複素解析学 における留数 （りゅうすう、英 : residue 孤立特異点 を囲む経路に沿う有理型関数 の複素線積分 により得られる複素数 である。
解析函数 f (z )z = a 孤立特異点 であるとき、 z = a 留数
Res
z
=
a
f
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {Res} \limits _{z=a}f(z)}
単純閉曲線 γ と、γ が囲む有界領域 D を考える。D f (z )D 内に孤立特異点 a 1 , a 2 , …, a n
∮
γ
f
(
z
)
d
z
=
2
π
i
∑
i
=
1
n
Res
z
=
a
i
f
(
z
)
{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z){\mathit {dz}}=2\pi i\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Res} \limits _{z=a_{i}}\,f(z)}
が成り立つ。ただし、積分は γ を D の内点からの偏角が正の向き（領域を左に望む方向）に進む。これを留数定理 (residue theorem) と呼ぶ。
留数定理を用いると、例えば
∫
−
∞
∞
d
x
(
1
+
x
2
)
n
+
1
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{{\mathit {dx}} \over (1+x^{2})^{n+1}}}
のような積分が計算できる。まず、f (x ) = 1 /(1 + x 2 )n + 1f (z )z = ±i R > 0[−R , R ] を直径とする原点中心の半円板で z = i C 0 C 0 [−R , R ] を除いた部分を C とする。実軸上を正の向きに進むものとして C 0 f (z )
∫
C
0
d
z
(
1
+
z
2
)
n
+
1
=
∫
−
R
R
d
x
(
1
+
x
2
)
n
+
1
+
∫
C
d
z
(
1
+
z
2
)
n
+
1
{\displaystyle \int _{C_{0}}{{\mathit {dz}} \over (1+z^{2})^{n+1}}=\int _{-R}^{R}{{\mathit {dx}} \over (1+x^{2})^{n+1}}+\int _{C}{{\mathit {dz}} \over (1+z^{2})^{n+1}}}
である。このとき C が十分大きければ R に依らず、C 0 f (z )(n + 1) -位の極 z = i
2
π
i
Res
z
=
i
f
(
z
)
=
2
π
i
n
!
lim
z
→
i
d
n
d
z
n
(
(
z
−
i
)
n
+
1
(
1
+
z
2
)
n
+
1
)
=
2
π
i
n
!
d
n
d
z
n
1
(
z
+
i
)
n
+
1
|
z
=
i
=
π
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}2\pi i\,\operatorname {Res} \limits _{z=i}\,f(z)&={2\pi i \over n!}\lim _{z\to i}{d^{n} \over {\mathit {dz}}^{n}}\!\left({\frac {(z-i)^{n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}\right)\\&={2\pi i \over n!}\left.{d^{n} \over {\mathit {dz}}^{n}}{1 \over (z+i)^{n+1}}\right|_{z=i}={\pi (2n)! \over 2^{2n}(n!)^{2}}\end{aligned}}}
となる。一方、右辺第二項は R → ∞0 に収束するので、結局
π
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
=
∫
−
∞
∞
d
x
(
1
+
x
2
)
n
+
1
{\displaystyle {\pi (2n)! \over 2^{2n}(n!)^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }{{\mathit {dx}} \over (1+x^{2})^{n+1}}}
を得る。
留数定理の系として、偏角の定理 あるいは偏角の原理
定理
単純閉曲線 γ の囲む有界領域 D の閉包を E とし、E 上で定義される有理型関数 f (z )γ 上に極も零点 も持たないとする。このとき、f (z )D 内での零点と極は有限個である。重複度まで込めた零点の個数を n 、極の個数を m とすると
1
2
π
i
∮
γ
d
log
f
(
z
)
=
n
−
m
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }d\!\log f(z)=n-m}
a 1 , a 2 , …, a n b 1 , b 2 , …, b m E 上の任意の正則関数 g (z )
1
2
π
i
∮
γ
g
(
z
)
d
log
f
(
z
)
=
∑
j
=
1
n
g
(
a
j
)
−
∑
k
=
1
m
g
(
b
k
)
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }g(z)\,d\!\log f(z)=\sum _{j=1}^{n}g(a_{j})-\sum _{k=1}^{m}g(b_{k})}
余接関数 を使った関数 π cot(πz ) は、全ての整数 n が1位の極であり、留数はいずれも 1 である（これらが特異点の全てである）。このことを利用して、
∑
n
=
−
∞
∞
f
(
n
)
{\displaystyle \displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)}
のような無限和の計算ができる。
例えば f (z ) = z −2 N を整数とし、ΓN を正方形 [−N − 1 / 2 N +
1 / 2 N −
1 / 2 N +
1 / 2 の周に反時計回りに向きを付けた閉路とする。
留数定理により、
1
2
π
i
∫
Γ
N
f
(
z
)
π
cot
(
π
z
)
d
z
=
Res
z
=
0
f
(
z
)
π
cot
(
π
z
)
+
∑
n
=
−
N
n
≠
0
N
n
−
2
.
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\,dz=\operatorname {Res} \limits _{z=0}f(z)\pi \cot(\pi z)+\sum _{n=-N \atop n\neq 0}^{N}n^{-2}.}
左辺は N → ∞オーダーが O (N −2 ) だからである。
一方、
z
2
cot
(
z
2
)
=
1
−
B
2
z
2
2
!
+
⋯
;
B
2
=
1
6
{\displaystyle {\frac {z}{2}}\cot \left({\frac {z}{2}}\right)=1-B_{2}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots ;\qquad B_{2}={\frac {1}{6}}}
である[ 1]
z / 2 z / 2 iz / 1 − e −iz iz / 2 と変形することで分かる（ベルヌーイ数 を参照）。これより、留数
Res
z
=
0
f
(
z
)
π
cot
(
π
z
)
{\displaystyle \operatorname {Res} \limits _{z=0}f(z)\pi \cot(\pi z)}
−
π2 / 3 に等しい。
以上より
∑
n
=
1
∞
1
n
2
=
π
2
6
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
であることがわかり、バーゼル問題 の解法の一つが得られた。
同じ技巧を用いて、整数でない任意の複素数 z について
π
cot
(
π
z
)
=
lim
N
→
∞
∑
n
=
−
N
N
(
z
−
n
)
−
1
{\displaystyle \pi \cot(\pi z)=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}(z-n)^{-1}}
が各点収束の意味で成り立っていることが証明できる（部分分数展開 ）。
w を整数でない複素数として、f (z ) = (w − z )−1
1
2
π
i
∫
Γ
N
f
(
z
)
π
cot
(
π
z
)
d
z
=
Res
z
=
w
f
(
z
)
π
cot
(
π
z
)
+
∑
n
=
−
N
N
1
w
−
n
=
−
π
cot
(
π
w
)
+
∑
n
=
−
N
N
1
w
−
n
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\,dz&=\operatorname {Res} \limits _{z=w}f(z)\pi \cot(\pi z)+\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{w-n}}\\&=-\pi \cot(\pi w)+\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{w-n}}\end{aligned}}}
が得られる。今回難しいのは、左辺の複素線積分が消えることの証明である。そこで
∫
Γ
N
π
cot
(
π
z
)
z
d
z
=
0
{\displaystyle \int _{\Gamma _{N}}{\frac {\pi \cot(\pi z)}{z}}\,dz=0}
であることを利用する。これが成り立つのは、被積分関数が偶関数であるため、左半平面にある経路からの寄与と右半平面にある経路からの寄与が互いに打ち消し合うからである。
よって、
∫
Γ
N
f
(
z
)
π
cot
(
π
z
)
d
z
=
∫
Γ
N
(
1
w
−
z
+
1
z
)
π
cot
(
π
z
)
d
z
{\displaystyle \int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\,dz=\int _{\Gamma _{N}}\left({\frac {1}{w-z}}+{\frac {1}{z}}\right)\pi \cot(\pi z)\,dz}
は N → ∞
このことと留数定理の等式とをあわせて、文字を w から z に取り換えれば、最初に提示した等式になる。
^ Whittaker, E. T. ; Watson, G. N. (1902). A Course of Modern Analysis . Cambridge University Press. § 7.2