JP4716694B2 - 管網解析方法 - Google Patents

Description

本発明は、管網解析方法に関する。

近年、水道事業において、地中に埋設された管路網（以下、管網と記す）の状態を把握し、この管網を構成する管路についての更新計画などを立てるといった維持管理を行うことは極めて重要となっている。

このような中、管網に水を供給する配水池の水頭（海抜０〔ｍ〕から配水池の水面までの高さ）、管路の配置状況、管路の口径、管路どうしの交点（以下、節点と記す）から取り出される水の量（以下、取り出し水量と記す）などの与条件下で、各管路の流量や各節点の水頭を算出する、いわゆる管網解析が実施されている。このような管網解析の結果から各管路の流量や各節点の水頭のデータを得ることで、例えば、流量の多い管路、水頭の低い節点などを把握でき、管路の重要度などを把握できるので、管路の更新計画などに役立てることができる。

上記ような管網解析を、例えば、図１５に示すような、水源Ｓ１、節点Ｎ１〜Ｎ４が管路Ｋ１〜Ｋ５により接続されて構成されている管網に対して実施する場合、実際の管網であれば、例えば、図１６に示すように、それぞれの管路から住宅などに給水管Ｐ１〜Ｐ７が接続され、これらの管から任意の水量Ｖ１〜Ｖ７が取り出されるが、このような給水管Ｐ１〜Ｐ７も含めて管網解析を行うと、給水管と管路との交点を節点として取り扱う必要が生じ、さらに給水管も管網解析の対象となってしまうため、結果的に管路の数や節点の数が飛躍的に多くなり、解析時に行う計算の量が非常に膨大になってしまう。

そこで、給水管Ｐ１〜Ｐ７を解析時に取り扱わないようにして、給水管Ｐ１〜Ｐ７が管網解析の対象とならないようにし、これらの給水管Ｐ１〜Ｐ７から取り出される水量だけを別に取り扱うことで、解析時に必要な計算の量を少なくするようにしている。

管網解析の際の取り出し水量の取り扱いについては、図１７（ａ）に示すように、給水管によって管路から取り出される取り出し水量を各節点にまとめて、これらの節点から一定の量の水を取り出すといった節点取り出しモデルと、図１８（ａ）に示すように、給水管によって管路から取り出される取り出し水量をその管路から長さ方向にわたって一様に、一定の水量を取り出すといった管路取り出しモデルとがある。

図１７（ａ）に示す節点取り出しモデルの場合、上述の通り、水は管路からではなく各節点から取り出されるという取り扱いであるので、図１７（ｂ）に示すように、例えば、節点Ａから節点Ｂに到る管路内を流れる水の流量は一定となる。

また、図１８（ａ）に示す管路取り出しモデルの場合であれば、上述の通り、水は管路からその長さ方向にわたって一様に、一定量が取り出されるという取り扱いであるので、例えば、図１８（ｂ）に示すように、節点Ａから節点Ｂに到る管路内を流れる水の流量は、徐々に一定の割合で減少する。

それぞれのモデルにおいて、上記のようにして取り出し水量を取り扱うことで、解析時に行う計算の量が少なくなるようにし、管網解析を迅速に行えるようにしている。なお、管路取り出しモデルを用いた管網解析方法としては、例えば、非特許文献１に記載されたものがある。
宇土、西川、泉「メッシュ流量法による配水管網の解析と設計」、計測と制御、社団法人計測自動制御学会、１９８９年８月、Ｖｏｌ．２８、Ｎｏ．８、ｐ．４５−５８

近年の管網解析においては、節点の水頭とその節点における地盤高との差で表される有効水頭を用いて、その節点における有効水頭が所定の大きさより小さいとその節点における水の出が悪くなるといったことを表現する、いわゆる取り出し水量の圧力依存性を考慮する要望が高まっている。これは、従来の管網解析では、取り出し水量を常に一定として取り扱っており、管網解析の結果、節点の有効水頭の大きさがいかなる大きさであっても水の出具合には影響せず、現実に即していないということによる。

取り出し水量の圧力依存性を考慮する場合、図１７（ｂ）に示すように、管路内を流れる水の流量が一定となる節点取り出しモデルであれば、計算の都合上、解析時に行う計算の量もそれほど多くはならないので、取り出し水量の圧力依存性を考慮した解析を行うことが可能である。一方、図１８（ｂ）に示すように、管路内における水の流量が徐々に一定の割合で減少する管路取り出しモデルの場合には、取り出し水量の圧力依存性を考慮することは理論上は可能であっても、実際に解析を行うときの計算量が非常に膨大になってしまうので、事実上の実施は非常に困難となる。

上述のように、取り出し水量の圧力依存性を考慮した管網解析を行う場合には、管路取り出しモデルよりも節点取り出しモデルのほうが好適であるが、節点取り出しモデルの場合、取り出し水量は上述の通り、各節点から取り出すという取り扱いになっており、実際の管網や管路取り出しモデルのように、管路からの水の取り出しを考えていないので、管路取り出しモデルに比べて管網解析の精度が劣ってしまうおそれがある。

そこで本発明はこのような問題を解決して、精度よくかつ短時間で行える管網解析方法を提供することを目的とする。

上記課題を解決するために請求項１記載の発明は、水源と、管路どうしの交点である節点と、一端および他端に前記水源または前記節点が接続される管路とのネットワーク関係から構成される管網に対して、水の需要により前記管路から取り出される水量を、前記管網における水量から減じたうえで、前記管網を構成する各管路内の流量および各節点における水圧である水頭を算出する管網解析方法において、前記取り出される水量を前記管網における水量から減ずる際に、前記水の需要がある管路における少なくとも一箇所から前記取り出される水量を取り出して、前記水の需要がある管路内の流量が水の流れ方向に沿って段階的に変化するようにし、管網における各節点の水頭の初期値を設定し、前記水頭の初期値に基づいて、水の需要がある管路における上流側の流量である始点側管路流量の下限値と上限値とを設定し、前記始点側管路流量の下限値と上限値との間の値を前記始点側管路流量の初期値として設定し、前記始点側管路流量の初期値に基づいて算出した節点の水頭と、前記設定した節点の水頭の初期値とに基づいて前記始点側管路流量の初期値を更新し、更新した始点側管路流量の初期値に基づいて算出した節点の水頭と、前記設定した節点の水頭の初期値とに基づいて前記更新した始点側管路流量の初期値をさらに更新する収束計算を行って、始点側管路流量の収束値を算出し、前記算出した始点側管路流量の収束値から前記取り出される水量を減じた値を管路における下流側の流量である終点側管路流量の収束値として算出し、算出した始点側管路流量の収束値および終点側管路流量の収束値に基づいて、設定した各節点の水頭の初期値を更新し、前記更新した各節点の水頭の初期値に基づいて、前記水の需要がある管路における始点側管路流量の収束値および終点側管路流量の収束値を更新し、前記更新した始点側管路流量の収束値および終点側管路流量の収束値に基づいて、前記更新した各節点の水頭の初期値をさらに更新する収束計算を行い、前記節点の水頭の収束値を前記節点の水頭の値として決定し、前記節点の水頭の収束値を算出したときの始点側管路流量の収束値および終点側管路流量の収束値を前記水の需要がある管路における始点側管路流量の値および終点側管路流量の値として決定するものである。

このようにすると、例えば、管路からの水の取り出しが管路に接続された給水管から行われる場合、その給水管からの取り出し水量に応じて管路からの取り出し水量を設定することで、節点取り出しモデルのように取り出し水量を節点から取り出す場合や、管路取り出しモデルのように取り出し水量を管路からその長さ方向にわたって一様に、一定量を取り出す場合に比べて、水の取り出し状況が現実に近くなり、より現実に即した管網解析を行うことができる。これにより、管網解析の精度の向上を図ることができる。また、水の需要がある管路内の流量として、始点側管路流量と終点側管路流量とを算出するので、現実に即した管路流量を算出することができる。さらに、水の需要がある管路における少なくとも一箇所から水を取り出して管網解析を行っても、解析対象となる管路や節点の数は、節点取り出しモデルや管路取り出しモデルと同様であるので、短時間で管網解析を行うことができる。

また、このようにすると、収束計算を行って始点側管路流量の値を算出するので、この始点側管路流量の値を精度よく算出できるとともに、この始点側管路流量に対応する終点側管路流量も精度よく算出することができる。

また、このようにすると、水の需要がある管路における始点側管路流量および終点側管路流量に基づいて、設定した各節点の水頭の初期値を更新し、前記更新した各節点の水頭の値に基づいて、前記水の需要がある管路における始点側管路流量および終点側管路流量を算出し、前記算出した始点側管路流量および終点側管路流量に基づいて、前記更新した各節点の水頭の値をさらに更新する収束計算を行うことで、始点側管路流量の値および終点側管路流量の値、および節点の水頭の値を精度よく算出することができる。

請求項２記載の発明は、請求項１に記載の管網解析方法において、水の需要がある管路における少なくとも一箇所から取り出される水量が、前記水が取り出される箇所の海抜０ｍからの地盤高を前記管路における水が取り出される箇所の水頭から減じた値である圧力水頭の大きさに応じて変化するものである。

このようにすると、取り出し水量を圧力水頭の大きさに依存させたことで、例えば、圧力水頭の低下する需要のピーク時や高台にある地区において水の出が悪くなるといったことを表現できるので、取り出し水量が一定の場合である従来の管網解析よりも精度よく管網解析を行うことができる。

以上のように本発明によれば、例えば、管路からの水の取り出しが管路に接続された給水管から行われる場合、その給水管からの取り出し水量に応じて管路からの取り出し水量を設定することで、節点取り出しモデルのように取り出し水量を節点から取り出す場合や、管路取り出しモデルのように取り出し水量を管路からその長さ方向にわたって一様に、一定量を取り出す場合に比べて、水の取り出し状況が現実に近くなり、より現実に即した管網解析を行うことができる。これにより、管網解析の精度の向上を図ることができる。また、水の需要がある管路内の流量として、始点側管路流量と終点側管路流量とを算出するので、現実に即した管路流量を算出することができる。さらに、水の需要がある管路における少なくとも一箇所から水を取り出して管網解析を行っても、解析対象となる管路や節点の数は、節点取り出しモデルや管路取り出しモデルと同様であるので、短時間で管網解析を行うことができる。

本発明の実施の形態の管網解析方法により、図１（ａ）に示す管網に対して管網解析を行う方法を説明する。
本実施の形態では、給水管によって管路から取り出される水を、図１（ａ）に示すように、各管路における少なくとも一箇所、この場合は任意の複数の箇所から一定量だけ取り出すという取り扱いとし、これにより、例えば、図１（ｂ）に示すように、節点Ａから節点Ｂに到る管路内において、区間ＡＢ１では一定流量のｑ１〔ｍ^３／ｓ〕の水が流れ、Ｂ１地点において（ｑ１−ｑ２）〔ｍ^３／ｓ〕の水が取り出され、区間Ｂ１Ｂ２では一定流量のｑ２〔ｍ^３／ｓ〕の水が流れ、Ｂ２地点において（ｑ２−ｑ３）〔ｍ^３／ｓ〕の水が取り出され、というように、取り出し水量を取り扱うことができ、節点Ａから節点Ｂに到る管路内を流れる水の流量が、水の流れ方向に沿って階段状に、段階的に減少するように取り扱うことができる。以下、上記のように取り出し水量を取り扱うモデルを離散型取り出しモデルと記す。

また、本実施の形態では、図１（ａ）に示す管網に対して管網解析を行うにあたって、図２および図３に示すように、種々の初期データが与えられている。
詳細には、図２に示すように、水源Ｓ１については、水源の水頭としてのＬＷＬ（Ｌｏｗ Ｗａｔｅｒ Ｌｅｖｅｌ）の値Ａ〔ｍ〕および水源Ｓ１の地盤高Ｈ（Ｓ１）〔ｍ〕が与えられている。また、本実施の形態では各節点から水が取り出されるといった取り扱いをしないので、節点Ｎ１〜Ｎ４のそれぞれには、取り出し水量の値０．０〔ｍ^３／ｓ〕が与えられている。さらに節点Ｎ１〜Ｎ４にはそれぞれの地盤高Ｈ（Ｎ１）〜Ｈ（Ｎ４）〔ｍ〕が与えられている。

また、管路Ｋ１〜Ｋ５については、図３に示すように、始点、終点、流速係数ＣＨ、管路長Ｌ（Ｋ１）〜Ｌ（Ｋ５）〔ｍ〕、管内径Ｄ（Ｋ１）〜Ｄ（Ｋ５）〔ｍｍ〕が与えられている。また、本実施の形態では、例えば、管路Ｋ１〜Ｋ５のうち、管路Ｋ３と管路Ｋ４とから水の取り出しがあり、管路Ｋ１、Ｋ２、Ｋ５からは水の取り出しが無い場合を説明する。このため、管路Ｋ１、Ｋ２、Ｋ５には取り出し水量が０．０〔ｍ^３／ｓ〕、管路Ｋ３、Ｋ４には取り出し水量Ｖ〔ｍ^３／ｓ〕が与えられている。

なお、以下に説明する管網解析においては、上述のように、給水管によって管路から取り出される水を、各管路における任意の複数の箇所から一定の量だけ取り出すというように取り扱うが、その解析の手順は公知の節点水頭法に基づいて行う。

また、本実施の形態においては、水が管路の一端側から他端側に流れた時の損失水頭を求めるヘーゼン・ウイリアムスの実験式（数１に示す）を用いる。

数１において、ｈは損失水頭〔ｍ〕、ｑは流量〔ｍ^３／ｓ〕、ＣＨは流速係数、Ｄは管内径〔ｍ〕、Ｌは管路長〔ｍ〕であり、このｒを管路の抵抗係数とする（以下、管路抵抗と記す）。管路抵抗ｒは、流速係数ＣＨ、管内径Ｄおよび管路長Ｌにより決定する定数である。また、図４に示すように、節点における圧力水頭である有効水頭ｅ〔ｍ〕と地盤高Ｈ〔ｍ〕との和で表される高さを節点の水頭Ｐ（以下、節点水頭Ｐと記す）〔ｍ〕とすると、上記の数１で表される損失水頭ｈは、数２に示すように、その管路の始点の節点水頭Ｐ_Ｓ（水源の場合はＬＷＬ）と終点の節点水頭Ｐ_ｅとの差で表される。

また、数１をｑについて解いた式、数３

を損失水頭ｈで偏微分したものをｇとすると、ｇは、数４のように表される。なお、以下において、このｇを管路についての変分コンダクタンスと記す。

以上のような条件において、図１（ａ）に示す管網に対して、管網解析を行うには、まず、図５に示すように、ステップ１（Ｓ００１）として、図２および図３に示すような、管網の初期データの読み込みを行う。

次に、図５に示すように、ステップ２（Ｓ００２）として、ステップ１にて読み込んだデータに基づいて、水源Ｓ１、節点Ｎ１〜Ｎ４、管路Ｋ１〜Ｋ５を連結し、管網におけるネットワーク関係を構築する。このとき、管網解析の計算において電気回路網の理論を応用できるようにする。

詳細には、図６に示すように、管網ＰＮにグラフ化の処理を施す。すなわち、電気回路網のアースに相当する基準節点Ｎ５（水頭＝０〔ｍ〕）を設け、この基準節点Ｎ５と水の流出入がある節点（水源）とを接続する。本実施の形態の場合は、水は管路から取り出すものとして取り扱うが、上述したように、解析の手順は公知の節点水頭法に基づいて行うので、ここでは流量が０〔ｍ^３／ｓ〕の水の流出入が各節点からあるものとして、これらの節点Ｎ１〜Ｎ４と基準節点Ｎ５とを基準節点接続枝ｂ１〜ｂ４により接続する。そして、水源Ｓ１と基準節点Ｎ５とを基準節点接続枝ｂ５により接続する。

このとき、基準節点接続枝ｂ１〜ｂ４の流量は、節点Ｎ１〜Ｎ４における取り出し水量、すなわち０〔ｍ^３／ｓ〕で一定であり、このような場合、基準節点接続枝ｂ１〜ｂ４を公知の解放除去によって、図７に示すように除去することができる。ただし、基準節点接続枝ｂ５の流量は未知であるので、基準節点接続枝ｂ５は除去できない。

なお、図７における矢印は、管路Ｋ１〜Ｋ４および基準節点接続枝ｂ５における水の流れ方向を示している。管路Ｋ１〜Ｋ４における水の流れ方向は任意に設定してよいが、基準節点接続枝ｂ５における水の流れ方向は、基準節点Ｎ５に向かう方向に設定しておく。また、基準節点接続枝ｂ５についてのデータを図８に示す。図８に示すように、基準節点接続枝ｂ５の始点は水源Ｓ１、終点は基準節点Ｎ５であり、この基準節点Ｎ５の水頭を０〔ｍ〕と設定しているので、始点と終点との水頭差は、水源Ｓ１のＬＷＬの値であるＡ〔ｍ〕となる。

次に、図５に示すように、ステップ３（Ｓ００３）として、グラフ理論に基づいて広さ優先木を検索する。一般に、グラフ理論における木とは、全ての点（節点）を含み、かつ、閉回路（ループ）を持たない部分グラフ（ここでは管路に相当する）と定義されており、広さ優先木は、根（基準節点）からできるだけ枝分かれするように探索して得られる木である。

この広さ優先木の検索については公知の手法により行うことができるので、ここではその手法についての詳しい説明は避ける。なお、ステップ３において行った広さ優先木検索の結果を図９に示す。図９に示すように、検索の結果、広さ優先木が張られた管路Ｋ１〜Ｋ３、Ｋ５を木枝として実線で表し、広さ優先木が張られなかった管路Ｋ４を補木枝として破線で表している。

節点水頭法により管網解析を行う際には、各節点における節点水頭Ｐを未知数とするので、後の計算において必要となる節点水頭Ｐの初期値を、図５におけるステップ４（Ｓ００４）に示すように、前記広さ優先木の検索の結果を利用してあらかじめ決定する。

詳細には、図９に示す管網ＰＮであれば、広さ優先木検索における深さｎｅ、すなわち広さ優先木の最末端である節点Ｎ３から根である基準節点Ｎ５までの枝（管路）の数が４であり、また、図２より、水源Ｓ１のＬＷＬはＡ〔ｍ〕で、節点Ｎ３の地盤高はＨ（Ｎ３）〔ｍ〕であるので、水源Ｓ１から節点Ｎ３に至る途中において、管路一つあたりでの水頭の平均の降下量Δｈは数５のように表すことができる。

ここで、例えば、水源Ｓ１のＬＷＬがＡ＝３０．０〔ｍ〕、節点Ｎ３の地盤高がＨ（Ｎ３）＝１８．０〔ｍ〕である場合には、上記の降下量Δｈは数５より４．０〔ｍ〕となる。したがって、節点Ｎ１の節点水頭Ｐの初期値Ｐ（Ｎ１）_０を、３０．０−４．０＝２６．０〔ｍ〕、節点Ｎ２およびＮ４の節点水頭Ｐの初期値Ｐ（Ｎ２）_０およびＰ（Ｎ４）_０を、２６．０−４．０＝２２．０〔ｍ〕と設定する。なお、このとき、隣り合う節点どうしの節点水頭の初期値が同じになってしまうと、それらの節点を接続する管路における損失水頭が０になることがあるので、このようなことを防止するために、各管路における水頭の平均の降下量Δｈを乱数により変動させ、それぞれの節点Ｎ１〜Ｎ４の節点水頭の初期値を、例えば、数６のように設定する。

次に、図５に示すように、ステップ５（Ｓ００５）に進み、後の工程の計算時に用いるヤコビ行列Ｊを決定する。本実施の形態の場合、管網ＰＮにおける節点は４ヵ所であるので、ヤコビ行列Ｊを４×４の行列とする。また、ヤコビ行列Ｊの対角要素であるｊ_ｉｉの値を、節点Ｎｉに接続している管路の変分コンダクタンスｇの総和とし、非対角要素ｊ_ｉｊの値を、節点Ｎｉと節点Ｎｊとを直結する管路の変分コンダクタンスの値に負の符号を付したものとし、直結する管路が無ければ、ｊ_ｉｊ＝０とする。これにより、後の工程の計算時に用いるヤコビ行列Ｊは、数７のように表すことができる。

このとき、例えば、ヤコビ行列Ｊの対角要素であるｊ_３３の値は、節点Ｎ３に接続している管路Ｋ３、Ｋ４の変分コンダクタンスｇの総和であるので、（ｇ_Ｋ３＋ｇ_Ｋ４）となり、また、非対角要素ｊ_２３の値は、節点Ｎ２と節点Ｎ３とを直結する管路、この場合、管路Ｋ３の変分コンダクタンスｇ_Ｋ３に負の符号を付した（−ｇ_Ｋ３）となる。ただし、この時点では各管路の変分コンダクタンスの値は未知である。

そこで、ステップ７（Ｓ００７）、ステップ８（Ｓ００８）〜ステップ１０（Ｓ０１０）においては、管路Ｋ１〜Ｋ５の変分コンダクタンスを求める。管路Ｋ１〜Ｋ５においては、管路からの水の取り出しがある管路とそうでない管路とがあり、それぞれの場合において変分コンダクタンスの算出方法が異なるため、図５に示すように、ステップ６（Ｓ００６）において、管網解析の対象となる全ての管路、すなわち本実施の形態の場合であれば、管路Ｋ１〜Ｋ５に対して、管路からの水の取り出しがあるか否かについて調べる。

管路からの水の取り出しがある管路（管路Ｋ３、Ｋ４）については、ステップ８（Ｓ００８）〜ステップ１０（Ｓ０１０）の処理を施して、管路Ｋ３、Ｋ４の変分コンダクタンスを算出し、管路からの水の取り出しがない管路（管路Ｋ１、Ｋ２、Ｋ５）については、ステップ７（Ｓ００７）の処理を施して、管路Ｋ１、Ｋ２、Ｋ５の変分コンダクタンスを算出する。

ここではまず、管路からの水の取り出しがある管路Ｋ３、Ｋ４についての変分コンダクタンスｇ_Ｋ３、ｇ_Ｋ４を算出する方法を説明する。なお、以下では、管路Ｋ３について処理を施す場合を説明する。

管路からの水の取り出しがある管路Ｋ３は、管路の途中で水が取り出されるので、節点Ｎ２から管路Ｋ３に流入する水量と、管路Ｋ３から節点Ｎ３に流出する水量とが異なる、すなわち、管路Ｋ３の始点側管路流量と終点側管路流量とが異なる。そこで、ステップ８では、管路Ｋ３の始点側管路流量をｑ_ｓ、Ｋ３、管路Ｋ３の終点側流量をｑ_ｅ、Ｋ３とし（管路Ｋ４の場合では、始点側管路流量をｑ_ｓ、Ｋ４、終点側流量をｑ_ｅ、Ｋ４として）、変分コンダクタンスを算出するのに必要な、管路Ｋ３の始点側管路流量の下限値と上限値とを設定する。

管路Ｋ３については、図１０に示すように、管路長Ｌ（Ｋ３）の管路Ｋ３をｎ等分し、等分されたそれぞれの区間の中点からＣＬ_１、ＣＬ_２、…、ＣＬ_ｎ−１、ＣＬ_ｎの量の水の取り出しがあるものとして取り扱う。なお、以下の計算において用いる文字を表１に示す。また、以下において、需要量とは人などが水を要求する量であり、供給量とは管路から供給可能な水の量である。

なお、第ｉ区間での供給水量は、第ｉ区間での需要水量と、第ｉ区間の有効水頭の大きさに応じた水の取り出し可能率（水の取り出し易さ）とに基づいて表される関数である（図１３参照）。

ここで、ｒ^＊＝１０．６６６ＣＨ^{−１．８５}・Ｄ^{−４．８７}とすると、図１０において、第１区間の中間点における水頭Ｐ_{１＿ｍｉｄ}は、節点Ｎ２の節点水頭の初期値Ｐ（Ｎ２）_０から水が第１区間の中間点まで流れた時の損失水頭を減じた値であり、水が第１区間の中間点まで流れた時の損失水頭は数１より算出することができるので、第１区間の中間点の水頭Ｐ_{１＿ｍｉｄ}を数８のように表すことができる。

また、第１区間の中間点における有効水頭ｅ_{１＿ｍｉｄ}は、水頭Ｐ_{１＿ｍｉｄ}から、その中間点における地盤高ｇＬ_１を減じた値であり、その中間点の地盤高ｇＬ_１は、始点での地盤高ｇＬ_ｓに地盤高増加分ｇＬ_ａｄｄの半区間分を加えれば良いので、第１区間の中間点における有効水頭ｅ_{１＿ｍｉｄ}は、数９のように表すことができる。

また、第１区間の中間点における流量ｑ_{１＿ｍｉｄ}は、始点側管路流量ｑ_ｓから第１の区間で供給された水量を減ずればよいので、数１０のように表すことができる。

同様に、第ｋ区間（２≦ｋ≦ｎ）の中間点における水頭Ｐ_{ｋ＿ｍｉｄ}は、第（ｋ−１）区間の水頭Ｐ_{ｋ−１＿ｍｉｄ}の値から、水が第（ｋ−１）区間の中間点から第ｋ区間の中間点までの１区間だけ流れた時の損失水頭を減じた値であり、数１１のように表すことができる。

また、第ｋ区間の中間点における有効水頭ｅ_{ｋ＿ｍｉｄ}は、第ｋ区間の中間点における節点水頭Ｐ_{ｋ＿ｍｉｄ}から、この中間点における地盤高ｇＬ_{ｋ＿ｍｉｄ}を減じた値であるので、数１２のように表すことができる。

さらに、第ｋ区間の中間点における流量ｑ_{ｋ＿ｍｉｄ}は、第（ｋ−１）区間の中間点の流量ｑ_{ｋ−１＿ｍｉｄ}から第ｋ区間で供給された水量を減ずればよいので、数１３のように表すことができる。

管路Ｋ３の終点での節点水頭をＰ_{ｐｒｅ、ｅ}とすると、この終点での節点水頭Ｐ_{ｐｒｅ、ｅ}は、第ｎ区間の中間点における水頭Ｐ_{ｎ＿ｍｉｄ}から水が半区間だけ流れた時の損失水頭を減じた値であるので、数１４のように表すことができる。

そして、管路Ｋ３における終点での水頭をＰ_{ｐｒｅ、ｅ}の値が、ステップ４において設定した管路Ｋ３の終点である節点Ｎ３の節点水頭Ｐ（Ｎ３）_０＝Ｐ_ｅの値（後述するステップ２２において、節点水頭の値を更新しているのであれば、更新後の節点水頭の値）に対して所定の誤差範囲内に収まるように収束計算を行い、管路Ｋ３の始点側管路流量ｑ_ｓ、Ｋ３の値を算出する。

このようなｑ_ｓ、Ｋ３を求める方法としては、２分法、はさみうち法、割線法などがあるが、２分法などにより始点側管路流量ｑ_ｓ、Ｋ３の値を算出するためには、この始点側管路流量ｑ_ｓ、Ｋ３の下限値ｑ_{ｓ＿ｍｉｎ}、上限値ｑ_{ｓ＿ｍａｘ}を設定する必要がある。なお、以下では、例えば２分法を用いた場合の説明をする。

始点側管路流量ｑ_ｓ、Ｋ３の下限値ｑ_{ｓ＿ｍｉｎ}を設定する際に、管路３からの取り出し水量が０〔ｍ^３／ｓ〕であると仮定してｑ_ｓ、Ｋ３＝ｙｈ／｜ｈ｜^１−βと一定流量にすると、このときの終点の節点水頭はＰ（Ｎ３）_０＝Ｐ_ｅ（ステップ４で設定した初期値）であるが、ｑ_{ｓ＿ｍｉｎ}＝ｑ_ｓ、Ｋ３として、ｑ_ｓ、Ｋ３から取り出し水量があるとすると、ＣＬｉ≧０であるので、終点側の節点Ｎ３に到達する流量はｑ_ｓ、Ｋ３よりも少なくなる。数１によると、損失水頭ｈは、管路の流量の１．８５乗に比例することから、始点側管路流量をｑ_ｓ、Ｋ３＝ｙｈ／｜ｈ｜^１−β（ただし、ｈ＝Ｐ（Ｎ２）−Ｐ（Ｎ３））としたときの損失水頭ｈと、取り出し水量が０以上のときの損失水頭ｈ^＊とでは、ｈ≧ｈ^＊となり、したがって、数２より、始点側管路流量をｑ_ｓ、Ｋ３＝ｙｈ／｜ｈ｜^１−βとしたときの終点の節点水頭Ｐ_ｅと、取り出し水量が０以上のときの終点の節点水頭Ｐ_{ｐｒｅ、ｅ}とは、Ｐ_{ｐｒｅ、ｅ}≧Ｐ_ｅとなる。

次に、始点側管路流量ｑ_ｓ、Ｋ３の上限値ｑ_{ｓ＿ｍａｘ}を設定する。ここで例えば、管路からの取り出し水量が０〔ｍ^３／ｓ〕とであると仮定して流量をｑ_ｓ、Ｋ３＝ｙｈ／｜ｈ｜^１−βとし、始点側管路流量の上限値をｑ_{ｓ＿ｍａｘ}＝ｑ_ｓ、Ｋ３＋（ＣＬ／２）とし、図１１に示すように、管路Ｋ３がその中間の地点Ｃ（＝Ｌ（Ｋ３）／２）において区間Ａと区間Ｂとの２区間に分割され、かつ、供給水量と需要水量とが等しい場合を考える。

このような場合、第Ａ区間の流量はｑ_ｓ、Ｋ３＋（ＣＬ／２）で、供給水量がＣＬであると、第Ｂ区間の流量はｑ_ｓ、Ｋ３−（ＣＬ／２）となる。ここで、数１式で表される関数を図１２に示す。

図１２に示すように、流量がｑ_ｓ、Ｋ３＋（ＣＬ／２）のときの損失水頭をｈ_Ａ、流量がｑ_ｓ、Ｋ３−（ＣＬ／２）のときの損失水頭をｈ_Ｂとすると、管路Ｋ３における損失水頭ｈ^＊は、第Ａ区間における損失水頭と第Ｂ区間における損失水頭の和で表すことができ、第Ａ区間は管路長Ｌ（Ｋ３）の半分であるので、第Ａ区間での損失水頭は、ｈ_Ａ／２、第Ｂ区間での損失水頭はｈ_Ｂ／２となり、したがって、管路Ｋ３における損失水頭ｈ^＊は、ｈ^＊＝（ｈ_Ａ＋ｈ_Ｂ）／２となる。

図１２において、ｈ^＊は、直線ａｂの中点であり、関数であるｈ＝ｒ・ｑ・｜ｑ｜^０．８５は、下に凸な関数であり、区間ａｂにおいては、直線ａｂよりも下側（負の領域）になるので、上記の損失水頭ｈ^＊と、全区間の流量がｑ_ｓ、Ｋ３のときの損失水頭ｈとは、ｈ^＊＞ｈとなる。

したがって、数２より、始点側管路流量をｑ_ｓ、Ｋ３＝ｙｈ／｜ｈ｜^１−β＋（ＣＬ／２）（ただし、ｈ＝Ｐ（Ｎ２）−Ｐ（Ｎ３））とした場合、Ｐ_{ｐｒｅ、ｅ}≦Ｐ_ｅとなる。
以上のことから、始点側管路流量ｑ_ｓ、Ｋ３が下限値ｑ_{ｓ＿ｍｉｎ}と上限値ｑ_{ｓ＿ｍａｘ}とに挟まれることになる。したがって、始点側流量ｑ_ｓ、Ｋ３の下限値をｑ_{ｓ＿ｍｉｎ}＝ｑ_ｓ、Ｋ３、上限値をｑ_{ｓ＿ｍａｘ}＝ｑ_ｓ、Ｋ３＋（ＣＬ／２）と設定する。

始点側管路流量の下限値ｑ_{ｓ＿ｍｉｎ}、および上限値ｑ_{ｓ＿ｍａｘ}を設定すると、次に、ステップ９（Ｓ００９）において、数８〜数１４より、始点側管路流量が下限値ｑ_{ｓ＿ｍｉｎ}であるときの終点の節点水頭Ｐ_{ｅ＿ｍｉｎ}、終点側管路流路ｑ_{ｅ＿ｍｉｎ}、および始点側管路流量が上限値ｑ_{ｓ＿ｍａｘ}であるときの終点の節点水頭Ｐ_{ｅ＿ｍａｘ}、終点側管路流路ｑ_{ｅ＿ｍａｘ}を算出する。

ここで、上記において算出した節点Ｎ２、Ｎ３の節点水頭の初期値Ｐ（Ｎ２）_０、Ｐ（Ｎ３）_０などの値を用いて、上記のステップ８およびステップ９の計算を行う場合を説明する。なお、水源Ｓ１、節点Ｎ１〜Ｎ４、管路Ｋ１〜Ｋ５については、表２、表３に示すような初期条件が与えられている。

ステップ８にて行う計算は以下のようになる。管路Ｋ３の場合、始点は節点Ｎ２、終点はＮ３であり、ステップ４にて設定した初期値は、Ｐ（Ｎ２）_０＝２０．８０１１８、Ｐ（Ｎ３）_０＝１６．４１３１５である。したがって、上述したように、始点側管路流量ｑ_ｓの下限値はｑ_{ｓ＿ｍｉｎ}＝ｑ_ｓ、Ｋ３＝ｙｈ／｜ｈ｜^１−βより算出することができるので、数２、数３より、始点側管路流量ｑ_ｓの下限値ｑ_{ｓ＿ｍｉｎ}は、ｑ_{ｓ＿ｍｉｎ}＝０．０８１６２３７３となる。

また、始点側管路流量ｑ_ｓ、Ｋ３の上限値はｑ_{ｓ＿ｍａｘ}＝ｑ_ｓ、Ｋ３＋（ＣＬ／２）＝ｙｈ／｜ｈ｜^１−β＋（ＣＬ／２）より算出することができ、ここで、表３より、管路Ｋ３の管路長Ｌ（Ｋ３）は１００〔ｍ〕、管路Ｋ３からの取り出し水量（供給水量）の合計はＣＬ＝０．０３〔ｍ^３／ｓ〕であり、管路Ｋ３を分割する区間数をｎ＝２０とすると、始点側管路流量ｑ_ｓ、Ｋ３の上限値ｑ_{ｓ＿ｍａｘ}は、ｑ_{ｓ＿ｍａｘ}＝０．０９６６２３７３となる。

ここで、表３より、流速係数ＣＨ＝１１０、管内径Ｄ＝０．２〔ｍ〕であり、上記より、管路Ｋ３における１区間の長さは５〔ｍ〕（１００〔ｍ〕／２０＝５〔ｍ〕）であるので、ステップ９にて行う計算は以下のようになる。すなわち、第１区間の中点の水頭は、数８より、Ｐ_{１＿ｍｉｄ}＝２０．６９２１７９２９〔ｍ〕となる。また、第１区間の地盤高ｇＬ_１は、表２の条件を用いて、始点の地盤高ｇＬ_ｓと終点の地盤高ｇＬ_ｅとの内挿補間により、ｇＬ_１＝１５．１４２８〔ｍ〕となる。さらに、第１区間の中点の有効水頭ｅ_{１＿ｍｉｄ}は、数９より、ｅ_{１＿ｍｉｄ}＝５．５４９３７９２９〔ｍ〕となる。

このとき、第１区間の取り出し水量の圧力依存性を考慮する、すなわち、第１区間における中点の有効水頭ｅ_{１＿ｍｉｄ}の値に応じた供給水量を求める。図１３は、有効水頭と取り出し可能率との特性曲線を示している。この場合、第１区間の中点における有効水頭ｅ_{１＿ｍｉｄ}が約５．５〔ｍ〕なので、このときの取り出し可能率を、図１３より０．０５７とする。

したがって、第１区間において取り出し可能な水量（供給水量）ＣＬ_１は、数１５のように求まる。

次に、第１区間の中点における水頭Ｐ_{１＿ｍｉｄ}、有効水頭ｅ_{１＿ｍｉｄ}、および始点側管路流量ｑ_ｓ、Ｋ３の下限値ｑ_{ｓ＿ｍｉｎ}を用い、かつ、数１１〜数１４を用いて、上記と同様の手順で、第２区間の中点における水頭Ｐ_{２＿ｍｉｄ}、地盤高ｇＬ_２、有効水頭ｅ_{２＿ｍｉｄ}、を求め、さらに、この結果を用いて、第３区間、第４区間、…と、同様の計算を行うことで、始点側管路流量ｑ_ｓ、Ｋ３の下限値ｑ_{ｓ＿ｍｉｎ}に対応する終点側管路流量ｑ_{ｅ＿ｍｉｎ}、終点の節点水頭Ｐ_{ｅ＿ｍｉｎ}を算出する。

さらに、同様の手順で、始点側管路流量ｑ_ｓ、Ｋ３の上限値ｑ_{ｓ＿ｍａｘ}についても、この上限値ｑ_{ｓ＿ｍａｘ}に対応する終点側管路流量ｑ_{ｅ＿ｍａｘ}、終点の節点水頭Ｐ_{ｅ＿ｍａｘ}を算出する。数１６には、算出した結果を示す。

次に、図５に示すように、ステップ１０（Ｓ０１０）として、管路Ｋ３の変分コンダクタンスｇ_Ｋ３を算出する。通常、管路からの水の取り出しがない場合であれば、数４を用いて管路の変分コンダクタンスを算出することができるが、管路Ｋ３は、管路からの水の取り出しを考慮した管路であるので、数４を用いて管路の変分コンダクタンスを算出することができない。

そこで、例えば、起点側管路流量と終点側管路流量との平均値と、終点の節点水頭との関係を表した数１７により、管路Ｋ３の変分コンダクタンスｇ_Ｋ３の値を算出する。

数１６、数１７より、ｇ_Ｋ３＝０．００９３５０８６となる。
次に、ステップ１１（Ｓ０１１）として、始点側管路流量の初期値ｑ_{ｓ、Ｋ３（０）}を数１８

に基づいて決定し、ステップ１２（Ｓ０１２）〜ステップ１７（Ｓ０１７）において、上述したように、２分法による反復計算を行う。
詳細には、ステップ１２として、ステップ１１において決定した始点側管路流量ｑ_{ｓ、Ｋ３（０）}（後述するステップ１７にて始点側管路流量の値を更新した場合であれば、その更新後の値）と、ステップ４において設定した節点Ｎ２の節点水頭の初期値Ｐ（Ｎ２）_０（後述するステップ２２で節点水頭を更新した場合であれば、その更新後の値）とを用いて、数８〜数１４より、始点側管路流量がｑ_{ｓ、Ｋ３（０）}のときの終点側管路流量ｑ_{ｅ、Ｋ３（０）}および終点の水頭Ｐ_ｅ、Ｎ３を算出する。

そして、ステップ１３（Ｓ０１３）として、ステップ１２において算出した終点の水頭Ｐ_ｅ、Ｎ３の値と、ステップ４において設定した節点水頭、この場合、管路Ｋ３の終点となる節点Ｎ３の節点水頭の初期値Ｐ（Ｎ３）_０（後述するステップ２２（Ｓ０２２）において節点水頭の値を更新した場合であれば、その更新後の値）との差が、誤差範囲、例えば１．０×１０^−６の範囲内であるかを算出する。このとき、前記差が誤差範囲内に収まらない場合には、ステップ１４（Ｓ０１４）に進む。

ステップ１４としては、ステップ１２において算出した終点の水頭Ｐ_ｅ、Ｎ３の値と、ステップ４において設定した節点Ｎ３の節点水頭の初期値Ｐ（Ｎ３）_０（後述するステップ２２において節点水頭の値を更新した場合にはその更新後の値）との大きさを比較し、算出した終点の水頭Ｐ_ｅ、Ｎ３の値が、設定した節点水頭の初期値Ｐ（Ｎ３）_０よりも大きい場合には、ステップ１５（Ｓ０１５）に進み、ステップ１５において、ｑ_{ｓ＿ｍｉｎ}＝ｑ_{ｓ、Ｋ３（０）}として、すなわち始点側管路流量の下限値ｑ_{ｓ＿ｍｉｎ}の値が、始点側管路流量の初期値ｑ_{ｓ、Ｋ３（０）}となるように、ｑ_{ｓ＿ｍｉｎ}の値を修正して、ステップ１７（Ｓ０１７）に進む。

また、算出した終点の水頭Ｐ_ｅ、Ｎ３の値が、設定した節点水頭の初期値Ｐ（Ｎ３）_０よりも小さい場合には、ステップ１６（Ｓ０１６）に進み、ステップ１６において、ｑ_{ｓ＿ｍａｘ}＝ｑ_{ｓ、Ｋ３（０）}として、すなわち始点側管路流量の上限値ｑ_{ｓ＿ｍａｘ}の値が、始点側管路流量の初期値ｑ_{ｓ、Ｋ３（０）}となるように、ｑ_{ｓ＿ｍａｘ}の値を修正して、ステップ１７に進む。

ステップ１７においては、ステップ１５において修正したｑ_{ｓ＿ｍｉｎ}の値、または、ステップ１６において修正したｑ_{ｓ＿ｍａｘ}の値を用いて、ｑ_{ｓ、Ｋ３（１）}＝０．５・（ｑ_{ｓ＿ｍｉｎ}＋ｑ_{ｓ＿ｍａｘ}）として、始点側管路流量の値を更新する。なお、ｑ_{ｓ、Ｋｉ（ｋ）}は、管路Ｋｉの始点側管路流量の値が、Ｋ回更新されていることを表している。

そして、ステップ１２に戻り、ステップ１７において更新した始点側管路流量ｑ_{ｓ、Ｋ３（１）}の値を用いて、ステップ１２〜ステップ１７の計算を繰り返し行い、ステップ１３において、ステップ１２において算出した終点の水頭Ｐ_ｅ、Ｎ３の値と、ステップ４において設定した節点水頭、この場合、管路Ｋ３の終点となる節点Ｎ３の節点水頭の初期値Ｐ（Ｎ３）_０（後述するステップ２２において節点水頭の値を更新した場合にはその更新後の値）との差が、誤差範囲内に収まる場合には、ステップ１８（Ｓ０１８）に進む。

ステップ１８においては、前記差が誤差範囲内に収まったときの始点側管路流量ｑ_{ｓ、Ｋ３（ｋ）}の値および終点側管路流量ｑ_{ｅ、Ｋ３（ｋ）}の値が、管路Ｋ３の始点側管路流量ｑ_ｓ、Ｋ３の値および終点側管路流量ｑ_ｅ、Ｋ３の値であると決定する。このとき、上記の数１６の値を用いて算出した始点側管路流量の値および終点側管路流量の値はそれぞれ、ｑ_ｓ、Ｋ３＝０．０８１８９０６７、ｑ_ｅ、Ｋ３＝０．０８１５４７８１となる。そして、ステップ１９（Ｓ０１９）に進む。なお、管路Ｋ４についても、ステップ８〜ステップ１８と同様の計算を行う。また、上記において、ステップ１２〜ステップ１７では、２分法を用いた計算についての説明をしたが、これに限らず、はさみうち法や割線法などを用いることもできる。

管路Ｋ４を分割する区間数をｎ＝２０をすると、管路Ｋ４も管路Ｋ３と同様に、表３より管路長Ｌ（Ｋ４）が１００〔ｍ〕、管路Ｋ４からの取り出し水量の合計がＣＬ＝０．０３〔ｍ^３／ｓ〕、流速係数ＣＨ＝１１０、管内径Ｄ＝０．２〔ｍ〕であり、管路Ｋ４における１区間の長さが５〔ｍ〕（１００〔ｍ〕／２０＝５〔ｍ〕）であるので、変分コンダクタンスはｇ_Ｋ４、管路Ｋ４における始点側管路流量ｑ_ｓ、Ｋ４、終点側管路流量ｑ_ｅ、Ｋ４は、数１９に示す値になる。

また、上記においては、ステップ６において、管路からの水の取り出しがある管路（管路Ｋ３、Ｋ４）に対してステップ８〜ステップ１８の処理を施した場合を説明したが、ステップ６において、管路からの水の取り出しがない管路（管路Ｋ１、Ｋ２、Ｋ５）については、ステップ７に進む。

ステップ７において、管路Ｋ１、Ｋ２、Ｋ５は、管路からの水の取り出しが無い管路であり、管路内の流量が一定であることから、数１〜数３から管路Ｋ１、Ｋ２、Ｋ５の変分コンダクタンスｇ_Ｋ１、ｇ_Ｋ２、ｇ_Ｋ５を算出する。ここで、例えば表２、表３より管路Ｋ１、Ｋ２、Ｋ５のそれぞれの管路の流速係数がＣＨ＝１１０、管路長がＬ＝１００〔ｍ〕、管内径がＤ＝０．２〔ｍ〕、水源Ｓ１のＬＷＬ＝３０．０〔ｍ〕であり、ステップ４で設定した節点Ｎ１、Ｎ２、Ｎ５の初期値が、Ｐ（Ｎ１）_０＝２５．４０、Ｐ（Ｎ２）_０＝２０．８０１１８、Ｐ（Ｎ４）_０＝２０．８４９９６であるので、数１〜数３より、管路Ｋ１、Ｋ２、Ｋ５の変分コンダクタンスｇ_Ｋ１、ｇ_Ｋ２、ｇ_Ｋ５、管路Ｋ１、Ｋ２、Ｋ５の流量ｑ_Ｋ１、ｑ_Ｋ２、ｑ_Ｋ５は、数２０に示す値になる。

このように、管路Ｋ１、Ｋ２、Ｋ５の変分コンダクタンスｇ_Ｋ１、ｇ_Ｋ２、ｇ_Ｋ５、管路Ｋ１、Ｋ２、Ｋ５の流量ｑ_Ｋ１、ｑ_Ｋ２、ｑ_Ｋ５を算出すると、ステップ１９（Ｓ０１９）に進む。

ステップ１９において、ステップ５にて数７に示すように決定したヤコビ行列Ｊに、数１７により算出した管路Ｋ３の変分コンダクタンスｇ_Ｋ３、数１９に示す管路Ｋ４の変分コンダクタンスｇ_Ｋ４、数２０に示す管路Ｋ１、Ｋ２、Ｋ５の変分コンダクタンスｇ_Ｋ１、ｇ_Ｋ２、ｇ_Ｋ５、の値を代入し、数２１に示すようにヤコビ行列Ｊを算出し、ステップ２０（Ｓ０２０）に進む。

ステップ２０においては、まず、各節点Ｎ１〜Ｎ４における流量連続式を立てる。この流量連続式は、例えば、図１４に示すような、ある節点Ｎにおいて、この節点Ｎから管路に流出する水量をｑ_３、ｑ_４、この節点Ｎに流入する水量を−ｑ_１、−ｑ_２、また、節点から取り出す水量をｃとする（上述したように、本実施の形態における管網解析の手順は公知の節点水頭法に基づいて行うので、ここではｃ＝０〔ｍ^３／ｓ〕とする）とき、これらの総和が、数２２に示すように０になることを表している。

したがって、節点Ｎ１〜Ｎ４についての流量連続式ｆ_Ｎ１（Ｑ）〜ｆ_Ｎ４（Ｑ）は数２３に示すようになる。このとき、水源Ｓ１の水頭はＬＷＬ＝Ａ〔ｍ〕、基準節点Ｎ５の水頭は０〔ｍ〕であって、これらの水頭の値は既知であるので、ここでは水源Ｓ１および基準節点Ｎ５についての流量連続式は考慮しない。

ここで、本実施の形態においては、ｃ＝０であるので、ステップ７において算出した管路Ｋ１、Ｋ２、Ｋ５の流量ｑ_Ｋ１、ｑ_Ｋ２、ｑ_Ｋ５と、ステップ１８において算出した管路Ｋ３の始点側管路流量ｑ_ｓ、Ｋ３、終点側管路流量ｑ_ｅ、Ｋ３、管路Ｋ４の始点側管路流量ｑ_ｓ、Ｋ４、終点側管路流量ｑ_ｅ、Ｋ４の値を数２３に代入し、数２４を得る。

ここで、ｆ_Ｎ１（Ｑ）〜ｆ_Ｎ４（Ｑ）のそれぞれの絶対値が閾値、例えば１．０×１０^−６よりも小さくなるいか否かを判断する。数２４に示した値では、ｆ_Ｎ１（Ｑ）〜ｆ_Ｎ４（Ｑ）のそれぞれの絶対値が閾値１．０×１０^−６よりも小さくならないので、流量連続式を満たさないとして、ステップ２１（Ｓ０２１）に進む。

上記の数２３が流量連続式を満たすような管路流量の値を得るためには、ステップ１９において算出したヤコビ行列Ｊを用いてニュートン・ラフソン法による反復計算を行う。そこで、ステップ２１では、まず、上記の反復計算に用いる連立一次方程式を立てる。

数２３において、ｑ_Ｋ１、ｑ_Ｋ２、ｑ_Ｋ５は、数３および数２より、節点水頭Ｐを用いて表すことができる。また、数２３におけるｑ_ｓ、Ｋ３、ｑ_ｓ、Ｋ４、ｑ_ｅ、Ｋ３、ｑ_ｅ、Ｋ４は、ステップ４で設定した節点Ｎ１〜Ｎ４の節点水頭の初期値Ｐ（Ｎ１）_０〜Ｐ（Ｎ４）_０の値を用い、ステップ８〜ステップ１８の処理を行うことで得られることから、節点水頭Ｐの関数といえるので、ｆ_Ｎ１（Ｑ）〜ｆ_Ｎ４（Ｑ）を数２５のようにおくことができる。

したがって、ニュートン・ラフソン法による反復計算に用いる連立一次方程式を数２６のように表すことができる。

ここで、ΔＰ＝（ΔＰ_Ｎ１、ΔＰ_Ｎ２、ΔＰ_Ｎ３、ΔＰ_Ｎ４）^Ｔ（Ｔは転置行列）は、Ｐの値を修正する修正値であり、Ｊ^ｋ、ΔＰ^ｋ、Ｆ（Ｐ^ｋ）、Ｐ^ｋのそれぞれは、ニュートン・ラフソン法による反復計算のｋ回目において用いられている値とする。また、Ｐ^ｋ＋１は、数２７に示す式にて求めることができる。

数７および数２５より、数２６は、数２８のように表すことができる。

ただし、ｆ_Ｎ１（Ｐ^０）〜ｆ_Ｎ４（Ｐ^０）のそれぞれは、節点Ｎ１〜Ｎ４における節点水頭の初期値である。また、数２１および数２４より、数２９を導き、

数２９の左からヤコビ行列Ｊの逆行列を乗じ、ΔＰを算出する。
上記のようにして、連立一次方程式を解くと、次に、ステップ２２に進む。ステップ２２においては、数２７より、今回の反復計算に用いた節点水頭の値に、算出した修正値を足し合わせることで、次回の反復計算に用いる節点水頭の値を更新する。そして、ステップ６に戻り、ステップ６〜ステップ１９の処理を再び行い、ステップ２０における流量連続式を満たすまで、ステップ２１、ステップ２２、およびステップ６〜ステップ１９の処理を繰り返し行う。

ステップ２０において流量連続式が満たされると、ステップ２３に進み、流量連続式を満たした時における管路Ｋ１、Ｋ２、Ｋ５の流量ｑ_Ｋ１、ｑ_Ｋ２、ｑ_Ｋ５、管路Ｋ３における始点側管路流量ｑ_ｓ、Ｋ３、終点側管路流量ｑ_ｅ、Ｋ３、管路Ｋ４における始点側管路流量ｑ_ｓ、Ｋ４、終点側管路流量ｑ_ｅ、Ｋ４、また、流量連続式を満たした時の計算時に用いた節点水頭の値などを記録し、作業を終了する。

そして、以上の管網解析の結果を用いて、管網全体に大きな影響を与える重要な管路などの策定を行い、その結果を、管路の更新計画などの維持管理に用いる。
以上のように本発明によれば、給水管からの取り出し水量に応じて管路からの取り出し水量を設定することで、節点取り出しモデルのように取り出し水量を節点から取り出す場合や、管路取り出しモデルのように取り出し水量を管路からその長さ方向にわたって一様に、一定量を取り出す場合に比べて、水の取り出し状況が現実に近くなり、より現実に即した管網解析を行うことができる。これにより、管網解析の精度の向上を図ることができる。

また、２分法などを用いて始点側管路流量の値を算出するので、この始点側管路流量の値を精度よく算出できるとともに、この始点側管路流量に対応する終点側管路流量も精度よく算出することができる。

また、ニュートン・ラフソン法により収束計算を行うことで、始点側管路流量の値および終点側管路流量の値、および節点の水頭の値を精度よく算出することができる。
さらに、取り出し水量を有効水頭の大きさに依存させたことで、例えば、圧力水頭の低下する需要のピーク時や高台にある地区において水の出が悪くなるといったことを表現できるので、取り出し水量が一定の場合である従来の管網解析よりも精度よく管網解析を行うことができる。

なお、上記の管網解析方法は、節点取り出しモデルと組み合わせて計算することができる。

（ａ）は、本発明の管網解析方法における離散型取り出しモデルを説明する図、（ｂ）は、図１（ａ）に示した場合における管路内の流量を示す図である。 図１（ａ）に示す管網における水源と節点とに与えられている初期データを示す図である。 図１（ａ）に示す管網における管路に与えられている初期データを示す図である。 ＬＷＬ、動水位、損失水頭、地盤高、有効水頭の関係を示す図である。 本発明の管網解析方法を示す図である。 基準節点接続枝を形成した状態を示す図である。 開放除去可能な基準節点接続枝を除去した状態を示す図である。 図７における基準節点接続枝ｂ５のデータを示す図である。 図７に示す管網に対する広さ優先木の検索結果を示す図である。 図１に示した離散型取り出しモデルにおいて行う計算の方法を示す図である。 図１に示した離散型取り出しモデルにおいて、始点側管路流量の上限値を決定する際における管路内の流量を示す図である。 図１１に示した場合における損失水頭の大きさと、管路流量が一定の場合における損失水頭の大きさとを比較する図である。 有効水頭（圧力）と取り出し可能率（流量）との関係を表した特性曲線を示す図である。 節点における流量連続式を示す図である。 管網解析の対象となる管網を示す図である。 実際の管網では給水管によって管路から水が取り出されているということを示す図である。 （ａ）は、各節点から一定量の水を取り出す節点取り出しモデルを示す図、（ｂ）は、節点取り出しモデルにおける管路内の流量を示す図である。 （ａ）は、各管路からその長さ方向にわたって一様に、一定の水量を取り出す管路取り出しモデルを示す図、（ｂ）は、管路取り出しモデルにおける管路内の流量を示す図である。

符号の説明

Ｓ１ 水源
Ｎ１〜Ｎ４ 節点
Ｋ１〜Ｋ５ 管路
ＰＮ 管網
ｑ_ｓ、Ｋｉ 始点側管路流量
ｑ_ｅ、Ｋｉ 終点側管路流量

Claims (2)

1. 水源と、管路どうしの交点である節点と、一端および他端に前記水源または前記節点が接続される管路とのネットワーク関係から構成される管網に対して、水の需要により前記管路から取り出される水量を、前記管網における水量から減じたうえで、前記管網を構成する各管路内の流量および各節点における水圧である水頭を算出する管網解析方法において、
   前記取り出される水量を前記管網における水量から減ずる際に、前記水の需要がある管路における少なくとも一箇所から前記取り出される水量を取り出して、前記水の需要がある管路内の流量が水の流れ方向に沿って段階的に変化するようにし、
   管網における各節点の水頭の初期値を設定し、前記水頭の初期値に基づいて、水の需要がある管路における上流側の流量である始点側管路流量の下限値と上限値とを設定し、前記始点側管路流量の下限値と上限値との間の値を前記始点側管路流量の初期値として設定し、
   前記始点側管路流量の初期値に基づいて算出した節点の水頭と、前記設定した節点の水頭の初期値とに基づいて前記始点側管路流量の初期値を更新し、更新した始点側管路流量の初期値に基づいて算出した節点の水頭と、前記設定した節点の水頭の初期値とに基づいて前記更新した始点側管路流量の初期値をさらに更新する収束計算を行って、始点側管路流量の収束値を算出し、前記算出した始点側管路流量の収束値から前記取り出される水量を減じた値を管路における下流側の流量である終点側管路流量の収束値として算出し、
   算出した始点側管路流量の収束値および終点側管路流量の収束値に基づいて、設定した各節点の水頭の初期値を更新し、前記更新した各節点の水頭の初期値に基づいて、前記水の需要がある管路における始点側管路流量の収束値および終点側管路流量の収束値を更新し、前記更新した始点側管路流量の収束値および終点側管路流量の収束値に基づいて、前記更新した各節点の水頭の初期値をさらに更新する収束計算を行い、前記節点の水頭の収束値を前記節点の水頭の値として決定し、前記節点の水頭の収束値を算出したときの始点側管路流量の収束値および終点側管路流量の収束値を前記水の需要がある管路における始点側管路流量の値および終点側管路流量の値として決定することを特徴とする管網解析方法。
2. 水の需要がある管路における少なくとも一箇所から取り出される水量が、
   前記水が取り出される箇所の海抜０ｍからの地盤高を前記管路における水が取り出される箇所の水頭から減じた値である圧力水頭の大きさに応じて変化することを特徴とする請求項１記載の管網解析方法。

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