perspective projectionとは？ わかりやすく解説

透視投影（とうしとうえい、英: perspective projection）は全ての投影線が単一の視点に収束する投影である^[1][2][3][4]。中心投影（ちゅうしんとうえい、英: central projection）とも^[5][6]。

「投影」は投影図法と投影図の両方を指しうるため、図法を透視図法、図を透視図と呼び分ける場合もある。

概要

透視投影では視点を設定しすべての投影線をその視点へ収束させ投影をおこなう（#仕組み）^[3]。これはすべての投影線が互いに平行である平行投影と対照的である^[7]。

1点に投影線が収束するため対象物を目で見た像と近い表現が得られる^[2][8]。物体は視点からの距離に反比例して小さく見え、遠方ほど縮小割合が小さくなる（#特性）^[9][10]。奥行き方向の線分が特徴的な変形を受けるため、対象物と投影面の関係に基づいて「一点透視」「二点透視」「三点透視」に分類できる（#分類）^[11]。

このような特徴から、ヒトは透視投影図から遠近感を得やすい。このため視覚芸術では遠近感を感じさせたり写実性の高い表現をするために透視投影がしばしば取り入れられる（詳細は遠近法を参照）。視点たるカメラで撮影する写真では自然に透視投影が起きている。また写実的な3次元コンピュータグラフィックスでもレンダリングの一環として透視投影が利用される（詳細は3次元コンピュータグラフィックス#原理を参照）。

透視投影を実現する投影図法は透視図法と呼ばれる。消失点を利用する方法や座標変換行列による方法など、様々な実現手順（図法）が考案されている（#透視図法）。

透視投影・透視投影図は俗称として「パース」とも呼ばれる^[12]（用例: 「パースが狂っている」）。

仕組み

透視投影では、全ての投影線が視点へ収束する制約を設けたうえで投影をおこなう^[2][3]。すなわち、3次元空間内の各点から視点へ向け投影線を伸ばし投影面との交差より投影図を得る。

視点

透視投影における視点（してん、英: point of sight）は全ての投影線が収束する点である^[3][13]。投影中心（してん、英: center of projection）とも^[14]。

視線

透視投影における視線（してん、英: line of sight）は空間内の点と視点を結んだ直線である^[3][15][16]。

視線は「投影線」の透視投影における別名である。必ず視点を通る投影線、とも定義できる。ヒトの視覚における「視線」は視野中心の方向を指す（ある瞬間に1方向しかない）が、透視投影における「視線」は空間内の無数の点と視点を結んでいる無数の投影線を指す（ある瞬間に無数にある）ため意味が全く異なる。混同してはならない。

特性

全ての投影線が視点へ収束する制約により、透視投影は特有の性質をもつ。

平行面の形状維持

透視投影は、投影面と平行な面上の物体形状が像でも維持される特性を持つ^[17]。

この特性は視点の取り方に依らず常に成立する。

この特性は右図を用いて次のように説明される：

投影面に平行な面上に線 ${\displaystyle {\overline {AB}}}$

視点 ${\displaystyle S}$

投影面に対し奥行きをもった線分 ${\displaystyle {\overline {AC}}}$

一点透視図法の例。キャンバスは垂直・水平方向の2軸と平行で、奥行き方向の軸とは垂直である。

西予市米博物館 中央左寄が消失点。

二点透視投影（にてんとうしとうえい、英: two-point perspective）は投影面に対して対象物の上下面が直交し側面が傾斜した透視投影である^[30]。

直方体の二点透視投影を得る場合、上面と下面を繋ぐ平行な4辺は全て投影面と平行になる。側面のうち2つは右奥方向へ、残りの２つは左奥方向へ傾斜するため、合わせて「二点」の消失点へ向けて各側面の辺は向かう^[31]。二点透視投影は一点透視投影から視点を左右に回すことで実現できる。

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  二点透視図法。対象物を斜めから見る。
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  二点透視図法の例。キャンバスは垂直方向の軸のみと平行である。
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  法務省旧本館 写真外に消失点がある

三点透視投影（さんてんとうしとうえい、英: three-point perspective）は対象物のすべての面が投影面に対し傾斜した透視投影である^[32]。

直方体の三点透視投影を得る場合、各面ペアの4辺はペアごとに異なる消失点へ向かう。そのため合わせて「三点」の消失点が現れる^[33]。三点透視投影は二点透視投影に仰角・俯角をつけることで実現できる。

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  三点透視図法。 対象物を斜め下、または斜め上から見る。
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  三点透視図法の例。 対象物を斜め上から見る
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  センチュリーパークタワー。対象物を斜め下から見る。

透視図法（とうしずほう、英: perspective drawing method）は透視投影を実現する投影図法である。透視投影法（とうしとうえいほう）とも^[34]。

透視投影図を得るための具体的な手続きには様々な種類がある。以下はその一例である：

• 直接法
  • 座標計算法
• 消点法
• 距離点法
• 測点法（英: Scale point method）

各図法に応じた様々な道具も存在する（例: パース定規、パースグリッド）。

複数の透視図法に共通する基礎的な概念がいくつか存在する。これら無しでも透視投影そのものは説明できるが、図法の説明にはこれらの理解が必要になることが多い。

視心（ししん、英: main point, 英: visual center）は視点から投影面へ伸ばした垂線が投影面と交わる点である。視中心（しちゅうしん）とも^[35]。

視心は「カメラの真正面が投影される点」に相当する。視心は主投影線と投影面の交点とも言い換えられる^[36]。広角領域の感覚的歪みは視心と離れるほど大きくなるため、作図にあたって視心の把握が必要になる場合が多い。

水平面（すいへいめん、英: horizon plane, horizontal plane）は視点を通る水平な面である^[37][38][39]。地平面とも^[40]。

水平面は「垂直に立った人の目の高さにある、空間内の水平な面」に相当する。水平面と投影面は独立している（直交するとは限らない）。

透視投影における水平線（すいへいせん、英: horizon line, horizontal line）は水平面と投影面が交差してできる投影面上の直線である^[41][42]。地平線とも。

水平線は水平面の投影像である。これは以下のように説明できる。水平面は視点を通るため視点は水平面上にある。また水平面は平面であるため水平面の任意の点と視点は同一平面上に存在する。このため水平面上の任意の点の投影線（=点と視点を繋ぐ直線）もまた水平面上に存在する。投影先は投影線と投影面の交点であるため、投影先は投影面と水平面が交差する直線上のどこかになる。よって空間内の水平面を投影すると水平線という直線へ潰れて投影面上に現れる。

この水平線は地球が球体であることに由来する水平線（英: horizon）とは異なる概念であり混同してはならない。透視投影はたとえ地球が平面であってもその果てが消失点としての水平線に収束することを示している（ゆえに水平線と呼ばれている）。

水平面は平行であるため面内のどこでも高さが一定（視高の値）である。ゆえに視高と同じ高さの点は奥行きに関わらず水平線上に投影される。これは作図上有用である。

基準面（きじゅんめん、英: basic plane）は基準となる水平な面である^[43]。 基面（きめん）、英: ground plane とも^[44]。

基準面は抽象的な「地面」に相当し、観測者（目が視点）は基準面上に立っていると想定される^[44]。基準面と投影面は独立している（直交するとは限らない）^[45]。

視点の高さである視高（しこう）は基準面から視点までの垂直距離と定義される^[43]。水平面を視高の分だけ垂直に下げた平面が基準面ともいえる。また視高はカメラにおけるレベルに相当する。

一点透視投影と二点透視投影では基準面と視高を設定することで投影図から実長を計測する助けになる。

投影角度（とうえいかくど、英: projection angle）は投影面と水平面がなす角度である^[46]。

投影面と基準面がなす角度ともいえる^[47]。視点にカメラを置いたとき、そのカメラが向いている上下方向の角度が投影角度にあたる。

直接法（英: Piercing method）は各視線と投影面の交点を直接写し取る透視図法である^[48]。

交点の求め方は様々存在する。視線の正投影を利用した作図や三角比を持ちいた座標計算法などで求められる^[49]。対象物の各点について同様の計算を繰り返すため、直接的で単純だが繰り返しの多い図法である^[50]。透視投影では空間内の直線が投影図上でも直線であるため、線分であれば端点を写し取り間に直線を引くだけで投影できる（繰り返しの数を減らせる）。点を写し取る手法であるため、曲線などの複雑な形状であっても点集合として容易に投影できる（繰り返しの数は多い）^[51]。

座標計算法（英: Coordinate piercing method）は視線の正投影から投影先の座標を幾何的に算出する透視図法である^[52]。

座標計算法は直接法の一種で、作図ではなく座標計算によって視線と投影面の交点を求める。視点から視心への投影線（主投影線）を軸として直交する二つの平面を用意し、ここへ視線と投影面を平行投影（正投影）する。これにより投影面を含んだ三角形の相似関係が見いだせるため、比例計算によって投影先の座標が求まる^[53]。

消点法（英: Trace-vanishing point method）は投影される直線の描画角度を消失点から求める透視図法である^[54]。

透視投影は平行線が消失点へ収束する特性を持つ。ゆえに線分内の点1つと消失点が分かれば線分の描画角度がわかる。これを利用し、基準となるいくつかの点・線分を直接法で用意したうえでそこから各線分を消失点により投影する。こうすることで対象物の角が投影された線の交点として現れ、対象物全体を投影できる。交点の位置を直接求める必要が無いため手間を省くことができる^[55]。

一点透視図法（英: One-point method）は一点透視投影が成立する視点から消点法を用いる透視図法である^[56][57]。

一点透視投影が成立する視点を取るため対象物は正面が投影面と平行であり、さらに箱型であれば奥行き方向の辺が互いに平行である。よってまず対象物の正面を形状を保ったまま描画する（#平行面の形状維持）。残りは奥行き辺の方向と長さである。奥行き辺は互いに平行であるため投影面上に消失点を1つ設定し全ての奥行き辺をその方向へ向ける（#平行線の収束）。長さは様々な方法で決定される。投影面上の別の物体から補助線を伸ばすケース（例: 別の正方形の対角線を延長して交点を探す）や測点を使い正面像と比較するケース（例: 視心へ収束する辺の長さを距離点で計測）や任意に設定するケース（画角が後付け）などがある。向きと長さが決まったので正面像からこれに従って線分を伸ばせば一点透視図を得られる。

二点透視図法（英: Two-point method）は二点透視投影が成立する視点から消点法を用いる透視図法である^[58][59]。 二点透視投影が成立する視点を取るため消失点が二点になる。この二点へ向けて奥行きのある平行線が収束する。

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  二点透視図法による立方体
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  直接法と二点透視図法の一致

三点透視図法は三点透視投影が成立する視点から消点法を用いる透視図法である^[60][61]。

三点透視投影が成立する視点を取るため消失点が三点になる。単なる（視点に制約のない）消点法ともいえる。

距離点法（英: Distance point method）は一点透視投影で水平角度45°の消失点を用いて投影面にグリッドを映す透視図法である^[62]。

一点透視投影では消失点が水平線上に存在する。水平線上の消失点のうち水平角度45°に対応する点を距離点（きょりてん、英: Distance point）という。ここで投影面に垂直な四角形を考えると、その対角線は距離点へ収束する。ゆえに次の手順で正方形の投影ができる：

• 正方形の1辺となる水平な線分 ${\displaystyle {\overline {AB}}}$