JP7656176B2 - 解析装置、解析方法、およびプログラム - Google Patents

Description

本発明は、解析装置、解析方法、およびプログラムに関し、特に、電磁界を解析するために用いて好適なものである。

電磁界解析は、モータやトランスといった電気機器に備わる鉄心等などの解析対象領域の磁気特性を、マクスウェル方程式を基礎とする電磁界の支配方程式（基礎方程式）に基づく数値解析により求める手法である。尚、磁気特性は、磁化された磁性体（磁性材料）が示す磁気的な特性であり、例えば、磁束密度、磁界強度、透磁率、微分透磁率、保磁力、残留磁束密度等である。電磁界解析では、例えば、離散化した支配方程式に透磁率の初期値を与えて磁束密度を求める。その後、求めた磁束密度と磁化特性とを用いて透磁率を再度（線形に変化させて）求めることを繰り返す収束計算を行うことで、解析対象領域の磁気特性を求める（算出する）。尚、磁化特性は、磁束密度と磁界強度との関係を示すものであり、ＢＨ特性（ＢＨ曲線）等とも称される。

透磁率は、磁化特性（ＢＨ特性）において原点を通る直線で表される。従って、解析対象領域に対する数値解析の解となる磁気特性を、離散化した支配方程式に透磁率を与えて求めると、数値解析の解となる磁気特性を、実際の解析対象領域の磁化特性から大きく離れた領域で探索する虞があり、数値解析の解の精度が低下する虞がある。磁化特性が非線形性を有する場合、磁束密度が高い磁気飽領域では、このような傾向が顕著になる。

そこで、電磁界解析では、以上のようにして数値解析により磁束密度および透磁率を求めた結果、収束条件を満足していない場合には、支配方程式に与えた透磁率を求めた透磁率に更新して、磁束密度および透磁率を求め直すことを、収束条件を満足するまで繰り返す収束計算を実行する。電磁界解析の計算時間は、離散化した支配方程式の求解時間に大きく依存する。例えば、磁化特性が非線形性を有する場合には、透磁率を線形に変化させることにより磁化特性の非線形性を表現する。従って、収束計算の収束性が低下し、収束計算の回数が多くなる。これに伴い、離散化した支配方程式を求解する回数も多くなり、電磁界解析の計算時間が長くなる。

そこで、非特許文献１では、テンソル量として定義された微分透磁率（磁界強度ベクトルの変化量に対する磁束密度ベクトルの変化量の比）を用いて、Ｔ－Ω法における電磁界の支配方程式を構築し、当該電磁界の支配方程式に基づく数値解析をＴ－Ω法により実行することが開示されている。

また、特許文献１には、微分透磁率の面内方向成分（ｘ成分、ｙ成分）を用いて、Ａ－φ法における電磁界の支配方程式として一次元の磁気特性（磁束密度のｘ成分およびｙ成分のｚ軸方向の分布）を求めるための支配方程式（拡散方程式）を構築し、当該電磁界の支配方程式に基づく数値解析をＡ－φ法により実行することが開示されている。

非特許文献１および特許文献１に記載の技術では、透磁率ではなく微分透磁率を用いて数値解析の解である磁気特性を探索し、収束計算を実行する場合には微分透磁率を更新することになる。

特開２０１９－１２５０９７号公報

IEEE TRANSACTIONS ON MAGNETICS, VOL46, NO.8, AUGUST 2010, A New Formulation Using Differential Permeability Based on the Source-Field Method, J.P.A. Bastos and N. Sadowski 中田高義、高橋則雄著、「電気工学の有限要素法」、第２版、森北出版株式会社、１９８６年４月

しかしながら、非特許文献１および特許文献１に記載の技術では、微分透磁率が各軸の成分（方向成分）ごとに定められる。従って、例えば、磁束密度の大きさが同じであっても、ｘ軸成分が大きくｙ軸成分が小さい場合と、ｘ軸成分が小さくｙ軸成分が大きい場合とで、求まる微分透磁率は異なる。磁性材料は、磁束密度の方向に関わらず磁束密度の大きさが大きくなると磁気飽和し、磁界強度が増加し辛くなる。従って、非特許文献１および特許文献１に記載の技術では、求まる微分透磁率（すなわち、磁束密度と磁界強度との関係）が実際の磁化特性の変化（傾き）に精度よく合わない虞がある。よって、収束計算を実行する場合には、実際の磁化特性の変化に微分透磁率が精度よく追従せず、収束計算の回数を低減することができない虞がある。このため、電磁界解析の計算時間を低減することができない虞がある。

本発明は、以上のような問題点に鑑みてなされたものであり、電磁界解析における非線形収束計算の収束性を改善させることにより、解析速度を向上させることを目的とする。

本発明の解析装置は、電磁界解析を実行する解析装置であって、解析対象領域の磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量を含む電磁界の支配方程式に基づいて、前記解析対象領域を構成する複数の要素ごとに磁気ベクトルポテンシャルを求める数値解析部を備え、前記物理量には、磁束密度ベクトルの大きさの変化量と磁界強度ベクトルの大きさの変化量との関係をスカラー量で定義した第１の物理量が含まれる。

本発明の解析方法は、電磁界解析を実行する解析方法であって、解析装置が、解析対象領域の磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量を含む電磁界の支配方程式に基づいて、前記解析対象領域を構成する複数の要素ごとに磁気ベクトルポテンシャルを求める数値解析工程を備え、前記物理量には、磁束密度ベクトルの大きさの変化量と磁界強度ベクトルの大きさの変化量との関係をスカラー量で定義した第１の物理量が含まれる。

本発明のプログラムは、前記解析装置の各部としてコンピュータを機能させるためのものである。

本発明によれば、解析対象領域の磁気特性を数値解析により求めるに際し、例えば微分透磁率などの、磁束密度ベクトルの大きさの変化量と磁界強度ベクトルの大きさの変化量との関係を示す物理量をスカラー量で定義する。これによって、解析対象領域に含まれる磁性体の磁化特性の変化（傾き）に精度よく合うように、磁束密度と磁界強度との関係を求めることができる。したがって、電磁界解析における非線形収束計算の収束性を改善させることができ、解析速度を向上させることができる。

磁化特性の一例を示す図である。 磁束密度ベクトルのｘ成分の時間変化に対する磁界強度ベクトルの時間変化の一例を示す図である。 解析装置の機能的な構成の一例を示す図である。 解析方法の一例を説明するフローチャートである。 解析対象領域の複数の要素における磁束密度ベクトルの大きさの初期値の第１の例を示す図である。 解析対象領域の複数の要素における磁束密度ベクトルの大きさの収束計算後の値の第１の例を示す図である。 最大磁束密度差と収束計算回数との関係の第１の例を示す図である。 解析対象領域の複数の要素における磁束密度ベクトルの大きさの初期値の第２の例を示す図である。 解析対象領域の複数の要素における磁束密度ベクトルの大きさの収束計算後の値の第２の例を示す図である。 最大磁束密度差と収束計算回数との関係の第２の例を示す図である。

以下、図面を参照しながら、本発明の一実施形態を説明する。
尚、長さ、位置、大きさ、間隔等、比較対象が同じであることは、厳密に同じである場合の他、発明の主旨を逸脱しない範囲で異なるもの（例えば、設計時に定められる公差の範囲内で異なるもの）も含むものとする。

（経緯）
まず、本実施形態に至った経緯を説明する。
電磁界解析では、例えば有限要素モデルなどとなる解析モデルが有する複数の要素ごとに電磁界の支配方程式（以下、単に、支配方程式という）を離散化し、複数の要素ごとに作成された離散化された方程式を連立させた連立方程式を境界条件の下で解くことにより、境界条件を満たす磁気ベクトルポテンシャル（以下、単に、ベクトルポテンシャルという）を求める。数値解析の計算時間の大部分は連立方程式の求解に割かれている。このため、磁化特性の変化（傾き）に精度よく合うように磁気特性を探索することができれば、反復計算の収束性を向上させることができ、計算時間を大幅に短縮させることができることが期待される。

図１は、磁化特性（磁化曲線）１００の一例を示す図である。背景技術の欄で説明したように、非線形電磁界解析では、透磁率を線形とした解析を繰り返す収束計算を実行し、収束計算を繰り返すたびに透磁率を都度修正することで磁化特性１００の非線形特性を表現する。しかしながら、透磁率が線形に変化するものとして透磁率を修正するため、図１に示すように、磁束密度の大きさＢと磁界強度の大きさＨとの関係は、原点０を通る直線１１０に拘束される。特に磁束密度の大きさＢが大きい磁気飽和領域では、磁化特性１００から大きく離れた直線１１０上で解（例えば磁束密度）を探索することになる。例えば、磁化特性（磁化曲線）１００上の点１３０は、磁界強度の大きさＨの変化に対する磁束密度の大きさＢの変化が小さい磁気飽和領域に属するが、点１３０においては、磁化特性１００の変化（傾き）と、原点０と点１３０とを通る直線１１０の傾き（＝線形の透磁率）とは大きく異なる。従って、収束計算の収束性が劣化する虞がある。

一方、微分透磁率は、磁束密度を磁界強度で微分したものとして定義され、例えば、図１に示す磁化特性１００の接線１２０で表される。従って、収束計算を実行する際に透磁率を修正するよりも微分透磁率を修正する方が、磁化特性１００の接線１２０（直線）に近い範囲で解を探索することになり、磁化特性１００とより離れなくなるため、収束計算の収束性が向上すると考えられる。しかしながら、発明を解決するための課題の欄で説明したように、非特許文献１や特許文献１に記載のように微分透磁率を各軸の成分ごとに定めると、磁気飽和は磁束密度の各軸の成分ごとではなく、磁束密度の絶対値に応じて生じる為、磁化特性１００の変化（傾き）に精度よく合うように微分透磁率を求めることができない虞がある。従って、微分透磁率をベクトルで表現すると、収束計算を実行する場合には、実際の磁化特性１００の変化（傾き）に精度よく追従するように微分透磁率を修正することができない虞がある。

そこで、本発明者らは、磁性材料は、磁束密度の方向に関わらず磁束密度の大きさが大きくなれば磁気飽和することに着目し、磁束密度ベクトルの大きさと磁界強度ベクトルの大きさとの比として定義した微分透磁率（スカラー量）を用いて磁束密度と磁界強度との関係を表現して支配方程式を導くことができれば、磁気飽和領域を含め、磁化特性１００の接線１２０により近い範囲で解の探索が可能になると考えた。本発明者らは、このようにすることにより、収束計算の収束性を向上させることができ、計算時間を大幅に短縮させることができることを見出した。

（支配方程式）
以下に、本発明者らが導いた支配方程式について説明する。ここでは磁気特性をＡ法により求解する場合を例に挙げて説明する。Ａ法における一般的な支配方程式は、以下の（１）式のAmpereの法則、（２）式のFaradayの法則、および（３）式のベクトルポテンシャルの定義式により構成される。

ここで、Ｈ→は磁界強度ベクトル（Ａ／ｍ）である。尚、Ｈ→は、各式においてＨの上に→が付された記号に対応し、ベクトルであることを示す（このような表記の方法は、Ｈ→以外の記号でも同じであるものとする）。Ｅ→は、電界強度ベクトル（Ｖ／ｍ）である。Ｂ→は、磁束密度ベクトル（Ｔ）である。Ａ→は、ベクトルポテンシャル（Ｗｂ／ｍ）である。σは、導電率（Ｓ／ｍ）である。
（１）式～（３）式を連立させると以下の（４）式が得られる。

ここで、Ｊ₀は、強制電流密度ベクトル（Ａ／ｍ²）である。（４）式から磁界強度ベクトルＨ→を消去して（４）式をベクトルポテンシャルＡ→の方程式とするには、磁束密度ベクトルＢ→と磁界強度ベクトルＨ→との関係式が必要になり、通常は、以下の（５）式の構成式が使用される。

ここで、μは、透磁率（Ｈ／ｍ）である。（３）～（５）式より以下の（６）式が支配方程式として得られる。

透磁率μに代えて微分透磁率を使用しない場合、（６）式の支配方程式を解くことでベクトルポテンシャルＡ→（Ａ_x、Ａ_y、Ａ_z）を求めることになる。
他方、微分透磁率を使用する場合において、微分透磁率をベクトルで表す場合には、ここで、微分透磁率のｘ成分μ'_x、ｙ成分μ'_y、ｚ成分μ'_zを、それぞれ以下の（７）式、（８）式、（９）式のように定義する。尚、非特許文献１および特許文献１では、微分透磁率は以下の（７）式～（９）式のように定義される。

（７）式～（９）式を用いると、（４）式の左辺のｘ成分、ｙ成分、ｚ成分は、それぞれ以下の（１０）式、（１１）式、（１２）式にように変形される。

（３）式において、磁束密度ベクトルＢ→のｘ成分Ｂ_x、ｙ成分Ｂ_y、ｚ成分Ｂ_zを、ベクトルポテンシャルＡのｘ成分Ａ_x、ｙ成分Ａ_y、ｚ成分Ａ_zで表す。そして、ベクトルポテンシャルＡのｘ成分Ａ_x、ｙ成分Ａ_y、ｚ成分Ａ_zで表した磁束密度ベクトルＢ→のｘ成分Ｂ_x、ｙ成分Ｂ_y、ｚ成分Ｂ_zを、（１０）式～（１２）式の右辺に与えることにより（１０）式～（１２）式の右辺を、ベクトルポテンシャルＡのｘ成分Ａ_x、ｙ成分Ａ_y、ｚ成分Ａ_zで表す。そして、ベクトルポテンシャルＡのｘ成分Ａ_x、ｙ成分Ａ_y、ｚ成分Ａ_zで表された（１０）式～（１２）式の右辺を、（４）式の左辺のｘ成分、ｙ成分、ｚ成分とする。そうすると、（４）式は以下の（１３）式～（１５）式のように表される。

ここで、電磁界解析の次元は二次元以上であれば良いが、説明を簡単にするために電磁界解析の次元を、ｘ軸およびｙ軸により定まる二次元に限定し、電磁界解析を実行する座標系を二次元直交座標系とする。そうすると、ベクトルポテンシャルＡ→のｘ成分Ａ_x、ｙ成分Ａ_y、ｚ成分Ａ_zのうち、ｚ成分Ａ_zのみを求めることになるので、（１３）式は、以下の（１６）式のようになる。

（１６）式における微分透磁率μ'_x、μ'_yは、それぞれ（７）式、（８）式のように定義されている。従って、微分透磁率を各軸の成分ごとに表した場合の支配方程式は（１６）式のようになる。しかしながら、既に説明した通り、（１６）式における微分透磁率μ'_x、μ'_yは、磁束密度の大きさと磁界強度の大きさとの関係で規定したい。従って、本実施形態では、微分透磁率μ'をスカラー量として、以下の（１７）式のように定義する。

ここで、||Ｂ→||は、磁束密度ベクトルの大きさ（ノルム）であり、||Ｈ→||は、磁界強度ベクトルの大きさ（ノルム）である。本実施形態では、（１７）式のように定義される微分透磁率μ'を用いる。従って、微分透磁率μ'を用いて電磁界の支配方程式を構築するためには、（１６）式の１／μ'_x、１／μ'_y、つまり、∂Ｈ_x／∂Ｂ_x、∂Ｈ_y／∂Ｂ_yを、磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||および磁界強度ベクトルの大きさ||Ｈ→||を用いて表現する必要がある。

以下に、磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||および磁界強度ベクトルの大きさ||Ｈ→||を用いて∂Ｈ_x／∂Ｂ_xを表現する方法について説明する。
図２は、磁束密度ベクトルＢ→のｘ成分の時間変化に対する磁界強度ベクトルＨ→の時間変化の一例を示す図である。前述したようにここでは、磁束密度ベクトルＢ→および磁界強度ベクトルＨ→は、ｘ成分およびｙ成分からなる二次元ベクトルであるものとする。また、ここでは説明を簡単にするために、磁束密度ベクトルＢ→および磁界強度ベクトルＨ→の、磁化回転による位相差はないものとする。

図２において、解析時刻ｔにおける磁束密度ベクトルＢ→、磁界強度ベクトルＨ→を、それぞれＢ_t→、Ｈ_t→と表記する。また、解析時刻ｔより時間ステップΔｔだけ後の解析時刻ｔ＋Δｔにおける磁束密度ベクトルＢ→、磁界強度ベクトルＨ→を、それぞれＢ_t+Δt→、Ｈ_t+Δt→と表記する。

磁化特性が線形である場合、磁界強度ベクトルＢ→のｘ成分が時間変化すると、磁界強度ベクトルＨ→も磁束密度ベクトルＢ→と同様にｘ成分のみが時間変化する。これに対し、磁化特性が非線形である場合、図２に示すように、磁束密度ベクトルＢ→のｘ成分がΔＢ_xだけ時間変化し、磁束密度ベクトルＢ→がＢ_t→からＢ_t+Δt→に時間変化すると、磁界強度ベクトルＨ→は、ｘ成分に加えてｙ成分も時間変化し、Ｈ_t→からＨ_t+Δt→に時間変化する。

ここで、微分磁気抵抗率ν'を（１７）式で定義される微分透磁率μ'の逆数として以下の（１８）式のように定義する。

解析時刻ｔにおける微分磁気抵抗率ν'をν_t'と表記すると、（１８）式より以下の（１９）式が成立する。

図２に示すように、解析時刻ｔにおける磁束密度ベクトルＢ_t→のｘ軸とのなす角度（°）をθ_xとすると、（１９）式のΔ||Ｂ_t→||は、幾何学的に以下の（２０）式のように表される。尚、解析時刻ｔにおける磁束密度ベクトルＢ_t→のｘ軸とのなす角度θ_xは、解析時刻ｔにおける磁束密度ベクトルＢ_t→のｘ軸とのなす角度のうち小さい方の角度（鋭角）または９０°である。

（２０）式から、解析時刻ｔ＋Δｔにおける磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ_t+Δt→||は、以下の（２１）式のように表される。また、（１９）式および（２０）から、解析時刻ｔ＋Δｔにおける磁界強度ベクトルの大きさ||Ｈ_t+Δt→||は、以下の（２２）式のように表される。

ここでは磁束密度ベクトルＢ→のｘ成分が時間変化することとしている。従って、解析時刻ｔ＋Δｔにおける磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ_t+Δt→||および磁界強度ベクトルの大きさ||Ｈ_t+Δt→||の比は、解析時刻ｔ＋Δｔにおける磁束密度ベクトルのｘ成分Ｂ_x＋ΔＢ_xおよび磁界強度ベクトルのｘ成分Ｈ_x＋ΔＨ_xの比と等しくなる。よって、以下の（２３）式が成立する。

（２２）式～（２３）式より、以下の（２４）式が成立する。

（２４）式を整理し、二次の微小項を０（零）に近似すると、以下の（２５）式が得られる。

（２５）式の両辺を||Ｂ_t→|| ||Ｈ_t→||で除すると以下の（２６）式が得られる。

ここでは磁束密度ベクトルＢ→のｘ成分が時間変化することとしている。従って、以下の（２７）式が成立する。以下の（２７）式を（２６）式に代入すると、以下の（２８）式が得られる。

ΔＨ_x／ΔＢ_xを独立させるために（２８）式の両辺に||Ｈ_t→||／ΔＢ_xを乗ずると、以下の（２９）式が得られる。

ここで、以下の（３０）式のように、磁界強度ベクトルの大きさ||Ｈ→||に対する磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||の比を透磁率μとスカラー量で定義すると、その逆数である磁気抵抗率νは以下の（３１）式のように定義される。

（３１）式に示す磁気抵抗率νを用いると、∂Ｂ_x／∂Ｈ_xは（２９）式より以下の（３２）式のように表される。

（３２）式のように、∂Ｈ_x／∂Ｂ_xは、磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||および磁界強度ベクトルの大きさ||Ｈ→||を用いて表現される。∂Ｈ_y／∂Ｂ_yも同様にして検討すると、以下の（３３）式のように表される。

（３２）式、（３３）式は、それぞれ、（１６）式における１／μ'_x、１／μ'_yであるので、（１６）式は、以下の（３４）式のように表される。

本実施形態では、二次元電磁界解析の支配方程式を（３４）式のように定義する。以上のように、本発明者らは、磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||および磁束密度ベクトルの大きさ||Ｈ→||により定義される磁気抵抗率νおよび微分磁気抵抗率ν'を用いて表現された支配方程式が得られることに想到した。（３４）式で定義される二次元電磁界解析の支配方程式は、磁気抵抗率νおよび微分磁気抵抗率ν'を用いてベクトルポテンシャルＡ→（のｚ成分Ａ_z）を求めるための方程式である。

磁気抵抗率νおよび微分磁気抵抗率ν'を定数として（３４）式に与えることにより、変数であるベクトルポテンシャルＡ→（のｚ成分Ａ_z）が求められる。そして、二次元電磁界解析の支配方程式（３４）式を用いて求めたベクトルポテンシャルＡ→（のｚ成分Ａ_z）に基づいて、以下の（３５）式および（３６）式により磁束密度ベクトルＢ→の各軸の成分Ｂ_x、Ｂ_yが求められる。

すなわち、（３４）式で定義される二次元電磁界解析の支配方程式は、磁束密度ベクトルＢ→の各軸の成分Ｂ_x、Ｂ_yおよび磁界強度ベクトルＨ→の各軸の成分Ｈ_x、Ｈ_yを用いて（７）式～（８）式のようにして定義される微分透磁率を用いて表現されない。非特許文献１および特許文献１に記載の技術では、（１７）式で定義される微分透磁率（の大きさ）が同じであっても（７）式～（８）式で定義される微分透磁率（の各軸の成分）が異なる場合には、微分透磁率を各軸の成分ごとに定めた場合の支配方程式となる（１６）式により求められるベクトルポテンシャルＡ→（のｚ成分Ａ_z）は異なる。これに対し、（３４）式で定義される二次元電磁界解析の支配方程式では、（１７）式で定義される微分透磁率（の大きさ）が同じであれば、（７）式～（８）式で定義される微分透磁率（の各軸の成分）が異なっていても、支配方程式により求められるベクトルポテンシャルＡ→（のｚ成分Ａ_z）は同じになる。つまり、微分透磁率をベクトル量で定義すると、磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||が同じであっても、磁束密度ベクトルＢ→の向きの取り方によって微分透磁率が変わることがあるが、磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||および磁束密度ベクトルの大きさ||Ｈ→||により微分透磁率μ'をスカラー量で定義することで、磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||が同じであれば、磁束密度ベクトルＢ→の向きの取り方によって微分透磁率μ'が変わることがなく、解析対象領域に含まれる磁性体の磁化特性の変化（傾き）に精度よく合うようになる。

解析時刻ｔにおける磁束密度ベクトルＢ_t→のｘ軸、ｙ軸、ｚ軸とのなす角度（°）を、それぞれθ_x、θ_y、θ_zとすると、三次元電磁界解析の支配方程式は、前述した二次元電磁界解析の支配方程式の導出の説明における二次元直交座標系を三次元直交座標系に拡張することにより得られ、以下の（３７）式で定義される。尚、磁束密度ベクトルＢ_t→のｘ軸、ｙ軸、ｚ軸とのなす角度（°）を、それぞれθ_x、θ_y、θ_zは、それぞれ、解析時刻ｔにおける磁束密度ベクトルＢ_t→のｘ軸、ｙ軸、ｚ軸とのなす角度のうち小さい方の角度（鋭角）または９０°である。

ここで、（３７）式のＫ_x、Ｋ_y、Ｋ_zは、それぞれ以下の（３８）式、（３９）式、（４０）式で定義される。

三次元電磁界解析の支配方程式を用いて求められるベクトルポテンシャルＡ→（Ａ_x、Ａ_y、Ａ_z）から、以下の（４１）式～（４３）式のようにして磁束密度ベクトルＢ→の各軸の成分Ｂ_x、Ｂ_y、Ｂ_zが求められる。

尚、（１６）式～（３４）式を参照しながら前述した説明を理解できる当業者であれば、（１６）式～（３４）式を参照しながら前述した説明を三次元直交座標系に拡張することにより、三次元電磁源解析における支配方程式を導出することができるので、ここでは（３７）式の導出過程の詳細な説明を省略する。

以上の通り、二次元電磁界解析を実行する際には（６）式に代えて（３４）式に示す支配方程式を複数の要素ごとに離散化（微分方程式を連立方程式で表現）し、複数の要素ごとの方程式を連立させた連立方程式を解くことによりベクトルポテンシャルＡ→（のｚ成分Ａ_z）を求める。三次元電磁界解析を実行する際には（６）式に代えて（３７）式に示す支配方程式を複数の要素ごとに離散化し、複数の要素ごとの方程式を連立させた連立方程式を解くことによりベクトルポテンシャルＡ→（のｘ成分Ａ_x、ｙ成分Ａ_y、ｚ成分Ａ_z）を求める。

尚、（１８）式で定義される微分磁気抵抗率ν'および（３１）式で定義される磁気抵抗率νに代えて、（１７）式で定義される微分透磁率μ'および（３０）式で定義される透磁率μを用いて、（３４）式および（３７）式を表現してもよい。

また、ここでは、支配方程式の座標系が直交座標系である場合を例示した。しかしながら、支配方程式の座標系は、直交座標系に限定されない。例えば、（３４）式および（３７）式に示す直交座標系の座標（ｘ、ｙ、ｚ）を、極座標系や円筒座標系等の他の座標系の座標に変換することにより各座標系における支配方程式を構築してもよい。

また、ここでは、Ａ法における支配方程式を、（１８）式で定義される微分磁気抵抗率ν'と（３１）式で定義される磁気抵抗率νと、を用いて表現する場合を例示した。しかしながら、支配方程式は、Ａ法における支配方程式に限定されない。例えば、ベクトルポテンシャルＡ→および電気スカラーポテンシャルφを用いてマクスウェル方程式を書き換えてベクトルポテンシャルＡ→および電気スカラーポテンシャルφを求解するＡ－φ法、または、電流ベクトルポテンシャルＴおよび磁気スカラーポテンシャルΩを用いてマクスウェル方程式を書き換えて電流ベクトルポテンシャルＴおよび磁気スカラーポテンシャルΩを求解するＴ－Ω法等、Ａ法以外の解法における支配方程式を、（１８）式で定義される微分磁気抵抗率ν'と（３１）式で定義される磁気抵抗率νとを用いて表現してもよい。

Ａ法以外の解法における支配方程式は、（１）式～（４３）式を参照しながら説明したように、それぞれの解法における一般的な支配方程式を、（７）式～（９）式で定義される微分透磁率のx成分μ'_x、ｙ成分μ'_y、ｚ成分μ'_zを用いて書き換え、書き換え
た支配方程式を、（１８）式で定義される微分磁気抵抗率ν'および（３１）式で定義される磁気抵抗率νを用いて書き換えることにより導出することができる。すなわち、Ａ法以外の解法における一般的な支配方程式についての知識のある当業者であれば、（１）式～（４３）式を参照しながら前述した説明を参照することにより、Ａ法以外の解法における支配方程式として、（１８）式で定義される微分磁気抵抗率ν'および（３１）式で定義される磁気抵抗率νを用いて表現された支配方程式を導出することができる。従って、ここでは、これらの支配方程式の導出過程の詳細な説明を省略する。尚、これらの支配方程式についても、（１８）式で定義される微分磁気抵抗率ν'および（３１）式で定義される磁気抵抗率νに代えて、（１７）式で定義される微分透磁率μ'および（３０）式で定義される透磁率μを用いて表現してもよい。

（解析装置）
次に、図３を用いて解析装置３００について説明する。図３は、解析装置３００の機能的な構成の一例を示す図である。解析装置３００のハードウェアは、例えば、プロセッサ、主記憶装置や外部記憶装置等の記憶装置、および各種のインターフェースを備える情報処理装置（コンピュータ）、または、専用のハードウェアを用いることにより実現される。
解析装置３００は、磁性体を含む解析対象領域のベクトルポテンシャルを、電磁界の支配方程式に基づく数値解析により求めるための装置である。

磁性体は、例えば、電磁鋼板等の軟磁性体である。
解析対象領域は、例えば、モータ、発電機、およびトランス（変圧器や変流器）等の鉄心（コア）を有する電気機器の一部または全部の領域としてもよい。電気機器の一部の領域は、例えば、モータのステータ等、電気機器の構成部品の領域であってもよい。また、解析対象領域は、電気機器の一部または全部の領域に限定されない。例えば、解析対象領域は、磁気シールドルームの一部または全部の領域であってもよい。また、解析対象領域は、成形された磁性体（例えば、鋼板、条鋼、および鋼管等）の全部または一部の領域であってもよい。また、解析対象領域は、実在する物体の領域でなくてもよい。例えば、解析対象領域は、新規に設計された実在しない物体の全部または一部の領域であってもよい。また、解析対象の物体が対称性を有する場合、当該物体の、対称関係にある複数の領域のうちの一つの領域を解析対象領域としてもよい。

二次元電磁界解析を実行する際の支配方程式は、例えば（３４）式に示す支配方程式である。三次元電磁界解析を実行する際の支配方程式は、例えば（３７）式に示す支配方程式である。支配方程式として、（３４）式または（３７）式を用いる場合、解析装置３００で求められるベクトルポテンシャルは、ベクトルポテンシャルＡ→である。

図３に示すように、解析装置３００は、取得部３１０と、数値解析部３２０と、を備えており、解析対象領域のベクトルポテンシャルを、電磁界の支配方程式に基づく数値解析により求めることが可能に構成される。また、本実施形態では、解析装置３００は出力部３３０をさらに備えている。以下、これらの機能部について、それぞれ説明する。

＜取得部３１０＞
取得部３１０は、後述する数値解析部３２０における数値解析に必要な各種の情報を取得する。本実施形態では、取得部３１０は、解析モデル取得部３１１と、磁化特性取得部３１２と、方程式取得部３１３と、初期値取得部３１４と、を備える。

解析モデル取得部３１１は、解析対象領域の例えば有限要素モデルなどとなる解析モデルを取得する。解析モデルは、コンピュータで数値解析が可能となるように解析対象領域の形状を複数の要素で近似して表現したものであり、複数の要素を特定する情報を含む。尚、要素は、メッシュや微小領域等とも称される。複数の要素を特定する情報は、例えば、各要素の座標値を含む。

解析モデル取得部３１１は、例えば、解析装置３００のユーザインターフェースを用いた解析モデルの入力操作に応じて、解析モデルの情報を取得してもよい。また、解析モデル取得部３１１は、外部装置から送信された解析モデルの情報を受信して取得してもよい。また、解析モデル取得部３１１は、可搬型記憶媒体に記憶された解析モデルの情報を読み込んで取得してもよい。

磁化特性取得部３１２は、解析対象領域に含まれる磁性体の磁化特性を示す情報を取得する。磁化特性は、磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||と磁界強度ベクトルの大きさ||Ｈ→||との関係を示す。図１に示す磁化特性１００のように、磁化特性取得部３１２により取得される情報により特定される磁化特性は非線形であるものとし、後述する数値解析部３２０により非線形電磁界解析が実行させるものとする。ただし、磁化特性取得部３１２により取得される情報により特定される磁化特性は線形であってもよい。

磁化特性を示す情報は、例えば、磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||と磁界強度ベクトルの大きさ||Ｈ→||との関係式でもよい。ただし、磁化特性を示す情報は、磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||と磁界強度ベクトルの大きさ||Ｈ→||との関係式に限定されない。例えば、磁化特性を示す情報は、磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||と磁界強度ベクトルの大きさ||Ｈ→||とを相互に関連付けて記憶したテーブルであってもよい。尚、このようにする場合、テーブルに記憶されていない情報は、テーブルに記憶されている情報を用いて内挿および外挿を行うことにより求められる。

磁化特性取得部３１２は、例えば、解析装置３００のユーザインターフェースを用いた磁化特性を示す情報の入力操作に応じて、磁化特性を示す情報を取得してもよい。また、磁化特性取得部３１２は、外部装置から送信された磁化特性を示す情報を受信して取得してもよい。また、磁化特性取得部３１２は、可搬型記憶媒体に記憶された磁化特性を示す情報を読み込んで取得してもよい。

方程式取得部３１３は、解析モデル取得部３１１により取得された解析モデルにより特定される複数の要素に基づいて離散化した方程式を含む連立方程式を取得する。本実施形態では、二次元電磁界解析を実行する場合、支配方程式は（３４）式で定義される支配方程式である。一方、三次元電磁界解析を実行する場合、支配方程式は（３７）式で定義される支配方程式である。

数値解析の手法として、例えば、有限要素法（ＦＥＭ（Finite Element Method））および有限差分法（ＦＤＭ（Finite Difference Method））等、公知の手法が用いられる。従って、数値解析に際しては、（３４）式または（３７）式で定義される支配方程式そのものではなく、これらの手法で数値解析を実行することができるように（３４）式または（３７）式で定義される支配方程式を、複数の要素ごとに離散化した方程式を連立させた連立方程式が用いられる。また、本実施形態では、時間ステップΔｔごとの各解析時刻ｔにおけるベクトルポテンシャルを求める場合を例示する。従って、（３４）式または（３７）式で定義される支配方程式を、さらに時間ステップΔｔごとに離散化する必要がある。尚、一つの解析時刻ｔにおけるベクトルポテンシャルを求める場合には、時間ステップΔｔごとの離散化は不要である。

方程式取得部３１３は、（３４）式または（３７）式で定義される支配方程式を示す情報を取得する。
方程式取得部３１３は、例えば、解析装置３００のユーザインターフェースを用いた支配方程式を示す情報の入力操作に応じて、支配方程式を示す情報を取得してもよい。また、方程式取得部３１３は、外部装置から送信された支配方程式を示す情報を受信して取得してもよい。また、方程式取得部３１３は、可搬型記憶媒体に記憶された支配方程式を示す情報を読み込んで取得してもよい。

そして、方程式取得部３１３は、（３４）式または（３７）式で定義される支配方程式を、複数の要素および時間ステップΔｔに基づいて離散化し、複数の要素のそれぞれに対する複数の方程式（離散化された支配方程式）を立式（作成）する。この際、方程式取得部３１３は、解析モデル取得部３１１により取得された解析モデルに含まれる、複数の要素を特定する情報に基づいて、複数の要素を特定する。また、方程式取得部３１３は、例えば、解析装置３００のユーザインターフェースを用いた時間ステップΔｔを示す情報の入力操作に基づいて、時間ステップΔｔを特定する。そして、方程式取得部３１３は、以上のようにして立式（作成）した複数の方程式を連立させて連立方程式を立式（作成）する。

尚、方程式取得部３１３は、数値解析に用いる連立方程式を、必ずしも以上のようにして取得する必要はない。例えば、方程式取得部３１３は、（３４）式または（３７）式で定義される支配方程式そのものではなく、数値解析に用いる連立方程式（そのもの）を示す情報を、解析装置３００のユーザインターフェースを用いた入力操作、外部装置からの受信、または、可搬型記憶媒体からの読み込みによって取得してもよい。

初期値取得部３１４は、磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量の初期値を取得する。磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量は、磁束密度の変化に対して磁界強度がどのように変化するのかを示す物理量である。本実施形態では、解析対象領域の磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量に、磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||の変化量Δ||Ｂ→||と磁界強度ベクトルの大きさ||Ｈ→||の変化量Δ||Ｈ→||との関係をスカラー量で定義した第１の物理量の一例である微分透磁率μ'が含まれる場合を例示する。さらに本実施形態では、解析対象領域の磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量に、磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||と磁界強度ベクトルの大きさ||Ｈ→||との関係をスカラー量で定義した第２の物理量の一例である透磁率μが含まれる場合を例示する。そこで、初期値取得部３１４は、複数の要素の各々に対する微分透磁率μ'の初期値、および複数の要素における透磁率μの初期値をそれぞれ取得する。本実施形態では、微分透磁率μ'、透磁率μは、それぞれ（１７）式、（３０）式で定義されるものである。

尚、磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||の変化量Δ||Ｂ→||と磁界強度ベクトルの大きさ||Ｈ→||の変化量Δ||Ｈ→||との関係をスカラー量で定義した第１の物理量は、微分透磁率μ'に限定されず、例えば、（１８）式で定義される微分磁気抵抗率ν'であってもよいし、微分透磁率μ'を例えば二乗したものなど、微分透磁率μ'に対して所定の演算を加えたものであっても良い。また、磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||と磁界強度ベクトルの大きさ||Ｈ→||との関係をスカラー量で定義した第２の物理量は、透磁率μに限定されず、例えば、（３１）式で定義される磁気抵抗率νであってもよいし、磁気抵抗率νを例えば二乗したものなど、磁気抵抗率νに対して所定の演算を加えたものであっても良い。この場合、初期値取得部３１４は、（１７）式で定義される微分透磁率μ'および（３０）式で定義される透磁率μに代えて、（１８）式で定義される微分磁気抵抗率ν'および（３１）式で定義される磁気抵抗率νを取得する。

本実施形態では、初期値取得部３１４は、複数の要素におけるベクトルポテンシャルＡ→の初期値を取得し、複数の要素におけるベクトルポテンシャルＡ→の初期値に基づいて複数の要素における磁束密度ベクトルＢ→の初期値を求める（上記の（３５）式および（３６）式、あるいは、（４１）式～（４３）式参照）。そして、初期値取得部３１４は、複数の要素における磁束密度ベクトルＢ→の初期値と、磁化特性取得部３１２により取得された情報により特定される磁化特性と、に基づいて、複数の要素における微分透磁率μ'の初期値と、複数の要素における透磁率μの初期値とを求める。

後述する数値解析部３２０における数値解析は、解析開始時刻ｔ_sから解析完了時刻ｔ_eまでの時間ステップΔｔごとの離散化された各解析時刻ｔにおいて実行される。初期値取得部３１４は、解析開始時刻ｔ_sにおける数値解析を実行する際のベクトルポテンシャルＡ→の初期値を、例えば、乱数を用いて求めることにより取得してもよい。ただし、解析時刻ｔ_sにおける数値解析を実行する際のベクトルポテンシャルＡ→の初期値は、必ずしも乱数を用いて求める必要はない。初期値取得部３１４は、例えば、予め設定された値（例えば、０（零））を、解析時刻ｔ_sにおける数値解析を実行する際のベクトルポテンシャルＡ→の初期値として取得してもよい。

また、初期値取得部３１４は、解析開始時刻ｔ_sよりも後の解析時刻ｔにおける数値解析を実行する際のベクトルポテンシャルＡ→の初期値として、当該解析時刻ｔの１つ前の解析時刻ｔ－Δｔにおける数値解析により求められた値を取得してもよい。解析開始時刻ｔ_sよりも後の解析時刻ｔにおける数値解析を実行する際のベクトルポテンシャルＡ→の初期値は、当該解析時刻ｔの１つ前の解析時刻ｔ－Δｔにおける数値解析により求められた値に限定されない。初期値取得部３１４は、例えば、当該解析時刻ｔの一周期前の値を、当該解析時刻ｔにおける数値解析を実行する際のベクトルポテンシャルＡ→の初期値として取得してもよい。

初期値取得部３１４は、解析時刻ｔでの複数の要素におけるベクトルポテンシャルＡ→の初期値に基づいて、当該解析時刻ｔでの複数の要素における磁束密度ベクトルＢ→の初期値を求め、当該解析時刻ｔでの複数の要素における磁束密度ベクトルＢ→の初期値と、磁化特性取得部３１２により取得された情報により特定される磁化特性と、に基づいて、当該解析時刻ｔでの複数の要素における微分透磁率μ'の初期値と、当該解析時刻ｔでの複数の要素における透磁率μの初期値とを求めることを、解析開始時刻ｔ_sから解析完了時刻ｔ_eまでの時間ステップΔｔごとの各解析時刻ｔについて実行する。

尚、初期値取得部３１４は、必ずしも以上のようにして各解析時刻ｔでの複数の要素における微分透磁率μ'の初期値および透磁率μの初期値を取得する必要はない。例えば、初期値取得部３１４は、複数の要素におけるベクトルポテンシャルＡ→の初期値を取得せずに、複数の要素における磁束密度ベクトルＢ→の初期値を取得してもよいし、複数の要素におけるベクトルポテンシャルＡ→の初期値および複数の要素における磁束密度ベクトルＢ→の初期値を取得せずに、複数の要素における微分透磁率μ'の初期値および複数の要素における透磁率μの初期値を取得してもよい。

また、取得部３１０が取得する情報は、後述する数値解析部３２０における数値解析に必要な各種の情報であり、前述した情報に限定されない。例えば、取得部３１０は、前述した情報に加えて、数値解析に必要な一般的な情報を取得してもよい。例えば、取得部３１０は、解析対象領域の物性値（導電率σ等）を示す情報、境界条件を示す情報、解析時間（解析開始時刻ｔ_sから解析完了時刻ｔ_eまでの期間）を示す情報等を取得してもよい。

＜数値解析部３２０＞
数値解析部３２０は、取得部３１０により数値解析部３２０における数値解析に必要な情報が取得された後に起動する。数値解析部３２０は、解析対象領域の磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量に基づいて、解析対象領域のベクトルポテンシャルを、複数の要素ごとに、支配方程式に基づく数値解析により求める。前述したように本実施形態では、（３４）式または（３７）式で定義される支配方程式を、複数の要素および時間ステップΔｔに基づいて離散化した方程式を連立させた連立方程式を解くことにより、複数の要素ごとのベクトルポテンシャルＡ→を時間ステップΔｔごとの各解析時刻ｔにおいて求める。本実施形態では、複数の要素および時間ステップΔｔに基づいて離散化した方程式を連立させた連立方程式が、方程式取得部３１３により取得された連立方程式である場合を例示する。

数値解析部３２０における処理は、例えば、以下の（ａ）～（ｈ）の処理が、解析開始時刻ｔ_sから解析完了時刻ｔ_eまでの時間ステップΔｔごとの各解析時刻ｔにおいて実行されることにより実現される。

（ａ） まず、数値解析部３２０は、複数の要素における磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量の初期値に基づいて、境界条件を満足するように、前述した連立方程式を解くことで、ベクトルポテンシャルＡ→を複数の要素のそれぞれにおいて求める。

尚、前述したように本実施形態では、磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量は、微分透磁率μ'および透磁率μを含む。従って、複数の要素における磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量の初期値として、初期値取得部３１４により取得された、複数の要素における微分透磁率μ'の初期値、および複数の要素における透磁率μの初期値が用いられる。また、境界条件は、取得部３１０で取得された境界条件を示す情報から特定される。

（ｂ） 次に、数値解析部３２０は、（ａ）で求めた複数の要素におけるベクトルポテンシャルに基づいて、複数の要素における磁化特性の値を定める物理量の少なくとも１つを求める。そして、複数の要素における磁化特性の値を定める物理量に基づいて、複数の要素における磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量を求める。

磁化特性は、磁束密度と磁界強度との関係を示すものである。従って、磁化特性の値を定める物理量は、磁束密度および磁界強度である。本実施形態では、磁化特性の値を定める物理量が、磁束密度である場合を例示する。また、前述したように本実施形態では、磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量が、微分透磁率μ'および透磁率μである場合を例示する。

そこで、本実施形態では、数値解析部３２０は、複数の要素におけるベクトルポテンシャルＡ→に基づいて、複数の要素における磁束密度ベクトルＢ→を求める。そして、数値解析部３２０は、複数の要素における磁束密度ベクトルＢ→と、磁化特性取得部３１２により取得された情報により特定される磁化特性と、に基づいて、複数の要素における微分透磁率μ'と、複数の要素における透磁率μと、を求める。例えば、図１に示した磁束密度ベクトルＢ→の大きさに対応する磁化特性（磁化曲線）１００上の点１３０を求め、求めた点１３０における磁化特性（磁化曲線）１００の接線１２０の傾きが微分透磁率μ'として求められる。また、原点０と求めた点１３０とを通る直線１１０の傾きが透磁率μとして求められる。尚、数値解析部３２０は、微分透磁率μ'および透磁率μに代えてまたは加えて、微分磁気抵抗率ν'および磁気抵抗率νを求めてもよい。

（ｃ） 次に、数値解析部３２０は、収束条件を満足するか否かを判定する。収束条件は、例えば、複数の要素における磁化特性の値を定める物理量のうちの少なくとも１つの物理量の、前回値と今回値との差が閾値以下であるという条件でもよい。磁化特性の値を定める物理量のうちの少なくとも１つの物理量として、例えば、磁束密度を用いてもよい。このようにする場合、収束条件は、例えば、複数の要素における磁束密度ベクトルＢ→の代表値の、前回値と今回値との差が閾値以下であるという条件としてもよい。代表値は、例えば、磁束密度ベクトルＢ→の大きさの平均値、中央値、最頻値、および最大値のいずれかとしてもよい。また、収束条件は、このような条件に限定されず、例えば、収束条件を満足するか否かの判定回数が所定回数になったという条件であってもよい。

（ｄ） （ｃ）の判定の結果、収束条件を満足しない場合、数値解析部３２０は、複数の要素における磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量を、（ｂ）の処理で求めたものに更新する。本実施形態では、数値解析部３２０は、複数の要素における、微分透磁率μ'および透磁率μを、（ｂ）の処理で求めたものに更新する。
（ｅ） 次に、数値解析部３２０は、（ａ）の処理において、複数の要素における磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量を、（ｄ）の処理で更新されたものとして、（ａ）～（ｃ）の処理を再び実行する。そして、（ｃ）の処理において収束条件を満足しないと判定した場合、数値解析部３２０は、（ｄ）の処理を再び実行する。
（ｆ） 数値解析部３２０は、（ｄ）および（ｅ）の処理を、（ｃ）の処理において収束条件を満足すると判定するまで繰り返す収束計算を、第１の反復計算の一例として実行する。

収束計算は、ニュートン・ラフソン法（Newton-Raphson method）等の公知の手法により実現される。従って、収束計算が実行される場合、方程式取得部３１３は、ニュートン・ラフソン法（Newton-Raphson method）等による収束計算を実現することができるように立式（作成）された連立方程式を取得する。尚、数値解析の手法自体は、非特許文献２等に記載されているように一般的な手法であるので、その詳細な説明を省略する。

（ｇ） 数値解析部３２０は、前述した（ａ）～（ｆ）の処理を、解析開始時刻ｔ_sから解析完了時刻ｔ_eまでの時間ステップΔｔごとの各解析時刻ｔにおいて実行する処理を、第２の反復計算の一例として実行する。各解析時刻ｔでの複数の要素における磁化特性の値を定める物理量（本実施形態では磁束密度（より具体的には磁束密度ベクトルＢ→））は、各解析時刻ｔにおいて前述した（ｂ）の処理で求めた、複数の要素における磁化特性の値を定める物理量である。同様に、各解析時刻ｔの複数の要素における磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量（本実施形態では微分透磁率μ'および透磁率μ）は、各解析時刻ｔにおいて前述した（ｂ）の処理で求めた、複数の要素における磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量となる。

（ｈ） 数値解析部３２０は、解析終了条件を満足するか否かを判定する。解析終了条件は、例えば、解析完了時刻ｔ_eにおいて、複数の要素における磁化特性の値を定める物理量（本実施形態では磁束密度（より具体的には磁束密度ベクトルＢ→））を求めたという条件としてもよい。ただし、解析終了条件は、このような条件に限定されない。例えば、複数の要素における磁化特性の値を定める物理量が所定の条件を満足するという条件を解析終了条件としてもよい。このようにする場合、所定の条件として、例えば、各要素における磁束密度ベクトルＢ→の、目標値との差が閾値以下であるという条件を用いてもよい。

＜出力部３３０＞
出力部３３０は、数値解析部３２０により求められた、各解析時刻ｔでの複数の要素における磁化特性の値を定める物理量（本実施形態では磁束密度）および複数の要素における磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量（本実施形態では微分透磁率μ'および透磁率μ）を表す情報を出力する。出力部３３０による情報の出力先は特に限定されない。本実施形態では、コンピュータディスプレイ３４０であるが、これと共に、あるいはこれ代えて、例えば外部装置への送信と、解析装置３００の内部または外部の記憶媒体への記憶と、のうち、少なくとも１つの形態などを採用してもよい。

（解析方法）
次に、図４のフローチャートを参照しながら、解析装置３００を用いて実行される本実施形態の解析方法の一例を説明する。
まず、ステップＳ４０１において、解析モデル取得部３１１は、解析対象領域における解析モデルを取得する。

次に、ステップＳ４０２において、磁化特性取得部３１２は、解析対象領域に含まれる磁性体の磁化特性を示す情報を取得する。
次に、ステップＳ４０３において、方程式取得部３１３は、（３４）式または（３７）式に示す支配方程式を、複数の要素および時間ステップΔｔに基づいて離散化して連立させた連立方程式を取得する。連立方程式は、例えば、（３４）式または（３７）式に示す支配方程式を、有限要素法や有限差分法等による数値解析およびを実行することができるように離散化して複数の要素ごとの方程式とし、これら複数の要素ごとの方程式を、ニュートン・ラフソン法等による収束計算を実行することができるように変形することにより得られる。
次に、ステップＳ４０４において、解析装置３００は、現在の解析時刻ｔを解析開始時刻ｔ_sに設定する。

次に、ステップＳ４０５において、初期値取得部３１４は、現在の解析時刻ｔにおける数値解析を実行する際の、複数の要素における磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量の初期値を取得する。本実施形態では、初期値取得部３１４は、現在の解析時刻ｔにおける数値解析を実行する際の、複数の要素におけるベクトルポテンシャルＡ→の初期値を取得する。そして、初期値取得部３１４は、複数の要素におけるベクトルポテンシャルＡ→の初期値に基づいて、現在の解析時刻ｔにおける数値解析を実行する際の、複数の要素における磁束密度ベクトルＢ→の初期値を求める。そして、初期値取得部３１４は、複数の要素における磁束密度ベクトルＢ→の初期値と、ステップＳ４０２で取得した情報により特定される磁化特性と、に基づいて、現在の解析時刻ｔにおける数値解析を実行する際の、複数の要素における微分透磁率μ'の初期値と、複数の要素における透磁率μの初期値と、をそれぞれ求める。

次に、ステップＳ４０６において、数値解析部３２０は、複数の要素における磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量に基づいて、解析対象領域のベクトルポテンシャルを、複数の要素ごとに、支配方程式に基づく数値解析により求める。そして、数値解析部３２０は、複数の要素におけるベクトルポテンシャルに基づいて、複数の要素における磁化特性の値を定める物理量と、複数の要素における磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量と、を求める。

各解析時刻ｔにおける最初のステップＳ４０６の処理では、複数の要素における磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量として、ステップＳ４０５で取得された初期値が用いられる。各解析時刻ｔにおける２回目以降のステップＳ４０６の処理では、複数の要素における磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量として、後述するステップ４０８で更新された値が用いられる。

本実施形態では、複数の要素における磁化特性の値を定める物理量が磁束密度であり、複数の要素における磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量が微分透磁率μ'および透磁率μである場合を例示する。
従って、数値解析部３２０は、ステップＳ４０３で取得された連立方程式を解くことにより、現在の解析時刻ｔでの複数の要素におけるベクトルポテンシャルＡ→を求める。そして、数値解析部３２０は、現在の解析時刻ｔの複数の要素におけるベクトルポテンシャルＡ→に基づいて、現在の解析時刻ｔでの複数の要素における磁束密度ベクトルＢ→を求める。そして、数値解析部３２０は、現在の解析時刻ｔでの複数の要素における磁束密度ベクトルＢ→と、ステップＳ４０２で取得された情報により特定される磁化特性と、に基づいて、現在の解析時刻ｔでの複数の要素における微分透磁率μ'と、現在の解析時刻ｔでの複数の要素における透磁率μと、を求める。

次に、ステップＳ４０７において、数値解析部３２０は、収束条件を満足するか否かを判定する。この判定の結果、収束条件を満足しない場合（ステップＳ４０７でＮＯの場合）、ステップＳ４０８の処理が実行される。ステップＳ４０８において、数値解析部３２０は、複数の要素における磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量を、ステップＳ４０６で求めたものに更新する。本実施形態では、数値解析部３２０は、微分透磁率μ'および透磁率μを、本ステップＳ４０８の直近のステップＳ４０６で求められたものに更新する。

そして、前述したステップＳ４０６の処理が再び実行される。前述したように各解析時刻ｔにおける２回目以降のステップＳ４０６の処理では、複数の要素における磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量（本実施形態では、微分透磁率μ'および透磁率μ）の値として、ステップ４０８で更新された値が用いられる。そして、ステップＳ４０７において収束条件を満足すると判定するまで、ステップＳ４０６～Ｓ４０８の処理は繰り返し実行される。図４に示すフローチャートでは、ステップＳ４０６～Ｓ４０８の処理が、第１の反復計算の一例である。

ステップＳ４０７において収束条件を満足すると判定されると（ステップＳ４０７でＹＥＳの場合）、ステップＳ４０９の処理が実行される。ステップＳ４０９において、数値解析部３２０は、本ステップＳ４０９の直近のステップＳ４０６で求めた、複数の要素における磁化特性の値を定める物理量（本実施形態では磁束密度）および複数の要素における磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量（本実施形態では微分透磁率μ'および透磁率μ）を示す情報を、現在の解析時刻ｔでの複数の要素における磁化特性の値を定める物理量、および、現在の解析時刻ｔでの複数の要素における磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量を示す情報として記憶する。尚、磁束密度はベクトル量であるので、磁束密度を示す情報は、磁束密度ベクトルＢ→を特定することができる情報である。

次に、ステップＳ４１０において、数値解析部３２０は、解析終了条件を満足するか否かを判定する。この判定の結果、解析終了条件を満足しない場合（ステップＳ４１０でＮＯの場合）、ステップＳ４１１の処理が実行される。ステップＳ４１１において、解析装置３００は、解析時刻ｔを更新する。本実施形態では、ステップＳ４１１において、解析装置３００は、現在の解析時刻ｔに時間ステップΔｔを加算した解析時刻ｔを新たな解析時刻ｔとする。そして、ステップＳ４０５の処理が再び実行され、更新後の解析時刻ｔに対するステップＳ４０５～Ｓ４０９の処理が実行される。図４に示すフローチャートでは、ステップＳ４０５～Ｓ４１１の処理が、第２の反復計算の一例である。

ステップＳ４１０の判定の結果、解析終了条件を満足する場合（ステップＳ４１０でＹＥＳの場合）、ステップＳ４１２の処理が実行される。ステップＳ４１２において、出力部３３０は、各解析時刻ｔにおけるステップＳ４０９で記憶された、複数の要素における磁化特性の値を定める物理量（本実施形態では磁束密度）および複数の要素における磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量（本実施形態では微分透磁率μ'および透磁率μ）を示す情報を出力する。ステップＳ４１２の処理が終了すると、図４のフローチャートによる処理は終了する。

（計算例）
次に、計算例を説明する。本計算例では、（３４）式を支配方程式として用いた手法（以下、発明例と称する）と、（６）式をｘ軸およびｙ軸の二次元直交座標系で表した方程式を支配方程式として用いた手法（以下、比較例と称する）とのそれぞれにおいて、一つの解析時刻における磁束密度ベクトルＢ→を求めるための収束計算を実行した。表１に、数値解析の条件を示す。

＜第１計算例＞
まず、第１計算例を説明する。
図５は、解析対象領域の複数の要素における磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||の初期値の第１の例を示す図である。図５に示す四角形の二次元の領域を解析対象領域５００とし、解析対象領域５００を、表１に示すように２０×２０個の格子状の領域に分割することにより得られるそれぞれの領域を複数の要素とする。解析対象領域５００の複数の要素のそれぞれにおけるベクトルポテンシャルＡ→の初期値を、乱数を用いて設定し、ベクトルポテンシャルＡ→の初期値に基づいて、解析対象領域５００の複数の要素のそれぞれにおける磁束密度ベクトルＢ→の初期値を求めた。領域５１０は、磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||と濃度との対応関係を示す。複数の要素のそれぞれにおける磁束密度ベクトルの初期値の大きさ||Ｂ→||を、領域５１０に示す対応関係に従って濃度に変換したものを、磁束密度の初期分布として図５の解析対象領域５００内に示す。

以上のようにして磁束密度の初期分布が設定された解析対象領域５００に対し、解析対象領域の磁束密度が１．２５Ｔの一様な磁束密度になるようなベクトルポテンシャルＡ→を境界条件として設定し、発明例および比較例のそれぞれの手法で、境界条件を満足する磁束密度ベクトルＢ→を、表１に示すようにニュートン・ラフソン法による非線形収束計算により求めた。非線形収束計算においては、複数の要素における磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||の最大値の、前回値と今回値との差の絶対値ΔＢ_maxが１０^-5Ｔ以下になることを収束条件として用いた。以下の説明では、複数の要素における磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||の最大値の、前回値と今回値との差の絶対値ΔＢ_maxを、最大磁束密度差ΔＢ_maxとも称する。

比較例では、磁束密度ベクトルＢ→が収束せずに発散することを防止するために、ベクトルポテンシャルＡ→に対して緩和係数を掛けることにより、前回の収束計算で求めたベクトルポテンシャルＡ→に対する変化量が小さくなるように、求めたベクトルポテンシャルＡ→を変更し、変更後のベクトルポテンシャルＡ→に基づいて磁束密度ベクトルＢ→を求め、求めた磁束密度ベクトルＢ→に基づいて透磁率を求めた。

図６は、解析対象領域の複数の要素における磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||の収束計算後の値の第１の例を示す図である。図６（ａ）は、発明例における図であり、図６（ｂ）は、比較例における図である。
図６（ａ）に示すように発明例では、図６（ｂ）に示す比較例と同様に、解析対象領域５００の磁束密度は１．２５Ｔ程度の一様な分布になった。このように、発明例では、既に確立されている手法と同程度の精度で磁束密度ベクトル||Ｂ→||を求めることができることが分かる。

図７は、最大磁束密度差ΔＢ_maxと収束計算回数との関係の第１の例を示す図である。
図７に示すように発明例では、最大磁束密度差ΔＢ_maxは３回目の収束計算から急激に低下することが分かる。また、発明例では、緩和係数を用いなくても最大磁束密度差ΔＢ_maxが１０^-5Ｔ以下になり収束条件を満足することが分かる。これに対し、比較例では、収束条件を満足し易いように緩和係数を用いたのにも関わらず、１２回の収束計算を実行しても収束条件を満足しない。

以上のように第１計算例の結果から、解析対象領域に含まれる軟磁性体が磁気飽和していない場合に、磁束密度の分布の精度を保ちつつ、収束計算の回数を低減することができ、数値解析に要する時間を低減することができることが分かる。

＜第２計算例＞
次に、第２計算例を説明する。第２計算例は、第１計算例に対し、解析対象領域の複数の要素における磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||の初期値と、境界条件とを異ならせた。

図８は、解析対象領域の複数の要素における磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||の初期値の第２の例を示す図である。図８に示す解析対象領域８００および解析対象領域８００内の複数の要素は、図６に示す解析対象領域５００および解析対象領域５００内の複数の要素と同じである。図５および図８との違いは、各要素における磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||の初期値（濃度）のみである。領域８１０は、磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||と濃度との対応関係を示す。複数の要素のそれぞれにおける磁束密度ベクトルの初期値の大きさ||Ｂ→||を、領域８１０に示す対応関係に従って濃度に変換したものを、磁束密度の初期分布として図８の解析対象領域８００内に示す。

以上のようにして磁束密度の初期分布が設定された解析対象領域８００に対し、解析対象領域の磁束密度が１．８Ｔの一様な磁束密度になるようなベクトルポテンシャルＡ→を境界条件として設定し、発明例および比較例のそれぞれの手法で、境界条件を満足する磁束密度ベクトルＢ→を、表１に示すようにニュートン・ラフソン法による非線形収束計算により求めた。収束条件は、第１計算例と同じ（ΔＢ_max≦１０^-5Ｔ）である。第１計算例と同様に第２計算例でも、発明例では緩和係数を用いずに収束計算を実行したのに対し、比較例では緩和係数を用いて収束計算を実行した。

図９は、解析対象領域の複数の要素における磁束密度ベクトルの大きさ||Ｂ→||の収束計算後の値の第２の例を示す図である。図９（ａ）は、発明例における図であり、図９（ｂ）は、比較例における図である。
図９（ａ）に示すように発明例では、図９（ｂ）に示す比較例と同様に、解析対象領域８００の磁束密度は１．８Ｔ程度の一様な分布になった。このように、発明例では、解析対象領域に含まれる軟磁性体が磁気飽和しているような場合でも、既に確立されている手法と同程度の精度で磁束密度ベクトル||Ｂ→||を求めることができることが分かる。

図１０は、最大磁束密度差ΔＢ_maxと収束計算回数との関係の第２の例を示す図である。
図１０に示すように発明例では、最大磁束密度差ΔＢ_maxは３回目の収束計算からから急激に低下することが分かる。また、発明例では、緩和係数を用いなくても最大磁束密度差ΔＢ_maxが１０^-5Ｔ以下になり収束条件を満足することが分かる。これに対し、比較例では、収束条件を満足し易いように緩和係数を用いたのにも関わらず、１３回の収束計算を実行しても収束条件を満足しない。

以上のように第２の計算例の結果から、解析対象領域に含まれる軟磁性体が磁気飽和しているような場合でも、磁束密度の分布の精度を保ちつつ、収束計算の回数を低減することができ、数値解析に要する時間を低減することができることが分かる。

（まとめ）
以上のように本実施形態では、解析装置３００は、解析対象領域の磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量として、磁束密度ベクトルの大きさの変化量と磁界強度ベクトルの大きさの変化量との関係をスカラー量で定義した第１の物理量を含む物理量に基づいて、解析対象領域のベクトルポテンシャルを、複数の要素ごとに求める。これによって、磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量を成分ごとに定める場合（ベクトル量で定義した場合）よりも、解析対象領域に含まれる磁性体の磁化特性の変化（傾き）に精度よく合うように、磁束密度と磁界強度との関係を求めることができる。したがって、電磁界解析における非線形収束計算の収束性を改善させることができ、解析速度を向上させることができる。

また、本実施形態では、磁束密度ベクトルの大きさの変化量と磁界強度ベクトルの大きさの変化量との関係をスカラー量として定義した第１の物理量として、磁束密度ベクトルの大きさを磁界強度ベクトルの大きさで偏微分した値として定義される微分透磁率（（１７）式を参照）、または、微分透磁率の逆数として定義される微分磁気抵抗率（（１８）式を参照）を用いる。従って、解析対象領域に含まれる磁性体の磁化特性の接線の傾きを、第１の物理量として求めることができる。

また、本実施形態では、ｘ軸およびｙ軸からなる二次元直交座標系における電磁界を解析する場合、ν、ν'をそれぞれ（３１）式、（１８）式として、支配方程式を（３４）式で表す。従って、二次元直交座標系における磁束密度と磁界強度との関係を、解析対象領域に含まれる磁性体の磁化特性の変化（傾き）に精度よく合うように求めることができる。

また、本実施形態では、ｘ軸、ｙ軸、およびｚ軸からなる三次元直交座標系における電磁界を解析する場合、Ｋ_x、Ｋ_y、Ｋ_z、ν、ν'をそれぞれ（３８）式、（３９）式、（４０）式、（３１）式、（１８）式として、支配方程式を（３４）式で表す。従って、三次元直交座標系における磁束密度と磁界強度との関係を、解析対象領域に含まれる磁性体の磁化特性の変化（傾き）に精度よく合うように求めることができる。

また、本実施形態では、解析装置３００は、磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量の初期値を取得する。解析装置３００は、取得した磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量の初期値に基づいて、解析対象領域のベクトルポテンシャルを複数の要素ごとに求め、求めた前記解析対象領域のベクトルポテンシャルに基づいて、磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量を更新し、更新後の磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量に基づいて、解析対象領域のベクトルポテンシャルを複数の要素ごとに求めることを、収束条件を満足するまで繰り返す第１の反復計算を実行する。従って、例えば１回の計算ではベクトルポテンシャルの精度が低いような場合に実行される第１の反復計算に際し、磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量を実際の磁化特性の変化に精度よく追従するように修正することができ、第１の反復計算の回数を低減することができる。よって、数値解析の計算時間を低減することができる。

また、本実施形態では、解析装置３００は、第１の反復計算において収束条件を満足する場合、時間ステップを更新して次の時刻における第１の反復計算を実行することを、解析終了条件を満足するまで繰り返す第２の反復計算を実行する。前述したように第１の反復計算の回数を低減することができるので、第２の反復計算の時間も低減することができる。従って、解析対象領域の複数の要素におけるベクトルポテンシャルの時間変化を短時間に求めることができる。

また、本実施形態では、解析装置３００は、解析対象領域に含まれる磁性体の磁化特性を示す情報として、磁束密度ベクトルの大きさと磁界強度ベクトルの大きさとの関係を示す情報を取得し、ベクトルポテンシャルに基づいて定まる磁束密度ベクトルの大きさまたは磁界強度ベクトルの大きさと、磁化特性と、に基づいて、磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量を求める。従って、解析対象領域に含まれる磁性体の磁化特性に応じて、磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量を求めることができる。よって、磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量をより高精度に求めることができる。

また、本実施形態では、解析装置３００は、磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量として、磁束密度ベクトルの大きさと磁界強度ベクトルの大きさとの関係をスカラー量で定義した第２の物理量として、磁界強度ベクトルの大きさに対する磁束密度ベクトルの大きさの比で定義される透磁率（（３０）式を参照）、または、当該透磁率の逆数として定義される磁気抵抗率（（３１）式を参照）をさらに用いる。従って、解析対象領域に含まれる磁性体の磁化特性上の点と原点とを結ぶ直線の傾きを第２の物理量として求めることができ、第１の物理量に加えて第２の物理量を、磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量として用いることができる。よって、解析対象領域のベクトルポテンシャルをより高精度に求めることができる。

また、本実施形態では、解析装置３００は、解析対象領域における解析モデルとして、前記複数の要素を特定する情報を含む解析モデルを取得する。従って、例えば、解析者の意図に応じて解析対象領域の形状を複数の要素に近似することができる。

また、本実施形態では、解析装置３００は、複数の要素ごとに支配方程式を離散化した方程式を連立させた連立方程式を取得し、取得した連立方程式を解くことにより、ベクトルポテンシャルを求める。従って、例えば、解析する電磁界の次元数や、座標系や、解法等に応じた連立方程式を取得してベクトルポテンシャルを求めることができる。

また、本実施形態では、解析装置３００は、ベクトルポテンシャルに基づいて、磁束密度ベクトルおよび磁界強度ベクトルの少なくとも一方を求める。従って、解析対象領域の磁束密度や磁界強度を複数の要素ごとに定量化することができる。

また、本実施形態では、解析装置３００は、ベクトルポテンシャルＡ→を求める。従って、Ｔ－Ω法に比べて非線形反復の収束性が優位であるとされるＡ法やＡ－φ法に基づいてベクトルポテンシャルＡ→を求めることができる。

また、本実施形態では、解析装置３００は、二次元以上の次元の電磁界を解析する。従って、解析対象領域を平面や空間とし、平面や空間におけるベクトルポテンシャルを複数の要素ごとに求めることができる。よって、解析対象領域の磁気特性をより詳細に求めることができる。

（変形例）
本実施形態では、磁化特性の値を定める物理量として、磁束密度ベクトルＢ→を求める場合を例示した。しかしながら、必ずしもこのようにする必要はない。例えば、磁化特性の値を定める物理量として、磁束密度ベクトルＢ→に加えてまたは代えて磁界強度ベクトルＨ→を求めてもよい。このようにする場合、磁界強度ベクトルＨ→と磁化特性とに基づいて、磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量（本実施形態では微分透磁率μ'および透磁率μ）を求めてもよい。また、磁束密度ベクトルＢ→に基づいて、解析対象領域に含まれる軟磁性体の異常渦電流損を求めてもよい。また、磁界強度ベクトルＨ→に基づいて、解析対象領域に含まれる軟磁性体のヒステリシス損を求めてもよい。

また、本実施形態では、二次元および三次元の電磁界を解析する場合を例示した。しかしながら、必ずしもこのようにする必要はない。例えば、一次元の電磁界を解析してもよい。

また、本実施形態のように第１の反復計算（収束計算）を実行すれば、ベクトルポテンシャル（およびベクトルポテンシャルに基づいて求められる磁気特性）をより精度よく求めることができるので好ましい。しかしながら、必ずしも第１の反復計算を実行する必要はない。例えば、解析対象領域における磁束密度が低磁束密度である場合には、第１の反復計算を実行しなくてもある程度の精度でベクトルポテンシャルを求めることができる場合があるので、必ずしも第１の反復計算を実行する必要はない。また、一つの解析時刻ｔにおけるベクトルポテンシャルを求める場合には、時間ステップΔｔごとの各解析時刻ｔにおけるベクトルポテンシャルを求める第２の反復計算を実行する必要はない。

尚、以上説明した本発明の実施形態は、コンピュータがプログラムを実行することによって実現することができる。また、前記プログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体及び前記プログラム等のコンピュータプログラムプロダクトも本発明の実施形態として適用することができる。記録媒体としては、例えば、フレキシブルディスク、ハードディスク、光ディスク、光磁気ディスク、ＣＤ－ＲＯＭ、磁気テープ、不揮発性のメモリカード、ＲＯＭ等を用いることができる。また、本発明の実施形態は、ＰＬＣ（Programmable Logic Controller）により実現されてもよいし、ＡＳＩＣ（Application Specific Integrated Circuit）等の専用のハードウェアにより実現されてもよい。
また、以上説明した本発明の実施形態は、何れも本発明を実施するにあたっての具体化の例を示したものに過ぎず、これらによって本発明の技術的範囲が限定的に解釈されてはならないものである。すなわち、本発明はその技術思想、またはその主要な特徴から逸脱することなく、様々な形で実施することができる。

１００ 磁化特性
１１０ 磁化特性の原点を通る直線
１２０ 磁化特性の接線
１３０ 磁束密度に対応する磁化特性上の点
３００ 解析装置
３１０ 取得部
３１１ 解析モデル取得部
３１２ 磁化特性取得部
３１３ 方程式取得部
３１４ 初期値取得部
３２０ 数値解析部
３３０ 出力部
３４０ コンピュータディスプレイ
５００ 第１の計算例における解析対象領域
５１０ 磁束密度と濃度との対応関係を示す領域
８００ 第２の計算例における解析対象領域
８１０ 磁束密度と濃度との対応関係を示す領域
Ｂ 磁束密度
Ｈ 磁界強度
||Ｂ→|| 磁束密度ベクトルの大きさ
Ｂ_t→ 解析時刻ｔにおける磁束密度ベクトル
Ｂ_t+Δt→ 解析時刻ｔ＋Δｔにおける磁束密度ベクトル
Ｈ_t→ 解析時刻ｔにおける磁界強度ベクトル
Ｈ_t+Δt→ 解析時刻ｔ＋Δｔにおける磁界強度ベクトル
ΔＢ_x 磁束密度ベクトルのｘ成分の時間変化量
ΔＨ_x 磁界強度ベクトルのｘ成分の時間変化量
θ_x 磁束密度ベクトルのｘ軸とのなす角度
ΔＢ_max 最大磁束密度差

Claims (10)

1. 電磁界解析を実行する解析装置であって、
   解析対象領域の磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量を含む電磁界の支配方程式に基づいて、前記解析対象領域を構成する複数の要素ごとに磁気ベクトルポテンシャルを求める数値解析部を備え、
   前記物理量には、磁束密度ベクトルの大きさの変化量と磁界強度ベクトルの大きさの変化量との関係をスカラー量で定義した第１の物理量が含まれる、解析装置。
2. 前記第１の物理量は、前記磁束密度ベクトルの大きさを前記磁界強度ベクトルの大きさで偏微分した値として定義される微分透磁率、または、前記微分透磁率の逆数として定義される微分磁気抵抗率である、請求項１に記載の解析装置。
3. 前記電磁界は、ｘ軸およびｙ軸からなる二次元直交座標系における電磁界であり、
   前記支配方程式は、ν、ν'をそれぞれ以下の（Ｂ）式、（Ｃ）式として、以下の（Ａ）式で表される、請求項１または２に記載の解析装置。
   

   
4. 前記電磁界は、ｘ軸、ｙ軸、およびｚ軸からなる三次元直交座標系における電磁界であり、
   前記支配方程式は、Ｋ_x、Ｋ_y、Ｋ_z、ν、ν'をそれぞれ以下の（Ｅ）式、（Ｆ）式、（Ｇ）式、（Ｈ）式、（Ｉ）式として、以下の（Ｄ）式で表される、請求項１または２に記載の解析装置。
   

   
5. 前記物理量の初期値を取得する初期値取得部をさらに備え、
   前記数値解析部は、前記初期値取得部により取得された前記物理量の初期値に基づいて、前記解析対象領域の磁気ベクトルポテンシャルを前記複数の要素ごとに求め、求めた前記解析対象領域の磁気ベクトルポテンシャルに基づいて、前記物理量を更新し、更新後の前記物理量に基づいて、前記解析対象領域の磁気ベクトルポテンシャルを前記複数の要素ごとに求めることを、収束条件を満足するまで繰り返す第１の反復計算を実行する、請求項１～４のいずれか１項に記載の解析装置。
6. 前記数値解析部は、前記収束条件を満足する場合、時間ステップを更新して次の解析時刻における前記第１の反復計算を実行することを、解析終了条件を満足するまで繰り返すことにより、前記時間ステップごとの各解析時刻での前記解析対象領域の磁気ベクトルポテンシャルを、前記複数の要素ごとに求める第２の反復計算を実行する、請求項５に記載の解析装置。
7. 前記解析対象領域に含まれる磁性体の磁化特性を示す情報を取得する磁化特性取得部をさらに備え、
   前記磁化特性は、磁束密度ベクトルの大きさと磁界強度ベクトルの大きさとの関係であり、
   前記数値解析部は、前記磁気ベクトルポテンシャルに基づいて定まる磁束密度ベクトルの大きさまたは磁界強度ベクトルの大きさと、前記磁化特性と、に基づいて、前記物理量を求める、請求項１～６のいずれか１項に記載の解析装置。
8. 前記物理量には、磁束密度ベクトルの大きさと磁界強度ベクトルの大きさとの関係をスカラー量で定義した第２の物理量として、前記磁界強度ベクトルの大きさに対する前記磁束密度ベクトルの大きさの比で定義される透磁率、または、前記透磁率の逆数として定義される磁気抵抗率がさらに含まれる、請求項１～７のいずれか１項に記載の解析装置。
9. 電磁界解析を実行する解析方法であって、
   解析装置が、解析対象領域の磁束密度と磁界強度との関係を示す物理量を含む電磁界の支配方程式に基づいて、前記解析対象領域を構成する複数の要素ごとに磁気ベクトルポテンシャルを求める数値解析工程を備え、
   前記物理量には、磁束密度ベクトルの大きさの変化量と磁界強度ベクトルの大きさの変化量との関係をスカラー量で定義した第１の物理量が含まれる、解析方法。
10. 請求項１～８のいずれか１項に記載の解析装置の各部としてコンピュータを機能させるためのプログラム。

Images