JP3139428B2 - 拡散シミュレーション方法 - Google Patents
拡散シミュレーション方法Info
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- diffusion
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- G06F30/20—Design optimisation, verification or simulation
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Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は半導体デバイスの製
造プロセスのコンピュータシミュレーションによる拡散
シミュレーション方法に関し、特にデバイス内部の不純
物拡散の拡散シミュレーション方法に関する。
造プロセスのコンピュータシミュレーションによる拡散
シミュレーション方法に関し、特にデバイス内部の不純
物拡散の拡散シミュレーション方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】半導体デバイスの製造工程の一つである
不純物熱拡散のコンピュータシミュレーションでは檀良
編著、「プロセス・デバイス・シミュレーション技
術」、２６〜２８頁に記載されているように解析すべき
領域をメッシュに分割し、その各メッシュ点で拡散方程
式を離散化し、さらにニュートン法等により線形化して
連立１次方程式に変換して拡散方程式の解を求める。
不純物熱拡散のコンピュータシミュレーションでは檀良
編著、「プロセス・デバイス・シミュレーション技
術」、２６〜２８頁に記載されているように解析すべき
領域をメッシュに分割し、その各メッシュ点で拡散方程
式を離散化し、さらにニュートン法等により線形化して
連立１次方程式に変換して拡散方程式の解を求める。
【０００３】不純物が固溶度以下になるような低温、高
濃度の条件下では、不純物の拡散は単に不純物の総濃度
を変数とする単純な拡散方程式では記述できず、例えば
S.M.Sze著、“VLSI TECHNOLOGY ”（１９８３年）の３
９８頁（１２）式及び３９９頁（１９）−（２１）式で
記述されるようなクラスタリングを考慮した拡散モデル
が必要になる。この拡散モデルをより一般的に解釈する
と以下の３本の方程式で記述される。
濃度の条件下では、不純物の拡散は単に不純物の総濃度
を変数とする単純な拡散方程式では記述できず、例えば
S.M.Sze著、“VLSI TECHNOLOGY ”（１９８３年）の３
９８頁（１２）式及び３９９頁（１９）−（２１）式で
記述されるようなクラスタリングを考慮した拡散モデル
が必要になる。この拡散モデルをより一般的に解釈する
と以下の３本の方程式で記述される。
【０００４】
【数１】 ここで（１）式は可動不純物により拡散項と電気的に活
性な不純物による電界ドリフト項から構成される拡散方
程式であり、（２）式及び（３）式はそれぞれ可動不純
物濃度及び電気的に活性な不純物濃度を定めるレート方
程式である。Ｃは不純物の総濃度であり、Ｃm は可動不
純物濃度、Ｃa は電気的に活性な不純物濃度である。ま
たＤは不純物の拡散定数であり、μは不純物の電界によ
るドリフト移動度である。Ｚは電気的に活性な不純物の
正負の符号を考慮したイオン価数であり、ψは外部駆動
電界の元となる静電ポテンシャルである。またｆ（Ｃ，
Ｃ m ）は不純物が可動化するレートを表す式であり、ｇ
（Ｃ，Ｃa ）は不純物が電気的に活性化するレートを表
す式である。ほとんどの不純物に関して、Ｃm ＝Ｃ a で
あると考えられるが、シリコン中に高濃度にドープされ
た燐の拡散のように、Ｃ＝Ｃm 》Ｃa としてモデル化す
る方が適当な不純物も存在するので、（２）式のｆ
（Ｃ，Ｃm ）と（３）式のｇ（Ｃ，Ｃa ）は別の表式と
して扱う方がより一般性がある。
性な不純物による電界ドリフト項から構成される拡散方
程式であり、（２）式及び（３）式はそれぞれ可動不純
物濃度及び電気的に活性な不純物濃度を定めるレート方
程式である。Ｃは不純物の総濃度であり、Ｃm は可動不
純物濃度、Ｃa は電気的に活性な不純物濃度である。ま
たＤは不純物の拡散定数であり、μは不純物の電界によ
るドリフト移動度である。Ｚは電気的に活性な不純物の
正負の符号を考慮したイオン価数であり、ψは外部駆動
電界の元となる静電ポテンシャルである。またｆ（Ｃ，
Ｃ m ）は不純物が可動化するレートを表す式であり、ｇ
（Ｃ，Ｃa ）は不純物が電気的に活性化するレートを表
す式である。ほとんどの不純物に関して、Ｃm ＝Ｃ a で
あると考えられるが、シリコン中に高濃度にドープされ
た燐の拡散のように、Ｃ＝Ｃm 》Ｃa としてモデル化す
る方が適当な不純物も存在するので、（２）式のｆ
（Ｃ，Ｃm ）と（３）式のｇ（Ｃ，Ｃa ）は別の表式と
して扱う方がより一般性がある。
【０００５】実際に（１）式から（３）式を計算機上で
解く場合には空間及び時間領域で離散化を行い、代数方
程式に変換して解く必要がある。空間の離散化に関して
は対象となる解析領域にメッシュを張り、各メッシュ点
の周りでガウスの定理：
解く場合には空間及び時間領域で離散化を行い、代数方
程式に変換して解く必要がある。空間の離散化に関して
は対象となる解析領域にメッシュを張り、各メッシュ点
の周りでガウスの定理：
【０００６】
【数２】 を適用して発散演算子を除去した後、勾配演算子を有限
差分で置換する、コントロールボリューム法が用いられ
る。（４）式でΩは各メッシュ点が受け持つ領域を示
し、∂Ωは各メッシュ点が受け持つ領域の境界を形成す
る外表面部分を表す。またＡは着目する任意のベクトル
量を表し、ｎは外表面に対する法線ベクトルを表す。よ
り具体的には、例えば図２に示すような２次元のメッシ
ュ構造に対して、（１）式を
差分で置換する、コントロールボリューム法が用いられ
る。（４）式でΩは各メッシュ点が受け持つ領域を示
し、∂Ωは各メッシュ点が受け持つ領域の境界を形成す
る外表面部分を表す。またＡは着目する任意のベクトル
量を表し、ｎは外表面に対する法線ベクトルを表す。よ
り具体的には、例えば図２に示すような２次元のメッシ
ュ構造に対して、（１）式を
【０００７】
【数３】 のように変形して適用する。ここで
【０００８】
【数４】 は着目しているメッシュ点ｉとメッシュ枝ｉｊで結合さ
れている隣接メッシュ点に関して和をとることを意味
し、Ｓijは着目メッシュ点が受け持つ領域Ωi の内、メ
ッシュ枝ｉｊの寄与分を表す。またωijはΩi の外周∂
Ωi の内、メッシュ枝ｉｊの寄与分である。またＣi は
メッシュ点ｉにおける不純物総濃度を表す。Ｊijはメッ
シュ点ｉからｊへ向けて流出する不純物フラックスを表
し、Ｄij及びμijはそれそれメッシュ枝ｉｊ上の中点に
おける拡散定数と電界移動度を表す。ｌijはメッシュ枝
ｉｊの長さであり、Ｃmi及びψi はそれぞれメッシュ点
ｉにおける可動不純物濃度と静電ポテンシャルを表す。
また、Ｃauは、電界によるドリフト流の上流側に相当す
るメッシュ点の可動不純物濃度を表し、数値的安定性を
確保するためにこのような上流差分という処置が採られ
る。
れている隣接メッシュ点に関して和をとることを意味
し、Ｓijは着目メッシュ点が受け持つ領域Ωi の内、メ
ッシュ枝ｉｊの寄与分を表す。またωijはΩi の外周∂
Ωi の内、メッシュ枝ｉｊの寄与分である。またＣi は
メッシュ点ｉにおける不純物総濃度を表す。Ｊijはメッ
シュ点ｉからｊへ向けて流出する不純物フラックスを表
し、Ｄij及びμijはそれそれメッシュ枝ｉｊ上の中点に
おける拡散定数と電界移動度を表す。ｌijはメッシュ枝
ｉｊの長さであり、Ｃmi及びψi はそれぞれメッシュ点
ｉにおける可動不純物濃度と静電ポテンシャルを表す。
また、Ｃauは、電界によるドリフト流の上流側に相当す
るメッシュ点の可動不純物濃度を表し、数値的安定性を
確保するためにこのような上流差分という処置が採られ
る。
【０００９】また時間領域の離散化は、有限の時間刻み
幅を用いて時間微分項を差分で置き換えることにより行
われる。時間微分項以外の項の評価時刻に関しては、数
値計算上の安定性の観点から現解析時刻での評価値を用
いる後退Euler 法等の陰解法が多く使用される。本例で
は、既に空間的に離散化された（５）式、（６）式及び
（３）式に後退Euler 法を適用して時間的にも離散化し
た以下の方程式群が最終的に解くべき方程式群になる。
幅を用いて時間微分項を差分で置き換えることにより行
われる。時間微分項以外の項の評価時刻に関しては、数
値計算上の安定性の観点から現解析時刻での評価値を用
いる後退Euler 法等の陰解法が多く使用される。本例で
は、既に空間的に離散化された（５）式、（６）式及び
（３）式に後退Euler 法を適用して時間的にも離散化し
た以下の方程式群が最終的に解くべき方程式群になる。
【００１０】
【数５】 ここでｔn は現在の時刻を表し、ｔn-1 は一つ前の解析
時刻を表す。またΔｔ n は現在の時間刻み幅ｔn −ｔ
n-1 である。上記方程式がＣi （ｔn ），Ｃmi（ｔn ）
及びＣni（ｔn ）等に関して非線形となる場合にはニュ
ートン法を適用して線形化して解くのが一般的である。
時刻を表す。またΔｔ n は現在の時間刻み幅ｔn −ｔ
n-1 である。上記方程式がＣi （ｔn ），Ｃmi（ｔn ）
及びＣni（ｔn ）等に関して非線形となる場合にはニュ
ートン法を適用して線形化して解くのが一般的である。
【００１１】このような従来の拡散方程式の解法をフロ
ーチャートにまとめたのが図３である。
ーチャートにまとめたのが図３である。
【００１２】まず図３のステップ３０１で不純物拡散を
シミュレートする半導体デバイス内部領域にメッシュを
張る。次にステップ３０２でステップ３０１で発生した
各メッシュ点上で各拡散種の初期濃度値を設定する。ス
テップ３０３で解析時刻を初期化し、ステップ３０４で
解析時刻を一つ進める。ステップ３０５で不純物拡散方
程式、可動不純物濃度定義方程式、電気的活性濃度定義
方程式を連立させて一括して解くことにより、不純物濃
度を求める。最後にステップ３０６で予め指定した解析
終了時刻に到達したか否かチェックし到達していればシ
ミュレーションを終了し、そうでなければステップ３０
４へ戻る。
シミュレートする半導体デバイス内部領域にメッシュを
張る。次にステップ３０２でステップ３０１で発生した
各メッシュ点上で各拡散種の初期濃度値を設定する。ス
テップ３０３で解析時刻を初期化し、ステップ３０４で
解析時刻を一つ進める。ステップ３０５で不純物拡散方
程式、可動不純物濃度定義方程式、電気的活性濃度定義
方程式を連立させて一括して解くことにより、不純物濃
度を求める。最後にステップ３０６で予め指定した解析
終了時刻に到達したか否かチェックし到達していればシ
ミュレーションを終了し、そうでなければステップ３０
４へ戻る。
【００１３】
【発明が解決しようとする課題】従来例で提案されてい
る手法の問題点は、拡散方程式を、可動不純物濃度を求
める方程式や電気的に活性な不純物濃度を求める方程式
と、連立させて同時に解く必要があることである。ニュ
ートン法によって線形化された連立一次方程式を直接法
で解く場合、計算値のオーダーは全方程式数をＭとする
とＯ（Ｍ2 ）であり、メッシュ点数をＮとした場合、Ｍ
＝３Ｎとなるので、計算量はＯ（９Ｎ2 ）となる。
る手法の問題点は、拡散方程式を、可動不純物濃度を求
める方程式や電気的に活性な不純物濃度を求める方程式
と、連立させて同時に解く必要があることである。ニュ
ートン法によって線形化された連立一次方程式を直接法
で解く場合、計算値のオーダーは全方程式数をＭとする
とＯ（Ｍ2 ）であり、メッシュ点数をＮとした場合、Ｍ
＝３Ｎとなるので、計算量はＯ（９Ｎ2 ）となる。
【００１４】このため、３つの方程式を個別に解く場合
に必要な演算量３×Ｏ（Ｎ2 ）に比べ、約３倍の計算時
間が必要となる。記憶領域に関しても３つの方程式を同
時に格納するには約３倍の記憶領域が必要となる。
に必要な演算量３×Ｏ（Ｎ2 ）に比べ、約３倍の計算時
間が必要となる。記憶領域に関しても３つの方程式を同
時に格納するには約３倍の記憶領域が必要となる。
【００１５】本発明の目的は、可動な不純物による拡散
項と電気的に活性な不純物による電界ドリフト項とを含
む不純物の拡散方程式に対し、可動不純物濃度を定義す
る方程式や、電気的に活性な不純物濃度を定義する方程
式を、連立させることなく、各方程式を個別に解いてよ
り短い計算時間と少ない記憶領域の使用量で解を求める
拡散シミュレーション方法を提供することにある。
項と電気的に活性な不純物による電界ドリフト項とを含
む不純物の拡散方程式に対し、可動不純物濃度を定義す
る方程式や、電気的に活性な不純物濃度を定義する方程
式を、連立させることなく、各方程式を個別に解いてよ
り短い計算時間と少ない記憶領域の使用量で解を求める
拡散シミュレーション方法を提供することにある。
【００１６】
【課題を解決するための手段】本発明の拡散シミュレー
ション方法は、可動な不純物による拡散項と電気的に活
性な不純物による電界ドリフト項とを含む不純物の拡散
方程式と、不純物の総濃度と可動な不純物の濃度の関係
を定義する方程式と、不純物の総濃度と電気的に活性な
不純物の濃度の関係を定義する方程式との３つの連立方
程式を空間メッシュを用いて離散化し、計算機による数
値的に解いて半導体デバイス製造工程におけるデバイス
内部の不純物分布の変化を求める拡散シミュレーション
方法において、各メッシュ点において、現解析時刻にお
ける、不純物の総濃度に対する可動な不純物が占める割
合と、不純物の総濃度に対する電気的に活性な不純物が
占める割合とを、前時刻の不純物総濃度を利用して近似
的に求める第一のステップと、隣接するメッシュ点同士
を結ぶメッシュ枝上での、不純物の総濃度に対する可動
な不純物が占める割合と、不純物の総濃度に対する電気
的に活性な不純物が占める割合とを、それぞれ第一のス
テップで求めた両端のメッシュ点における値を補間して
求める第二のステップと、第二のステップで求めた各メ
ッシュ枝上における、不純物の総濃度に対する可動な不
純物が占める割合と、不純物の総濃度に対する電気的に
活性な不純物が占める割合とに、それぞれ、そのメッシ
ュ枝上におけるその解析時刻での不純物拡散定数と、不
純物電界移動度とを乗じて、実効的な不純物拡散定数と
実効的な不純物電界移動度とを求める第三のステップ
と、実効的な不純物拡散定数と実効的な不純物電界移動
度とを用い、不純物の総濃度を変数とする、その時刻に
おいて離散化された拡散方程式を解くことにより、現解
析時刻での不純物の総濃度を求める第四のステップとを
有する。
ション方法は、可動な不純物による拡散項と電気的に活
性な不純物による電界ドリフト項とを含む不純物の拡散
方程式と、不純物の総濃度と可動な不純物の濃度の関係
を定義する方程式と、不純物の総濃度と電気的に活性な
不純物の濃度の関係を定義する方程式との３つの連立方
程式を空間メッシュを用いて離散化し、計算機による数
値的に解いて半導体デバイス製造工程におけるデバイス
内部の不純物分布の変化を求める拡散シミュレーション
方法において、各メッシュ点において、現解析時刻にお
ける、不純物の総濃度に対する可動な不純物が占める割
合と、不純物の総濃度に対する電気的に活性な不純物が
占める割合とを、前時刻の不純物総濃度を利用して近似
的に求める第一のステップと、隣接するメッシュ点同士
を結ぶメッシュ枝上での、不純物の総濃度に対する可動
な不純物が占める割合と、不純物の総濃度に対する電気
的に活性な不純物が占める割合とを、それぞれ第一のス
テップで求めた両端のメッシュ点における値を補間して
求める第二のステップと、第二のステップで求めた各メ
ッシュ枝上における、不純物の総濃度に対する可動な不
純物が占める割合と、不純物の総濃度に対する電気的に
活性な不純物が占める割合とに、それぞれ、そのメッシ
ュ枝上におけるその解析時刻での不純物拡散定数と、不
純物電界移動度とを乗じて、実効的な不純物拡散定数と
実効的な不純物電界移動度とを求める第三のステップ
と、実効的な不純物拡散定数と実効的な不純物電界移動
度とを用い、不純物の総濃度を変数とする、その時刻に
おいて離散化された拡散方程式を解くことにより、現解
析時刻での不純物の総濃度を求める第四のステップとを
有する。
【００１７】また、可動な不純物の濃度と電気的に活性
な不純物の濃度とが等しい不純物分布の変化を求める場
合は、不純物の総濃度と可動な不純物の濃度の関係を定
義する方程式を省略し、電界移動度はアインシュタイン
の関係式を用いて拡散定数で表現してもよい。
な不純物の濃度とが等しい不純物分布の変化を求める場
合は、不純物の総濃度と可動な不純物の濃度の関係を定
義する方程式を省略し、電界移動度はアインシュタイン
の関係式を用いて拡散定数で表現してもよい。
【００１８】また、各メッシュ点において、現解析時刻
における、不純物の総濃度に対する電気的に活性な不純
物が占める割合を、前時刻の不純物総濃度を利用して近
似的に求める第一のステップと、隣接するメッシュ点同
士を結ぶメッシュ枝上での、不純物の総濃度に対する電
気的に活性な不純物が占める割合を、第一のステップで
求めた両端のメッシュ点における値を補間して求める第
二のステップと、第二のステップで求めた各メッシュ枝
上における、不純物の総濃度に対する電気的に活性な不
純物が占める割合に、そのメッシュ枝上におけるその解
析時刻での不純物拡散定数を乗じて、実効的な不純物拡
散定数を求める第三のステップと、実効的な不純物拡散
定数を用い、不純物の総濃度を変数とする、その時刻に
おいて離散化された拡散方程式を解くことにより、現解
析時刻での不純物の総濃度を求める第四のステップとを
有してもよい。
における、不純物の総濃度に対する電気的に活性な不純
物が占める割合を、前時刻の不純物総濃度を利用して近
似的に求める第一のステップと、隣接するメッシュ点同
士を結ぶメッシュ枝上での、不純物の総濃度に対する電
気的に活性な不純物が占める割合を、第一のステップで
求めた両端のメッシュ点における値を補間して求める第
二のステップと、第二のステップで求めた各メッシュ枝
上における、不純物の総濃度に対する電気的に活性な不
純物が占める割合に、そのメッシュ枝上におけるその解
析時刻での不純物拡散定数を乗じて、実効的な不純物拡
散定数を求める第三のステップと、実効的な不純物拡散
定数を用い、不純物の総濃度を変数とする、その時刻に
おいて離散化された拡散方程式を解くことにより、現解
析時刻での不純物の総濃度を求める第四のステップとを
有してもよい。
【００１９】また、第四のステップで離散化された拡散
方程式を解く際に、電気的に活性な不純物による電界ド
リフト項に対しては、上流側のメッシュ点において、現
解析時刻における、不純物の総濃度に対する電気的に活
性な不純物が占める割合と、不純物電界移動度とを乗じ
て求めた、実効的な不純物電界移動度とを用いてもよ
い。
方程式を解く際に、電気的に活性な不純物による電界ド
リフト項に対しては、上流側のメッシュ点において、現
解析時刻における、不純物の総濃度に対する電気的に活
性な不純物が占める割合と、不純物電界移動度とを乗じ
て求めた、実効的な不純物電界移動度とを用いてもよ
い。
【００２０】また、第四のステップで離散化された拡散
方程式の代わりに、指数法を適用した離散化された拡散
方程式を用いてもよい。
方程式の代わりに、指数法を適用した離散化された拡散
方程式を用いてもよい。
【００２１】従って、拡散法定式と、可動不純物濃度定
義式、電気的に活性な不純物濃度の定義式を一括して連
立させることなく、各方程式を個別に解くことにより、
連立させて解く場合に比べ、短い計算時間と少ない記憶
領域の使用量で不純物の拡散シミュレーションが可能に
なる。
義式、電気的に活性な不純物濃度の定義式を一括して連
立させることなく、各方程式を個別に解くことにより、
連立させて解く場合に比べ、短い計算時間と少ない記憶
領域の使用量で不純物の拡散シミュレーションが可能に
なる。
【００２２】また、離散化された拡散方程式を解く際
に、電気的に活性な不純物による電界ドリフト項に対し
ては、上流側のメッシュ点において、現解析時刻におけ
る、不純物の総濃度に対する電気的に活性な不純物が占
める割合と、不純物電界移動度とを乗じて求めた、実効
的な不純物電界移動度とを用いることにより、より正確
な不純物総濃度の値を求めることができる。
に、電気的に活性な不純物による電界ドリフト項に対し
ては、上流側のメッシュ点において、現解析時刻におけ
る、不純物の総濃度に対する電気的に活性な不純物が占
める割合と、不純物電界移動度とを乗じて求めた、実効
的な不純物電界移動度とを用いることにより、より正確
な不純物総濃度の値を求めることができる。
【００２３】また、指数法を適用した離散化された拡散
方程式を用いることにより、ドリフト流に関してメッシ
ュ点ｉ，ｊのどちらが上流側かを事前に判定する必要が
ない。
方程式を用いることにより、ドリフト流に関してメッシ
ュ点ｉ，ｊのどちらが上流側かを事前に判定する必要が
ない。
【００２４】
（本発明の第１の実施の形態）次に、本発明の第１の実
施の形態について説明する。
施の形態について説明する。
【００２５】本発明では、可動不純物濃度を求める方程
式と電気的に活性な不純物濃度を求める方程式とを、前
時刻に拡散方程式を解いた結果である不純物の総濃度を
用いて、現時刻の拡散方程式とは独立に解いて、可動不
純物濃度と電気的に活性な不純物濃度の近似値を、まず
求める。このようにして求めた、現時刻でのメッシュ点
ｉにおける可動不純物濃度の近似値
式と電気的に活性な不純物濃度を求める方程式とを、前
時刻に拡散方程式を解いた結果である不純物の総濃度を
用いて、現時刻の拡散方程式とは独立に解いて、可動不
純物濃度と電気的に活性な不純物濃度の近似値を、まず
求める。このようにして求めた、現時刻でのメッシュ点
ｉにおける可動不純物濃度の近似値
【００２６】
【数６】 と前時刻での不純物の総濃度Ｃi （ｔn-1 ）からそれら
の比：
の比：
【００２７】
【数７】 ならびに電気的に活性な不純物濃度の近似値
【００２８】
【数８】 と前時刻での不純物の総濃度Ｃi （ｔn-1 ）との比：
【００２９】
【数９】 を求め、更にこれらを補間してメッシュ枝上での比：α
ij，βijを求める。さらに、メッシュ枝上における実効
拡散定数
ij，βijを求める。さらに、メッシュ枝上における実効
拡散定数
【００３０】
【数１０】 及び実効電界移動度
【００３１】
【数１１】 を
【００３２】
【数１２】 として求める。次に、これらの値を利用して、現時刻に
おけるメッシュ枝ｉｊ上の不純物フラックスを以下のよ
うに近似する。
おけるメッシュ枝ｉｊ上の不純物フラックスを以下のよ
うに近似する。
【００３３】
【数１３】 （８）式の代わりに（１５）式を用いて不純物の総濃度
を変数とする拡散方程式（７）を構成し、これを解くこ
とにより現時刻での不純物の総濃度が得られる。
を変数とする拡散方程式（７）を構成し、これを解くこ
とにより現時刻での不純物の総濃度が得られる。
【００３４】本発明では、拡散方程式を、可動不純物濃
度を求める方程式や、電気的に活性な不純物濃度を求め
る方程式と連立させて、同時に解く必要がない。したが
って、従来手法に比べ、計算時間や記憶領域の使用量が
少なくて済む。
度を求める方程式や、電気的に活性な不純物濃度を求め
る方程式と連立させて、同時に解く必要がない。したが
って、従来手法に比べ、計算時間や記憶領域の使用量が
少なくて済む。
【００３５】（本発明の第２の実施の形態）次に、本発
明の第２の実施の形態についてシリコン内のヒ素の拡散
方程式を解く場合を例にとり、図面を参照して詳細に説
明する。
明の第２の実施の形態についてシリコン内のヒ素の拡散
方程式を解く場合を例にとり、図面を参照して詳細に説
明する。
【００３６】（１６）式と（１８）式はクラスタリング
を含むヒ素の拡散方程式であり、（１８）式は静電ポテ
ンシャル法定用のポアッソン方程式である。
を含むヒ素の拡散方程式であり、（１８）式は静電ポテ
ンシャル法定用のポアッソン方程式である。
【００３７】
【数１４】 ここで、ＣASはヒ素の全濃度であり、ＣASa は電気的に
活性なヒ素濃度である。またＫAS及びｍASはヒ素のクラ
スタリングの程度を決定するモデルパラメータである。
εはシリコンの誘電率であり、κはボルツマン定数、Ｔ
は絶対温度、ｑは単位電荷である。ｎi はシリコンの真
性キャリア密度である。ヒ素においては「可動ヒ素濃度
＝電気的に活性なヒ素濃度」としてモデル化が可能なた
め、可動不純物濃度を求める式は省略されている。また
電界移動度はアインシュタインの関係式：
活性なヒ素濃度である。またＫAS及びｍASはヒ素のクラ
スタリングの程度を決定するモデルパラメータである。
εはシリコンの誘電率であり、κはボルツマン定数、Ｔ
は絶対温度、ｑは単位電荷である。ｎi はシリコンの真
性キャリア密度である。ヒ素においては「可動ヒ素濃度
＝電気的に活性なヒ素濃度」としてモデル化が可能なた
め、可動不純物濃度を求める式は省略されている。また
電界移動度はアインシュタインの関係式：
【００３８】
【数１５】 を用いて拡散定数で表現されている。
【００３９】図１は本発明による不純物拡散シミュレー
ション方法の一実施形態を示したものである。まず図１
のステップ１０１で不純物拡散をシミュレートする半導
体デバイス内部領域にメッシュを張る。次にステップ１
０２でステップ１０１で発生した各メッシュ点上で各拡
散種の初期濃度値を設定する。ステップ１０３で解析時
刻を初期化し、ステップ１０４で解析時刻を一つ進め
る。ステップ１０５ではまず、前時刻に拡散方程式を解
いた結果である不純物総濃度を用いて、電気的に活性な
不純物濃度を求める方程式を、各メッシュ点毎に解い
て、電気的に活性な不純物濃度を近似的に求める。本実
施の形態で例題として取り上げたヒ素の拡散モデルで
は、以下の方程式をニュートン法等で解いて
ション方法の一実施形態を示したものである。まず図１
のステップ１０１で不純物拡散をシミュレートする半導
体デバイス内部領域にメッシュを張る。次にステップ１
０２でステップ１０１で発生した各メッシュ点上で各拡
散種の初期濃度値を設定する。ステップ１０３で解析時
刻を初期化し、ステップ１０４で解析時刻を一つ進め
る。ステップ１０５ではまず、前時刻に拡散方程式を解
いた結果である不純物総濃度を用いて、電気的に活性な
不純物濃度を求める方程式を、各メッシュ点毎に解い
て、電気的に活性な不純物濃度を近似的に求める。本実
施の形態で例題として取り上げたヒ素の拡散モデルで
は、以下の方程式をニュートン法等で解いて
【００４０】
【数１６】 を求めることになる。
【００４１】
【数１７】 この値から電気的に活性なヒ素濃度の近似値と前時刻の
ヒ素の総濃度の比：
ヒ素の総濃度の比：
【００４２】
【数１８】 を各メッシュ点毎に求める。また、電気的に活性なヒ素
濃度の近似的が求められたので、これを利用して（１
８）式のポアッソン方程式もこの段階で解くことができ
る。具体的には解法下記方程式を解くことになる。
濃度の近似的が求められたので、これを利用して（１
８）式のポアッソン方程式もこの段階で解くことができ
る。具体的には解法下記方程式を解くことになる。
【００４３】
【数１９】 次にステップ１０６で各メッシュ枝上でのαの値を、１
０５で求めた両端のメッシュ点の値を補間して求める。
本実施の形態では両端点の平均値を使用し、
０５で求めた両端のメッシュ点の値を補間して求める。
本実施の形態では両端点の平均値を使用し、
【００４４】
【数２０】 として求める。ステップ１０７で各メッシュ枝上での現
時刻におけるヒ素拡散定数にαijを乗じて実効的な不純
物拡散定数を求める。ステップ１０８でこれら実効的な
拡散定数を用いた、不純物の総濃度を変数とする拡散方
程式を解くことにより、現解析時刻での不純物総濃度を
求める。ヒ素の拡散モデルでは、
時刻におけるヒ素拡散定数にαijを乗じて実効的な不純
物拡散定数を求める。ステップ１０８でこれら実効的な
拡散定数を用いた、不純物の総濃度を変数とする拡散方
程式を解くことにより、現解析時刻での不純物総濃度を
求める。ヒ素の拡散モデルでは、
【００４５】
【数２１】 を各メッシュ点ｉで離散化した方程式：
【００４６】
【数２２】 と解くことになる。最後のステップ１０９で予め指定し
た解析終了時刻に到達したか否かをチェックし到達して
いればシミュレーションを終了し、そうでなければステ
ップ１０４へ戻る。
た解析終了時刻に到達したか否かをチェックし到達して
いればシミュレーションを終了し、そうでなければステ
ップ１０４へ戻る。
【００４７】本発明では最初に、前時刻の不純物総濃度
を使用して電気的に活性な不純物濃度を近似的に求め、
次に、電気的に活性な不純物濃度の近似値と前時刻の不
純物総濃度の比が、電気的に活性な不純物濃度の真値と
現時刻の不純物総濃度の比に等しいとみなして実効的拡
散係数を導出している。したがって最終的に求められた
拡散種濃度は厳密には元の拡散方程式を満たしておら
ず、近似誤差が生じる。しかしこの誤差は時間刻み幅を
δtkとするとＯ（δtk）の大きさであり、時間刻みを適
切に制御することにより、一定値以下に抑えることがで
きる。したがって本発明により従来例に比べ解の精度が
大きく劣化することはない。一方、作用の項で述べたよ
うに、本発明では元の方程式群を一括して解く場合に比
べ、短い計算時間と少ない記憶領域の使用量で不純物の
拡散シミュレーションが可能になる。
を使用して電気的に活性な不純物濃度を近似的に求め、
次に、電気的に活性な不純物濃度の近似値と前時刻の不
純物総濃度の比が、電気的に活性な不純物濃度の真値と
現時刻の不純物総濃度の比に等しいとみなして実効的拡
散係数を導出している。したがって最終的に求められた
拡散種濃度は厳密には元の拡散方程式を満たしておら
ず、近似誤差が生じる。しかしこの誤差は時間刻み幅を
δtkとするとＯ（δtk）の大きさであり、時間刻みを適
切に制御することにより、一定値以下に抑えることがで
きる。したがって本発明により従来例に比べ解の精度が
大きく劣化することはない。一方、作用の項で述べたよ
うに、本発明では元の方程式群を一括して解く場合に比
べ、短い計算時間と少ない記憶領域の使用量で不純物の
拡散シミュレーションが可能になる。
【００４８】（本発明の第３の実施の形態）次に、本発
明の第３の実施の形態についてシリコン内のヒ素の拡散
方程式を解く場合を例にとり、図面を参照して詳細に説
明する。
明の第３の実施の形態についてシリコン内のヒ素の拡散
方程式を解く場合を例にとり、図面を参照して詳細に説
明する。
【００４９】上記実施の形態では、
【００５０】
【数２３】 として、実効的電界移動度に乗じられるβijに対しても
メッシュ枝両端点の平均値を使用した。しかしドリフト
流はその上流側の物理的性質に支配されるため、 βij＝βu （２８） のようにＢijにも上流側の値を使用した方が近似度が高
くなる。この近似を採用すると、（２６）式は、
メッシュ枝両端点の平均値を使用した。しかしドリフト
流はその上流側の物理的性質に支配されるため、 βij＝βu （２８） のようにＢijにも上流側の値を使用した方が近似度が高
くなる。この近似を採用すると、（２６）式は、
【００５１】
【数２４】 のように表すことができ、この不純物フラックスを用い
た拡散方程式を解けば、より正確な不純物総濃度の値を
求めることができる。
た拡散方程式を解けば、より正確な不純物総濃度の値を
求めることができる。
【００５２】（本発明の第４の実施の形態）次に、本発
明の第４の実施の形態について説明する。
明の第４の実施の形態について説明する。
【００５３】本発明のように拡散項とドリフト項が同じ
不純物総濃度を変数として記述されている場合には、不
純物フラックスの表式として、（８）の式の代わりに指
数法を適用した以下のような表式が用いられることが多
い。
不純物総濃度を変数として記述されている場合には、不
純物フラックスの表式として、（８）の式の代わりに指
数法を適用した以下のような表式が用いられることが多
い。
【００５４】
【数２５】 （３２）式の利点はドリフト流に関してメッシュ点ｉ，
ｊのどちらが上流側かを事前に判定する必要がないこと
である。元の拡散方程式（１）のように、拡散項にはＣ
m ，ドリフト項にはＣa という別々の変数が割り当てら
れている場合には、このような指数法の適用は行えな
い。
ｊのどちらが上流側かを事前に判定する必要がないこと
である。元の拡散方程式（１）のように、拡散項にはＣ
m ，ドリフト項にはＣa という別々の変数が割り当てら
れている場合には、このような指数法の適用は行えな
い。
【００５５】
【発明の効果】以上説明したように本発明による不純物
拡散シミュレーション方法は、拡散法定式と、可動不純
物濃度定義式、電気的に活性な不純物濃度の定義式を一
括して連立させることなく、各方程式を個別に解くこと
により、連立させて解く場合に比べ、短い計算時間と少
ない記憶領域の使用量で不純物の拡散シミュレーション
が可能になるという効果がある。
拡散シミュレーション方法は、拡散法定式と、可動不純
物濃度定義式、電気的に活性な不純物濃度の定義式を一
括して連立させることなく、各方程式を個別に解くこと
により、連立させて解く場合に比べ、短い計算時間と少
ない記憶領域の使用量で不純物の拡散シミュレーション
が可能になるという効果がある。
【００５６】また、離散化された拡散方程式を解く際
に、電気的に活性な不純物による電界ドリフト項に対し
ては、上流側のメッシュ点において、現解析時刻におけ
る、不純物の総濃度に対する電気的に活性な不純物が占
める割合と、不純物電界移動度とを乗じて求めた、実効
的な不純物電界移動度とを用いることにより、より正確
な不純物総濃度の値を求めることができる。
に、電気的に活性な不純物による電界ドリフト項に対し
ては、上流側のメッシュ点において、現解析時刻におけ
る、不純物の総濃度に対する電気的に活性な不純物が占
める割合と、不純物電界移動度とを乗じて求めた、実効
的な不純物電界移動度とを用いることにより、より正確
な不純物総濃度の値を求めることができる。
【００５７】また、指数法を適用した離散化された拡散
方程式を用いることにより、ドリフト流に関してメッシ
ュ点ｉ，ｊのどちらが上流側かを事前に判定する必要が
ないという効果がある。
方程式を用いることにより、ドリフト流に関してメッシ
ュ点ｉ，ｊのどちらが上流側かを事前に判定する必要が
ないという効果がある。
【図１】本発明による拡散方程式の数値計算法の処理手
順を示すフローチャートである。
順を示すフローチャートである。
【図２】拡散方程式の空間離散化に用いられるメッシュ
とコントロールボリュームの概念を示す図である。
とコントロールボリュームの概念を示す図である。
【図３】従来技術による拡散方程式の数値計算法の処理
手順を示すフローチャートである。
手順を示すフローチャートである。
ｉ 注目しているメッシュ点の番号 ｊ ｉに隣接していてメッシュ枝で結合しているメッ
シュ点の一つ Ωi メッシュ点ｉによって代表される領域を示すコ
ントロールボリューム ∂Ωi Ωi の外周境界 Ｓij Ωiの内、メッシュ枝ｉｊの寄与分 ｌij メッシュ枝ｉｊの長さ Ｊij メッシュ枝ｉｊに沿って流れる不純物フラック
ス ωij ∂Ωi の内、メッシュ枝ｉｊの寄与分
シュ点の一つ Ωi メッシュ点ｉによって代表される領域を示すコ
ントロールボリューム ∂Ωi Ωi の外周境界 Ｓij Ωiの内、メッシュ枝ｉｊの寄与分 ｌij メッシュ枝ｉｊの長さ Ｊij メッシュ枝ｉｊに沿って流れる不純物フラック
ス ωij ∂Ωi の内、メッシュ枝ｉｊの寄与分
Claims (6)
- 【請求項１】 可動な不純物による拡散項と電気的に活
性な不純物による電界ドリフト項とを含む不純物の拡散
方程式と、不純物の総濃度と前記可動な不純物の濃度の
関係を定義する方程式と、不純物の総濃度と前記電気的
に活性な不純物の濃度の関係を定義する方程式との３つ
の連立方程式を空間メッシュを用いて離散化し、計算機
による数値的に解いて半導体デバイス製造工程における
デバイス内部の不純物分布の変化を求める拡散シミュレ
ーション方法において、 各メッシュ点において、現解析時刻における、前記不純
物の総濃度に対する前記可動な不純物が占める割合と、
前記不純物の総濃度に対する前記電気的に活性な不純物
が占める割合とを、前時刻の前記不純物総濃度を利用し
て近似的に求める第一のステップと、 隣接するメッシュ点同士を結ぶメッシュ枝上での、前記
不純物の総濃度に対する前記可動な不純物が占める割合
と、前記不純物の総濃度に対する前記電気的に活性な不
純物が占める割合とを、それぞれ前記第一のステップで
求めた両端のメッシュ点における値を補間して求める第
二のステップと、 前記第二のステップで求めた各メッシュ枝上における、
前記不純物の総濃度に対する前記可動な不純物が占める
割合と、前記不純物の総濃度に対する前記電気的に活性
な不純物が占める割合とに、それぞれ、そのメッシュ枝
上におけるその解析時刻での不純物拡散定数と、不純物
電界移動度とを乗じて、実効的な不純物拡散定数と実効
的な不純物電界移動度とを求める第三のステップと、 前記実効的な不純物拡散定数と実効的な不純物電界移動
度とを用い、前記不純物の総濃度を変数とする、その時
刻において離散化された拡散方程式を解くことにより、
現解析時刻での前記不純物の総濃度を求める第四のステ
ップとを有することを特徴とする、拡散シミュレーショ
ン方法。 - 【請求項２】 可動な不純物の濃度と電気的に活性な不
純物の濃度とが等しい不純物分布の変化を求める場合
は、不純物の総濃度と前記可動な不純物の濃度の関係を
定義する方程式を省略し、 電界移動度はアインシュタインの関係式を用いて拡散定
数で表現される請求項１に記載の拡散シミュレーション
方法。 - 【請求項３】 各メッシュ点において、現解析時刻にお
ける、前記不純物の総濃度に対する前記電気的に活性な
不純物が占める割合を、前時刻の前記不純物総濃度を利
用して近似的に求める第一のステップと、 隣接するメッシュ点同士を結ぶメッシュ枝上での、前記
不純物の総濃度に対する前記電気的に活性な不純物が占
める割合を、前記第一のステップで求めた両端のメッシ
ュ点における値を補間して求める第二のステップと、 前記第二のステップで求めた各メッシュ枝上における、
前記不純物の総濃度に対する前記電気的に活性な不純物
が占める割合に、そのメッシュ枝上におけるその解析時
刻での不純物拡散定数を乗じて、実効的な不純物拡散定
数を求める第三のステップと、 前記実効的な不純物拡散定数を用い、前記不純物の総濃
度を変数とする、その時刻において離散化された拡散方
程式を解くことにより、現解析時刻での前記不純物の総
濃度を求める第四のステップとを有する請求項２に記載
の拡散シミュレーション方法。 - 【請求項４】 前記第四のステップで離散化された拡散
方程式を解く際に、電気的に活性な不純物による電界ド
リフト項に対しては、 上流側のメッシュ点において、現解析時刻における、前
記不純物の総濃度に対する前記電気的に活性な不純物が
占める割合と、不純物電界移動度とを乗じて求めた、実
効的な不純物電界移動度とを用いる請求項１または請求
項３に記載の拡散シミュレーション方法。 - 【請求項５】 前記第四のステップで離散化された拡散
方程式の代わりに、指数法を適用した離散化された拡散
方程式を用いる請求項１に記載の拡散シミュレーション
方法。 - 【請求項６】 前記第四のステップで離散化された拡散
方程式の代わりに、指数法を適用した離散化された拡散
方程式を用いる請求項３または請求項４に記載の拡散シ
ミュレーション方法。
Priority Applications (3)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP09301065A JP3139428B2 (ja) | 1997-10-31 | 1997-10-31 | 拡散シミュレーション方法 |
| US09/179,388 US6080200A (en) | 1997-10-31 | 1998-10-27 | Diffusion simulation method for impurities using mesh points and branches utilizing concentrations of electrically active impurities and effective impurity electric field mobility |
| CN98121465A CN1216377A (zh) | 1997-10-31 | 1998-10-30 | 扩散模拟方法 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP09301065A JP3139428B2 (ja) | 1997-10-31 | 1997-10-31 | 拡散シミュレーション方法 |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH11135445A JPH11135445A (ja) | 1999-05-21 |
| JP3139428B2 true JP3139428B2 (ja) | 2001-02-26 |
Family
ID=17892451
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP09301065A Expired - Fee Related JP3139428B2 (ja) | 1997-10-31 | 1997-10-31 | 拡散シミュレーション方法 |
Country Status (3)
| Country | Link |
|---|---|
| US (1) | US6080200A (ja) |
| JP (1) | JP3139428B2 (ja) |
| CN (1) | CN1216377A (ja) |
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|---|---|---|---|---|
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| JP3319505B2 (ja) * | 1998-05-21 | 2002-09-03 | 日本電気株式会社 | プロセスシミュレーション方法及びその記録媒体 |
| JP4991062B2 (ja) * | 2001-05-29 | 2012-08-01 | ラピスセミコンダクタ株式会社 | 半導体プロセスデバイスモデリング方法 |
| US20050253502A1 (en) * | 2004-05-12 | 2005-11-17 | Matsushita Electric Works, Ltd. | Optically enhanced nanomaterials |
| JP2007027390A (ja) * | 2005-07-15 | 2007-02-01 | Toshiba Corp | デバイスシミュレーション装置、デバイスシミュレーション方法およびデバイスシミュレーションプログラム |
| US9852242B2 (en) * | 2014-09-05 | 2017-12-26 | Synopsys, Inc. | Atomic scale grid for modeling semiconductor structures and fabrication processes |
| CN113051794B (zh) * | 2021-03-12 | 2022-09-13 | 武汉理工大学 | 一种石英杂质元素浓度扩散计算方法、装置及存储介质 |
| US20240135084A1 (en) * | 2022-10-11 | 2024-04-25 | Synopsys, Inc. | Optimizing machine learning classification models for resource constraints in electronic design automation (eda) computer aided design (cad) flows |
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|---|---|---|---|---|
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| JP2638442B2 (ja) * | 1993-09-17 | 1997-08-06 | 日本電気株式会社 | 三角形および四面体探索方式および解析領域分割装置 |
| JPH0786556A (ja) * | 1993-09-17 | 1995-03-31 | Nec Corp | 四面体分割方式 |
| US5677846A (en) * | 1993-12-13 | 1997-10-14 | Nec Corporation | Device simulator and mesh generating method thereof |
| JP2713212B2 (ja) * | 1995-03-13 | 1998-02-16 | 日本電気株式会社 | 拡散シミュレーション方法 |
| JP2746204B2 (ja) * | 1995-05-29 | 1998-05-06 | 日本電気株式会社 | 有限差分法における三角形および四面体メッシュ発生方法 |
| JP2701795B2 (ja) * | 1995-06-28 | 1998-01-21 | 日本電気株式会社 | プロセスシミュレーション方法 |
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| JPH0981610A (ja) * | 1995-09-12 | 1997-03-28 | Toshiba Corp | シミュレーション方法及びその装置 |
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| JP3134787B2 (ja) * | 1996-08-22 | 2001-02-13 | 日本電気株式会社 | メッシュ変形時の不純物補間方法 |
| JP2982705B2 (ja) * | 1996-08-22 | 1999-11-29 | 日本電気株式会社 | 拡散シミュレーション方法 |
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- 1997-10-31 JP JP09301065A patent/JP3139428B2/ja not_active Expired - Fee Related
-
1998
- 1998-10-27 US US09/179,388 patent/US6080200A/en not_active Expired - Fee Related
- 1998-10-30 CN CN98121465A patent/CN1216377A/zh active Pending
Also Published As
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|---|---|
| JPH11135445A (ja) | 1999-05-21 |
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| CN1216377A (zh) | 1999-05-12 |
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