firing & bombing theoryとは？ わかりやすく解説

(firing & bombing theory から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/26 08:20 UTC 版)

射爆理論の対象範囲
射爆理論では、武器誤差、照準誤差、弾道誤差、破壊確率という確率変数を元に分析・研究を行う。

射爆理論（しゃばくりろん、射撃・爆撃理論、英: Firing & Bombing Theory）とは、射撃と爆撃の目標撃破の確率論的特性の解析と、射爆の効率の最適条件を分析する理論である。射法ともいう^[1]。

概要

銃砲を使用した戦闘における銃砲弾の弾着とそれによる目標の破壊は、ランダムな要素を持つ確率的な現象であると同時に、射手を含めた発射システムが備える多種多様な特性に起因した結果である。

射爆理論はこの確率と固有特性に着目した研究分野であり、火力投射・投下型の兵器での射撃と爆撃に関しては、「目標撃破の確率特性の分析」と「目標撃破の効率化と最適化の理論研究」の2つの分野に大別できる。

目標撃破の確率論的特性の分析とは、軍事のオペレーションズ・リサーチ（OR）問題であり、射撃と爆撃におけるシステム全体を確率的変動要因に分解してそれぞれの確率分布を分析することである。

目標撃破の効率化と最適化の理論研究は、一般的な資源配分問題であり、射法や修正方法、射弾配分、兵力配分の最適化を求めて研究されている。

射爆理論では敵からの攻撃による被害を要素に含めず、一方的な攻撃状態のみを仮定している。双方の攻撃と被害に関しては別に「交戦理論」という研究分野で扱われる。

用語と定義

射爆理論では、分析と効果の最適化を図る過程で使用する用語を厳密に定義することで、曖昧さの排除に努めている。

撃破と命中

射爆理論では目標の撃破には条件が設定される。例えば艦船の撃破であれば、沈没、航行不能、主要兵器使用不能といった状態から、単に通信アンテナに修理不能な程度の損傷を与える程度まで、いくつかの段階があり、近代艦船ではC3Iの要である通信能力を奪われるだけで以後の戦闘参加が不可能になる場合があり、修理される相応の期間だけ当該艦船の戦力を封殺できることは概念として撃破ととらえることが可能である。

射弾の命中は目標中心から規定範囲内に弾着することを意味しており、目標の破壊とは無関係である^[2]。単射による小目標の場合には、目標に弾着することは目標の破壊に直接結びつくと射爆理論でも規定される場合があるが、その場合でも命中とは呼ばれない。

小目標と大目標

1つの弾の効果で撃破される目標を小目標、または点目標と呼び、1発の着弾で完全撃破されるか全く無傷であるかのいずれかであり、部分的な被害・破壊は生じないと定義されている。注意しなければならないのは、小目標であっても命中しても必ずしも撃破されるとは限らないことである。複数の弾の効果で撃破される目標を大目標、または面目標と呼び、複数発の命中弾の累積効果で目標は撃破される。基本的には複数発での命中が前提であるが、目標の致命的な部位への1発の命中によって撃破されるモデルも存在し、この場合の目標は構造型大目標と呼ばれる。

面状に散らばった多数の小目標の集団を1つの大目標として扱う場合があり、この目標は集合的大目標と呼ばれる。

逐次射撃と同時射撃

複数回行われる射撃において、前回射撃時の結果を観測して弾着点や目標撃破の有無を次からの射撃に反映させることを逐次射撃と呼ぶ。

前回の射撃を変更せずに次の射撃を行うことを同時射撃と呼ぶ。これら2つは時間的な差異ではなく、前回の結果を次回の判断に反映させるか否かの違いである。

観測射撃と修正射撃

逐次射撃でも、目標撃破の有無だけを次回の射撃に反映させる場合には観測射撃（Shoot-Look-Shoot）と呼び、弾着点の観測結果によって次の射撃を修正する場合には修正射撃と呼ぶ。

挟叉修正射撃と偏差修正射撃

修正射撃でも、遠近、または左右だけの目標と弾着とのずれの方向が判り修正する射撃は挟叉修正射撃と呼び、目標中心からのずれの方向だけでなく距離（ミス・ディスタンス）まで判り、これに基づいて修正する場合には偏差修正射撃と呼ぶ。

独立射撃、サルボ射撃、パターン射撃

複数回射撃を繰り返す場合の射法でいくつか分かれる。1発の射撃の度に照準をやり直すのを独立射撃（independent firing）、同一の射撃諸元のままで複数発の射撃を行うことをサルボ射撃（salvo firing、斉射）またはリップル射撃（ripple firing、連射）、一定のパターンで散開した弾着点を描くように企図したパターン射撃（pattern firing）、とそれぞれ呼ばれる。

単発撃破確率と撃破速度

射撃と爆撃による成果は撃破の有無によって評価され、これらの兵器の評価値は目標撃破確率で表現される。具体的な評価尺度としては1発の射撃・爆撃によって小目標を撃破する確率を表した単発撃破確率（single shot kill probability; SSKP）が使われる。また、単位時間当たりの平均発射弾数に単発撃破確率を乗じた値を撃破速度と呼ばれる。大目標の撃破では目標撃破確率と期待カバレッジが評価基準となる。

目標撃破確率は、着弾距離、撃破の閾値、目標の特性、弾種が関係する関数であり、つまり目標からのずれである着弾距離分はなれた場所に着弾した規定弾種が、特定の特性を持つ目標に対し、事前に規定された撃破の閾値以上の被害を及ぼし得る確率である。

複数の要因

目標撃破の確率論的特性を支配する要因には以下のものがある。

• 目標：目標位置の不確実性、目標の移動
• 発射装置・弾薬等：ハードウェアとしての銃砲弾の発射機構・爆弾投下システム・弾薬・薬剤の精度誤差
  • 銃砲弾の発射機構：加工精度、腔内エロージョン、温度による変形誤差
  • 弾薬・薬剤：温度による発射薬と炸薬の燃焼・爆轟速度の変化、弾体・炸薬・推進薬の品質誤差
• 射撃管制：照準装置・射撃管制装置の精度誤差、操作員の過誤等
• 環境：自然環境による弾道のずれ、発射基台の動揺
  • 自然環境：風向・風速、空気密度
  • 発射基台の動揺：発射基台となる銃架、車両、艦船の動揺と移動による誤差
• 目標撃破関数・期待カバレッジ：
  • 目標撃破関数：目標損傷関数とも呼ばれ小目標・大目標の破壊程度を求めるのに使用される
  • 期待カバレッジ：大目標での破壊程度を求めるのに内部の小目標の撃破割合の期待値（期待カバレッジ）を使用する

また、目標発見から弾着までの各段階による誤差分布の視点で以下の5つの要因に分類できる。単純化のため、砲システムでの説明とするが、航空機による爆弾投下やミサイルでの分類も相応に分類できる。

1. 目標誤差：目標位置の観測誤差などの不確実性、目標の移動による差異
2. 武器誤差：砲ごとのばらつき、零点規正の誤差、砲座の堅確性、砲の位置誤差、など射撃システムの展開段階での誤差
3. 照準誤差：照準から砲口を離れるまでの照準システムと操作員に起因する誤差
4. 弾道誤差：空中を飛翔中の砲外弾道学で説明される誤差
5. 破壊確率：弾着後の加害として目標撃破関数・期待カバレッジによる目標破壊に関する確率分布

1は射爆理論では扱わない。 2から5までが射爆理論で扱う範囲である。

小目標の撃破

射爆理論での最も単純化されたモデルとして、1つの小目標に対して1発の弾による撃破の確率を考察する。小目標はその定義から攻撃を受けても撃破されるか無傷かのいずれかであり、次の4つの要素で決まる。

1. 小目標の抗甚性、または脆弱性
2. 銃砲弾・爆弾の弾種や加害能力
3. 目標中心と弾着点との相対位置
4. 目標撃破の基準

1から3は目標への損傷程度を規定し、損傷程度が4の目標撃破の基準を上回れば撃破となる。

1次元目標の損傷関数

弾着は平面や立体で捉えるべきであるが、目標に対する弾着のずれとその損傷程度を損傷関数D を用いて表現する端緒として、まず1次元で考察してみる。

x を目標中心からの弾着距離とすると、損傷関数（damage function）D (x ) は、平均値が 0 である：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }xD(x)dx=0}$

A.クッキー・カッター型損傷関数
B.カールトン型損傷関数
C.正規分布型損傷関数
1.（縦軸）損傷程度 2.（横軸）弾着距離 3.目標中心 4.弾着 5.矩形波形 6.自然対数波形 7.正規分布波形

クッキー・カッター型損傷関数

これは最も単純な損傷関数のモデルであり、距離x の絶対値が致命域L の半分以下の時に 1、つまり必ず撃破され、半分未満の時は 0、つまり絶対に撃破されないものとするものである。

${\displaystyle D(x)={\begin{cases}1,&|x|\leqq L/2\\0,&|x|>L/2\end{cases}}}$

構造的大目標の命中は一定距離以内の射弾と定義され、目標中心から距離R 以内の弾着での命中の特性は、次の式で表される。

${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1,{\mbox{(hit)}}&|x|\leqq R\\0,{\mbox{(miss)}}&|x|>R\end{cases}}}$

1次元の弾着分布は、以下の正規分布で表される。

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \!\left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$

クッキー・カッター型損傷関数による単発撃破確率

矩形目標の2辺x₁ とx₂ が射線方向とそれに直交する方向に平行な場合の損傷関数D (x₁ , x₂ ) は以下の式で与えられる。

${\displaystyle D(x_{1},x_{2})={\begin{cases}1&|x_{1}|\leqq a_{1},\quad |x_{2}|\leqq a_{2},\\0&otherwise\end{cases}}}$

長い矩形目標の2辺X₁ とX₂ が、射線方向x₁ とそれに直交する方向x₂ に対してθだけ傾いている場合は若干複雑になる。弾着中心と目標の損傷関数中心が一致する場合の、射爆の2軸と目標の2軸の関係は以下の式で与えられる。

${\displaystyle x_{1}=X_{1}\cos \theta +X_{2}\sin \theta ,\quad x_{2}=X_{1}\sin \theta +X_{2}\cos \theta }$

目標の中心線X₂ から左右にa だけ幅を持った帯状の内側への弾着で目標が撃破される時、このように傾いた帯状の単発撃破確率P は、以下の式になる。

${\displaystyle P=\int _{-a}^{a}\int _{-\infty }^{\infty }f(X_{1},X_{2})dX_{1}dX_{2}=2{\boldsymbol {\phi }}\left({\frac {a}{\sqrt {\sigma _{1}^{2}\cos ^{2}\theta +\sigma _{2}^{2}\sin ^{2}\theta }}}\right)-1}$

円形目標の場合には、さらに複雑となる。弾着の分布が円形正規分布となるか楕円正規分布となるかという違いや、目標中心と弾着中心とのずれの有無によって計算は4通りに分かれる。いずれの場合でも以下の損傷関数に従うものとする。

${\displaystyle D(x_{1},x_{2})={\begin{cases}1&|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}\leqq a^{2},\\0&|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}>a^{2}\end{cases}}}$a^{2}\end{cases}}}">

${\displaystyle L=\pi a^{2}}$：致命域

弾着点の確率密度関数は次の式で表される。

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}}}\exp \left(-{\frac {(x_{1}-\mu _{1})^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {(x_{2}-\mu _{2})^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}\right)}$

μ₁ , μ₂ ：目標中心と弾着中心のずれ

σ₁² , σ₂² ：分散

弾着の分布が円形正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがない場合を考えると、上の式での目標中心と弾着中心のずれ) と分散σ₁² , σ₂² はすべて 0 となる。これにより、単発撃破確率P は、以下の式になる。

${\displaystyle P={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}\exp(-{\frac {r^{2}}{2\sigma ^{2}}})rdrd\theta =1-\exp(-{\frac {a^{2}}{2\sigma ^{2}}})}$

このP はレーリー分布となる。

弾着の分布が円形正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがμだけある場合を考えると、分散についてはσ₁² = σ₂² = 0 で良いが、目標中心と弾着中心のずれ (μ, 0) とする。弾着の分布が円形分布なのでずれの方向にx₁ 軸を合わせることで計算式を単純にできる。単発撃破確率P は、以下の式になる。

${\displaystyle {\begin{aligned}P&={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\iint _{A}^{}\exp(-{\frac {(x_{1}-\mu )^{2}+x_{2}^{2}}{2\sigma ^{2}}})dx_{1}dx_{2}\quad \quad A:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leqq a^{2}\\&={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}\exp(-{\frac {r^{2}-2\mu \cos \theta +\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}})rdrd\theta \\&={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\exp(-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}})\int _{0}^{a}r\exp(-{\frac {r^{2}}{2\sigma ^{2}}})\{\int _{0}^{2\pi }\exp({\frac {\mu r\cos \theta }{\sigma ^{2}}})d\theta \}dr\\\end{aligned}}}$

上の式の最後に出てくる ${\displaystyle \theta }$の積分には、次の関係を用いる。

${\displaystyle \exp(z\cos \theta )={\mathit {I}}_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }{\mathit {I}}_{n}(z)\cos(n\theta )}$

区間 [0, 2π] の間で積分すれば右辺 cos(n θ)= 0 になるので次式が成り立つ。

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\exp({\frac {\mu r\cos \theta }{\sigma ^{2}}})d\theta =2\pi {\mathit {I}}_{0}({\frac {\mu r}{\sigma ^{2}}})}$

これらの式のa とμ、r をσで割って単発撃破確率P (α, β) を表せば、以下の式になる。

${\displaystyle P(\alpha ,\beta )=\exp(-{\frac {\beta ^{2}}{2}})\int _{0}^{a}t\exp(-{\frac {t^{2}}{2}}){\mathit {I}}_{0}(\beta t)dt,\quad \alpha ={\frac {a}{\sigma }},\quad \beta ={\frac {\mu }{\sigma }},\quad t={\frac {r}{\sigma }}.}$

上式は円形カバレッジ関数（circular coverage function）と呼ばれ、次の近似式がある。

${\displaystyle P_{a}(\alpha ,\beta )\approx {\frac {\alpha ^{2}}{2S^{2}}}{\bigg [}1-{\frac {\alpha ^{2}}{4{\sqrt {3S^{2}}}}}(1-{\frac {\beta ^{2}}{2S^{2}}}){\bigg ]}\exp(-{\frac {\beta ^{2}}{2S^{2}}}),\quad S^{2}={\frac {1-1/{\sqrt {3}}}{4}}\alpha ^{2}+1.}$

弾着の分布が楕円正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがない場合を考える。弾着の分布が楕円形の分布なので、x₁ とx₂ の2軸を必要とし、分散については ${\displaystyle \sigma _{1}\leqq \sigma _{2}=\sigma }$とする。目標中心と弾着中心 (0, 0) からのずれは (μ₁ , μ₂) として、ずれのより大きな方向をx₁ 軸とする。γ = σ₂ / σ₁ とすれば、単発撃破確率P は、以下の式になる。

${\displaystyle {\begin{aligned}P&={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}}}\iint _{A}^{}\exp(-{\frac {x_{1}^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {x_{2}^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}})dx_{1}dx_{2}\quad \quad A:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leqq a^{2}\\&={\frac {1}{2\pi \gamma \sigma ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}\exp(-{\frac {r^{2}(\sin ^{2}\theta +\gamma ^{2}\cos ^{2}\theta )}{2\gamma ^{2}\sigma ^{2}}})rdrd\theta \\&={\frac {1}{2\pi \gamma \sigma ^{2}}}\int _{0}^{a}r\exp(-{\frac {r^{2}(1+\gamma ^{2})}{4\gamma ^{2}\sigma ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\exp({\frac {r^{2}(1-\gamma ^{2})\cos(2\theta )}{4\gamma ^{2}\sigma ^{2}}})d\theta dr\\\end{aligned}}}$

t = r /σ、η = 2θとすれば、以下のように展開できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}P&={\frac {1}{4\pi \gamma }}\int _{0}^{a}t\exp(-{\frac {(1+\gamma ^{2})t^{2}}{4\gamma ^{2}}}\int _{0}^{4\pi }\exp(-{\frac {t^{2}(1-\gamma ^{2})\cos \eta }{4\gamma ^{2}}})d\eta dt\\&={\frac {1}{\gamma }}\int _{0}^{a}t\exp(-{\frac {(1+\gamma ^{2})t^{2}}{4\gamma ^{2}}}{\mathit {I}}_{0}({\frac {(1-\gamma ^{2})t^{2})}{4\gamma ^{2}}})dt\equiv PP(\alpha ,\gamma ),\quad \quad \alpha ={\frac {a}{\sigma }},\gamma ={\frac {\sigma _{2}}{\sigma }},\sigma _{1}=\sigma \\\end{aligned}}}$

このPP (α, γ) は楕円カバレッジ関数（elliptic coverage function, generalized circular error function）と呼ばれる。

弾着の分布が楕円正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがある場合は、解析式が複雑で容易な近似式は得られていない。

楕円目標の場合には、さらに複雑となる。弾着の分布が円形正規分布となるか楕円正規分布となるかという違いや、目標中心と弾着中心とのずれの有無によって計算は4通りに分かれる。いずれの場合でも以下の損傷関数に従うものとする。

${\displaystyle D(x_{1},x_{2})={\begin{cases}1,&{\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}\leqq 1,\\0,&{\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}>1\end{cases}}}$1\end{cases}}}">

${\displaystyle L=\pi a_{1}a_{2}}$：致命域

以下では便宜上a₁ > a₂ とする。

弾着の分布が円形正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがない場合を考える。

${\displaystyle P={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\iint _{A}^{}\exp(-{\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2\sigma ^{2}}})dx_{1}dx_{2},\quad \quad A:{\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}\leqq 1.}$

${\displaystyle u=x_{1},v=a_{1}x_{2}/a_{2},\sigma _{u}=\sigma ,\sigma _{v}=\sigma a_{1}/a_{2}}$とすれば、以下のように変換できる。

${\displaystyle P={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}}}\iint _{A}^{}\exp(-{\frac {u^{2}}{2\sigma _{u}^{2}}}-{\frac {v^{2}}{2\sigma _{v}^{2}}})dudv=PP({\frac {a_{1}}{\sigma }},{\frac {a_{1}}{a_{2}}}),\quad \quad A':u^{2}+v^{2}\leqq a_{1}^{2}.}$

弾着の分布が楕円正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがない場合を考える。

${\displaystyle P={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}}}\iint _{A}^{}\exp(-{\frac {x_{1}^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {x_{2}^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}})dx_{1}dx_{2},\quad \quad A:{\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}\leqq 1.}$

${\displaystyle u=x_{1},v=a_{1}x_{2}/a_{2},\sigma _{u}=\sigma _{1},\sigma _{v}=\sigma a_{1}/a_{2}}$とすれば、以下のように変換できる。

${\displaystyle P={\frac {1}{2\pi \sigma _{u}\sigma _{v}}}\iint _{A}^{}\exp(-{\frac {u^{2}}{2\sigma _{u}^{2}}}-{\frac {v^{2}}{2\sigma _{v}^{2}}})dudv=PP({\frac {a_{1}}{\sigma _{1}}},{\frac {a_{1}\sigma _{2}}{a_{2}\sigma _{1}}}),\quad \quad A':{\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}\leqq 1.}$

カールトン型損傷関数による単発撃破確率

矩形目標の2辺x₁ とx₂ が射線方向とそれに直交する方向に平行な場合の損傷関数D (x₁ , x₂ ) と致命域L は以下の式で与えられる。

${\displaystyle D(x_{1},x_{2})=\exp(-{\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2\alpha ^{2}}})}$

${\displaystyle L=2\pi \alpha ^{2}}$

単発撃破確率P は、以下の式になる。

${\displaystyle P={\frac {\alpha ^{2}}{\sqrt {(\alpha ^{2}+\sigma _{1}^{2})(\alpha ^{2}+\sigma _{2}^{2})}}}\exp {{\bigg (}-{\frac {\mu _{1}^{2}}{2(\alpha ^{2}+\sigma _{1}^{2})}}-{\frac {\mu _{2}^{2}}{2(\alpha ^{2}+\sigma _{2}^{2})}}{\bigg )}}}$

${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$：目標中心と弾着中心のずれ

${\displaystyle \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2}}$：分散

特に弾着中心のずれがなく、つまり ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0}$の場合には、単発撃破確率P は、以下の式になる。

${\displaystyle P={\frac {\alpha ^{2}}{\sqrt {(\alpha ^{2}+\sigma _{1}^{2})(\alpha ^{2}+\sigma _{2}^{2})}}}}$

クッキー・カッター型損傷関数よりもカールトン型損傷関数による単発撃破確率の近似関数の方が単純で扱いやすいため、適用が勧められる。

目標の中心線X₁ から左右にαだけ幅を持った帯状の内側への弾着で目標が撃破される時、このように傾いた帯状の損傷関数D (x₁ , x₂ ) は、以下の式になる。

${\displaystyle D(x_{1},x_{2})=\exp \left(-{\frac {X_{1}^{2}}{2\alpha ^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {(x_{1}\cos \theta -x_{2}\sin \theta )^{2}}{2\alpha ^{2}}}\right)}$

単発撃破確率P は、以下の式になる。

${\displaystyle P={\frac {\alpha }{\sqrt {(\alpha ^{2}+\sigma _{1}^{2}\cos ^{2}\theta +\sigma _{2}^{2}\sin ^{2}\theta )}}}}$

正規分布型損傷関数による単発撃破確率

2次元での楕円型正規分布に従う場合の損傷関数D (x₁ , x₂ ) と単発撃破確率P は、以下の式で与えられる。

${\displaystyle D(x_{1},x_{2})={\frac {L}{2\pi S_{1}S_{2}}}\exp(-{\frac {x_{1}^{2}}{2S_{1}^{2}}}-{\frac {x_{2}^{2}}{2S_{2}^{2}}}))}$

${\displaystyle P={\frac {L}{2\pi {\sqrt {(S_{1}^{2}+\sigma _{1}^{2})(S_{2}^{2}+\sigma _{2}^{2})}}}}\exp {{\bigg (}-{\frac {\mu _{1}^{2}}{2(S_{1}^{2}+\sigma _{1}^{2})}}-{\frac {\mu _{2}^{2}}{2(S_{2}^{2}+\sigma _{2}^{2})}}{\bigg )}}}$

${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$：目標中心と弾着中心のずれ

${\displaystyle \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2}}$：分散

特に弾着中心のずれがなく、つまり ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0}$の場合には、単発撃破確率P は、以下の式になる。

${\displaystyle P={\frac {L}{2\pi {\sqrt {(S_{1}^{2}+\sigma _{1}^{2})(S_{2}^{2}+\sigma _{2}^{2})}}}}}$

逐次修正射撃

逐次修正射撃は、目標中心と弾着点とのずれが遠近、左右といった有無でしか認識出来ず、ずれの距離は得られない状況で行われる挟叉修正射撃と、遠近左右の情報に加えてずれの距離情報（ミス・ディスタンス）まで得られ、それに基いて修正を行う偏差修正射撃の2つがある。

目標中心と弾着点とのずれ ${\displaystyle Z_{j}}$は、兵器目盛り上での縮尺係数 ${\displaystyle h}$ × 兵器の照準点と目標中心との誤差 ${\displaystyle x_{j}}$と、射撃ごとのランダムな弾道誤差 ${\displaystyle \xi _{j}}$との和で表される。

${\displaystyle Z_{j}=hx_{j}+\xi _{j}}$

以下では簡単のために遠近方向の1次元についてのみ考察を行う。

挟叉修正射撃

挟叉では外れた場合に遠い「遠弾」か近い「近弾」かのいずれかしか情報が得られないため、次弾弾着を早期に目標中心に近づけるための修正量には確実な正解が存在せず、確率に頼る推定によって修正が行われる。

${\displaystyle f(y_{j})={\frac {1}{\sqrt {s\pi \sigma }}}\exp(-{\frac {(y_{j}-y_{0}-hx_{j})^{2}}{2\sigma ^{2}}})}$

遠弾であった場合、指示確率変数を ${\displaystyle \zeta =1}$、近弾であった場合を ${\displaystyle \zeta =0}$とすると、j発目の確率 ${\displaystyle p(\zeta _{j})}$は次の式で表される。

${\displaystyle p(\zeta _{j}=1)=\int _{y_{o}}^{\infty }f(y_{j})dy_{j}}$

${\displaystyle p(\zeta _{j}=0)=\int _{-\infty }^{y_{o}}f(y_{j})dy_{j}}$

j発の射撃により、j個の 1 と 0 の羅列である弾着点の遠近情報が得られる確率 ${\displaystyle L(y_{o},\zeta )}$は次の式で表される。

${\displaystyle L(y_{o},\zeta )={\boldsymbol {\Pi }}_{i}=1^{j}p(\zeta _{i})}$

${\displaystyle L(y_{o},\zeta )}$を最大にする ${\displaystyle y_{o}}$を ${\displaystyle y_{oj}^{*}}$とする。

${\displaystyle L(y_{oj}^{*})=arg.y_{o}\Pi _{i}=1^{j}p(\zeta _{i})}$

J+1発目の ${\displaystyle y_{j}}$を上式の ${\displaystyle y_{o}j^{*}}$とするのが最尤法である。

偏差修正射撃

偏差修正射撃では、目標中心と弾着点とのずれの距離情報（ミス・ディスタンス）が得られるため、次弾の距離にはこの情報に基づいて修正を加える。

単純に考えれば、発射ごとのミス・ディスタンス全量を逆向きに前回の距離に修正を加えると良いように思える。つまり、j発目の外れた距離 ${\displaystyle z_{j}}$に対して、j+1発目の射撃距離 ${\displaystyle x_{j+1}}$は次の関係で表される。

${\displaystyle x_{j+1}-x_{j}=-z_{j}/h}$

ただし、このような修正方法では兵器の照準に起因する誤差 ${\displaystyle hx_{j}}$は 0 に向けて収束できるが、射撃ごとのランダムな弾道誤差 ${\displaystyle \xi _{j}}$は前回の誤差をすべて含んでしまって収束出来ず、正しくない。

正しい偏差修正射撃とは、j+1発目の射撃距離はj発目のミス・ディスタンス量の1/jを前回の距離にたいして逆向きに修正するものである。これを次に式で示す。

${\displaystyle x_{j+1}-x_{j}=-{\frac {1}{jh}}z_{j}}$

この場合のn+1発目のミス・ディスタンス量の期待値 ${\displaystyle hx_{n+1}}$を次に示す。

${\displaystyle hx_{n+1}=-{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\xi _{j}}$

近迫距離と負傷公算

射爆撃においては、着弾点に近ければ近いほど被害を受ける公算が高まる。射爆撃目標に味方地上部隊が近接している場合、これは特に重要な特性である。このことから、下記のように、近迫距離（味方地上部隊と着弾点の距離）と負傷公算の関係表が作成されている。

近迫距離と負傷公算の関係

使用砲	負傷公算が10%となる近迫距離 [m]			負傷公算が0.1%となる近迫距離 [m]
	1/3射程	2/3射程	最大射程	1/3射程	2/3射程	最大射程
M224 60mm 迫撃砲	60	65	65	100	150	175
M252 81mm 迫撃砲	75	80	80	165	185	230
M120/121 120mm 迫撃砲	100	100	100	150	300	400
M102/M119 105mm榴弾砲	85	85	90	175	200	275
M109/M198 155mm榴弾砲	100	100	125	200	280	450
155mmDPICM弾	150	180	200	280	300	475

出典 - GlobalSecurity.org. “FM 3-90.2 Appendix G, Fires Integration” (英語). 2011年8月16日閲覧。

損傷区分例

以下に損傷区分の例を示す。

• 戦車
  • M-kill：戦車の運動が制御不能で乗員による修復が不可能
  • F-kill：主要武器が制御不能で乗員による修復が不可能
  • K-kill：修理不可能な破壊
• 航空機
  • K-kill：瞬間的に制御不能となり通常は30秒以内に墜落するもの
  • A-kill：5分以内に墜落するもの
  • B-damage：直ちに任務を中断して不時着を要するもの
  • C-damage：任務の遂行能力が減退するもの
• 潜水艦
  • Overkill（撃沈）：瞬時沈没
  • Critical Damage（沈没）100%沈没
  • Moderate Damage（大破）50%沈没、100%浮上
  • Light Damage（中破）50%浮上、100%基地回航
  • Minor Damage（小破）50%基地回航
  • Negligible Damage（軽微）0%基地回航

注記

1. ^ 飯田耕司 『戦闘の科学・軍事ORの理論』 三恵社、199頁。 
2. ^ 目標の被害程度は、命中とは別に目標損傷関数、または目標撃破関数で考慮される。
3. ^ 確率論での分散は、工学では図形の断面2次半径と呼ばれる。
4. ^ 簡単な条件付きの目標撃破確率D_j の例として、廃艦処分の護衛艦を撃破するには、要命中弾数は経験的に5インチ砲で12発、3インチ砲で30発というものがある。
5. ^ 大目標の致命的部位とは、戦闘艦の弾薬庫に1発でも命中すれば撃沈が可能となるような場合である。
6. ^ 英語で砲の左右はbearing、仰角はelevation、距離はrangeである。左右の射角のずれとその修正は英語ではdeflectionと呼び、日本で古くは「苗頭」（びょうとう）と呼ばれた。

出典

• 飯田耕司 『軍事OR入門』 三恵社、2008年9月10日改訂版発行。ISBN 9784883616428。 
• 飯田耕司 『戦闘の科学 軍事ORの理論』 三恵社、2005年6月20日初版発行。 ISBN 4883613275。 

関連項目

• オペレーションズ・リサーチ
• ゲーム理論
• ミニマックス法