Repunitとは - わかりやすく解説 Weblio辞書

レピュニット 11111 Repunit
仮符号・別名	1995 WL
分類	小惑星
軌道の種類	小惑星帯
発見
発見日	1995年 11月16日
発見者	小林隆男
軌道要素と性質元期:2007年4月10日 (JD 2,454,200.5)
軌道長半径 (a)	2.942 au
近日点距離 (q)	2.642 au
遠日点距離 (Q)	3.241 au
離心率 (e)	0.1018
公転周期 (P)	5.05 年
軌道傾斜角 (i)	3.391°
近日点引数 (ω)	234.48°
昇交点黄経 (Ω)	107.70°
平均近点角 (M)	159.74°
物理的性質
絶対等級 (H)	13.4
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レピュニット (レピュニット数、レプユニット数、単位反復数、英: repunit) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。この名前は repeated unitを省略した単語であり、アルバート・ベイラーが1964年の論文で命名した^{[注釈 1]}。

10進法における $n$ 桁のレピュニットは $R_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}}$

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1と0だけで表す例

_n	(10^n/2 − 1) / 9	^[7]	10^n/2 + 1
R₀₂	1	1 × 11	11
R₀₄	11	11 × 101	101
R₀₆	3・37	111 × 1001	7・11・13
R₀₈	11・101	1111 × 10001	73・137
R₁₀	41・271	11111 × 100001	11・9091

_n
R₀₂		0001 × 11	1 × 11
R₀₃	#	0001 × 111
R₀₄	$	0001 × 1111	11 × 101
R₀₅	%	0001 × 11111
R₀₆	&	0001 × 111111	111 × 1001
R₀₆	#	0011 × 10101
R₀₇	*	0001 × 1111111
R₀₈	$	0011 × 1010101	1111 × 10001
R₀₉	#	0111 × 1001001
R₁₀	%	0011 × 101010101	11111 × 100001
R₁₂	&	0011 × 10101010101	111111 × 1000001
	$	0111 × 1001001001
	#	1111 × 100010001
R₁₄	*	0011 × 1010101010101	1111111 × 10000001

_n
R₀₆	1 × 111 × 1001	91・11
R₁₂	11 × 10101 × 1000001	9901・101
R₁₈	111 × 1001001 × 1000000001	999001・1001
R₂₄	1111 × 100010001 × 1000000000001	99990001・10001

_n
R₀₄	11 × 101
R₀₈	101 × 110011
R₁₂	1001 × 111000111	1221001221 × 91
R₁₆	10001 × 111100001111
R₂₀	100001 × 111110000011111	1222210000122221 × 9091
R₂₄	1000001 × 111111000000111111	1221001221001221001221 × 91

累乗数 − 累乗数

^[8]

_n	R_n×(10ⁿ+1)
	^[9]^[10]^[11]
R₀₂	6² − 5²	6² − 5²		6² − 5²
R₀₃		56² − 55²	56² − 55²
R₀₄	56² − 45²	556² − 555²
R₀₅		5556² − 5555²
R₀₆	556² − 445²	55556² − 55555²	5056² − 5045²	656² − 565²
R₀₇		555556² − 555555²
R₀₈	5556² − 4445²	0G（省略）
R₀₉		0F（省略）	500556² − 500445²
R₁₀	0E（省略）	0E（省略）		65656² − 56565²
R₁₁		0D（省略）
R₁₂	0C（省略）	0C（省略）	50005556² − 50004445²
R₁₃		0B（省略）
R₁₄	0C（省略）	0A（省略）		6565656² − 5656565²

レピュニット素数

現在、R_n で n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297 の場合に素数となることが証明されている。しかし桁数が大きい確率的素数 (PRP, probable prime) は素数判定が困難であり、例えば2022年3月に素数であることが証明された R₄₉₀₈₁ は、1999年9月にハーヴェイ・ダブナーが確率的素数として発見してからポール・アンダーウッドによって素数判定されるまで22年6月を要した^[12]。2023年5月に素数であることが証明された R₈₆₄₅₃ は、2000年10月にリュー・バクスターが確率的素数として発見してからアンドレアス・エンゲによって素数判定されるまで22年7月を要した^[13]。

2007年3月26日、ハーヴェイ・ダブナーは n=109297の場合が確率的素数であると発表し^[14]、その後n≦200000にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している^[15]^{[リンク切れ]}。同年7月15日、マクシム・ヴォズニーはn=270343の場合が確率的素数であると発表した^[16]。

2021年4月19日、セルゲイ・バタロフとライアン・プロッパーはn=5794777を^[17]、同年5月8日にn=8177207を確率的素数であると発表した^[18]。発表時点ではそれぞれが知られている最大の確率的素数であった。

2025年5月29日、楕円曲線素数判定法によりn=109297の場合が素数であることが証明された。

*R_n* = (10ⁿ − 1) / 9
No.	n	年^[要出典]	発見者	素数判定
1	2	BC 478	-	素数
2	19	1908-06-27	-	素数
3	23	1933-01-23	-	素数
4	317	1978-05-16	ヒュー・ウィリアムズ	素数
5	1031	1986-10-05	ヒュー・ウィリアムズ、ハーヴェイ・ダブナー	素数
6	49081	1999-09-09	ハーヴェイ・ダブナー	素数
7	86453	2000-10-26	リュー・バクスター	素数
8	109297	2007-03-26	ハーヴェイ・ダブナー	素数
9	270343	2007-07-11	マクシム・ヴォズニー	確率的素数
10	5794777	2021-04-19	セルゲイ・バタロフ、ライアン・プロッパー	確率的素数
11	8177207	2021-05-08	セルゲイ・バタロフ、ライアン・プロッパー	確率的素数

(オンライン整数列大辞典の数列 A004023)

レピュニットの素因数分解

レピュニットは、2と5を除く素数の積で構成されている^[19]。

基数 10 のレピュニットの R₁ から R₁₅₀ までの素因数分解の一覧を示す^[20]。

n が素数の場合は背景のセルを水色にして示す。

※ 素因数の数（含重複）

2022年末現在、素因数分解が完全には計算されていない最小のレピュニットは、n=353に当たる数である。

基数10 のレピュニット Rn (n=1~150) の素因数分解の表
n	※	素因数分解

1	0	01
2	1	11 (素数)
3	2	03・37
4	2	11・‾C101
5	2	41・271
6	5	03・07・11・13・37
7	2	‾C239・4649
8	4	11・73・‾C101・137
9	4	03²・37・‾F333667
10	4	11・41・‾C271・9091
11	2	‾E21649・513239
12	7	03・07・11・13・37・‾C101・9901
13	3	53・79・265371653
14	4	11・‾C239・4649・909091
15	6	03・31・37・41・‾C271・2906161
16	6	11・17・73・101・137・5882353
17	2	‾G2071723・5363222357
18	9	03²・07・11・13・19・37・‾E52579・333667
19	1	‾S1111111111111111111 (素数)
20	7	11・41・‾C101・271・3541・9091・27961
21	7	03・37・43・239・1933・4649・10838689
22	7	11²・23・‾D4093・8779・21649・513239
23	1	‾W11111111111111111111111 (素数)
24	10	03・07・11・13・37・73・101・137・9901・99990001
25	5	41・271・‾E21401・25601・182521213001
26	6	11・53・79・859・265371653・1058313049
27	7	03³・37・757・333667・440334654777631
28	8	11・29・‾C101・239・281・4649・909091・121499449
29	5	‾D3191・16763・43037・62003・77843839397
30	13	03・07・11・13・31・37・41・‾C211・241・271・2161・9091・2906161
31	3	‾D2791・6943319・57336415063790604359
32	11	11・17・73・101・137・353・449・641・1409・69857・5882353
33	6	03・37・67・21649・513239・1344628210313298373
34	6	11・‾C103・4013・2071723・5363222357・21993833369
35	7	41・071・239・271・4649・123551・102598800232111471
36	12	03²・07・11・13・19・37・‾C101・9901・52579・333667・999999000001
37	3	‾G2028119・247629013・2212394296770203368013
38	3	11・‾R909090909090909091・1111111111111111111
39	6	03・37・53・79・265371653・900900900900990990990991
40	11	11・41・73・101・137・271・3541・9091・27961・1676321・5964848081
41	4	83・1231・538987・201763709900322803748657942361
42	15	03・07²・11・13・37・43・127・239・1933・2689・4649・459691・909091・10838689
43	4	‾C173・1527791・1963506722254397・2140992015395526641
44	11	11²・23・89・101・4093・8779・21649・513239・1052788969・1056689261
45	10	03²・31・37・41・271・238681・333667・2906161・4185502830133110721
46	6	11・47・139・2531・549797184491917・11111111111111111111111
47	2	‾H35121409・316362908763458525001406154038726382279
48	13	03・07・11・13・17・37・73・‾C101・137・9901・5882353・99990001・9999999900000001
49	4	‾C239・4649・‾I505885997・1976730144598190963568023014679333
50	10	11・41・‾C251・271・5051・9091・21401・25601・182521213001・78875943472201
51	8	03・37・‾C613・210631・2071723・52986961・5363222357・13168164561429877
52	9	11・53・79・101・521・859・265371653・1058313049・1900381976777332243781
53	4	‾C107・1659431・1325815267337711173 ・7198858799491425660200071
54	14	03³・07・11・13・19・37・757・52579・333667・70541929・14175966169・440334654777631
55	8	41・271・1321・21649・62921・513239・83251631・1300635692678058358830121
56	12	11・29・73・101・137・239・281・4649・7841・909091・121499449・127522001020150503761
57	6	03・37・‾E21319・10749631・1111111111111111111・3931123022305129377976519
58	8	11・59・‾D3191・16763・43037・62003・77843839397・154083204930662557781201849
59	2	‾M2559647034361・4340876285657460212144534289928559826755746751
60	20	03・07・11・13・31・37・41・61・‾C101・211・241・271・2161・3541・9091・9901・27961・2906161・4188901・39526741
61	7	‾C733・4637・329401・974293・1360682471・106007173861643・7061709990156159479
62	5	11・‾D2791・6943319・57336415063790604359・909090909090909090909090909091
63	14	03²・37・43・239・1933・4649・10837・23311・45613・333667・10838689・45121231・1921436048294281
64	15	11・17・73・101・137・353・449・641・1409・19841・69857・976193・5882353・6187457・834427406578561
65	7	41・053・79・271・265371653・162503518711・5538396997364024056286510640780600481
66	15	03・07・11²・13・23・37・67・4093・8779・21649・513239・599144041・183411838171・1344628210313298373
67	3	‾F493121・79863595778924342083・28213380943176667001263153660999177245677
68	10	11・‾C101・103・4013・2071723・28559389・1491383821・5363222357・21993833369・2324557465671829
69	6	03・37・‾C277・203864078068831・11111111111111111111111・1595352086329224644348978893
70	12	11・41・71・239・271・4649・9091・123551・909091・4147571・102598800232111471・265212793249617641
71	2	‾ZD241573142393627673576957439049・45994811347886846310221728895223034301839
72	18	03²・07・11・13・19・37・73・101・137・3169・9901・52579・98641・333667・99990001・999999000001・3199044596370769
73	3	‾K12171337159・1855193842151350117・49207341634646326934001739482502131487446637
74	7	11・‾D7253・2028119・247629013・422650073734453・296557347313446299・2212394296770203368013
75	12	03・31・37・41・‾C151・271・4201・21401・25601・2906161・182521213001・15763985553739191709164170940063151
76	6	11・‾C101・722817036322379041・909090909090909091・1111111111111111111・1369778187490592461
77	8	‾C239・4649・5237・21649・42043・513239・29920507・136614668576002329371496447555915740910181043
78	15	03・07・11・13²・37・53・79・157・859・6397・216451・265371653・1058313049・388847808493・900900900900990990990991
79	6	‾C317・6163・10271・307627・49172195536083790769・3660574762725521461527140564875080461079917
80	15	11・17・41・73・101・137・271・3541・9091・27961・1676321・5070721・5882353・5964848081・19721061166646717498359681
81	13	03⁴・37・163・757・9397・333667・2462401・440334654777631・676421558270641・130654897808007778425046117
82	7	11・83・1231・538987・2670502781396266997・3404193829806058997303・201763709900322803748657942361
83	3	‾M3367147378267・9512538508624154373682136329・346895716385857804544741137394505425384477
84	21	03・07²・11・13・29・37・43・101・127・239・281・1933・2689・4649・9901・226549・459691・909091・10838689・121499449・4458192223320340849
85	7	41・271・‾G2071723・262533041・5363222357・8119594779271・4222100119405530170179331190291488789678081
86	8	11・‾C173・1527791・57009401・2182600451・1963506722254397・2140992015395526641・7306116556571817748755241
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142	5	11・290249・241573142393627673576957439049・45994811347886846310221728895223034301839・31321069464181068355415209323405389541706979493156189716729115659
143	9	53・79・21649・513239・2823679・180523201・265371653・47428676444591705727929369346443・37226581283489953701472184267606576037130878873797366013283473311751294203
144	23	3²・7・11・13・17・19・37・73・101・137・3169・8929・9901・52579・98641・333667・5882353・99990001・999999000001・3199044596370769・9999999900000001・111994624258035614290513943330720125433979169
145	11	41・271・3191・16763・43037・62003・9605671・77843839397・15589280974996818911・80684370001269698853996151670133742711・744909731145732233993613931089059528977143716201
146	7	11・293・12171337159・1855193842151350117・10826684964539959837294043117・286578888976194997999922592330908602103011・49207341634646326934001739482502131487446637
147	14	3・37・43・239・1933・4649・63799・4715467・10838689・505885997・267652966241599・2603941883787374089・1976730144598190963568023014679333・4769337181464959147997704753876850429427
148	14	11・101・149・3109・7253・111149・2028119・247629013・708840373781・422650073734453・296557347313446299・669031686661427842829・2212394296770203368013・40548140514062774758071840361
149	3	12517・535596779200919・1657369267941336519589012993557140069891364992082365534700548884452551757186137655887808209563554371273008938334507277118593589757
150	23	3・7・11・13・31・37・41・151・211・241・251・271・2161・4201・5051・9091・21401・25601・2906161・182521213001・78875943472201・15763985553739191709164170940063151・10000099999999989999899999000000000100001

一般化

10以外の基数に対してもレピュニットを定義することができる。基数 a に対して n 桁のレピュニットは $R_{n}(a)={\frac {a^{n}-1}{a-1}}$ と定義される。

前述のとおり、a = 2 のときのレピュニットはメルセンヌ数である。また、a が素数ならば、これは aⁿ⁻¹ の約数の和に一致する。

基数 a ≤ 100 のレピュニットが累乗数となるのは R₅(3) = 11², R₄(7) = 20², R₃(18) = 7³ の場合しかない（Bugeaud 1999b^[21]）。

F_d(x) を d 次の円分多項式とすると、

R_{n}(a)=\prod _{d\mid n,\,d>1}F_{d}(a)

と表すことができる。

脚注

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注釈

^ アルバート・ベイラーは、次のとおりに記している：

A number which consists of a repeated of a single digit is sometimes called a monodigit number, and for convenience the author has used the term “repunit number”(repeated unit) to represent monodigit numbers consisting solely of the digit 1.

—A. H. Beiler、1964^[1]

出典

^ Beiler 1964, p. 83.
^ Yann Bugeaud; M. Mignotte (1999). “On integers with identical digits”. Mathematika 46: 411–417.
^ 电算游戏（六）“901”型的等式队列_屏山老马_新浪博客
^ 电算游戏（六）之二“9090…91”型数等式队列_屏山老马_新浪博客
^ 1111…1という数（レピュニット）の素因数分解を納得する - アジマティクス
^ Aufgaben und Lösungen 1. Runde 2016
^ Factors of 10n − 1,10 n + 1,2n − 1 and 2 n + 1.
^ World!Of Numbers
^ Number Theory の話題（Repunit Number と Zsigmondy's Theorem）
^ nombre - onze en maths
^ persistance et repdigits
^ Paul Underwood (2022年3月21日). “R49081 is prime!”. MersenneForum. 2022年3月29日閲覧。
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^ Harvey Dubner, R₁₀₉₂₉₇ に関するアナウンス、Number Theory List
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^ “It is R8177207”. MersenneForum (2021年5月8日). 2022年3月29日閲覧。
^ 『レプユニット数』 - 高校数学の美しい物語
^ 鎌田誠. “11...11 (レピュニット) の素因数分解”. STUDIO KAMADA. 2022年3月29日閲覧。
^ Yann Bugeaud, On the Diophantine equation $a{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=y^{q}$ , Number Theory (Turku, 1999), de Gruyter, 2001, pp. 19–24.

参考文献

Beiler, Albert H. (2013) [1964], Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains, Dover Recreational Math (2nd Revised ed.), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-21096-4
Dickson, Leonard Eugene; Cresse, G.H. (1999-04-24), History of the Theory of Numbers, AMS Chelsea Publishing, Volume I (2nd Reprinted ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1934-0
Francis, Richard L. (1988-05), “Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers”, The College Mathematics Journal 19 (3): 240-246
Ribenboim, Paulo (1996-02-02), The New Book of Prime Number Records, Computers and Medicine (3rd ed.), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
Yates, Samuel (1982-05), Repunits and repetends, FL: Delray Beach, ISBN 978-0-9608652-0-8

外部リンク

『レプユニット数』 - 高校数学の美しい物語
11...11 (レピュニット) の素因数分解（n = 20万までの一覧）
Factorizations of Repunit Numbers （n = 14980までの一覧）
纯元数的实验与探究
collection de nombres, rep-unit
Weisstein, Eric W. “Repunit”. mathworld.wolfram.com (英語).

表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) 四次 ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面体回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能循環切り捨て可能ストロボグラマティック素数 Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
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