摂動
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摂動（せつどう、 英語: perturbation）とは、一般に力学系において、主要な力の寄与（主要項）による運動が、他の副次的な力の寄与（摂動項）によって乱される現象である。摂動という語は元来、古典力学において、ある天体の運動が他の天体から受ける引力によって乱れることを指していたが、その類推から量子力学において、粒子の運動が複数粒子の間に相互作用が働くことによって乱れることも指すようになった。なお、転じて摂動現象をもたらす副次的な力のことを摂動と呼ぶ場合がある。
摂動論
上記のような複数天体間、複数粒子間に相互作用が働くときの運動は数学的に厳密に解くことができないことが知られている（多体問題）。これらの数学的に厳密に解くことのできない問題の近似解を求める手法の1つに、摂動論（せつどうろん、 英語: perturbation theory）がある。具体的には、次のような手順で近似解を求める。
- 考えている問題Aを、厳密に解ける問題Bに小さな変更（摂動）が加えられた問題であるとみなす。
- 問題Aの近似解は、問題Bの厳密解に、摂動が加わったことによって生じる小さな補正（摂動項）を加えたものであると考える。
- ここで求めるべき摂動項は、問題Bの厳密解の組み合わせ、すなわち一次結合の形で表現出来ると考え、その係数を与えられた条件から順次求める。
古典力学における摂動論
天体の運行において、月と地球、太陽と地球などを扱う二体問題は厳密に解くことができるが、三体以上の多体問題を厳密に解くことは（一般的な状況であれば）不可能である。ただし、月と地球、太陽と地球の問題では、他の天体からの引力による相互作用の効果は近似的に非常に小さいとして、これら二体問題に他の天体からの効果を補正項として考慮することによって十分精度の高い近似解を得ることができる[1]。
量子力学における摂動論
量子力学における多体問題を解く上においても摂動論は重要な近似解法である。
時間に依存せず、縮退のない場合
前提
無摂動部分（無摂動項）のハミルトニアンを
摂動論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/05 05:23 UTC 版)
シュレーディンガー方程式を厳密に解く事は一般的に非常に困難な場合が多いが、近似に解く手法の一つとして摂動論がある。以下では摂動論におけるグリーン関数の形式理論について解説する。 系のハミルトニアン ^H が無摂動項 ^H0 と摂動項 ^V の和で与えられた (^H = ^H0 + ^V) とする。無摂動ハミルトニアン ^H0 に対して固有値方程式 H ^ 0 ϕ i ( 0 ) = E i ( 0 ) ϕ i ( 0 ) {\displaystyle {\hat {H}}_{0}\phi _{i}^{(0)}=E_{i}^{(0)}\phi _{i}^{(0)}} が成り立つ（例：ハートリー-フォック近似など）。 ω − ^H0 を微分作用素として考えると非摂動グリーン関数 G (0)(ω)は以下のように定義される（ここでデルタ関数 δ(x − x') は形式的に 1 とした）。 ( ω − H ^ 0 ) G ( 0 ) ( ω ) = − 1 {\displaystyle (\omega -{\hat {H}}_{0})G^{(0)}(\omega )=-1} 次に摂動ハミルトニアン ^V で展開すると、 G ( ω ) = G ( 0 ) ( ω ) + G ( 0 ) ( ω ) V ^ G ( 0 ) ( ω ) + G ( 0 ) ( ω ) V ^ G ( 0 ) ( ω ) V ^ G ( 0 ) ( ω ) + ⋯ = G ( 0 ) ( ω ) + G ( 0 ) ( ω ) V ^ G ( ω ) {\displaystyle {\begin{aligned}G(\omega )&=G^{(0)}(\omega )+G^{(0)}(\omega ){\hat {V}}G^{(0)}(\omega )+G^{(0)}(\omega ){\hat {V}}G^{(0)}(\omega ){\hat {V}}G^{(0)}(\omega )+\dotsb \\&=G^{(0)}(\omega )+G^{(0)}(\omega ){\hat {V}}G(\omega )\end{aligned}}} この式の両辺に ω − ^H0 を作用させ変形すると、摂動グリーン関数は次の関係を満たしていることがわかる。 ( ω − H ^ 0 − V ^ ) G ( ω ) = − 1 {\displaystyle (\omega -{\hat {H}}_{0}-{\hat {V}})G(\omega )=-1} また、この摂動グリーン関数が満たす関係式は ( H ^ 0 + V ^ ) ψ i = E i ψ i {\displaystyle ({\hat {H}}_{0}+{\hat {V}})\psi _{i}=E_{i}\psi _{i}} に対応している。
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