solid of revolutionとは？ わかりやすく解説

(solid of revolution から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/10 08:18 UTC 版)

曲線の回転。その表面は回転面を成し、その囲む領域が回転体である。

数学、工学および製造業における回転体（かいてんたい、英: solid of revolution）は、適当な平面曲線を同平面内の直線を回転の軸（英語版）として回転させることにより得られる立体図形である。

母線となる曲線が軸と交わらないものとすれば、回転体の体積は表面積と中心軌跡（英語版）によって記述される円周の長さとの積に等しい（パップスの第二中心軌跡定理）。

代表円板 (representative disk) は回転体の三次元体素を言う。この体素は回転の軸から r 単位離れた位置にある長さ w の線素を回転させることによって得られ、従って πr²w 単位の円筒体積を囲む。

求積法

回転体の体積の求積法には、円板分割と円筒分割の大きく二つがよく用いられる。これらの方法を適用するために、対象のグラフを描くことが最も平易である。グラフの面積を回転軸の周りに回転させたものと見るとき、体積を求めるには図形を厚み δx の薄い円板形か、厚み δx の薄い円筒殻に切り分けて、それらの体積の和の δx → 0 なる極限をとればよく、その値は適当な積分によって評価されることになる。

円板法

y-軸に関する円板分割積分 (disk integration)

詳細は「Disk integration（英語版）」を参照

円板法（円板分割法）では回転体を回転軸に垂直にスライスし、軸に平行に積分する。

曲線 f(x), g(x) と直線 x = a, x = b の囲む面積を x-軸の周りに回転させてできる回転体の体積は

${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}\vert f(x)^{2}-g(x)^{2}\vert \,dx}$

バウムクーヘン積分 (shell integration)

円筒分割（年輪法）は回転体を回転軸と平行にスライスし、軸に垂直に積分する。

曲線 f(x), g(x) と直線 x = a, x = b の囲む面積を y-軸の周りに回転させた回転体の体積は

${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x\vert f(x)-g(x)\vert \,dx}$ ウィキメディア・コモンズには、回転体に関連するカテゴリがあります。

• ガブリエルの角笛
• ギュルダンの定理
• 擬球面（英語版）
• 回転面

脚注

[脚注の使い方]

1. ^ Sharma, A.K. (2005). Application Of Integral Calculus. Discovery Publishing House. p. 168. ISBN 81-7141-967-4. http://books.google.com/books?id=V_WxjYMKuUAC , Chapter 3, page 168
2. ^ Singh (1993). Engineering Mathematics (6 ed.). Tata McGraw-Hill. p. 6.90. ISBN 0-07-014615-2. http://books.google.com/books?id=oQ1y1HCpeowC , Chapter 6, page 6.90

外部リンク

• CliffsNotes.com. Volumes of Solids of Revolution. 12 Apr 2011 <http://www.cliffsnotes.com/study_guide/topicArticleId-39909,articleId-39907.html>.
• Frank Ayres, Elliott Mendelson. Schaum's Outlines: Calculus. McGraw-Hill Professional 2008, ISBN 978-0-07-150861-2. pp. 244–248 (online copy, p. 244, - Google ブックス)
• Weisstein, Eric W. "Solid of Revolution". MathWorld (英語).

表 話 編 歴 立体
多面体 凸体（英語版） 楕円体 回転楕円体 球体 球面 柱体 円柱 錐体 円錐 双錐 双円錐 錐台 円錐台 トーラス 回転体 超二次楕円体（英語版） スフェリコン（英語版） 曲面 放物面 双曲面