JPS5939772B2 - 指数関数の演算方式 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 本発明は計算機の指数関数の演算方式に関するものであ
る。

指数関数はａを正の定数としＸをべき指数としてａＸと
表わされる関数であり、この関数の演算は科学技術計算
を取り扱う計算機にとつて是非とも備えておかねばなら
ない機能の一つである。

中でも科学技術計算において出現頻度の高い指数関数と
してｅＸやＩＯＸがある。従来、これらの関数ｅＸやＩ
ＯＸを演算する方式として代表的なものに、べき級数例
えばｅＸ＝１＋Ｘ＋Ｘ２／２！＋・・・＋Ｘｎ／ｎ！十
・・・（１）ただし、１Ｘ１＜１を用いるものがある
が、べき指数Ｘに対する近似の成立する範囲が狭いため
実用上適用不可能な場合が多いという欠点があつた。

従つて本発明の目的は広範囲のべき指数データ入力に対
して演算が可能な指数関数の演算方式を提供することに
ある。

以下、本発明の原理および実施例について説明する。

通常、科学技術を取り扱う計算機は、内部データを正規
化して固定小数点指数表示する方式を採用している。

これを数式により表現すれば、ｘ＝ｘ×ｌｏＮ（２）た
だし、１＜１ｘ１＜１０、Ｎ−整数 となる。

（２）式においてｘが仮数部でありＮが指数部である。
本発明はこのデータ構造に着目し演算結果の仮数部と指
数部とを別々に求めることにより、広範囲のデータ入力
に対して指数関数の演算を可能にしたものである。

まず、本発明の第１の実施例としてＥＸを演算する場合
を説明する。

入力されるべき指数Ｘに対する演算結果を（２）式の形
で求めるにはが成立するような仮数部ｙと指数部Ｎとを
求めればよい。

ここで説明を簡単にするためにＸ〉０とする。（３）式
の両辺の対数をとるとすなわち、 ここで とおくと、ｙ−ＥＺが得られ、しかもＺ〈１ｎ１０であ
るので、１くｙく１０である。

すなわち、ｙは（支）式のｘに相当する。（５）、（Ｑ
式で明らかなように、整数の商が求まるようにＸを１ｎ
１０で除算すればＮが求まり、一方Ｚは余りとして求ま
る。

Ｎはすでに述べたように入力されたべき指数データＸの
指数部であり、これ以上演算の必要はない。また、Ｚ＜
１ｎ１０一２．３０２５８５０９３・・・・・・である
ので、べき指数データＸの仮数部ＥＺは適当な近似計算
法例えばＣＯＲＤＩＣ（一松信著、゛初等関数の数値計
算”１９７４年教育出版発行、ＰｌＯｌ以降参照）を用
いれば直接求まる。あるいは余りＺの小数部Ｚｍを（１
）式で演算したものに、Ｚの整数部ＺＮは０、１、２の
いずれかなのでＺＮ−０１１、２に対応してＥＯ＝１、
ｅ１＝２．７１８２８・・・・・・、Ｅ２＝７．３８９
０５６・・・・・・を乗することによつてＥＺが求まる
。しかも、（１）式を用いた場合Ｚｍく１であるため演
算に必要な項数が少なくて済み、高速、高精度で演算で
きる。このように本発明のＥＸを求める場合の実施例は
、べき指数として入力された数値Ｘに対して商が整数で
ある範囲内で１ｎ１０による除算を実行し、該除算の余
りに対してｅのべきを求めてこれフを演算結果の仮数部
とし、上記商には演算をせずに演算結果の指数部とする
ことを特徴とするものである。

次に本発明の第２の実施例として１０Ｘを演算する場合
を説明する。

入力されたべき指数Ｘを整数部Ｎと小数部ｍとに分割す
る。すなわち、Ｘ一Ｎ＋ｍとする。Ｎはすでに（支）式
の指数に相当し演算の必要はなく演算結果の指数部とす
ることができる。ｍに関しては例えばＨａｓｔｉｎｇｓ
の最適化近似多項式（８Ａｐｐｒ０ｘｉｍａｔｉ０ｎｆ
０ｒＤｉｇｉｔａ１Ｃ０ｍｐｕｔｅｒｓ２′Ｐｒｉｎｃ
ｅｔＯｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓｌ９５５参照
）を用いて直接１０ｍを計算できる。あるいは第１の実
施例におけるＥＺを求めるルーチンを用いるべく、Ｚ−
ＭｌｎｌＯと変換し、ＥＺのルーチンを流用しても求め
ることができる。このように本発明の１０Ｘを求める場
合の実施例はべき指数として入力された数値ｘを整数部
と小数部に分割し、該小数部に対して１０のべきを求め
てこれを演算結果の仮数部とし、上記整数部には演算を
せずに演算結果の指数部とすることを特徴とするもので
ある。この第２の実施例によれば、入力されるべき指数
の整数部には演算を行なわないので、演算に必要な桁数
が少なくて済み、高速、高精度で演算できる。

次に図面を用いて上記第１および第２の実施例をさらに
詳細に説明する。

第１図は本発明を実施するためのハードウエアの主要部
を示したものである。

第１図において、キーボード１のキーが押されると、キ
ーデコーダ２が動作し信号線ａを通じて読み出し専用メ
モリ（以下、ＲＯＭという）３のアドレス指定レジスタ
（以下、ＡＲという）４にキー読み込みルーチンのアド
レスにセツトする。ＲＯＭ３の出力はインストラクシヨ
ンデコーダ（以下、ＩＲという）５によりデコードされ
る。このＲ５の出力により数値キーならデータ線ｂを通
してｘレジスタ６ａ，６ｂへ、小数点キーならばデータ
線ｃを通してＺレジスタJャwキーコードが読み込まれる
。ＲＯＭ３よりＱ？数発生命令をＩＲ５がデコードする
と、Ｙレジスタ８には定数発生機９より定数がロードさ
れる。１０はレジスタ６ａ，６ｂの内容に＋１する回路
である。

判定回路１１はＺレジスタ７の内容をデータ線ｄにより
供給される数値コードと大小比較し、その結果でＡＲ４
の内容を修飾する。Ｘレジスタ６は通常はデータ線Ｅ，
ｆ，ｇを通じて保持されているが、右シフト命令が発生
すると一桁分６ｂを除いたデータパスＨ，ｇが開き一桁
右シフトを行う。１２，１３はそれぞれ左シフト用の一
桁分のレジスタであり、左シフト命令が発生すると一桁
分余計に循環するためレジスタは左シフトされる。

また、Ｉ，ｊはレジスタ交換用の信号線で、ｘレジスタ
６の内容はｉを通してＺレジスタモ、Ｚレジスタ７の内
容はｊを通じてＸレジスタ６へ移る。１４はタイミング
カウンタで各命令に伴う処理すべきデータのタイミング
を発生する。

ｋはＲＯＭ３の出力の一部であり次に実行すべきアドレ
スをＡＲ４へ出力している。第１図の回路によるＥＸを
求めるためのデータ処理は以下の様になる。

データレジスタ６，７，８を１０進数１０桁分とし、９
および１０桁目を指数部格納領域として二ーモニツクＸ
，ｙ，ｚと表し、１〜８桁を仮数部格納領域として、ニ
ーモニツクＸ，Ｙ，Ｚと表わし、１〜１０桁全体をニー
モニツクＸｘ，Ｙｙ，Ｚｚと表わす。第２図および第３
図はそれぞれ置数されたデータを正規化するルーチンを
説明するためのフローチヤートおよびレジスタの内容を
示している。

データ１２．３４５６７８が置数された場合を第３図ａ
に示す。Ｚレジスタ７には小数点に相当する位置にコー
ド８があり、ｚレジスタの８桁目Ｚ８に小数点コード８
が来るまで左シフト用レジスタ１３によりＺレジスタ７
を左シフトし（第２図のステツプ２のｚ→ＬＳなる命令
）、＋１レジスタ１０によりシフトした回数をｘに加算
する（第２図のステツプ３のｘ−＋ｘ＋１なる命令）。
小数点コード８がＺ８に来ると、判定回路１１により第
２図のステツプ１のＺ８〉０の判定命令における〉Ｏの
分岐がなされた正規化が終了する。第３図ｂが正規化さ
れたデータで、１．２３４５６７８Ｘ１０１を表わして
いる。第４図および第５図はそれぞれＥＸを求めるルー
チンを説明するためのフローチヤートおよびレジスタの
内容を示している。

まず、Ｙレジスタ８に定数発生機９より１ｎ１０−２．
３０２５８５１をロードする（第４図のステツプ１の１
ｎ１０→Ｙなる命令）。この状態を第５図ａに示す。次
にＸレジスタ７の正規化されたデータを１ｎ１０の値で
除算する（第４図のステツプ２の除算ルーチン）。除算
器は第１図には示されていないが、従来の電子式卓上計
算機に用いられる減算を主体としたものを採用する。第
５図ｂは除算ルーチンを抜けた時点でのデータを示す。
Ｚレジスタ７は商５×１００を表わし関数演算結果の指
数部となるものである。ｚレジスタの答が３桁であると
、すなわちＳ×１０ｔと表わした時のｔ−２であると、
指数は１００を越え２桁の指数部では表現できずオーバ
ーフローとし、ｔ＝１ならば２桁左シフトし、ｔ−０な
らば１桁左シフトすることによつて指数の正しい位置が
決まる（第４図のステツプ３，４，５，６）。この状態
を第５図ｃに示す。一方、この第５図ｃ（：ｆ）Ｘレジ
スタには除算の余りである０．８３２７５１６があり、
これに対するｅのべきを計算するために直接ＥＸルーチ
ンへ移行すれば（第４図のステツプ７）、第５図ｄ（７
）Ｘレジスタに示したような仮数部が求まり、最後にｘ
とｚを交換すれば（第４図ステツプ８のｚ峠ｘなる命令
）、正規化された演算結果が求まる。この状態を示した
のが第５図ｅであり、Ｘレジスタに２．２９９６３７６
Ｘ１０５なる演算結果が得られている。次に本発明の１
０Ｘを計算する場合の実施例を説明する。

第６図および第７図はそれぞれ１０Ｘを求めるルーチン
を説明するためのフローチヤートおよびレジスタの内容
を示している。この１０Ｘを求める実施例では正規化さ
れた置数データ（１．２３４５６７８×１０りより直接
整数部を分離するため、第６図ステツプ１のＸＯｚなる
命令を実行し（第７図ａ参照）、その後第４図のステツ
プ３〜ステツプ６と同様の操作（すなわち第６図のステ
ップ２〜ステツプ５）をＸレジスタに施して、第６図の
ステツプ６のｘ←ｚなる命令を実行する。第７図ｂに第
６図のステツプ４を抜けた状態を、第７図ｃに第６図の
ステツプ５を抜けた状態を、また第７図ｄに第６図のス
テツプ６を抜けた状態を示す。但し、この場合第７図ｄ
のように置数から演算結果の指数部となる整数部を分離
した時、Ｘレジスタのデータが１桁左シフトしているの
で右シフトする必要がある（第６図のステツプ７のＸ−
＋ＲＳなる命令）。この状態を第７図ｅに示す。その後
はＥｘの場合と同様に１０Ｘルーチン（第６図のステツ
プ８）を通せば第７図ｆのｘレジスタに示したような仮
数部が求まり、最後にｘとｚとを交換する（第６図のス
テツプ９）ことにより正規化された演算結果が求まる。
この状態を示したのが第７図ｇであり、Ｘレジスタに２
．２１６５５２３×１０１２なる演算結果が得られてい
る。なお、この１０Ｘを求める第２の実施例の場合、第
１図に示したハードウエア中、Ｙレジスタ８および定数
発生機９は不要となる。

さらに第１図においてＥＸおよび１０Ｘを算出するハー
ドウエアは示されてないが、ＥＸを求めるハードウエア
としては除算の余りから上記ＣＯＲＤＩＣ等の近似計算
法を実行するハードウエアや、該余りの小数部を上言Ｉ
２（１）式で演算したものに該余りの整数部に対するｅ
のべき（ＥＯ、ｅ１、Ｅ２）の値の乗算を実行するハー
ドウエアが使用可能であり、１０Ｘを求めるハードウエ
アとしては入カベき指数の小数部から上記Ｈａｓｔｉｎ
ｇｓの最適化近似多項式による計算法を実行するハード
ウエアや、該小数部に１ｎ１０の値を乗する機能を有す
るハードウエアと上記ＥＸを求めるハードウエアとを組
み合わせたものが使用可能である。

以上説明したように本発明によれば１０Ｘを求める場合
には入カベき指数の小数部に対してのみ１０のべきを求
める演算を行い、ＥＸを求める場合には入べき指数を１
ｎ１０で除算した余り（この余りはいかなるべき指数人
力値の場合でも１ｎ１０の値より小さい）に対してのみ
ｅのべきを求める演算を行なうので、入力されるべき指
数が制限を受けることはなく広範囲のべき指数に対する
演算が可能となる。また、本発明では、１０Ｘをノ求め
る場合、１０のべきを求める演算の他には、入カベき指
数の整数部に対しては乗除算などの演算は全く不要であ
り、ＥＸを求める場合、ｅのべきを求める演算の他に、
入カベき指数を１ｎ１０で除算するという１回の除算で
すむので、高速演算が可能となる。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明を実施するためのハードウエアの主要部
を示したプロツク図、第２図は本発明により置数された
データを正規化するルーチンを示したフローチヤート図
、第３図Ａ，ｂは第２図のルーチンの２時点におけるＸ
レジスタおよびｚレジスタの内容を示した図、第４図は
本発明によりＥＸを演算する場合のルーチンを示したフ
ローチヤート図、第５図ａ−ｅは第４図のルーチンの５
時点におけるＸレジスタ、Ｙレジスタおよびｚレジスタ
の内容を示した図、第６図は本発明により１０Ｘを演算
する場合のルーチンを示したフローチヤート図、第７図
ａ−ｇは第６図のルーチンの７時点におけるＸレジスタ
およびＺレジスタの内容を示した図である。 １・・・・・・キーボード、２・・・・・・キーデコー
ダ、３・・・・・・読み出し専用メモリ（ＲＯＭ）、４
・・・・・・アドレス指定レジスタ（ＡＲ）、５・・・
・・・インストラクシヨンデコーダ（ＩＲ）、６ａおよ
び６ｂ・・・・・・Ｘレジスタ、７・・・・・・Ｚレジ
スタ、８・・・・・・Ｙレジスタ、９・・・・・・定数
発生機、１０・・・・・・Ｘレジスタに＋１する回路、
１１・・・・・・判定回路、１２および１３・・・・・
・左シフト用の；桁分のレジスタ、１４・・・・・・タ
イミングカウンタ。

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １ Ｘをべき指数として１０＾Ｘと表わされる指数関数
   の演算方式において、演算結果を格納するための演算結
   果格納手段と、１０のべきを作成する作成手段と、上記
   べき指数として入力される数値を処理する命令が格納さ
   れている命令格納手段とを備え、上記命令格納手段の命
   令により、上記数値の小数部に対しては上記作成手段に
   より１０のべきを作成させてその結果を上記演算結果の
   仮数部として上記演算結果格納手段に格納させ、上記数
   値の整数部はそのまま上記演算結果の指数部として上記
   演算結果格納手段に格納させるようにしたことを特徴と
   する指数関数の演算方式。 ２ Ｘをべき指数としてｅ＾Ｘと表わされる指数関数の
   演算方式において、演算結果を格納するための演算結果
   格納手段と、上記べき指数として入力される数値を商が
   整数の範囲内で１ｎ１０の値による除算を行なう除算手
   段と、ｅのべきを作成する作成手段とを備え、上記命令
   格納手段の命令により、上記除算による余りに対しては
   上記作成手段によりｅのべきを作成させこの値を上記演
   算結果の仮数部として上記演算結果格納手段に格納させ
   、上記除算による商に対してはこれをそのまま上記演算
   結果の指数部として上記演算結果格納手段に格納させる
   ようにしたことを特徴とする指数関数の演算方式。