前記（４）～前記（６）の工程を所定の終了条件を充足するまで繰り返し実行する。

［趣旨２］
前記（３）の工程における前記第１選択線分の選択を、６本の前記第１線分ＯＡ～ＯＣ、ＯＡ’～ＯＣ ’のすべてについて実行してもよい。

［趣旨３］
前記（１）の工程において、前記起点Ｏにおける２階実対称テンソルの３個の主値のうちの２個の主値のみが一致しその余の主値が一致しない場合に、６本の前記第１線分ＯＡ～ＯＣ、ＯＡ’～ＯＣ ’を定義する代わりに、前記（３）の工程において、前記その余の主値に対応する前記所定の微小長さの第１線分又はその第１線分と同一直線上逆方向の前記所定の微小長さの第１線分のいずれかを前記第１選択線分としてもよい。

［趣旨４］
前記（６）の工程は、以下の（６１）の工程を含んでもよい。
（６１）前記第２線分と前記第１選択線分との方向余弦値を、６本の前記第２線分Ｐａ～Ｐｃ、Ｐａ’～Ｐｃ ’の各々について算出し、算出された６個の方向余弦値のうち最大のものに対応する第２線分を前記第２選択線分として選択する。

［趣旨５］
前記（６）の工程は、以下の（６２）及び（６３）の工程を含んでもよい。
（６２）前記起点Ｏにおける第１選択線分に対応する主値と、前記終点Ｐにおける前記第２線分に対応する主値と、の差分値を３本の前記第２線分Ｐａ～Ｐｃの各々について算出し、算出された３個の差分値のうち絶対値が最小のものに対応する第２線分を候補第２線分と定義する。
（６３）前記候補第２線分と前記第１選択線分との方向余弦値又は前記候補第２線分と同一直線上逆方向に延びる第２線分と前記第１選択線分との方向余弦値のうち値の大きい方の方向余弦値に対応する第２線分を前記第２選択線分として選択する。

［趣旨６］
前記（６）の工程は、以下の（６４）～（６９）の工程を含んでもよい。
（６４）６本の前記第２線分Ｐａ～Ｐｃ、Ｐａ’～Ｐｃ ’の中から前記終点Ｐを中心とした前記選択座標系を構成する任意の３本の第２線分を１組の第２選択線分群として選択し、選択可能な２４組の第２選択線分群を定義する。
（６５）前記第１選択線分を含み起点Ｏを中心とした前記選択座標系を構成する３本の第１線分を１組の第１選択線分群として選択する。ここで、当該（６５）の工程の実行が初回である場合には、前記第１選択線分を含む１組の第１選択線分群を任意に選択する。
（６６）前記２４組のうちの１組の前記第２選択線分群と前記１組の第１選択線分群との方向余弦値を算出する。ここで、方向余弦値の算出は、前記１組の第２選択線分群と前記１組の第１選択線分群との間で、対応する線分同士について行い、算出された３個の方向余弦値の合計値を合計指標値と定義する。
（６７）前記（６６）の工程を２４組すべての第２選択線分群について実行し、前記合計指標値が最大となる第２選択線分群を接続線分群と定義する。
（６８）前記接続線分群に含まれる３本の第２線分のうち、前記第１選択線分に対応するものを第２選択線分として選択する。
（６９）前記接続線分群を前記第１選択線分群と読み替える。

［趣旨７］
前記（７）の工程において、前記所定の終了条件が以下の条件１を含んでもよい。
（条件１）起点Ｏが前記３次元領域の表面又はその領域外に到達したこと。

［趣旨８］
前記（７）の工程において、前記所定の終了条件が以下の条件２を含んでもよい。
（条件２）前記（４）の工程において、前記終点Ｐにおける２階実対称テンソルの３個の主値のうちの２個の主値のみが一致しその余の主値が一致しない場合に、６本の前記第２線分Ｐａ～Ｐｃ、Ｐａ’～Ｐｃ ’を定義する代わりに、以下の３本の第２線分α、β、γを定義し、
６本の前記第２線分Ｐａ～Ｐｃ、Ｐａ’～Ｐｃ ’の代わりに前記３本の第２線分α、β、γと前記第１選択線分とを用いて前記（６）の工程を実行したときの前記第２選択線分が前記第２線分γとなったこと。ここで、
第２線分α：前記その余の主値に対応する前記所定の微小長さの第２線分
第２線分β：前記第２線分αと同一直線上逆方向に延びる前記所定の微小長さの第２線分
第２線分γ：前記終点Ｐを通り前記第２線分αに直交する平面上に定義される前記所定の微小長さの線分であって、前記終点Ｐを起点として放射状に延びる複数の線分のうち前記第１選択線分との方向余弦値が最大となる線分。

［趣旨９］
前記（７）の工程において、前記所定の終了条件が以下の条件３を含んでもよい。
（条件３）前記（７）の工程において更新された起点Ｏにおける２階実対称テンソルの３個の主値がすべて一致したこと。

［趣旨１０］
前記（７）の工程において、前記所定の終了条件が以下の条件４を含んでもよい。
（条件４）前記終点Ｐにおける２階実対称テンソルの３個の主値がすべて一致したこと。

［趣旨１１］
前記（７）の工程において、前記所定の終了条件が以下の条件５を含んでもよい。
（条件５）前記（７）の工程において読み替えたことにより生成された複数の起点Ｏのうちいずれか２個の距離が前記所定の微小長さ以下となったこと。

［趣旨１２］
上記の接続方法を用いて前記所定の微小長さの前記第１選択線分と前記所定の微小長さの前記第２選択線分とを接続し、
当該接続された複数の選択線分を前記３次元領域内に描画された直線又は曲線として表示する２階実対称テンソルの表示方法。

［趣旨１３］
２階実対称テンソルの表示方法は、前記第１選択線分及び前記第２選択線分を、各々に対応する主値に応じて色分けして表示してもよい。

［趣旨１４］
コンピュータに、
上記の２階実対称テンソルの表示方法を実行させる、２階実対称テンソルの表示プログラム。

Ａａ～Ａｃ、Ａａ’～Ａｃ’：第２線分
ＣＳａ～ＣＳｃ、ＣＳａ’～ＣＳｃ’：方向余弦値
ｄａ～ｄｃ：差分値
Ｄ：画面
Ｎ：空洞
Ｏ：起点
ＯＡ～ＯＣ、ＯＡ’～ＯＣ’：第１線分
Ｐ：終点
ＰＧ：テンソル表示プログラム（プログラム）
ＰＬ：平面
Ｑ、Ｒ：頂点
Ｑ１、Ｑ２：亀裂
ｓＡ～ｓＣ、ｓａ～ｓｃ：主応力値（主値）
Ｓ：コンピュータ
Ｖ１、Ｖ２、Ｖ３：３次元領域
α、β、γ：第２線分
２：ＣＰＵ
４：メモリ

Claims (14)

1. コンピュータにより実行される以下の（１）～（７）の工程を有する、３次元領域における線分の接続方法。
   （１）３次元領域内において任意の１点として選択された起点Ｏにおける２階実対称テンソルの３個の主値の各々に対応する主軸方向に沿って延びる３本の第１線分ＯＡ、ＯＢ、ＯＣを定義する。ここで、前記３本の第１線分は、いずれも前記起点Ｏから延びる所定の微小長さの線分であって、前記起点Ｏを中心とした右手座標系又は左手座標系のうちのいずれか一方の座標系である選択座標系を構成して３次元的に相互に直交する線分である。
   （２）前記起点Ｏから延びる３本の所定の微小長さの第１線分ＯＡ’、ＯＢ’、ＯＣ’を定義する。ここで、前記第１線分ＯＡ’は前記第１線分ＯＡと同一直線上逆方向に延びる線分であり、前記第１線分ＯＢ’は前記第１線分ＯＢと同一直線上逆方向に延びる線分であり、前記第１線分ＯＣ’は前記第１線分ＯＣと同一直線上逆方向に延びる線分である。
   （３）６本の前記第１線分ＯＡ～ＯＣ、ＯＡ’～ＯＣ ’の中から１本の線分を第１選択線分として選択し、その両端点のうち起点Ｏでない方の端点を終点Ｐと定義する。
   （４）前記終点Ｐにおける２階実対称テンソルの３個の主値の各々に対応する主軸方向に沿って延びる３本の第２線分Ｐａ、Ｐｂ、Ｐｃを定義する。ここで、前記３本の第２線分は、いずれも前記終点Ｐから延びる所定の微小長さの線分であって、前記終点Ｐを中心とする前記選択座標系を構成して３次元的に相互に直交する線分である。
   （５）前記終点Ｐから延びる３本の所定の微小長さの第２線分Ｐａ’、Ｐｂ’、Ｐｃ’を定義する。ここで、前記第２線分Ｐａ’は前記第２線分Ｐａと同一直線上逆方向に延びる線分であり、前記第２線分Ｐｂ’は前記第２線分Ｐｂと同一直線上逆方向に延びる線分であり、前記第２線分Ｐｃ’は前記第２線分Ｐｃと同一直線上逆方向に延びる線分である。
   （６）６本の前記第２線分Ｐａ～Ｐｃ、Ｐａ’～Ｐｃ ’と前記第１選択線分とを用いた演算処理の結果に基づいて、６本の前記第２線分Ｐａ～Ｐｃ、Ｐａ’～Ｐｃ ’の中から前記第１選択線分に対し最も滑らかに接続可能な１本の第２線分を第２選択線分として選択し、前記第１選択線分に前記第２選択線分を接続してその余の前記第２線分を破棄する。
   （７）前記第２選択線分の両端点のうち前記第１選択線分と接続された方の端点を起点Ｏと読み替え、反対側の端点を終点Ｐと読み替え、かつ、当該第２選択線分を前記第１選択線分と読み替えた後に、前記（４）～前記（６）の工程を所定の終了条件を充足するまで繰り返し実行する。
2. 前記（３）の工程における前記第１選択線分の選択を、６本の前記第１線分ＯＡ～ＯＣ、ＯＡ’～ＯＣ ’のすべてについて実行する、請求項１に記載の３次元領域における線分の接続方法。
3. 前記（１）の工程において、前記起点Ｏにおける２階実対称テンソルの３個の主値のうちの２個の主値のみが一致しその余の主値が一致しない場合に、６本の前記第１線分ＯＡ～ＯＣ、ＯＡ’～ＯＣ ’を定義する代わりに、前記（３）の工程において、前記その余の主値に対応する前記所定の微小長さの第１線分又はその第１線分と同一直線上逆方向の前記所定の微小長さの第１線分のいずれかを前記第１選択線分とする、請求項１に記載の線分の接続方法。
4. 前記（６）の工程は、以下の（６１）の工程を含む、請求項１に記載の３次元領域における線分の接続方法。
   （６１）前記第２線分と前記第１選択線分との方向余弦値を、６本の前記第２線分Ｐａ～Ｐｃ、Ｐａ’～Ｐｃ ’の各々について算出し、算出された６個の方向余弦値のうち最大のものに対応する第２線分を前記第２選択線分として選択する。
5. 前記（６）の工程は、以下の（６２）及び（６３）の工程を含む、請求項１に記載の３次元領域における線分の接続方法。
   （６２）前記起点Ｏにおける第１選択線分に対応する主値と、前記終点Ｐにおける前記第２線分に対応する主値と、の差分値を３本の前記第２線分Ｐａ～Ｐｃの各々について算出し、算出された３個の差分値のうち絶対値が最小のものに対応する第２線分を候補第２線分と定義する。
   （６３）前記候補第２線分と前記第１選択線分との方向余弦値又は前記候補第２線分と同一直線上逆方向に延びる第２線分と前記第１選択線分との方向余弦値のうち値の大きい方の方向余弦値に対応する第２線分を前記第２選択線分として選択する。
6. 前記（６）の工程は、以下の（６４）～（６９）の工程を含む、請求項１に記載の３次元領域における線分の接続方法。
   （６４）６本の前記第２線分Ｐａ～Ｐｃ、Ｐａ’～Ｐｃ ’の中から前記終点Ｐを中心とした前記選択座標系を構成する任意の３本の第２線分を１組の第２選択線分群として選択し、選択可能な２４組の第２選択線分群を定義する。
   （６５）前記第１選択線分を含み起点Ｏを中心とした前記選択座標系を構成する３本の第１線分を１組の第１選択線分群として選択する。ここで、当該（６５）の工程の実行が初回である場合には、前記第１選択線分を含む１組の第１選択線分群を任意に選択する。
   （６６）前記２４組のうちの１組の前記第２選択線分群と前記１組の第１選択線分群との方向余弦値を算出する。ここで、方向余弦値の算出は、前記１組の第２選択線分群と前記１組の第１選択線分群との間で、対応する線分同士について行い、算出された３個の方向余弦値の合計値を合計指標値と定義する。
   （６７）前記（６６）の工程を２４組すべての第２選択線分群について実行し、前記合計指標値が最大となる第２選択線分群を接続線分群と定義する。
   （６８）前記接続線分群に含まれる３本の第２線分のうち、前記第１選択線分に対応するものを第２選択線分として選択する。
   （６９）前記接続線分群を前記第１選択線分群と読み替える。
7. 前記（７）の工程において、前記所定の終了条件が以下の条件１を含む、請求項１に記載の線分の接続方法。
   （条件１）起点Ｏが前記３次元領域の表面又はその領域外に到達したこと。
8. 前記（７）の工程において、前記所定の終了条件が以下の条件２を含む、請求項１に記載の線分の接続方法。
   （条件２）前記（４）の工程において、前記終点Ｐにおける２階実対称テンソルの３個の主値のうちの２個の主値のみが一致しその余の主値が一致しない場合に、６本の前記第２線分Ｐａ～Ｐｃ、Ｐａ’～Ｐｃ ’を定義する代わりに、以下の３本の第２線分α、β、γを定義し、
   ６本の前記第２線分Ｐａ～Ｐｃ、Ｐａ’～Ｐｃ ’の代わりに前記３本の第２線分α、β、γと前記第１選択線分とを用いて前記（６）の工程を実行したときの前記第２選択線分が前記第２線分γとなったこと。ここで、
   第２線分α：前記その余の主値に対応する前記所定の微小長さの第２線分
   第２線分β：前記第２線分αと同一直線上逆方向に延びる前記所定の微小長さの第２線分
   第２線分γ：前記終点Ｐを通り前記第２線分αに直交する平面上に定義される前記所定の微小長さの線分であって、前記終点Ｐを起点として放射状に延びる複数の線分のうち前記第１選択線分との方向余弦値が最大となる線分。
9. 前記（７）の工程において、前記所定の終了条件が以下の条件３を含む、請求項１に記載の線分の接続方法。
   （条件３）前記（７）の工程において更新された起点Ｏにおける２階実対称テンソルの３個の主値がすべて一致したこと。
10. 前記（７）の工程において、前記所定の終了条件が以下の条件４を含む、請求項１に記載の線分の接続方法。
    （条件４）前記終点Ｐにおける２階実対称テンソルの３個の主値がすべて一致したこと。
11. 前記（７）の工程において、前記所定の終了条件が以下の条件５を含む、請求項１に記載の線分の接続方法。
    （条件５）前記（７）の工程において読み替えたことにより生成された複数の起点Ｏのうちいずれか２個の距離が前記所定の微小長さ以下となったこと。
12. 請求項１から請求項１１のうちいずれか１項に記載の線分の接続方法を用いて前記所定の微小長さの前記第１選択線分と前記所定の微小長さの前記第２選択線分とを接続し、
    当該接続された複数の選択線分を前記３次元領域内に描画された直線又は曲線としてコンピュータにより表示する２階実対称テンソルの表示方法。
13. 前記第１選択線分及び前記第２選択線分を、各々に対応する主値に応じて色分けしてコンピュータにより表示する、請求項１２に記載の２階実対称テンソルの表示方法。
14. コンピュータに、
    請求項１２又は請求項１３に記載の２階実対称テンソルの表示方法を実行させる、２階実対称テンソルの表示プログラム。