JPH0372364B2

JPH0372364B2 -

Info

Publication number: JPH0372364B2
Application number: JP57184130A
Authority: JP
Inventors: Shigeru Ogawa; Hiromi Matsumoto; Tsunetoshi Ishida
Original assignee: Nippon Steel Corp
Current assignee: Nippon Steel Corp
Priority date: 1982-10-20
Filing date: 1982-10-20
Publication date: 1991-11-18
Also published as: JPS59130614A

Description

【発明の詳細な説明】〔産業上の利用分野〕本発明は、板圧延における幅方向板厚分布のう
ち左右対称成分すなわち板クラウンと、これと密
接な関係をもつ板形状の制御方法に関するもので
ある。

〔従来の技術〕

従来の板クラウン・形状制御方法は、圧延の結
果得られる板クラウンあるいは板形状と圧延条件
の関係を、実際の圧延データあるいは数値解析結
果を統計処理してモデル化し、比較的単純な式と
して圧延制御に用いているものである。

しかしながら、実際に得られる板クラウンおよ
び板形状は作業ロール−材料間の幅方向荷重分布
の影響を大きく受け、さらにこの幅方向荷重分布
は圧延材料の変形特性に大きく左右されるため、
従来の制御方法を変形特性の異なる材料の圧延に
適用しようとした場合、その材料についての新し
いモデル式を作成するか、あるいはモデル式の各
係数を見直すかの措置をとらなければならなくな
る。

このような問題に対処する方法として、実際の
圧延データをもとにした学習機能を導入する方法
がある。

〔発明が解決しようとする課題〕

しかし、従来のモデル式では、圧延機側の変形
特性と圧延材料の変形特性が十分分離されていな
いので、効果的な学習ロジツクを作成するのは非
常に困難である。また、モデル式を作成する上
で、数値解析結果を用いる場合が多いが、このよ
うな解析手法を精度的に評価した場合、圧延機側
の変形についてはすべて弾性変形解析であるた
め、現状の解析理論でも十分な精度が期待できる
と考えられるが、材料の変形特性については材料
の幅広がり特性等、現状の解析理論でもなお不明
な部分が多く、十分な精度は期待できない、と考
えられる。

したがつて、圧延機の変形特性と材料側の変形
特性を連立して解いた結果として計算される板ク
ラウンおよび板形状についてのモデル式を作成し
た場合、最初から材料側の変形特性にまつわる誤
差分だけ精度低下したモデルとならざるを得なく
なる。

本発明は、以上のような従来法の問題点を解決
することを目的とする。

〔課題を解決するための技術分野〕

本発明の第１の要旨は、圧延板の幅方向板厚分
布を制御できる装置を有する圧延機の圧延制御方
法において、圧延板と作業ロール間の幅方向荷重
分布が一様である場合に実現される幅方向板厚分
布と圧延条件の関係を示すモデル式と、該モデル
式に圧延条件を代入して計算される該幅方向板厚
分布と圧延機入側の圧延板の幅方向板厚分布の一
次結合として構成される圧延機出側の圧延板の幅
方向板厚分布の計算式とを用いて、該幅方向板厚
分布制御装置の操作量を決定し、これに基づいて
該幅方向板厚分布制御装置を制御するにある。

第２の要旨は、圧延板の幅方向板厚分布を制御
できる装置を有する圧延機の圧延制御方法におい
て、圧延中の圧延荷重を検出し、圧延板と作業ロ
ールの間の幅方向荷重分布が一様である場合に実
現される幅方向板厚分布と圧延条件の関係を示す
モデル式に上記圧延荷重の実測値を代入して計算
される幅方向板厚分布が設定計算時に決められた
目標値あるいはフイードバツク制御によつて修正
された目標値に最も近くなるように該幅方向板厚
分布制御装置の操作量を決めるにある。

第３の要旨は、圧延板の幅方向板厚分布を制御
できる装置と、圧延板の形状検出装置を有する圧
延機の制御方法において、該板形状検出装置で実
測した板形状と目標板形状の差を板厚分布の差に
換算し、圧延板と作業ロール間の幅方向板厚分布
が一様である場合に実現される幅方向板厚分布と
圧延機入側の圧延板の幅方向板厚分布の一次結合
として構成される圧延機出側の圧延板の幅方向板
厚分布の計算式を用いて、上記板厚分布の差の換
算値を圧延板と作業ロール間の幅方向板厚分布が
一様である場合に実現される幅方向板厚分布の差
に換算し、さらに圧延板と作業ロール間の幅方向
荷重分布が一様である場合に実現される幅方向板
厚分布と圧延条件の関係を示すモデル式を用い
て、上記板厚分布の差を解消するための上記幅方
向板厚分布制御装置の操作量を決めるにある。

第４の要旨は、圧延板の幅方向板厚分布を制御
できる装置と、成品の幅方向板厚分布を測定する
ことのできる装置を有する連続圧延機の圧延制御
方法において、該幅方向板厚分布測定装置で実測
した板厚分布と目標板厚分布との差異を、最後段
圧延機においてはこれを解消し、且つ成品形状を
乱さないように最後段圧延機直前の圧延機におい
ては上記板厚分布の差異と当該出側板厚に関して
相似な幅方向板厚分布の修正量を決定し、この修
正量による圧延機間の板形状の乱れが圧延操業上
の許容範囲を越える場合は、この修正量をさらに
前段の圧延機に振り分けた後、圧延板と作業ロー
ルの間の幅方向板厚分布が一様である場合に実現
される幅方向板厚分布と圧延機入側の圧延板の幅
方向板厚分布の一次結合として構成される圧延機
出側の圧延板の幅方向板厚分布の計算式を用い
て、上記各圧延機出側の幅方向板厚分布の修正量
を圧延板と作業ロール間の幅方向板厚分布が一様
である場合に実現される幅方向板厚分布の修正量
に換算し、さらに圧延板と作業ロールの間の幅方
向荷重分布が一様である場合に実現される幅方向
板厚分布と圧延条件の関係を示すモデル式を用い
て、上記板厚分布の修正量に対応する上記幅方向
板厚分布制御装置の操作量を決めるにある。

以下に本発明を詳細に説明する。

現在、板圧延機として最も広く用いられている
４段式の圧延機においても圧延荷重が変化すれば
幅方向の板厚分布も変化することはよく知られて
いるが、本発明で言う幅方向板厚分布の制御装置
とは、圧延荷重が一定という条件下でも幅方向板
厚分布を制御できる装置であり、ロールベンデイ
ング装置、可変クラウンロール、作業ロールシフ
ト、ロールクロス、６段式圧延機の中間ロールシ
フト、補強ロールにスリーブを配した形式の圧延
機のスリーブシフト機能等のいわゆるクラウン・
形状制御端を意味している。

圧延板と作業ロールの間の幅方向の荷重分布が
一様である場合に実現される板厚分布は、圧延機
のデイメンジヨン、クラウン形状制御端の設定条
件、圧延荷重、圧延材の圧延条件が与えられれ
ば、その他の圧延材料の変形特性とは無関係に圧
延機の変形特性のみによつて決まる。このような
板厚分布から求まる板クラウンを以下ではメカニ
カル板クラウンと称することにする。メカニカル
板クラウンは上述のように圧延機の変形特性のみ
によつて決まる基本量であるが、実際の圧延では
幅方向の荷重分布は入側板クラウンや圧延材料の
変形特性によつて種々に変化するため、出側板ク
ラウンはかならずしもメカニカル板クラウンに一
致しない。そこで以下では、実際の圧延で生ずる
出側板クラウンとメカニカル板クラウンの関係に
ついて説明する。

実際の圧延で得られる出側板クラウンには、入
側板クラウンがかなり大きな影響をもつと考えら
れるが、このような影響を定量的に表現するため
に、中島浩衛他著「ホツトストリツプのクラウ
ン・形状制御法に関する研究（第５報）」（第30回
塑性加工連合講演会 No.102−1979−）では、ク
ラウン遺伝係数なる概念を導入している。

クラウン遺伝係数ηとは、他の圧延条件はすべ
て同一のままで入側板クラウンC_HのみがΔC_Hだけ
変動したときに出側板クラウンChに与える影響
係数として定義している。すなわち、このときに
生ずる出側板クラウンの変化量をΔChとすると
き、 ΔCh＝η・ΔC_H …(1) なる関係を有する。

このように出側板クラウンが入側板クラウンの
影響を受けるのは、入側板クラウンが変化するこ
とによつて幅方向の伸び率分布にわずかな差を生
じ、その結果ロールバイト内の張力の幅方向分布
に大きな差異を生じ、幅方向の圧延荷重分布が変
化してロール変形が変化するというメカニズムで
説明できる。このように考えると、幅方向の伸び
率分布は入側板クラウン比率と出側板クラウン比
率の差によつて決まつてくるから、入側板クラウ
ンの影響は(1)式の形よりも、 ΔCh／ｈ＝η〓・ΔC_H／Ｈすなわち、 ΔCh＝η〓・（１−ｒ）・ΔC_H …(2) という形で表わしたほうが妥当であることがわか
る。ここで、ｈは出側板厚、Ｈは入側板厚、ｒは
圧下率であり、η〓は修正クラウン遺伝係数とよぶ
ことにする。

(2)式から、ある基準となる入側板クラウンC⁰ _H
のときの出側板クラウンがC⁰hであることがわか
つているとき、入側板クラウンΔC_Hに対応する出
側板クラウンChは次式で求められる。

Ch＝C⁰h＋η〓・（１−ｒ）・（C_H−C⁰ _H） (3) いま板クラウンモデル式を(3)式から出発して考
えるわけであるが、C⁰ _H、C⁰hとしては幅方向の
伸び率分布が均一となる場合（材料温度が幅方向
に均一であるとき、幅方向の圧延荷重分布も均一
となる）を選ぶのが最も合理的である。このとき
入側板クラウン比率と出側板クラウン比率は等し
くなるから、 C⁰ _H＝C⁰h・Ｈ／ｈ＝C⁰h・１／（１−ｒ）…(4) なる関係が成立し、これを(3)式に代入することに
より次式が得られる。

Ch＝（１−η〓）C⁰h＋η〓（１−ｒ）C_H…(5) ところで(5)式のChは幅方向の伸び率分布が均一
であるときの出側クラウンであるが、変形抵抗の
幅方向分布が均一であれば、このとき幅方向の圧
延荷重分布も均一となり、C⁰hはメカニカル板ク
ラウンη〓に一致することになる。したがつて板ク
ラウンモデルの基本式として次式を得る。

Ch＝（１−η〓）・〓＋η〓（１−ｒ）・C_H (6) なお、圧延材料の幅方向変換抵抗分布が無視で
きない場合は、その影響項を〓に加えればよい。

次に視点を変えて出側板クラウンを入側板クラ
ウンを基準として考えることにする。幅方向温度
分布が均一である場合、〓が入側板クラウンと同
一のクラウン比率を持つた出側板クラウンC_H・
ｈ／Ｈに等しいときはじめて実際に等クラウン比
率の圧延が実現することは〓の定義から考えて明
らかである。そして〓とC_H・ｈ／Ｈの間に差が
生じたとき、その差に比例して出側板クラウンが
変化するものと仮定し、その比例定数をζとする
と、出側板クラウンは Ch＝C_H・ｈ／Ｈ＋ζ（〓−C_H・ｈ／Ｈ）すなわち、 Ch＝ζ〓＋（１−ζ）（１−ｒ）C_H …(7) で与えられる。ここでζはロールカーブやロール
ベンデイング力等の変化によるメカニカル板クラ
ウンの変化が出側板クラウンにおよぼす影響係数
を示しており、板クラウン補正係数と呼ぶことに
する。

ζとη〓はその定義からするとまつたく別の概念
であるが、式(6)と(7)を比較すると ζ＝１−η〓 …(8) なる関係が成立しなければならない。言いかえれ
ば式(6)と(7)は元来同じ内容を別々の表現で表わし
ているものであり、その究極の意味するところは
(8)式ということになる。

ところで(6)式あるいは(7)式の関係式は、圧延板
の板厚を求めるときのミル剛性曲線と塑性係数曲
線の考え方と類似の考え方によつても求めること
ができる。第１図に示すように、横軸に板クラウ
ンＣをとり、縦軸に板端部と板中央部の荷重の差
ΔPをとつて考えると、圧延機側の変形はΔP＝０
のときＣ＝〓となり、Ｃ＜〓となるには板端部の
荷重が板中央部よりも大きくならなければならな
い。そこでＣとΔPの関係を直線近似し、その勾
配の絶対値をｋとすると、圧延機側の変形は次式
で表わされる。

ΔP＝−ｋ（Ｃ−〓） …(9) 一方、材料側の変形はＣ＝（１−ｒ）C_Hのとき
幅方向変形抵抗分布が均一であると仮定すれば、
ΔP＝０であり、Ｃ＞（１−ｒ）C_HとなるにはΔP
＞０とならなければならない。そこでＣとΔPの
関係を直線近似し、その勾配をｍとすると材料側
の変形は次式で表わされる。

ΔP＝ｍ〔Ｃ−（１−ｒ）C_H〕 (10) (9)、(10)式で表わされる直線の交点で圧延によつ
て生ずる板クラウンChが求まり、 Ch＝〓ｋ／（ｍ＋ｋ）＋C_H（１−ｒ）ｍ／（ｍ
＋ｋ）を得る。ｍ／（ｍ＋ｋ）＝η〓とおくと(11)式は(6)式
に一致する。

(8)式が成立するということは学問的にも非常に
重要であり、本発明者らは実験によつてこれを確
認しているが、本発明にとつては圧延によつて生
ずる板クラウンChが Ch＝ζ・〓＋η〓（１−ｒ）C_H …(12) のように〓とC_Hの一次結合として表現され、η〓お
よびζが圧延材料の変形特性に依存する量であ
り、〓は圧延機の変形特性によつて決まる量であ
るということが重要である。

η〓、ζについては上述したように数値解析結果
より求めるという方法もあるが、最終的には圧延
実験によつて確認し、実機操業データによつて学
習して行くという方法が望ましい。現時点では、
ホツトストリツプ圧延について前出の中島らの文
献にクラウン遺伝係数ηの値を実験および理論に
よつて求めた結果が報告されており、これを〓＝η／（１−ｒ） …(13) なる定義式で修正クラウン遺伝係数に換算し、さ
らに(8)式を適用することによつて板クラウン補正
係数ζも求まる。

したがつて以降(12)式のζおよびη〓の値について
は既知であるとして説明をすすめる。

(12)式によつて板クラウンとメカニカル板クラウ
ンの関係を明らかにすることができたので、次に
メカニカル板クラウンの値を求めるためのモデル
式について説明する。

ここでモデル式とはプロセスコンピユータに組
込可能な比較的簡単な反復計算を要しない式を意
味する。

メカニカル板クラウンは、基本的には作業ロー
ルのクラウン、たわみ、および圧延材料との接触
による偏平変形によつて決まる量である。

ロールクラウンは圧延作業を続けて行くうちに
摩耗および熱膨張によつて次第に変化していくこ
とが知られているが、これらについては数式モデ
ルによる推定あるいは直接測定等によつて既知で
あると考える。

圧延材料との接触によるロール偏平変形につい
ては、厳密には数値計算を用いなければならない
が、後述するように本発明者らはメカニカル板ク
ラウンの定義、すなわち幅方向荷重分布が一様で
あるということを利用して簡単な近似式を開発し
た。しかしながらロール偏平変形が幅方向板厚分
布におよぼす影響は板端部に集中していることが
多いため、板クラウン定義点を板端より若干中に
入つたところにとれば作業ロール偏平の影響は考
慮する必要がなくなる。

作業ロールのたわみは、２段圧延機の場合はロ
ールを両端変持梁とみなすことができて材料力学
によつて簡単に求めることができるが、補強ロー
ルを有する多段圧延機では、作業ロールと補強ロ
ールの間に作用する線荷重分布が作業ロールのた
わみに依存するため、不静定問題となつてしま
い、最初線荷分布を仮定して作業ロールたわみを
計算し、さらに今計算した作業ロールたわみを用
いて線荷重分布を計算し、これが前回作業ロール
たわみを計算したときに用いた線荷重分布に実質
的に一致するまで再計算を行なうという反復法を
用いるか、あるいはロールたわみを離散化した本
格的な数値計算に頼らざる得なくなる。

これらの方法では瞬時に答を要求されるプロセ
スコンピユータ用のモデル式にはなり得ないので
本発明者らはこの問題を次のように解決した。

作業ロールのたわみに大きな影響をもつ要因の
一つにロールクラウンがある。

第２ａ図および第２ｂ図にはワークロール３に
凹カーブがついている場合の原理図を示すが、ロ
ールカーブが付与されている場合、無負荷の作業
ロール〜補強ロール間ギツプには第２ａ図に示す
ようにロールカープに従つた幅方向分布が存有し
ている。この状態で圧延を行なつた場合でも、ほ
とんどの場合第２ｂ図に示すように作業ロールと
補強ロールは完全に接触してしまう。したがつて
無負荷時に存在していたロールギヤツプの幅方向
分布は、作業ロール〜補強ロール間の接触面に作
用する荷重の幅方向分布を通じて作業ロールのた
わみに影響をおよぼす。

したがつて作業ロールに、板クラウン定義点に
換算してC_Rなるクラウン（半径分で凸クラウン
側を正）が付与されている場合、これがメカニカ
ル板クラウンにおよぼす影響は、無負荷時のロー
ルギヤツプの寄与−2C_Rだけでなく、C_Rによる作
業ロールたわみの増分−2αC_Rが加算されて、−２
（１＋α）C_Rとなる。

ここでαの値は、第３ａ図および第３ｂ図に示
したように、作業ロールの曲げ剛性が無限大のと
きα＝０であり、曲げ剛性が０の場合はα＝１と
なり、一般に作業ロールの曲げ剛性に応じて０＜
α＜１の値をとる。

以上の考察からわかるように、αなるパラメー
タは、作業ロール〜補強ロール間の幅方向荷重分
布が作業ロールたわみにおよぼす影響を、無負荷
時すなわち幅方向荷重分布のないときに存在する
作業ロール〜補強ロール間ギヤツプの幅方向分布
から求めることのできるパラメータであり、先に
述べた作業ロールたわみを計算する際の困難をも
以下のように一挙に解決できる重要な概念であ
る。

作業ロールのたわみを求める際には、補強ロー
ルとの間に作用する荷重分布が必要であるが、こ
れをまず幅方向に均一であると仮定して計算す
る。このような仮定を設ければ、作業ロールのた
わみは材料力学によつて容易に計算することがで
きる。一方、同様の仮定に基いて補強ロールのた
わみも計算できるが、第４図に示すように、これ
らのたわみ曲線は一般には一致せず、幅方向にギ
ヤツプができてしまう。

この状況は第２ａ図と同じであり、この幅方向
ギヤツプ分布によつて作業ロールに生ずるたわみ
はαで求めることができる。

すなわち上記仮定に基いて計算した作業ロール
たわみおよび補強ロールたわみのミルセンターと
板クラウン定義点の差（中凸形板クラウンになる
方向を正符号とする）をそれぞれC_BW，C_BBとす
ると、これらがメカニカル板クラウンにおよぼす
効果は、２〔C_BW−α（C_BW−C_BB）〕で表現できる。

αの前が負符号となつているのは C_BW−C_BB＞０のとき第４図からわかるように
C_BWを曲げ戻す方向にαの効果が作用するためで
ある。

以上のようにαなるパラメータを導入すること
によつて、従来繰返し計算によるしか方法のなか
つた作業ロールたわみの計算を簡易モデル化する
ことができた。

すなわち圧延材料との接触による作業ロール偏
平変形がメカニカル板クラウンにおよぼす影響を
Cfとすると、補強ロールのクラウンC_RB（半径分を
板クラウン定義点に換算したもの）も考慮に入れ
てメカニカル板クラウン〓は次式で計算できる。

〓＝２〔C_BW−α（C_BW−C_BB）〕 −２（１＋α）C_R−2αC_RB＋2Cf …(14) なお、（14）式の各項を２倍しているのは、上
下ロール分を考慮したためであり、上下対称とい
う前提条件に基いている。

上下非対称の場合は、上下ロール分をそれぞれ
計算して加えあわせればよい。

メカニカル板クラウンは圧延機の幾何学的初期
条件と弾性変形のみで決まる量であるので、（14）
式のようにそれぞれの要因による影響を重ね合わ
せることができるのである。

なお、前述したように、板クラウン定義点のと
り方によつては（14）式中のCfの項を省略する
ことは可能である。

また通常の鋼板圧延機では補強ロール径は作業
ロール径よりはるかに大きいので、C_BBの影響は
小さく、これを省略してもさしつかえない場合が
多い。

（14）式中のαは非常に重要な概念であり、以
下では非線形荷重分布補正係数と呼ぶことにす
る。

次に、非線形荷重分布補正係数αを具体的に求
める方法について説明する。

圧延時は特殊な場合を除いて上下作業ロールは
胴部で接触することがないため、上下ロール系を
別個に考えることができる。第２ａ図に示すよう
に初期状態で補強ロール〜作業ロール間に存在す
るギヤツプのロール軸方向分布を次式のように２
次式で近似する。

υ＝fg・x² (15-1) ただし、ｘはミルセンターを原点としてWS
（作業側）を正方向にとつたロール軸方向の座標
である。

本発明者らの関心事は、第２ａ図の初期状態か
ら第２ｂ図の実圧延状態に移行するときの初期ロ
ールギヤツプに対するロールたわみ変化の割合だ
けであるから、これらの幅方向分布はある程度理
想化したもので考えてよい。そこでロール間ギヤ
ツプ分布だけではなく、これに起因するロールた
わみ変化の分布も２次曲線分布と仮定する。すな
わちυに起因する補強ロールたわみおよび作業ロ
ールたわみをそれぞれy_B、y_Wとするとき y_B＝f_B・x² …(15-2) y_B＝f_W・x² …(15-3) と仮定する。ただしy_B，y_Wは圧延材から遠ざか
る方向を正としている。

式（15−２）〜（15−３）より、υにより発生
する線荷重分布P_BWは、ロール間バネモデル
（Shohet、K.N.＆ Townsend、N.A.：J.Iron
and Steel Inst.、206−11（1968）、1088）の考え
方より、次式のように求められる。

P_BW＝K_BW（fg＋f_B−f_W）（l_BW ²／12−xx²）
…(15-4) ただし、l_BWは補強ロール〜作業ロール間の接触
領域の長さであり通常はロール胴長に等しい。式
（15−４）は荷重分布の非線形成分を抽出するた
め、これだけで力の平衡条件を満足するようにし
ている。またK_BWは補強ロール〜作業ロールの接
触偏平の単位胴長あたりのばね定数であり、２円
柱の軸心接近量に関する式を線荷重に関して微分
したものの逆数として求められる。例えば中島ら
｛中島浩衛・松本紘美：昭48春塑加講論、（1973）、
25｝の解によると軸心接近量δ_Iは δ_I＝Ｃ・P_BW〔ln｛２（D_B＋D_W）／（Ｃ・P_BW）｝−１〕 …(15-5) Ｃ＝２（１−ν²）／（π・Ｅ） (15-6) と与えられるからばね定数K_BWは次式で与えられ
る。

1/K_BW＝Ｃ〔ln｛２（D_B＋D_W）/(C・P_BW）｝−２〕
(15-7〕ただし、Ｄはロール直径、Ｅはヤング率、νは
ボアツソン比で添字Ｂ、Ｗはそれぞれ補強ロー
ル、作業ロールを意味する。なお本明細書では表
記を簡単にするため圧延機のすべてのロールの弾
性定数は共通とし、軸心接近量すなわちロール偏
平量には式（15−５）、（15−６）で計算するもの
とする。弾性定数の大きく異なるロールを組み合
わせた圧延機の解析は行なう場合には、式（15−
５）の代わりにLooの式｛Loo、T.T.：J.of
Applied Mechanics、25−１（1958），122｝を用
いればよい。

式（15−７）よりK_BWは厳密にはP_BWの関数で
あることがわかるが、K_BWのP_BWによる変化は一
般に非常に小さいのでここではP_BWの胴長方向平
均値を用いてK_BWを計算し、式（15−４）の中で
は定数として扱うことにする。

式（15−４）の荷重分布によつて生ずるロール
たわみをｘ＝０においてｙ＝０、dy／dx＝０な
る境界条件のもとに材料力学における梁の理論を
用いて計算すると次式を得る。

y_B＝K_BW／12（fg＋f_B−f_W）〔−１／EI_B｛x⁶／30−（lB
W／２）²x⁴／６＋（l_BW／２）⁴x²／２｝＋４／3GSB｛x⁴−２（l_BW／２）²x²｝〕
…(15-8) y_W＝K_BW／12（fg＋f_B−f_W）〔１／E_IW｛x⁶／30−（l_BW
／２）²x⁴／６＋（l_BW／２）⁴x²／２｝−４／3GSW｛x⁴
−２（l_BW／２）²x²）〕…(15-9) ただし、Ｉはロールの断面２次モーメント、Ｓ
はロール断面積、Ｇはメールの横弾性率である。

式（15−８）、（15−９）の右辺にはｘの４次お
よび６次の項が存在する一方、式（15−２）、（15
−３）のようにy_B、y_Wは２次式で近似していた。
したがつて、厳密にはf_B、f_Wは板幅の関数としな
ければならないが、ここでは平均的なたわみが一
致するという意味で、式（15−２）、（15−３）お
よび（15−９）の右辺をロール間接触領域全体に
わたつて積分したものを等置してf_B、f_Wを求める
という手法を採用した。その結果、補強ロールの
補強ロール〜作業ロール間ギヤツプに関する非線
形荷重分布補正係数α_Bは次式で与えられる。

α_B＝f_B／fg＝A_BW／（１＋A_BW＋A_WB）
…(15-10) また、作業ロールたわみを求めるために必要と
なる作業ロールの補強ロール〜作業ロール間ギヤ
ツプに関する非線形荷重分布補正係数αは次式で
与えられる。

α＝f_W／fg＝A_WB／（１＋A_BW＋A_WB） …(15) ここで、A_BW、A_WBは次式で与えられる。

A_BW＝K_BW／π（l_BW／D_B）²｛29／210１／Ｅ（l_BW／D_B）
＋７／45１／Ｇ｝ …(16) A_WB＝K_BW／π（l_BW／D_W）²｛29／210１／Ｅ（l_BW／D_W）
²＋７／45１／Ｇ｝ …(17) 最後に、圧延材料との接触による作業ロール偏
平変形がメカニカル板クラウンにおよぼす影響
Cfを求める方法について説明する。

半無限体の表面に集中荷重Ｐが作用するときの
荷重の作用点から距離ｒ隔てた点における変位は
次式で与えられる（例えば、Timoshenko、S.P.
＆Goodier、J.N.：Theory of Elasticity、
（1970）、402、Mc Graw−Hill参照）。

ｗ＝Ｐ（１−ν²）／（πEr） …(18) したがつて任意の分布荷重ｑ（ξ、η）による
（ｘ、ｙ）点の変位は重ね合わせの原理より次式
で与えられる。

いまｙを圧延方向、ｘをロール軸方向とすると
き、ｑ（ｘ、ｙ）のｘ軸方向の分布はメカニカル
板クラウンの定義により一様であるが、ｙ軸方向
は一般にはフリクシヨンヒルを有する５角形分布
に近い形となるが、ここでは簡単のため矩形分布
と仮定して（19）式の積分を実行する。その結
果、ロールバイト出口における板中心の作業ロー
ル偏平量Wcおよびロールバイト出口における板
端よりβの位置の作業ロール偏平量Wβはそれぞ
れ次式で与えられる。

Wc＝１−υ²／πEｐ／ｂ｛ｂ／Ｌln√b²＋
4L²＋2L／ｂ＋2ln√b²＋4L²＋ｂ／2L｝…(19-1) Wβ＝１−υ²／πEｐ／ｂ〔｛β／Ｌln√β²＋L²＋Ｌ
／β＋ln√β²＋L²＋β／Ｌ｝＋｛ｂ−β／Ｌ ln√（ｂ−β）²L²＋Ｌ／ｂ−β＋ln√（ｂ−
β）²＋L²＋ｂ−β／Ｌ｝〕…(19-2) 作業ロール偏平変形がメカニカル板クラウンに
およぼす影響CfはCf＝Wc−Wβで計算できるか
ら次式で与えられる。

Cf＝１−ν²／πEＰ／ｂ〔｛ｂ／Ｌln√b²＋4L²＋2L
／ｂ＋2ln√b²＋4L²＋ｂ／2L｝−｛β／Ｌln√β²＋L²
＋Ｌ／β ＋ln√β²＋L²＋β／Ｌ｝−｛ｂ−β／Ｌln√（ｂ
−β）²＋L²＋Ｌ／ｂ−β＋ln√（ｂ−β）²＋L²＋ｂ−
β／Ｌ｝〕…(20) ただし、Ｐ：圧延荷重ｂ：板幅Ｌ：投影接触弧長 β：板クラウン定義点の板端からの距
離 ν：ポアツソン比である。

（20）式は、藤沢ら（藤沢、小松：塑性と加
工、Vol.4、No.27（1963）p.195）の導いた式と本
質的に同じであり、戸沢ら（戸沢、上田：塑性と
加工、Vol.11、No.108（1970）p.29）の行なつてい
る数値解析を簡略化してモデル化したものと言え
る。しかしながら、（18）式を出発点とするこの
算出法には、板幅が無限大になつたときに（19）
式で求まる変位が無限大になるという性質があ
り、無限長円柱の接触問題の２次元解と明らかな
矛盾を内包している。

この矛盾をなくす目的で中島ら（中島、松本：
第24回塑加連講論（1973）p.29は、板幅が無限大
に近づくにつれて２次元解に近づくように式の補
正を行なつている。

中島らの方法では、（19）式を次式のように補
正し、数値積分を行なつて解を求めている。

ただし、ｄ＝D_W／ｅ（ｅ＝2.718282…）ここでは（21）式を基本にCfのモデル式を導
いた。（19）式から（20）式を得たのと同じ仮定
を設けて（21）式の積分を実行しWc、Wβを計
算し、Cf＝Wc−W〓を用いるとCfは次式で与えら
れる。

（22）はやや複雑であるが、一般にＬ／ｄ≪
１，Ｌ／（ｂ−β）≪であることを利用して、さ
らに簡略化することは可能である。

以上で（14）式において学問的に未解決であつ
たαおよびCfの値を求めることができ、4Hiミル
のメカニカル板クラウンモデル式が得られたこと
になる。ロールベンデイング装置をダブルチヨツ
ク方式とした圧延機あるいは可変クラウンロール
方式の圧延機、さらにはロールクロス方式の圧延
機等、基本的に４段式の圧延機については、以上
述べてきた考え方によつて（14）式を容易に拡張
し適用することができる。作業ロールシフト、補
強ロールシフトあるいはスリーブシフト方式の圧
延機についても基本的には４段圧延機であるので
（14）式を適用することができるが、C_BWを求め
るときのバツクアツプロール〜ワークロール間の
胴長方向の荷重分布は一般に第５図に示すように
勾配を持つた直線荷重分布となり、計算はやや繁
雑となる。しかしながら、材料力学の範囲でC_BW
は予め求めることができるのでここではこの計算
は省略する。

次にロールの軸方向シフト機能を有する６段圧
延機の場合について、以上の計算手法を拡張した
結果得られるメカニカル板クラウンモデル式を示
しておく。

まず、非線形荷重分布補正係数については、４
段圧延機のときに２本ロールで考えたものを３本
ロールにそのまま拡張して計算することにより以
下のような結果が得られる。

補強ロールの補強ロール〜中間ロール間ギヤツ
プに関する非線形荷重分布補正係数α_BI

Claims

【特許請求の範囲】１圧延板の幅方向板厚分布を制御できる装置を
有する圧延機の圧延制御方法において、圧延板と
作業ロール間の幅方向荷重分布が一様である場合
に実現される幅方向板厚分布と圧延条件の関係を
示すモデル式と、該モデル式に圧延条件を代入し
て計算される該幅方向板厚分布と圧延機入側の圧
延板の幅方向板厚分布の一次結合として構成され
る圧延機出側の圧延板の幅方向板厚分布の計算式
とを用いて、該幅方向板厚分布制御装置の操作量
を決定し、これに基づいて該幅方向板厚分布制御
装置を制御することを特徴とする圧延制御方法。２圧延板の幅方向板厚分布を制御できる装置を
有する圧延機の圧延制御方法において、圧延中の
圧延荷重を検出し、圧延板と作業ロールの幅方向
荷重分布が一様である場合に実現される幅方向板
厚分布と圧延条件の関係を示すモデル式に上記圧
延荷重の実測値を代入して計算される幅方向板厚
分布が設定計算時に決められた目標値あるいはフ
イードバツク制御によつて修正された目標値に最
も近くなるように該幅方向板厚分布制御装置の操
作量を決めることを特徴とする圧延制御方法。３圧延板の幅方向板厚分布を制御できる装置
と、圧延板の形状検出装置を有する圧延機の制御
方法において、該板形状検出装置で実測した板形
状と目標板形状の差を板厚分布の差に換算し、圧
延板と作業ロール間の幅方向板厚分布が一様であ
る場合に実現される幅方向板厚分布と圧延機入側
の圧延板の幅方向板厚分布の一次結合として構成
される圧延機出側の圧延板の幅方向板厚分布の計
算式を用いて、上記板厚分布の差の換算値を圧延
板と作業ロール間の幅方向板厚分布が一様である
場合に実現される幅方向板厚分布の差に換算し、
さらに圧延板と作業ロールの間の幅方向荷重分布
が一様である場合に実現される幅方向板厚分布と
圧延条件の関係を示すモデル式を用いて、上記板
厚分布の差を解消するための上記幅方向板厚分布
制御装置の操作量を決めることを特徴とする圧延
制御方法。４圧延板の幅方向板厚分布を制御できる装置
と、成品の幅方向板厚分布を測定することのでき
る装置を有する連続圧延機の圧延制御方法におい
て、該幅方向板厚分布測定装置で実測した板厚分
布と目標板厚分布との差異を、最後段圧延機にお
いてはこれを解消し、且つ成品形状を乱さないよ
うに最後段圧延機直前の圧延機においては上記板
厚分布の差異と当該出側板厚に関して相似な幅方
向板厚分布の修正量を決定し、この修正量による
圧延機間の板形状の乱れが圧延操業上の許容範囲
を越える場合は、この修正量をさらに前段の圧延
機に振り分けた後、圧延板と作業ロールの間の幅
方向荷重分布が一様である場合に実現される幅方
向板厚分布と圧延機入側の圧延板の幅方向板厚分
布の一次結合として構成される圧延機出側の圧延
板の幅方向板厚分布の計算式を用いて、上記各圧
延機出側の幅方向板厚分布の修正量を圧延板と作
業ロール間の幅方向板厚分布が一様である場合に
実現される幅方向板厚分布の修正量に換算し、さ
らに圧延板と作業ロールの間の幅方向荷重分布が
一様である場合に実現される幅方向板厚分布と圧
延条件の関係を示すモデル式を用いて、上記板厚
分布の修正量に対応する上記幅方向板厚分布制御
装置の操作量を決めることを特徴とする圧延制御
方法。