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KR101388675B1 - 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법 및 이를 이용한 응력기반 위상최적설계에서 사용하는 응력구속조건의 민감도를 해석하는 방법 - Google Patents
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KR101388675B1 - 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법 및 이를 이용한 응력기반 위상최적설계에서 사용하는 응력구속조건의 민감도를 해석하는 방법 - Google Patents

응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법 및 이를 이용한 응력기반 위상최적설계에서 사용하는 응력구속조건의 민감도를 해석하는 방법 Download PDF

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Abstract

본 발명에 따른 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법은, 응력 기반 위상최적설계에서 사용하는 응력 구속조건의 민감도해석을 실시하는 방법에 있어서, 유한요소해석 프로그램에서 제공하는 요소테이블에서 현재 요소를 구성하는 노드 중 기존의 노드 셋에 포함되지 않는 첫 번째 노드를 선택하는 단계; 상기 선택된 첫 번째 노드를 현재 노드 셋에 저장하는 단계; 상기 현재 요소를 구성하는 노드 중에서 상기 현재 노드 셋에 포함되지 않는 노드를 제외 노드 셋에 저장하는 단계; 상기 요소테이블에서 상기 현재 노드 셋에 포함된 노드를 포함하는 요소를 탐색하는 단계; 상기 탐색된 요소를 구성하는 노드 중 상기 현재 노드 셋에 포함되지 않은 다른 모든 노드를 상기 제외 노드 셋에 추가 저장하는 단계; 및 상기 현재 요소에서 조건을 만족하는 노드를 상기 현재 노드 셋 및 제외 노드 셋에 저장하는 단계;를 포함하여, 해석의 반복 횟수를 줄일 수 있고 유한요소해석 프로그램에서 제공하는 해석 결과 정보만을 이용하여 응력기반 위상최적설계에서 응력구속조건으로 사용되는 p-놈 응력의 민감도를 해석할 수 있다.

Description

응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법 및 이를 이용한 응력기반 위상최적설계에서 사용하는 응력구속조건의 민감도를 해석하는 방법{METHOD FOR SELECTING NODE SET TO ANALYZE SENSITIVITY OF stress constraint function AND METHOD FOR ANALYZING SENSITIVITY OF STRESS CONSTRAINT FUNCTION USED IN STRESS-BASED TOPOLOGY OPTIMIZATION USING THE SAME}
본 발명은 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법 및 이를 이용한 응력기반 위상최적설계에서 사용하는 응력구속조건의 민감도를 해석하는 방법에 관한 것으로, 보다 상세하게는 유한요소해석 프로그램에서 제공하는 해석정보만을 이용해서 응력성분의 변위에 관한 편미분 행렬을 구하고 이를 사용하여 응력구속조건 함수의 민감도 해석을 수행하는 방법을 제공한다.
TOSCA 등과 같은 상용 위상 최적설계 프로그램은 ANSYS, NASTRAN, ABAQUS 등의 구조해석 프로그램을 외부 솔버(external solver)로 사용하여 위상최적설계를 수행한다. 이와 같은 프로그램의 경우, 자체 솔버를 가지고 있지 않기 때문에 구조해석 프로그램에서 직접적으로 제공하지 않는 정보를 사용하여 응력 구속조건의 민감도 해석을 수행하기 어렵다는 한계가 있다.
상용 구조해석 프로그램인 ANSYS, NASTRAN, OPTISTRUCT의 경우 위상최적설계가 가능한 프로그램으로서, 자체적으로 구조해석을 수행하는 내부 솔버(internal solver)를 가지고 있다. 따라서 응력 구속조건 민감도해석에 필요한 변위-변형률 행렬을 직접적으로 구할 수도 있지만, 이들 프로그램은 응력 구속조건을 만족시키는 결과를 주지 못하기 때문에 응력을 고려한 위상최적설계 기법을 새롭게 수정해야 한다.
현재 응력을 고려한 위상최적설계 프레임웍(framework)은 연구자들 사이에서 in house 코드로 개발된 상태이지만 간단한 형상 및 요소만을 다룰 수 있다는 한계가 있다.
또한, 요소(elements)의 구성행렬 및 변위-변형률 변환행렬이 제공된다는 가정 하에서 민감도 해석을 실시한다. 하지만, 복잡한 실제 문제에 적용코자 할 경우 상용 유한요소해석 프로그램을 사용해야 하는데 이들 프로그램은 요소의 구성행렬 및 변위-변형률 변환행렬을 제공하지 않는다. 따라서, 복잡한 실제 문제에 적용하기 위해서는 요소의 내부 정보를 사용하지 않고, 민감도 해석을 실시할 수 있는 기법의 개발이 필요하다.
본 발명은 유한요소해석 프로그램에서 제공하는 해석정보만을 이용해서 응력성분의 변위에 관한 편미분 행렬을 구하기 위한 노드 셋 선택방법 및 이를 이용한 응력기반 위상최적설계에서 사용하는 응력구속조건의 민감도를 해석하는 방법을 제공한다.
본 발명은 각 요소의 응력벡터에 영향을 미치지 않는 노드 셋을 선택함으로써 해석의 반복 횟수를 줄일 수 있는 노드 셋 선택방법 및 이를 이용한 응력기반 위상최적설계에서 사용하는 응력구속조건의 민감도를 해석하는 방법을 제공한다.
상기한 과제를 달성하기 위한 본 발명의 일 실시예에 따른 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법은, 응력 기반 위상최적설계에서 사용하는 응력 구속조건의 민감도해석을 실시하는 방법에 있어서, 유한요소해석 프로그램에서 제공하는 요소테이블에서 현재 요소를 구성하는 노드 중 기존의 노드 셋에 포함되지 않는 첫 번째 노드를 선택하는 단계; 상기 선택된 첫 번째 노드를 현재 노드 셋에 저장하는 단계; 상기 현재 요소를 구성하는 노드 중에서 상기 현재 노드 셋에 포함되지 않는 노드를 제외 노드 셋에 저장하는 단계; 상기 요소테이블에서 상기 현재 노드 셋에 포함된 노드를 포함하는 요소를 탐색하는 단계; 상기 탐색된 요소를 구성하는 노드 중 상기 현재 노드 셋에 포함되지 않은 다른 모든 노드를 상기 제외 노드 셋에 추가 저장하는 단계; 및 상기 현재 요소에서 조건을 만족하는 노드를 상기 현재 노드 셋 및 제외 노드 셋에 저장하는 단계;를 포함하는 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법을 제공할 수 있다.
상기와 같이 노드 셋을 선택함으로써, 해석의 반복 횟수를 줄일 수 있고 유한요소해석 프로그램에서 제공하는 해석 결과 정보만을 이용하여 응력기반 위상최적설계에서 응력구속조건으로 사용되는 p-놈 응력의 민감도를 해석할 수 있다.
상기 노드 셋은 유한요소모델의 각각의 요소에서 2개 이상의 노드를 선택하지 않으면서 선택할 수 있는 노드들의 집합을 의미한다.
상기 첫 번째 노드를 선택하는 단계에서는, 상기 현재 노드 셋 및 상기 노드 셋에 속하지 않는 첫 번째 노드를 선택하기 위해 상기 요소테이블의 모든 정보를 탐색할 수 있다.
상기 첫 번째 노드를 선택하는 단계에서는 상기 현재 요소, 상기 현재 노드 셋 또는 상기 제외 노드 셋을 초기화할 수 있다.
상기 현재 요소에서 조건을 만족하는 노드를 상기 현재 노드 셋 및 제외 노드 셋에 저장하는 단계에서 상기 조건은, 상기 현재 요소를 구성하는 노드 중 상기 노드 셋 및 상기 제외 노드 셋에 속하지 않은 노드를 선택하고, 이를 임시 노드 셋으로 정의하는 단계; 상기 임시 노드 셋 집합 중 하나라도 상기 현재 노드 셋에 있는지 여부에 따라 상기 임시 노드 셋의 요소를 상기 노드 셋에의 저장여부를 결정하는 단계; 및 상기 현재 노드 셋에 새로 추가된 노드를 포함한 모든 요소를 탐색하고, 탐색된 요소를 상기 현재 노드 셋에 속해 있지 않은 노드를 선택하여 상기 제외 노드 셋에 추가하는 단계;를 포함할 수 있다.
상기 노드 셋에의 저장여부를 결정하는 단계는, 상기 임시 노드 셋 집합 중 하나라도 상기 현재 노드 셋에 있을 경우 상기 임시 노드 셋의 요소를 상기 현재 노드 셋에 저장하지 않고, 상기 임시 노드 셋 집합 중 하나라도 상기 현재 노드 셋에 없을 경우 상기 임시 노드 셋의 첫 번째 요소를 상기 현재 노드 셋에 저장하고 상기 임시 노드 셋의 남은 노드 번호를 상기 제외 노드 셋에 저장할 수 있다.
상기 현재 요소에서 조건을 만족하는 노드를 상기 현재 노드 셋 및 제외 노드 셋에 저장하는 단계는 상기 현재 요소가 상기 요소테이블에 제공된 모든 요소가 될 때까지 반복 수행될 수 있다.
상기 현재 요소에서 조건을 만족하는 노드를 상기 현재 노드 셋 및 제외 노드 셋에 저장하는 단계 이후에 현재 노드 셋을 상기 노드 셋의 새로운 집합으로 선언하는 단계를 포함할 수 있다.
한편, 본 발명의 일 실시예는 상기 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법을 이용하여 응력기반 위상최적설계에서 사용하는 응력구속조건의 민감도를 해석하는 방법을 제공할 수 있다.
이상 설명한 바와 같이, 본 발명에 따른 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법 및 이를 이용한 응력기반 위상최적설계에서 사용하는 응력구속조건의 민감도를 해석하는 방법은 각 요소의 응력벡터에 영향을 미치지 않는 노드 셋을 선택하기 때문에 해석을 반복 수행하는 횟수를 줄일 수 있다.
본 발명에 따른 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법 및 이를 이용한 응력기반 위상최적설계에서 사용하는 응력구속조건의 민감도를 해석하는 방법은 유한요소해석 프로그램에서 제공하는 해석 결과 정보만을 이용하여 응력 기반 위상최적설계에서 응력 구속조건으로 사용하는 p-놈 응력의 민감도를 해석할 수 있다.
본 발명에 따른 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법 및 이를 이용한 응력기반 위상최적설계에서 사용하는 응력구속조건의 민감도를 해석하는 방법은 선형 구조해석을 사용하는 복잡한 구조물에도 적용할 수 있다.
도 1 및 도 2는 본 발명의 일 실시예에 따른 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법을 보여주는 순서도이다.
도 3은 본 발명의 일 실시예에 따른 노드 셋 선택방법을 설명하기 위한 유한요소모델과 요소테이블을 예시적으로 보여주는 도면이다.
도 4는 본 발명에 따른 노드 셋 선택방법을 검증하기 위한 유한요소모델을 보여주는 도면이다.
도 5는 도 4에 따른 모델을 대상으로 본 발명에 따른 노드 셋 선택방법과 유한차분법을 사용한 p-놈 응력의 민감도를 실험 결과를 보여주는 도면이다.
이하에서, 본 발명에 따른 실시예들을 첨부된 도면을 참조하여 상세하게 설명한다. 그러나, 본 발명이 실시예들에 의해 제한되거나 한정되는 것은 아니다. 각 도면에 제시된 동일한 참조 부호는 동일한 부재를 나타낸다.
도 1 및 도 2는 본 발명의 일 실시예에 따른 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법을 보여주는 순서도, 도 3은 본 발명의 일 실시예에 따른 노드 셋 선택방법을 설명하기 위한 유한요소모델과 요소테이블을 예시적으로 보여주는 도면, 도 4는 본 발명에 따른 노드 셋 선택방법을 검증하기 위한 유한요소모델을 보여주는 도면, 도 5는 도 4에 따른 모델을 대상으로 본 발명에 따른 노드 셋 선택방법과 유한차분법을 사용한 p-놈 응력의 민감도를 실험 결과를 보여주는 도면이다.
본 발명은 응력 기반 위상최적설계(stress-based topology optimization procedure)에서 사용하는 응력 구속조건(stress constraint function)의 민감도(sensitivities)를 해석하는 방법에 관한 것으로, 해석의 반복 횟수를 줄이기 위한 노드 셋(node set)을 선택하고 유한요소해석 프로그램(tailored finite element software)의 해석정보만을 이용하여 응력 구속조건의 민감도를 해석할 수 있다.
우선, 최대응력 제한조건을 고려한 위상최적설계 문제는 구조물의 최대응력이 허용 응력보다 작아야 하는 구속조건(constraint function)을 만족시켜야 한다. 하지만, 최대치 함수는 미분이 불가능하기 때문에 최대치 함수를 p-놈 함수(p-norm function)로 대체하여 아래 수학식 (1)과 같은 응력 구속조건 함수를 사용한다.
Figure 112012062914694-pat00001
수학식 (1)의 좌변은 p-놈 응력과 보정계수를 사용하여 표현되는 함수로서 수학식 (2)와 같다.
Figure 112012062914694-pat00002
수학식 (2)에서 iter은 위상 최적 설계를 위해서 현재까지 진행된 최적화 반복 횟수를 의미한다.
Figure 112012062914694-pat00003
은 현재 최적화 단계에서 사용되는 보정계수이고,
Figure 112012062914694-pat00004
은 p-놈 응력을 나타낸다. p-놈 응력은 수학식 (3)과 같이 정의된다.
Figure 112012062914694-pat00005
수학식 (3)에서 NE는 설계영역에 포함된 요소(element)의 개수, p는 p-놈 응력 계산을 위해 사용하는 파라미터 p값,
Figure 112012062914694-pat00006
는 e번째 요소의 von Mises 응력(stress),
Figure 112012062914694-pat00007
는 재료의 허용응력,
Figure 112012062914694-pat00008
는 필터링된 설계변수를 의미한다.
여기서 p값이 무한대가 되면 수학적으로 p-놈 함수가 최대치 함수와 동일하게 되지만, 현실적으로 무한대 값을 사용할 수 없기 때문에 3~4 정도로 고정시킨 값을 사용하고, 대신 보정계수를 도입하여 최대치 값을 표현할 수 있다.
수학식 (2)에서 보정계수는 수학식 (4)와 같이 정의된다.
Figure 112012062914694-pat00009
수학식 (4)에서
Figure 112012062914694-pat00010
는 이전 최적화 과정에서 실제 응력의 최대값,
Figure 112012062914694-pat00011
는 이전 최적화 과정의 p-놈 응력,
Figure 112012062914694-pat00012
는 댐핑계수를 의미한다. 이 보정계수는 최적화 과정이 진행될수록 응력의 최대치 값과 p-놈 응력의 비율이 일정한 값으로 수렴하는 특징을 이용한다.
수학식 (2)~수학식 (4)를 이용하여 정의된 구속조건 함수를 고려하기 위해서는 p-놈 응력에 관한 민감도 해석(sensitivity analysis)이 필요하다. P-놈 응력의 설계변수에 관한 민감도는 수학식 (5)와 같이 표현될 수 있다.
Figure 112012062914694-pat00013
수학식 (5)에서
Figure 112012062914694-pat00014
는 e번째 요소의 응력벡터,
Figure 112012062914694-pat00015
는 구조물의 강성행렬(stiffness matrix),
Figure 112012062914694-pat00016
는 어조인 변수(adjoint variable),
Figure 112012062914694-pat00017
는 변위벡터를 의미한다. 여기서, 어조인 변수는 수학식 (6)과 같이 표현될 수 있다.
Figure 112012062914694-pat00018
수학식 (5)와 수학식 (6)의 각각의 항들 중 응력벡터(stress vector)의 변위(displacement)에 관한 편미분 항을 제외하고는 모두 해석결과, 설계변수 값, 설정된 파라미터만을 사용하여 계산될 수 있다.
응력벡터의 변위에 관한 편미분 항은 수학식 (7)과 같이 표현될 수 있다.
Figure 112012062914694-pat00019
수학식 (7)에서 ns는 응력의 보간을 위해 사용되는 파라미터이다. 수학식 (7)에서 편미분 항이 구성행렬(constitutive matrix,
Figure 112012062914694-pat00020
)과 각 요소의 변위 변형률 변환행렬(strain-displacement matrix,
Figure 112012062914694-pat00021
)로 표현됨을 알 수 있다.
대부분의 종래 기술은 간단한 형상 및 요소를 가진 구조물의 해석 프로그램을 in-house 코드로 개발하여 구성행렬과 변위 변형률 변환행렬을 직접 입력하는 방법을 사용하였다. 하지만, 복잡한 실제 구조물의 설계를 위해서는 상용 유한요소해석 프로그램을 이용해야 하는데, 구성행렬과 변위 변형률 변환행렬을 제공하지 않는 경우가 많아서 민감도 해석이 불가능한 문제점이 있다.
본 발명의 일 실시예에 따른 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법 및 응력기반 위상최적설계에서 사용하는 응력구속조건의 민감도를 해석하는 방법은 유한요소해석 프로그램의 내부 정보를 이용하지 않고 해석 결과만을 이용하여 응력벡터의 변위에 관한 편미분 항을 계산할 수 있다. 따라서, 유한요소해석 프로그램의 해석정보만을 이용한 p-놈 응력의 민감도 해석이 가능하다.
편미분의 정의에 따라 수학식 (7)은 다음 수학식 (8)과 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112012062914694-pat00022
수학식 (8)에서 NEDOF는 각 요소의 노드가 가질 수 있는 자유도의 총 개수이다.
Figure 112012062914694-pat00023
은 변위벡터의 첫 번째 항에 미소증분량을 대입한 변위벡터이고,
Figure 112012062914694-pat00024
은 미소증분된 변위벡터를 입력했을 때 얻은 요소의 응력벡터를 의미한다. 따라서, 각 항에 미소증분량을 대입한 NEDOF 만큼의 변위벡터를 생성한 후 그에 따른 응력벡터를 계산하면 응력벡터의 변위에 관한 편미분 항을 구할 수 있다.
예를 들면, 4개의 노드를 가지는 평면응력 요소의 경우, 노드 당 2개의 자유도를 가지기 때문에 NEDOF는 8이 된다. NEDOF가 8인 경우 수학식 (8)은 아래 수학식 (9)와 같이 표현될 수 있다.
Figure 112012062914694-pat00025
(9)
수학식 (9)에서 알 수 있듯이, 각 요소의 응력벡터에 관한 변위의 편미분 항을 구하기 위해서는 요소 숫자에 비례하는 해석을 수행해야 하므로, 경우에 따라서는 해석을 아주 여러 번 수행해야 하는 수도 있다. 이에, 본 발명에서는 각 요소의 응력벡터에 영향을 미치지 않는 노드 셋을 선택하여 해석 횟수를 줄일 수 있다.
이하에서 설명할 본 발명의 일 실시예에 따른 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법은, 응력 기반 위상최적설계에서 사용하는 응력 구속조건의 민감도해석을 실시하는 방법에 있어서, 유한요소해석 프로그램에서 제공하는 요소 테이블에서 각 요소의 응력벡터에 영향을 미치지 않는 노드 셋을 선택할 수 있다. 이로 인해, 각 요소의 응력벡터의 변위에 관한 편미분 항을 구하기 위해서 요소 숫자에 비례하는 해석을 수행할 필요가 없다.
도 1 및 도 2를 참조하면, 본 발명의 일 실시예는, 응력 기반 위상최적설계에서 사용하는 응력 구속조건의 민감도해석을 실시하는 방법에 있어서, 유한요소해석 프로그램에서 제공하는 요소테이블에서 현재 요소를 구성하는 노드 중 기존의 노드 셋(NS; Node Set)에 포함되지 않는 첫 번째 노드를 선택하는 단계(1200), 상기 선택된 첫 번째 노드를 현재 노드 셋(CNS; Current Node Set)에 저장하는 단계(1300), 상기 현재 요소를 구성하는 노드 중에서 상기 현재 노드 셋(CNS)에 포함되지 않는 노드를 제외 노드 셋(ENS; Exclude Node Set)에 저장하는 단계(1400), 상기 요소테이블에서 상기 현재 노드 셋(CNS)에 포함된 노드를 포함하는 요소를 탐색하는 단계(1500), 상기 탐색된 요소를 구성하는 노드 중 상기 현재 노드 셋(CNS)에 포함되지 않은 다른 모든 노드를 상기 제외 노드 셋(ENS)에 추가 저장하는 단계(1600) 및 상기 현재 요소에서 조건을 만족하는 노드를 상기 현재 노드 셋(CNS) 및 제외 노드 셋(ENS)에 저장하는 단계(1700)를 포함하는 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법을 제공할 수 있다.
상기와 같은 방법에 의해 노드 셋(NS)을 선택함으로써, 각 요소의 응력벡터의 변위에 관한 편미분 항을 구하기 위해서 필요한 해석의 반복 횟수를 줄일 수 있고 유한요소해석 프로그램에서 제공하는 해석 결과 정보만을 이용하여 응력기반 위상최적설계에서 응력구속조건으로 사용되는 p-놈 응력의 민감도를 해석할 수 있다.
도 3에는 본 발명의 일 실시예에 따른 노드 셋 선택방법을 설명하기 위한 유한요소모델(a)과 요소테이블(b)을 예시적으로 보여주는 도면이 도시되어 있다. 도 3(a)에 도시된 유한요소모델은 9개의 평면응력 요소들(elements)을 가지며 16개의 노드들(nodes)을 가진다. 도 3(b)에 도시된 요소테이블(connectivity information table)에는 각각의 요소에 관계된 노드들이 표시되어 있다. 즉, 요소테이블은 각 요소에 포함되어 있는 노드 번호를 제공해 준다. 예를 들면, 요소테이블에서 가장 위쪽에 있는 1,2,6,5는 첫 번째 요소에 관계되는 노드 번호이고, 2,3,7,6은 두 번째 요소에 관계되는 노드 번호를 나타낸다.
도 3에 도시된 유한요소모델 및 요소테이블에 본 발명의 일 실시예에 따른 노드 셋 선택방법을 적용하여 선택된 노드 셋(NS)은 1,3,10,12의 첫 번째 노드 셋, 2,4,9.10의 두 번째 노드 셋, 6,8,14,16의 세 번째 노드 셋, 5,7,13,15의 네 번째 노드 셋이다. 이하에서는 노드 셋을 선택하는 방법에 대해서 보다 자세히 설명한다.
도 3(a)의 유한요소모델의 경우 1,3,10,12번 노드의 변위벡터의 한 성분을 한꺼번에 증분시킬 경우, 모든 요소의 응력벡터의 변위에 관한 편미분의 한 성분을 구할 수 있다. 수학식 (7)에서
Figure 112012062914694-pat00026
는 고정된 값으로, 위상최적설계 시작 전에 설계변수 값을 모두 1로 두고 계산한 후 최적 설계가 진행되는 반복과정에서 계산된 설계변수 값만 대입하여 사용하면 된다. 따라서, 본 발명에 따른 방법을 사용할 경우 위상최적설계 시작 전에 자유도*NSET 만큼의 해석만 수행하면
Figure 112012062914694-pat00027
를 구할 수 있다. 여기서, NSET은 노드 셋의 개수이다. 이 때, 노드 셋을 선택하기 위해서 유한요소해석 프로그램에서 제공하는 요소테이블을 사용한다.
한편, 노드 셋(NS)은 현재 노드 셋(CNS)에 속하지 않는 노드들(nodes)을 가지는 다른 요소들(elements)의 응력 값에 영향을 주지 않는 증분을 가지는 노드들의 집합을 의미한다.
도 1 및 도 2를 참조하면, 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법 중 유한요소해석 프로그램에서 제공하는 요소테이블에서 현재 요소를 구성하는 노드 중 기존의 노드 셋에 포함되지 않은 첫 번째 노드를 선택하는 단계(1200)에서는, 현재 노드 셋(CNS) 및 노드 셋(NS)에 속하지 않는 첫 번째 노드를 선택하기 위해 요소테이블의 모든 정보를 탐색할 수 있다. 여기서, 노드 셋 선택 과정을 처음 수행하는 경우라면 현재 요소(current element)는 첫 번째 요소가 된다. 도 3의 경우, 현재 요소는 첫 번째 요소가 되며, 첫 번째 요소의 노드 번호는 1,2,6,5이다. 이들 노드 중 첫 번째 노드가 1이므로 1을 선택한다.
상기 첫 번째 노드를 선택하는 단계(1200)에서는 현재 요소, 현재 노드 셋(CNS) 또는 제외 노드 셋(ENS)을 초기화할 수 있다. 노드 셋 선택 과정을 처음 수행하는 경우라면, 현재 노드 셋과 제외 노드 셋은 Null 값을 가지도록 초기화될 수 있다.
선택된 첫 번째 노드를 현재 노드 셋(CNS)에 저장하는 단계(1300)에 의하면 상기에서 선택된 노드 1을 현재 노드 셋에 저장하게 된다.
현재 요소를 구성하는 노드 중에서 현재 노드 셋에 포함되지 않은 노드를 제외 노드 셋에 저장하는 단계(1400)에 의하면, 현재 요소가 첫 번째 요소이므로 해당 노드 1,2,6,5 중에서 현재 노드 셋에 1이 저장되었으므로, 제외 노드 셋(ENS)에 2,6,5가 저장된다.
그 다음으로, 요소테이블에서 현재 노드 셋(CNS)에 포함된 노드를 포함하는 요소를 탐색하는 단계(1500)가 수행된다. 현재 노드 셋에 포함된 노드가 1이므로, 노드 1을 포함하는 요소를 요소테이블에서 탐색하면, 첫 번째 요소 뿐임을 알 수 있다.
탐색된 요소를 구성하는 노드 중에서 현재 노드 셋(CNS)에 포함되지 않은 다른 모든 노드를 제외 노드 셋(ENS)에 추가 저장하는 단계(1600)가 수행된다. 탐색된 요소가 첫 번째 요소이고, 첫 번째 요소를 구성하는 노드는 1,2,6,5이다. 현재 노드 셋에 1이 저장되어 있으므로, 노드 1,2,6,5에서 노드 1을 제외한 노드 2,6,5가 제외 노드 셋에 추가 저장되어야 하는데 이미 노드 2,6,5가 저장되어 있기 때문에 결과적으로 제외 노드 셋에는 노드 2,6,5가 저장된다.
그 다음으로, 현재 요소에서 조건을 만족하는 노드를 현재 노드 셋(CNS) 및 제외 노드 셋(ENS)에 저장하는 단계(1800)에서 상기 조건은, 현재 요소를 구성하는 노드 중 노드 셋(NS) 및 제외 노드 셋(ENS)에 속하지 않은 노드를 선택하고, 이를 임시 노드 셋(TEMP_NS; temporary node set)으로 정의하는 단계(1810), 임시 노드 셋(TEMP_NS) 집합 중 하나라도 현재 노드 셋(CNS)에 있는지 여부에 따라 임시 노드 셋(TEMP_NS)의 요소를 노드 셋(NS)에의 저장여부를 결정하는 단계(1820) 및 현재 노드 셋(CNS)에 새로 추가된 노드를 포함한 모든 요소를 탐색하고, 탐색된 요소를 현재 노드 셋(CNS)에 속해 있지 않은 노드를 선택하여 제외 노드 셋(ENS)에 추가하는 단계(1830)를 포함할 수 있다.
즉, 단계 1800은 현재 요소에서 단계 1810, 1820 및 1830을 모두 만족하는 노드를 현재 노드 셋 및 제외 노드 셋에 저장하게 된다.
이 때, 노드 셋(NS)에의 저장여부를 결정하는 단계(1820)는, 임시 노드 셋(TEMP_NS) 집합 중 하나라도 현재 노드 셋(NS)에 있을 경우 임시 노드 셋(TEMP_NS)의 요소를 현재 노드 셋(CNS)에 저장하지 않고, 임시 노드 셋(TEMP_NS) 집합 중 하나라도 현재 노드 셋(CNS)에 없을 경우 임시 노드 셋(TEMP_NS)의 첫 번째 요소를 현재 노드 셋(CNS)에 저장하고 임시 노드 셋(TEMP_NS)의 남은 노드 번호를 제외 노드 셋(ENS)에 저장할 수 있다.
한편, 현재 요소를 구성하는 노드 중 노드 셋(NS) 및 제외 노드 셋(ENS)에 속하지 않은 노드를 선택하고, 이를 임시 노드 셋(TEMP_NS; Temporary Node Set)으로 정의하는 단계(1810)에서, 만약 요소를 구성하는 노드가 모두 노드 셋(NS) 및 현재 노드 셋(CNS)의 멤버(member)이면 다음 요소를 고려한다. 이 단계를 적용해 보면, 첫 번째 요소에서 노드 셋 및 제외 노드 셋에 속하지 않은 노드가 없고, 모든 노드가 노드 셋 및 현재 노드 셋에 속하므로 두 번째 요소를 고려한다. 두 번째 요소의 노드 번호는 2,3,7,6이다. 이 노드들 중에서 노드 셋 및 제외 노드 셋에 속하지 않는 노드는 3,7이므로 노드 3,7을 임시 노드 셋으로 정의한다.
단계 1820을 적용해 보면, 임시 노드 셋의 집합 중에서 현재 노드 셋에 있는 것이 없으므로 임시 노드 셋의 첫 번째 요소 즉, 노드 3을 현재 노드 셋에 넣으면, 현재 노드 셋은 노드 1,3이 된다. 임시 노드 셋에서 남은 노드 7은 제외 노드 셋에 넣으면, 제외 노드 셋에는 노드 2,6,5,7이 저장된다.
단계 1830을 적용해 보면, 현재 노드 셋에 새로 추가된 노드 즉, 노드 3을 포함하는 모든 요소를 탐색하면, 두 번째 요소와 세 번째 요소가 탐색된다. 두 번째 요소와 세 번째 요소의 노드는 2,3,7,6과 3,4,8,7이다. 이 노드들 중에서 현재 노드 셋에 속해 있지 않은 노드는 2,6과 4,8,7이 되고 이들 노드를 제외 노드 셋에 넣으면 제외 노드 셋에는 노드 2,6,5,7,4,8가 속하게 된다.
현재 요소에서 조건을 만족하는 노드를 상기 현재 노드 셋 및 제외 노드 셋에 저장하는 단계(1800) 또는 단계 1810, 1820, 1830은 현재 요소가 요소테이블에 제공된 모든 요소가 될 때까지 반복 수행될 수 있다.
현재 요소에서 조건을 만족하는 노드를 현재 노드 셋 및 제외 노드 셋에 저장하는 단계(1800) 이후에 현재 노드 셋(CNS)을 노드 셋(NS)의 새로운 집합으로 선언하는 단계(1900)를 포함할 수 있다. 단계 1900에 의하면, 현재 노드 셋(CNS)에 속하는 노드 1,3이 노드 셋의 새로운 집합으로 선언될 수 있다.
그 다음으로, 모든 노드가 선택되었는지 여부를 판단하게 된다(2000). 모든 노드가 선택되었을 경우에는 과정이 종료되고, 모든 노드가 선택되지 않은 경우에는 현재 요소를 첫 번째 요소로 하고 제외 노드 셋 및 현재 노드 셋을 초기화하고 단계 1100를 다시 수행하게 된다.
상기한 과정을 반복적으로 수행하여 최종적으로 얻어지는 노드 셋은 {1,3,10,12}, {2,4,9,11}, {6,8,14,16}, {5,7,13,15}가 된다. 이러한 4개의 노드 셋을 얻는 과정은 다음 [표 1]과 같다.
iELM NS TEMP_NS CNS ENS
1 {} 1 2,6,5
2 {} 3,7 1,3 2,6,5,7,4,8
3 {} 3 1,3 2,6,5,7,4,8
4 {} 10,9 1,3,10 2,6,5,7,4,8,9,11
5 {} 10 1,3,10 2,6,5,7,4,8,9,11
6 {} 12 1,3,10,12 2,6,5,7,4,8,9,11,15,16
7 {} 10,14,13 1,3,10,12 2,6,5,7,4,8,9,11,15,16,14,13
8 {} 10 1,3,10,12 2,6,5,7,4,8,9,11,15,16,14,13
9 {} 12 1,3,10,12 2,6,5,7,4,8,9,11,15,16,14,13
{1,3,10,12}
1 {1,3,10,12} 2 1,6,5,3,7
2 {1,3,10,12} 2 2 1,6,5,3,7
3 {1,3,10,12} 4,8 2,4 1,6,5,3,7,8
4 {1,3,10,12} 9 2,4,9 1,6,5,3,7,8,10,14,13
5 {1,3,10,12} 11 2,4,9,11 1,6,5,3,7,8,10,14,13,12,15,16
6 {1,3,10,12} 11 2,4,9,11 1,6,5,3,7,8,10,14,13,12,15,16
7 {1,3,10,12} 9 2,4,9,11 1,6,5,3,7,8,10,14,13,12,15,16
8 {1,3,10,12} 11 2,4,9,11 1,6,5,3,7,8,10,14,13,12,15,16
9 {1,3,10,12} 11 2,4,9,11 1,6,5,3,7,8,10,14,13,12,15,16
{1,3,10,12},
{2,4,9,11}
1 {1,3,10,12},
{2,4,9,11}		 6 1,2,5,3,7,10,9,11
2 {1,3,10,12},
{2,4,9,11}		 6 6 1,2,5,3,7,10,9,11
3 {1,3,10,12},
{2,4,9,11}		 8 6,8 1,2,5,3,7,10,9,11,4,12
4 {1,3,10,12},
{2,4,9,11}		 6 6,8 1,2,5,3,7,10,9,11,4,12
5 {1,3,10,12},
{2,4,9,11}		 6 6,8 1,2,5,3,7,10,9,11,4,12
6 {1,3,10,12},
{2,4,9,11}		 8 6,8 1,2,5,3,7,10,9,11,4,12
7 {1,3,10,12},
{2,4,9,11}		 14,13 6,8,14 1,2,5,3,7,10,9,11,4,12,13,15
8 {1,3,10,12},
{2,4,9,11}		 14 6,8,14 1,2,5,3,7,10,9,11,4,12,13,15
9 {1,3,10,12},
{2,4,9,11}		 16 6,8,14,16 1,2,5,3,7,10,9,11,4,12,13,15
{1,3,10,12},
{2,4,9,11},
{6,8,14,16}
1 {1,3,10,12},
{2,4,9,11},
{6,8,14,16}		 5 1,2,6,10,9
2 {1,3,10,12},
{2,4,9,11},
{6,8,14,16}		 7 5,7 1,2,6,10,9,3,4,8,11,12
3 {1,3,10,12},
{2,4,9,11},
{6,8,14,16}		 7 5,7 1,2,6,10,9,3,4,8,11,12
4 {1,3,10,12},
{2,4,9,11},
{6,8,14,16}		 5 5,7 1,2,6,10,9,3,4,8,11,12
5 {1,3,10,12},
{2,4,9,11},
{6,8,14,16}		 7 5,7 1,2,6,10,9,3,4,8,11,12
6 {1,3,10,12},
{2,4,9,11},
{6,8,14,16}		 7 5,7 1,2,6,10,9,3,4,8,11,12
7 {1,3,10,12},
{2,4,9,11},
{6,8,14,16}		 13 5,7,13 1,2,6,10,9,3,4,8,11,12,14
8 {1,3,10,12},
{2,4,9,11},
{6,8,14,16}		 15 5,7,13,15 1,2,6,10,9,3,4,8,11,12,14,16
9 {1,3,10,12},
{2,4,9,11},
{6,8,14,16}		 15 5,7,13,15 1,2,6,10,9,3,4,8,11,12,14,16
{1,3,10,12},
{2,4,9,11},
{6,8,14,16},
{5,7,13,15}
상기 표에서 iELM은 요소의 번호를 나타낸다.
상기한 바와 같이, 본 발명의 일 실시예에 따른 노드 셋 선택방법을 이용하여
Figure 112012062914694-pat00028
를 계산한 후, 유한요소해석을 통해 얻은 해석정보를 사용해 다음과 같이 p-놈 응력의 민감도를 계산할 수 있다.
Figure 112012062914694-pat00029
즉, 본 발명의 일 실시예에 따른 노드 셋 선택방법을 이용하여 계산된
Figure 112012062914694-pat00030
를 수학식 (7)에 대입하여 응력벡터의 변위에 관한 편미분 항을 구하고, 이를 이용하여 어조인 변수를 계산하고, 최종적으로 어조인 변수를 수학식 (5)에 대입하여 p-놈 응력의 민감도를 계산할 수 있다.
한편, 본 발명의 일 실시예는 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법을 이용하여 응력기반 위상최적설계에서 사용하는 응력구속조건의 민감도를 해석하는 방법을 제공할 수 있다.
도 4는 본 발명에 따른 노드 셋 선택방법을 검증하기 위한 유한요소모델을 보여주는 도면이고, 도 5는 도 4에 따른 모델을 대상으로 본 발명에 따른 노드 셋 선택방법과 유한차분법(Finite Difference Method)을 사용한 p-놈 응력의 민감도를 실험 결과를 보여주는 도면이다.
본 발명에 따른 방법을 사용하여 쉘(shell) 요소로 구성된 유한요소모델의 p-놈 응력에 관한 민감도 해석을 수행해 보았다. 유한요소 모델은 32개의 요소로 구성되어 있으므로, 설계변수의 숫자는 32개이며 도 4에 도시된 바와 같이 원통형으로 좌측 부분이 고정되어 있고 우측의 8개의 노드에 y축의 힘이 작용하는 구조물이다. 요소의 두께는 0.1mm로 설정하였으며 재료의 탄성계수는 210GPa, 푸아송비는 0.3, p-놈 응력의 파라미터 p 값은 4로 두었다.
도 5는 본 발명에 따른 방법과 유한차분법(FDM;Finite difference method)을 사용하여, p-놈 응력의 설계변수에 관한 민감도를 계산한 후 이를 비교해 본 결과이다. 도 5에 도시된 바와 같이, 본 발명에 따른 방법과 유한차분법(FDM)을 사용해 구한 민감도 값의 최대 차이가 2.04E-04%로 거의 차이가 없음을 알 수 있다.
유한차분법을 사용할 경우, 위상최적설계의 모든 반복과정에서 노드 개수*자유도+1 만큼의 해석을 수행해야 한다. 하지만 본 발명에 따른 방법을 사용할 경우 위상최적설계 시작 전에 자유도*NSET 만큼의 해석만 수행하면 된다.
따라서, 본 발명에 따른 방법을 통해 효율적이고 정확하게 응력 구속조건 함수의 민감도 값을 계산할 수 있음을 확인할 수 있다.
이상과 같이 본 발명의 일실시예에서는 구체적인 구성 요소 등과 같은 특정 사항들과 한정된 실시예 및 도면에 의해 설명되었으나 이는 본 발명의 보다 전반적인 이해를 돕기 위해서 제공된 것일 뿐, 본 발명은 상기의 실시예에 한정되는 것은 아니며, 본 발명이 속하는 분야에서 통상적인 지식을 가진 자라면 이러한 기재로부터 다양한 수정 및 변형이 가능하다. 따라서, 본 발명의 사상은 설명된 실시예에 국한되어 정해져서는 아니 되며, 후술하는 특허청구범위뿐 아니라 이 특허청구범위와 균등하거나 등가적 변형이 있는 모든 것들은 본 발명 사상의 범주에 속한다고 할 것이다.

Claims (9)

  1. 응력 구속조건의 민감도해석을 실시하는 방법에 있어서,
    유한요소해석 프로그램에서 제공하는 요소테이블에서 현재 요소를 구성하는 노드 중 기존의 노드 셋에 포함되지 않는 첫 번째 노드를 선택하는 단계;
    상기 선택된 첫 번째 노드를 현재 노드 셋에 저장하는 단계;
    상기 현재 요소를 구성하는 노드 중에서 상기 현재 노드 셋에 포함되지 않는 노드를 제외 노드 셋에 저장하는 단계;
    상기 요소테이블에서 상기 현재 노드 셋에 포함된 노드를 포함하는 요소를 탐색하는 단계;
    상기 탐색된 요소를 구성하는 노드 중 상기 현재 노드 셋에 포함되지 않은 다른 모든 노드를 상기 제외 노드 셋에 추가 저장하는 단계; 및
    상기 현재 요소에서 조건을 만족하는 노드를 상기 현재 노드 셋 및 제외 노드 셋에 저장하는 단계;
    를 포함하는 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법.
  2. 제1항에 있어서,
    상기 노드 셋은 유한요소모델의 각각의 요소에서 2개 이상의 노드를 선택하지 않으면서 선택할 수 있는 노드들의 집합을 의미하는, 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법.
  3. 제1항에 있어서,
    상기 첫 번째 노드를 선택하는 단계에서는, 상기 현재 노드 셋 및 상기 노드 셋에 속하지 않는 첫 번째 노드를 선택하기 위해 상기 요소테이블의 모든 정보를 탐색하는, 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법.
  4. 제1항에 있어서,
    상기 첫 번째 노드를 선택하는 단계에서는 상기 현재 요소, 상기 현재 노드 셋 또는 상기 제외 노드 셋을 초기화하는, 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법.
  5. 제1항에 있어서,
    상기 현재 요소에서 조건을 만족하는 노드를 상기 현재 노드 셋 및 제외 노드 셋에 저장하는 단계에서 상기 조건은,
    상기 현재 요소를 구성하는 노드 중 상기 노드 셋 및 상기 제외 노드 셋에 속하지 않은 노드를 선택하고, 이를 임시 노드 셋으로 정의하는 단계;
    상기 임시 노드 셋 집합 중 하나라도 상기 현재 노드 셋에 있는지 여부에 따라 상기 임시 노드 셋의 요소를 상기 노드 셋에의 저장여부를 결정하는 단계; 및
    상기 현재 노드 셋에 새로 추가된 노드를 포함한 모든 요소를 탐색하고, 탐색된 요소를 상기 현재 노드 셋에 속해 있지 않은 노드를 선택하여 상기 제외 노드 셋에 추가하는 단계;를 포함하는, 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법.
  6. 제5항에 있어서,
    상기 노드 셋에의 저장여부를 결정하는 단계는,
    상기 임시 노드 셋 집합 중 하나라도 상기 현재 노드 셋에 있을 경우 상기 임시 노드 셋의 요소를 상기 현재 노드 셋에 저장하지 않고,
    상기 임시 노드 셋 집합 중 하나라도 상기 현재 노드 셋에 없을 경우 상기 임시 노드 셋의 첫 번째 요소를 상기 현재 노드 셋에 저장하고 상기 임시 노드 셋의 남은 노드 번호를 상기 제외 노드 셋에 저장하는, 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법.
  7. 제6항에 있어서,
    상기 현재 요소에서 조건을 만족하는 노드를 상기 현재 노드 셋 및 제외 노드 셋에 저장하는 단계는 상기 현재 요소가 상기 요소테이블에 제공된 모든 요소가 될 때까지 반복 수행되는, 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법.
  8. 제6항에 있어서,
    상기 현재 요소에서 조건을 만족하는 노드를 상기 현재 노드 셋 및 제외 노드 셋에 저장하는 단계 이후에 현재 노드 셋을 상기 노드 셋의 새로운 집합으로 선언하는 단계를 포함하는, 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법.
  9. 제1항 내지 제8항 중 어느 한 항에 따른 응력구속조건의 민감도를 해석하기 위한 노드 셋 선택방법을 이용하여 응력구속조건의 민감도를 해석하는 방법.
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