В предыдущей части была рассмотрена предыстория комплексных чисел: от их первого открытия до понимания и умения их широко использовать в науке прошли сотни лет. Комплексные числа впервые возникли как артефакт вычислений в работе Кардано 1545-го года и вплоть до конца XVIII века их статус оставался нестабильным, шли научные дискуссии об уместности их употребления и интерпретации.
Современные изложения теории комплексных чисел выглядят «магически» и непонятно для многих людей именно потому, что, как правило, разрыв между непониманием XVIII века и теориями XIX века не покрыт. Сначала предлагается изучить основы теории комплексных чисел в том виде, в которой они были сформулированы в середине XVIII века, а потом сразу делается скачок к теориям, созданным в середине XIX века.
Ключевой шаг понимания мнимых единиц, сделанный человечеством в начале XIX века присутствует только в виде готовой векторной интерпретации комплексных чисел, которая дается пояснения, откуда и зачем она взялась, и что же она объясняет. Интерпретация есть, а смысла за ней нет. Концептуальные проблемы, связанные с комплексными числами, не только не решаются с помощью нее, но и даже не ставятся.
Изложение теории комплексных чисел и даже теории функций комплексного переменного, принятое в современных учебниках, логически противоречиво и содержит много парадоксов, которые современные студенты и их преподаватели обычно даже не замечают, а математики прошлого видели в них неразрешимые проблемы.
В этой статье мы разберемся, наконец, с геометрическим смыслом комплексных чисел, который разрешает все эти парадоксы, а в следующей — с самими парадоксами Эйлера: как их не могли решить великие математики и как их легко решила геометрия.